1.6.2 正弦定理课件-2024-2025学年高一下学期数学湘教版（2019）必修第二册

第1章　平面向量及其应用 1.6.2　正弦定理 湘教版 数学 必修第二册 课 标 要 求 1.掌握正弦定理及其变形. 2.借助向量的运算,探索正弦定理的证明过程. 3.能用正弦定理解决简单的实际问题. 基础落实•必备知识全过关 重难探究•能力素养全提升 目录索引 成果验收•课堂达标检测 基础落实•必备知识全过关 知识点1　正弦定理 1. 名师点睛 正弦定理解三角形的常见类型 (1)已知三角形的两边及一边所对的角,求剩余的边和角. (2)已知两角和任一边,求另外两边和一角. 4 知识点2　公式的其他变形 2Rsin A 2Rsin B 2Rsin C sin A∶sin B∶sin C 45°或135° 知识点3　三角形的面积公式 过关自诊 1.在△ABC中,若AB=3,BC=4,∠B=120°,则△ABC的面积等于________.  2.在△ABC中,若a=2,b=8,S△ABC=4,则∠C=________________.   30°或150° 重难探究•能力素养全提升 探究点一 已知两角和一边解三角形 规律方法　已知两角及一边解三角形的解题方法 (1)若所给边是已知角的对边,可先由正弦定理求另一边,再由三角形的内角和定理求出第三个角,最后由正弦定理求第三边. (2)若所给边不是已知角的对边,则先由三角形内角和定理求第三个角,再由正弦定理求另外两边. D 探究点二 已知两边和其中一边的对角解三角形 变式探究本例中,将条件改为“a=5,b=2,∠B=60°”,解三角形. 规律方法　已知三角形的两边和其中一边的对角时解三角形的方法 (1)由正弦定理求出另一边所对的角的正弦值. (2)当已知的角为大边所对的角时,由三角形中“大边对大角,大角对大边”的法则能判断另一边所对的角是锐角. (3)当已知的角为小边所对的角时,不能判断另一边所对的角为锐角,这时由正弦值(不等于1时)可求得两个角,要分类讨论. 探究点三 判断三角形的形状 【例3】 在△ABC中,若(a-ccos B)sin B=(b-ccos A)sin A,判断△ABC的形状. 规律方法　三角形形状的判断方法 判断三角形的形状,就是根据题目条件,分析其是不是等腰三角形、直角三角形、等边三角形、等腰直角三角形、锐角三角形、钝角三角形等.利用正弦定理判断三角形形状的方法如下: 变式训练2设△ABC的三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.下列有关等边三角形的说法正确的是________.  ②③ 探究点四 三角形面积公式的应用 16 对三角形解的个数的探究 已知三角形的两角和任意一边,求其他的边和角,此时有唯一解,即当三角形的两角和任意一边确定时,三角形被唯一确定. 已知三角形的两边和其中一边的对角,求其他的边和角,此时可能出现一解、两解或无解的情况. 因此“已知两边和其中一边的对角,求另一边的对角”时,需要分析三角形解的情况,下面以已知a,b和角A解三角形为例进行说明. 由正弦定理、正弦函数的性质及三角形的性质可得,在△ABC中,已知a,b和角A时,有解的情况如下: 成果验收•课堂达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 A 级 必备知识基础练 A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 4.（多选题）某市在“旧城改造”工程中计划在如图所示的一块三角形空地上种植草皮以美化环境.已知这种草皮的价格为a元/m2,则购买这种草皮需要(　　) A.450a元 B.225a元 C.150a元 D.300a元 AC 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 6.在△ABC中,∠B=45°,∠C =60°,c=1,则最短边的长等于________. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 B 级 关键能力提升练 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 C 级 学科素养创新练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 2.扩充的正弦定理:设△ABC外接圆的半径为R,则=2R. 过关自诊 在△ABC中,若a=4b,则=　　　.  解析　因为,所以=4. 