1.6.3 解三角形应用举例课件-2024-2025学年高一下学期数学湘教版（2019）必修第二册

第1章　平面向量及其应用 1.6.3　解三角形应用举例 湘教版 数学 必修第二册 课 标 要 求 能够运用余弦定理、正弦定理解决简单的实际问题. 基础落实•必备知识全过关 重难探究•能力素养全提升 目录索引 成果验收•课堂达标检测 基础落实•必备知识全过关 知识点　解决实际测量问题的思路和步骤 1.基本思路 在运用解三角形的知识解决实际问题时,通常都应根据题意将实际问题转化为解三角形的问题,从中抽象出一个或几个三角形,然后解这些三角形,得出所要求的量,经检验后得到实际问题的解. 2.基本步骤 过关自诊 海上有A,B两个小岛相距10海里,从A岛望C岛和B岛成60°的视角,从B岛望C岛和A岛成75°的视角,则B,C岛间的距离是(　　) D 重难探究•能力素养全提升 探究点一 测量距离问题 【例1】 [北师大版教材习题]如图,某观察站B在城A的南偏西20°的方向,由城A出发的一条公路走向是南偏东40°,在B处测得公路上距B处31 km的C处有一人正沿公路向A城走去,走了20 km之后到达D处,此时B,D间的距离为21 km.这个人还要走多少路才能到达A城? 规律方法　三角形中与距离有关的问题的求解策略 (1)解决与距离有关的问题,若所求的线段在一个三角形中,则直接利用正弦定理、余弦定理求解;若所求的线段在多个三角形中,要根据条件选择适当的三角形,再利用正弦定理、余弦定理求解. (2)解决与距离有关的问题的关键是转化为求三角形中的边,分析所解三角形中已知哪些元素,还需要求出哪些元素,灵活应用正弦定理、余弦定理. 变式训练如图所示,为了测定河的宽度,在一岸边选定两点A,B,望对岸标记物C,测得∠CAB=30°,∠CBA=75°,AB=120 m,则河的宽度为_________m.  60 解析　作CD⊥AB,垂足为D,则CD即为河的宽度. 在△ABC中,∠CAB=30°,∠CBA=75°,所以∠ACB=75°,∠ACB=∠ABC, 所以AC=AB=120 m. 探究点二 测量角度问题 因为AB=40 m,所以AB=PB,所以∠APB=∠PAB=30°,所以∠PBA=120°.因此测绘人员到达点B时,目标参照物P相对于该测绘人员的方位角为180°-120°=60°,且目标参照物P与他的距离为40 m. 规律方法　测量角度问题画示意图的基本步骤   探究点三 航海与追及中的问题 【例3】 如图,海面上一走私船正以每小时15海里的速度沿方位角120°方向航行,距离走私船18海里处的缉私艇测得该走私船当前的方位角为60°,并即刻以每小时21海里的速度径直追赶.求缉私船追上走私船所需的最短时间. 解 如下图所示, 在C点处缉私艇赶上走私船,在△ABC中,∠ABC=60°+(180°-120°)=120°,AB=18,设缉私艇追上走私船的最短时间为x小时,则AC2=AB2+BC2-2AB·BC·cos∠ABC,即(21x)2=182+(15x)2-2×18×15x×cos 120°,化简得4x2-5x-6=0,解得x=2或x=- (不合题意,舍去).所以缉私艇追上走私船所需的最短时间是2小时. 成果验收•课堂达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 A 级 必备知识基础练 1.如图,要测量某湖泊两侧A,B两点间的距离,若给出下列数据,则其中不能唯一确定A,B两点间的距离的是(　　) A.角A,B和边AC B.角A,B和边BC C.边BC,AC和角C D.边BC,AC和角A D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 2.如图,在河岸一侧取A,B两点,在河岸另一侧取一点C,若AB=12 m,借助测角仪测得∠CAB=45°,∠CBA=60°,则C处河面宽CD为(　　) B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 3.（多选题）已知某景区两座主峰的高度都是200 m,某测量团队在B点测得左侧主峰顶端M点的仰角为30°,右侧主峰顶端N点的仰角为45°,且∠MBN=45°,则两座主峰顶端之间的距离MN=(　　) BC 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 6.已知甲船在岛B的正南方A处,AB=10 n mile,甲船以4 n mile/h的速度向正北方向的岛B航行,同时乙船自岛B出发以6 n mile/h 的速度向北偏东60° 的方向航行,当甲、乙两船距离最近时,它们所航行的时间是______h. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 7.某人见一建筑物A在正北方向,另一建筑物B在北偏西30°方向.此人沿北偏西70°方向行走了3 km后到达C,则见A在其北偏东56°方向上,B在其北偏东74°方向上,试求这两个建筑物间的距离.(参考数据:sin 36°≈ 0.588,sin 104°≈0.970,sin 54°≈0.809,sin 56°≈0.829) 7.解如图,在△BCO中,∠BOC=70°-30°=40°,∠BCO=(180°-70°)-74°=36°, ∴∠CBO=180°-40°-36°=104°. