1.6.1 余弦定理课件-2024-2025学年高一下学期数学湘教版（2019）必修第二册

第1章　平面向量及其应用 1.6.1　余弦定理 湘教版 数学 必修第二册 课 标 要 求 1.掌握余弦定理及其变形. 2.借助向量的运算,探索余弦定理的证明过程. 3.能用余弦定理解决简单的实际问题. 基础落实•必备知识全过关 重难探究•能力素养全提升 目录索引 成果验收•课堂达标检测 基础落实•必备知识全过关 知识点1　余弦定理 1.文字语言:三角形中任何一边的平方等于其他两边平方的和________这两边与它们夹角的________的两倍.  2.符号语言: (1)在△ABC中,a2= _____________,b2=_____________,c2=____________.  注:两种形式侧重点不同,(1)侧重求边,(2)侧重求角. 减去 余弦的积 b2+c2-2bccos A a2+c2-2accos B a2+b2-2abcos C 名师点睛 应用余弦定理解三角形的类型 (1)已知两边及其夹角求第三边及其他两角. (2)已知三边求三角. 过关自诊 1.在△ABC中,若AB=1,AC=3,∠A=60°,则BC= ________.  知识点2　解三角形 从已知三角形的某些元素出发求这个三角形其他元素的过程叫作解三角形. 重难探究•能力素养全提升 探究点一 已知两边及一角解三角形 规律方法　已知三角形的两边及一角解三角形的方法 已知三角形的两边及一角解三角形,必须先判断该角是给出两边中一边的对角,还是给出两边的夹角.若是给出两边的夹角,可以由余弦定理求第三边;若是给出两边中一边的对角,可以利用余弦定理建立一元二次方程,解方程求出第三边. 5 探究点二 已知三边解三角形 【例2】 (1)在△ABC中,若a2+b2+ab=c2,则角C=　　　.  120° 规律方法　已知三角形的三边解三角形的方法 (1)先利用余弦定理求出一个角的余弦值,求出第一个角,再利用余弦定理求出第二个角;最后利用三角形的内角和定理求出第三个角; (2)利用余弦定理求出三个角的余弦值,进而求出三个角. 变式训练2[北师大版教材习题]△ABC的三边之比为3∶5∶7,求这个三角形的最大角. 探究点三 利用余弦定理判断三角形形状 【例3】 在△ABC中,若acos B+acos C=b+c,试判断该三角形的形状. 规律方法　三角形形状的判断方法 (1)利用三角形的边角关系判断三角形的形状时,需要从“统一”入手,即使用转化思想解决问题.一般有两条思考路线:①先化边为角,再进行三角恒等变换,求出三角之间的数量关系.②先化角为边,再进行代数恒等变换,求出三边之间的数量关系. (2)判断三角形的形状时,经常用到以下结论: ①△ABC为直角三角形⇔a2=b2+c2或c2=a2+b2或b2=a2+c2. ②△ABC为锐角三角形⇔a2+b2>c2,且b2+c2>a2,且c2+a2>b2. ③△ABC为钝角三角形⇔a2+b2<c2或b2+c2<a2或c2+a2<b2. ④若sin 2A=sin 2B,则∠A=∠B或∠A+∠B= . 变式训练3在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若c2=bccos A+ cacos B+abcos C,则△ABC是　　　三角形.(填“锐角”或“直角”或“钝角”)  直角 余弦定理的另外两种证法 证法一(几何法) 按照三角形的分类,分三种情形证明. (1)在Rt△ABC中,如图①,满足勾股定理:c2=a2+b2, 图① (2)在锐角三角形ABC中,如图②,作CD⊥AB于点D,有CD=asin B,BD=acos B,AD=AB-BD=c-acos B,b2=CD2+AD2=(asin B)2+(c-acos B)2=a2+c2-2accos B; 同理可证:c2=a2+b2-2abcos C,a2=b2+c2-2bccos A. 图② (3)在钝角三角形ABC中,如图③,作CD⊥AB,交AB的延长线于点D,则CD=asin∠CBD=asin∠ABC, BD=acos∠CBD=-acos∠ABC, AD=AB+BD=c-acos∠ABC, b2=CD2+AD2=(asin∠ABC)2+(c-acos∠ABC)2=a2+c2-2accos∠ABC. 同理可证:c2=a2+b2-2abcos∠ACB,a2=b2+c2-2bccos A. 综上所述,在任意的三角形中,余弦定理总是成立. 图③ 证法二(解析法) 对于任意一个△ABC,建立平面直角坐标系如图④所示,则A(bcos∠ACB,bsin∠ACB),B(a,0). 根据两点间的距离公式,有c2=|AB|2=(a-bcos∠ACB)2+(bsin∠ACB)2=a2+b2-2abcos∠ACB,即c2=a2+b2-2abcos∠ACB,同理可证:a2=b2+c2-2bccos A,b2=a2+c2-2accos∠ABC. 