公式的其他变形(R为△ABC外接圆的半径) (1)a=　　 　　　,b=　　 　　　,c=________　;  (2)sin A=,sin B=,sin C=; (3)a∶b∶c=________________.  过关自诊 在△ABC中,若2asin C=c,则角A=　 解析　设△ABC的外接圆的半径为R,由正弦定理, 得2×2Rsin Asin C=×2Rsin C,因此sin A=,故∠A=45°或135°. 1.在△ABC中,若ha,hb,hc分别表示边a,b,c上的高,则S△ABC=aha=bhb=chc. 2.在△ABC中,若a,b,c所对的角分别是A,B,C,则S△ABC=absin C=acsin B=bcsin A. 名师点睛 三角形面积公式的其他形式 (1)S△ABC=,其中R为△ABC的外接圆半径; (2)S△ABC=2R2sin Asin Bsin C,其中R为△ABC的外接圆半径; (3)S△ABC=(a+b+c)r,其中r为△ABC的内切圆半径; (4)S△ABC=,其中p=. 3 解析　S=AB·BC·sin B=×3×4sin 120°=3. 解析　由S△ABC=absin C,得4=×2×8sin C, 解得sin C=,故∠C=30°或150°. 【例1】 [人教A版教材例题]在△ABC中,已知A=15°,B=45°,c=3+,解这个三角形. 解由三角形内角和定理,得C=180°-(A+B)=180°-(15°+45°)=120°. 由正弦定理,得a= ==, b=. 变式训练1在△ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,若∠A=105°,∠B=45°,b=2,则c=(　　)(注:已知sin 105°=) A. B.1 C. D.2 解析　在△ABC中,∵∠A=105°,∠B=45°,b=2, ∴由正弦定理可得a=. ∵∠C=180°-∠A-∠B=30°, ∴c==2.故选D. 【例2】 在△ABC中,已知a=2,b=,∠A=45°,解三角形.(注:已知sin 105°=) 解 由正弦定理,得sin B=. 因为b<a,所以∠B<∠A,所以∠B=30°(∠B=150°舍去). 于是∠C=180°-45°-30°=105°. 由正弦定理,得c=+1. 解 由正弦定理,得sin A=>1,则角A不存在,所以该三角形无解. 解∵(a-ccos B)sin B=(b-ccos A)sin A, ∴由正弦定理、余弦定理,得(a-c·)·b=(b-c·)·a, 整理,得(a2-b2)(a2+b2-c2)=0,∴a2+b2-c2=0或a2=b2.∴a2+b2=c2或a=b. 故△ABC为直角三角形或等腰三角形. (1)化边为角,走“三角变形”之路,常用的转化方式有:①a=2Rsin A,b=2Rsin B,c=2Rsin C(R为△ABC外接圆的半径);②; (2)化角为边,走“代数变形”之路,常用的转化方式有:①sin A=,sin B=,sin C=(R为△ABC外接圆的半径);②. ①若,则△ABC是等边三角形 ②若,则△ABC是等边三角形 ③若,则△ABC是等边三角形 解析　①若,由正弦定理可知,任意△ABC都满足条件,因此不一定是等边三角形,不正确; ②若,由正弦定理可得, ∴tan A=tan B=tan C, ∵角A,B,C∈(0,π),∴∠A=∠B=∠C,∴△ABC是等边三角形,正确; ③若,由正弦定理可得, ∴cos A=cos B=cos C, ∵角A,B,C∈(0,π),∴∠A=∠B=∠C,∴△ABC是等边三角形,正确. ∴正确说法的序号是②③. 【例4】 计算下列各三角形的面积. (1)在△ABC中,a=5,c=3,∠B=150°; (2)在△ABC中,a=8,b=8,∠A=30°; (3)在△ABC中,a=2,b=3,c=4. 解 (1)△ABC的面积S=acsin B=×5×3sin 150°=. (2)由,得sin B=sin A=sin 30°=.∵a<b,∴30°<∠B<180°.∵sin B=,∴∠B=60°或∠B=120°,相应地,有∠C=90°或∠C=30°. ∴S△ABC=absin C=×8×8sin 90°=32或S△ABC=×8×8sin 30°=16, ∴△ABC的面积为32或16. (3)由余弦定理,得cos C==-,则sin C=,故△ABC的面积S=absin C=×2×3×. 规律方法　三角形面积的求解思路 求三角形面积时,由于三角形面积公式有不同形式,因此实际使用时要结合题目的条件灵活运用公式求解.当三角形的两边及其夹角都已知或能求出时,常利用S=absin C=bcsin A=acsin B求解面积. 