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 B 级 关键能力提升练 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 解 如图,设预报时台风中心为B,开始影响基地时台风中心为C,基地刚好不受影响时台风中心为D,则B,C,D在一条直线上,且AD=20 n mile,AC=20 n mile. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 C 级 学科素养创新练 11.如图,经过村庄A有两条夹角为60°的公路AB,AC,根据规划拟在两条公路之间的区域内建一工厂P,分别在两条公路边上建两个仓库M,N(异于村庄A),要求PM=PN=MN=2 km,设∠AMN=θ. (1)用θ表示AM的长; (2)当θ为何值时,工厂P与村庄的距离最远? 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 A.10海里 B.海里 C.5海里 D.5海里 解 在△BCD中,BC=31 km,BD=21 km,CD=20 km. 由余弦定理,得cos∠BDC==-, sin∠BDC=. 又因为sin∠ABD=sin(∠BDC-60°), 所以sin∠ABD=sin∠BDCcos 60°-cos∠BDCsin 60° =. 在△ABD中,由正弦定理,得, 所以AD==15(km), 故这个人还要走15 km才能到达A城. 由正弦定理得, 即,所以CD=60 m. 【例2】 地图测绘人员在点A测得某一目标参照物P在他的北偏东30°的方向,且距离他40 m,之后该测绘人员沿正北方向行走了40 m,达到点B.试确定此时目标参照物P相对于他的方位角以及他与目标参照物P的距离. 解 如图,在△PAB中,∠PAB=30°,PA=40 m,AB=40 m. 由余弦定理,得PB= ==40(m). A.6(3+)m B.6(3-)m C.6(3+2)m D.6(3-2)m A.200 m B.400 m C.200 m D.400 m 4.一艘船上午9:30在A处,测得灯塔S在它的北偏东30°的方向,且与它相距8 n mile, 之后它继续沿正北方向匀速航行,上午10:00到达B处,此时又测得灯塔S在它的北偏东75°的方向,则此船的航速是(　　)(注:sin 105°= ) A.8()n mile/h B.8()n mile/h C.16()n mile/h D.16()n mile/h 5.某船在岸边A处向正东方向航行x海里后到达B处,然后朝南偏西60°方向航行3海里到达C处,若A处与C处的距离为 n mile,则x的值为____________. 解析 在△ABC中,由余弦定理,得AC2=AB2+BC2-2AB·BC·cos B,即x2+9-2·x·3cos 30°=()2, 即x2-3x+6=0,解得x=2或x=. 或2 ∵OC=3,由正弦定理,得, 则BO=.在△ACO中,∠AOC=70°,∠CAO=56°,则∠ACO=54°. 由正弦定理,得,则AO=. 在△ABO中,由余弦定理,得AB=≈1.630(km)=1 630(m). 故这两个建筑物间的距离约为1 630 m. 8.如图所示,在坡度一定的山坡A处测得山顶上一建筑物CD的顶端C相对于山坡的斜度为15°,向山顶前进100 m 到达B处,又测得C相对于山坡的斜度为45°,若CD=50 m,山坡的坡角为θ,则cos θ=(　　)(注:sin 15°= ) A. B.-1 C.2- D. 9.如图,为了测量B,C两点间的距离,选取同一平面上A,D两点,已知∠ADC=90°,∠A=60°,AB=2,BD=2,DC=4,则BC的长为(　　) A.4 B.5 C.6 D.7 10.某海上养殖基地A,接到气象部门预报,位于基地南偏东60°方向相距20(+1)n mile 的海面上有一台风中心,影响半径为20 n mile,正以10 n mile/h的速度沿某一方向匀速直线前进,预计台风中心将从基地东北方向刮过且(+1)h后开始影响基地持续2 h.求台风移动的方向. 由题意,得AB=20(+1)n mile,DC=20 n mile,BC=10+1)n mile.在△ADC中, ∵DC2=AD2+AC2,∴∠DAC=90°,∠ADC=45°.在△ABC中,由余弦定理,得cos∠BAC=. ∴∠BAC=30°.∵B位于A的南偏东60°方向,且60°+30°+90°=180°,∴D位于A的正北方向.又∠ADC=45°,∴台风移动的方向为向量的方向,即北偏西45°方向. 解 (1)在△AMN中,因为∠NAM=60°,∠AMN=θ, 所以∠ANM=120°-θ, 由正弦定理得. 因为MN=2 km, 所以AM=sin(120°-θ)km. (2)由题意知△PMN为等边三角形, 所以∠PMN=60°,所以∠AMP=θ+60°. 在△APM中,由余弦定理得AP2=AM2+PM2-2AM·PMcos∠AMP=sin2(120°-θ)+4-sin(120°-θ)cos(60°+θ)=sin2(60°+θ)-sin(60°+θ)cos(60° +θ)+4=[1-cos(2θ+120°)]-sin(2θ+120°)+4=sin(2θ+150°),又0°<θ<120°,所以150°<2θ+150°<390°,所以当且仅当2θ+150°= 270°,即θ=60°时,AP2取得最大值12,即AP的最大值为2,故当θ为60°时,工厂P与村庄A的距离最远. $$