图④ 成果验收•课堂达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 A 级 必备知识基础练 解析 由余弦定理,得a2=b2+c2-2bccos A,即13=9+c2-3c,即c2-3c-4=0,解得c=4(负值舍去). C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2.如图,一座垂直建于地面的信号发射塔CD的高度为30 m,地面上一人在A点观察该信号塔顶部,仰角为45°,沿直线步行1 min 后在B点观察塔顶,仰角为30°,若∠ADB=30°,此人的身高忽略不计,则他的步行速度为(　　) D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3.(多选题)在锐角三角形ABC中,b=1,c=2,则a的值不可以是(　 　) A.1 B.2 C.3 D.4 ACD 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 4.如果将直角三角形的三边增加同样的长度,那么新三角形的形状是(　　) A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.由增加的长度确定 A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 6.在△ABC中,已知a-b=4,a+c=2b,且最大内角为120°,则该三角形的周长为 ________;最小角的余弦值为________.  30 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 60°或120° 解析 由余弦定理,得2accos B·tan B=ac,整理,得sin B=,所以B=60°或120°. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 B 级 关键能力提升练 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 12.若2a+1,a,2a-1为钝角三角形的三边长,求实数a的取值范围. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 C 级 学科素养创新练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 (2)变形:cos A=,cos B=,cos C=. 2.[人教A版教材习题]在△ABC中,已知a=5,b=2,C=,求c. 解析　由余弦定理,得BC2=AB2+AC2-2AB·AC·cos A=12+32-2×1×3cos 60°=7,所以BC=. 解 由余弦定理,得c2=a2+b2-2abcos C=25+4-2×5×2×=19,所以c=. 过关自诊 在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若a=1,b=,c=,则∠B=　 .  解析　由已知a=1,b=,c=,根据余弦定理,得cos B==-. ∵0<∠B<π,∴∠B=. 【例1】 (1)在△ABC中,已知b=3,c=2,∠A=30°,求a. (2)在△ABC中,已知b=3,c=3,∠B=30°,求角A、角C和边a. 解 (1)由余弦定理,得a2=b2+c2-2bccos A=32+(2)2-2×3×2cos 30°=3,所以a=. (2)由余弦定理b2=a2+c2-2accos B,得32=a2+(3)2-2a×3×cos 30°,即a2-9a+18=0,解得a=3或a=6.当a=3时,∠A=30°,∠C=120°;当a=6时,由余弦定理,得cos A==0.∴∠A=90°,∴∠C=60°. 变式训练1(1)在△ABC中,AB=5,BC=1,tan B=,则AC=　　　.  (2)在△ABC中,cos A=,a=4,b=3,则c=　　　.  3 解析　(1)由tan B=,且∠B为三角形内角得cos B=.由余弦定理,得AC2=AB2+BC2-2AB·BC·cos B=52+12-2×5×1×=18,所以AC=3. (2)由余弦定理,得a2=b2+c2-2bccos A,即16=9+c2-6×c,整理得5c2-18c-35=0,解得c=5或c=-(舍去),故c=5. 解析　由a2+b2+ab=c2,得a2+b2-c2=-ab. 由余弦定理,得cos C==-,故∠C=120°. (2)在△ABC中,已知a∶b∶c=2∶∶(+1),求各内角的度数. 解 由a∶b∶c=2∶∶(+1),令a=2k,b=k,c=(+1)k(k>0). 由余弦定理,得cos A=, ∴∠A=45°.cos B=,∴∠B=60°. ∴∠C=180°-∠A-∠B=180°-45°-60°=75°. 解 设△ABC的三边分别为a=3k,b=5k,c=7k(k>0),可知角C最大. 因为cos C==-,0<C<π, 所以C=,故这个三角形的最大角为. 解 由acos B+acos C=b+c,结合余弦定理得a·+a·=b+c, 即=b+c,整理,得(b+c)(a2-b2-c2)=0. 