变式训练3(1)在△ABC中,若∠A=60°,b=16,S△ABC=64,则c=________;  (2)在△ABC中,已知∠C=120°,AB=2,AC=2,则△ABC的面积等于________.  解析　(1)由已知,得S△ABC=bcsin A,即64×16csin 60°,解得c=16. (2)由正弦定理,得,即,解得sin B=.因为AB>AC,所以∠C>∠B,所以∠B=30°,所以∠A=180°-120°-30°=30°,所以△ABC的面积S=AB·AC·sin A=×2×2sin 30°=. ∠A ∠A为锐角 ∠A为钝角或直角 图形 关系式 a=bsin A bsin A< a<b a≥b a>b 解的个数 一解 两解 一解 一解 规律方法　三角形解的个数也可由三角形中“大边对大角”来判定.设∠A为锐角,若a≥b,则∠A≥∠B,从而∠B为锐角,有一解.若a<b,则∠A<∠B,由正弦定理得sin B=:①sin B>1,即a<bsin A,无解;②sin B=1,有一解;③sin B<1,即bsin A<a<b,有两解. 事实上,判断三角形解的个数,就是根据“大边对大角”、三角形内角和定理、正弦函数的性质等进行判断. 1.在△ABC中,已知a=8,∠B=60°,∠C=75°,则b等于(　　) A.4 B.4 C.4 D. 解析 ∵∠A+∠B+∠C=180°,又∠B=60°,∠C=75°, ∴∠A=180°-∠B-∠C=45°. 由正弦定理, 得b==4.故选A. 2.在△ABC中,若a=3,b=,∠A=,则角C的大小为(　　) A. B. C. D. 解析 由正弦定理,得sin B=. 因为a>b,所以∠A>∠B,所以∠B=,所以∠C=π-. 3.在△ABC中,AB=2,BC=5,△ABC的面积为4,则cos∠ABC等于(　　) A. B.± C.- D.± 解析 由S=AB·BC·sin∠ABC,得4=×2×5sin∠ABC,解得sin∠ABC=,从而cos∠ABC=±. 5.[2023江苏南京二模]在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.若bsin= csin B,则角C的大小为(　　) A. B. C. D. 解析 由三角形内角和定理,得∠A=75°.由三角形的边角关系,得B所对的边b为最短边.由正弦定理,得b=. 7.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且a=1,c=. (1)若C=,求A; (2)若A=,求b. 解(1)由a=1,c=,C=,得sin A=. 因为a<c,所以A=. (2)由a=1,c=,A=,得sin C=. 因为a<c,所以C=或C=. 当C=时,B=,由勾股定理得b=2. 当C=时,B=,所以b=a=1. 所以b的值为1或2. 8.在△ABC中,∠A=60°,a=4,b=4,则∠B等于(　　) A.45°或135° B.135° C.45° D.以上答案都不对 解析 ∵sin B=, ∴∠B=45°或135°.又∵a>b,∴∠B=45°,故选C. 9.在△ABC中,∠A=60°,a=,则等于(　　) A. B. C. D.2 解析 由a=2Rsin A,b=2Rsin B,c=2Rsin C得=2R=. 10.设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且3acos C=4csin A,若△ABC的面积S=10,b=4,则a的值为(　　) A. B. C. D. 解析 由3acos C=4csin A,得.又由正弦定理,得,∴tan C=,∴sin C=.又S=bcsin A=10,b=4,∴csin A=5. 根据正弦定理,得a=,故选B. 11.在△ABC中,D是边BC上的点,AD平分∠BAC,△ABD的面积是△ADC的面积的2倍. (1)求; (2)若AD=1,DC=,求BD和AC的长. 解(1)S△ABD=AB·ADsin∠BAD, S△ADC=AC·ADsin∠CAD. 因为S△ABD=2S△ADC,∠BAD=∠CAD,所以AB=2AC. 由正弦定理可得. (2)因为S△ABD∶S△ADC=BD∶DC, 所以BD=2DC=. 在△ABD和△ADC中,由余弦定理知, AB2=AD2+BD2-2AD·BDcos∠ADB, AC2=AD2+DC2-2AD·DCcos∠ADC. 故AB2+2AC2=3AD2+BD2+2DC2=6. 由(1)知AB=2AC,所以AC=1. $$