因为b+c≠0,所以a2=b2+c2,故△ABC是直角三角形. 解析　由余弦定理,得c2=bc·+ca·+ab·, 整理,得c2=, 即a2+b2=c2,故△ABC是直角三角形. 因为cos C=0, 所以c2=a2+b2-2abcos C; 因为cos B=, 所以b2=a2+c2-2accos B; 因为cos A=, 所以a2=b2+c2-2bccos A. 1.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若a=,b=3,∠A=60°,则c=(　　) A.1 B.2 C.4 D.6 A.1 m/s B. m/s C. m/s D. m/s 解析 若a为最大边,则b2+c2-a2>0,即a2<5, ∴a<,若c为最大边,则a2+b2>c2,即a2>3, ∴a>,故<a<. 解析 设直角三角形的三条边长分别为a,b,c,且a2+b2=c2,三条边均增加同样的长度m,三边长度变为a+m,b+m,c+m,此时最长边为c+m,设该边所对角为θ,则由余弦定理,得cos θ=.因为m2>0, a+b-c>0,所以cos θ>0,所以θ为锐角,其他各角必为锐角,故新三角形是锐角三角形. 5.在△ABC中,AB=3,BC=,AC=4,则边AC上的高为(　　) A. B. C. D.3 解析 在△ABC中,AB=3,BC=,AC=4,由余弦定理,得cos A=, ∴∠A=60°.∴边AC上的高h=AB·sin A=3sin 60°=. 故选B. 解析 由a-b=4,a+c=2b,得b=a-4,c=a-8,所以a>b,a>c,即a是最长边,所以角A最大.由余弦定理,得cos 120°=,解得a=14(a=4舍去),所以b=10,c=6,故△ABC的周长为30.最小内角为∠C,cos C=. 7.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.若(a2+c2-b2)tan B=ac,则角B的度数为______________. 8.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.若>0,则△ABC(　　) A.一定是锐角三角形 B.一定是直角三角形 C.一定是钝角三角形 D.是锐角或直角三角形 解析 由>0得-cos C>0,所以cos C<0,从而∠C为钝角,因此△ABC一定是钝角三角形. 9.在△ABC中,a,b,c为角A,B,C的对边,且b2=ac,则∠B的取值范围是(　　) A. B. C. D. 解析 cos B=,当且仅当a=c时取等号. ∵0<∠B<π,∴∠B∈. 解析 因为BD为∠ABC的平分线,所以∠ABD=∠ABC.由余弦定理,得cos∠ABC=,所以cos∠ABC=1-2sin2∠ABD=, 所以sin∠ABD=. 10.在△ABC中,BD为∠ABC的平分线,AB=3,BC=2,AC=,则sin∠ABD =_______. 11.如图,在△ABC中,已知点D在边BC上,AD⊥AC于点A,sin∠BAC=,AB=3,AD=3,则BD的长为________. 解析 因为sin∠BAC=,且AD⊥AC, 所以sin,所以cos∠BAD=. 在△BAD中,由余弦定理,得BD= ==. 解 因为2a+1,a,2a-1是三角形的三边长, 所以解得a>,此时2a+1最大.要使2a+1,a,2a-1是三角形的三边长,还需a+2a-1>2a+1,解得a>2.设最长边2a+1所对的角为θ,则θ>90°,所以cos θ=<0,解得<a<8. 综上可知实数a的取值范围是(2,8). 13.在△ABC中,BC=a,AC=b,且a,b是方程x2-2x+2=0的两根,2cos(A+B)=1. (1)求角C的大小; (2)求AB的长. 解 (1)∵cos C=cos[π-(A+B)]=-cos(A+B)=-,且∠C∈(0,π),∴∠C=. (2)∵a,b是方程x2-2x+2=0的两根, ∴∴AB2=b2+a2-2abcos C=(a+b)2-ab=10,∴AB=. 14.[2023江苏新沂校级月考]在锐角三角形ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且2sin22A+cos 2A=1. (1)求角A; (2)若a=2,求△ABC周长的最大值. 解 ①由2sin22A+cos 2A=1,得2(1-cos22A)+cos 2A=1,即2cos22A-cos 2A-1=0. 因为△ABC是锐角三角形,所以A∈(0,), 所以2A∈(0,π),所以cos 2A=-, 所以2A=,即A=. ②由余弦定理得a2=b2+c2-2bc·cos A. 因为a=2,A=, 所以12=b2+c2-bc=(b+c)2-3bc≥(b+c)2-3×()2=, 当且仅当b=c时取等号,所以(b+c)2≤48,即b+c≤4, 所以a+b+c≤6,当b=c=a=2时取等号. 所以△ABC周长的最大值为6. $$