1.7 平面向量的应用举例课件-2024-2025学年高一下学期数学湘教版（2019）必修第二册

第1章　平面向量及其应用 1.7　平面向量的应用举例 湘教版 数学 必修第二册 课 标 要 求 1.能运用平面向量的知识解决一些简单的平面几何问题和力学问题,体会向量在解决数学问题和实际问题中的应用. 2.掌握用向量法解决平面几何问题的方法. 3.通过具体问题的解决,理解用向量知识研究物理问题的一般思路与方法,培养探究意识和应用意识,体会向量的工具作用. 基础落实•必备知识全过关 重难探究•能力素养全提升 目录索引 成果验收•课堂达标检测 基础落实•必备知识全过关 知识点1　向量在平面几何中的应用 1.由于向量的线性运算和数量积运算具有鲜明的几何背景,平面几何图形的许多性质,如全等、相似、长度、夹角等都可以由向量的线性运算及数量积表示出来,因此平面几何中的许多问题都可用向量运算的方法加以解决. 2.用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”,即 (1)建立平面几何与向量的联系,用向量表示问题中涉及的几何元素,将平面几何问题转化为向量问题; (2)通过向量运算,研究几何元素之间的关系,如距离、夹角等问题; (3)把运算结果“翻译”成几何关系. 3.平行四边形两条对角线长的平方和等于两条邻边长的平方和的两倍.这一结论,可以用向量表示为:(a+b)2+(a-b)2=2(a2+b2). 过关自诊 1.在平面直角坐标系xOy中,已知点A(-1,-2),B(2,3),C(-2,-1),以线段AB,AC为邻边的平行四边形的两条对角线的长分别是________,________.  2.[人教A版教材例题]如图,DE是△ABC的中位线,用向量方法证明: DE∥BC,DE= BC. 知识点2　向量在物理中的应用 1.物理学中的许多量,如力、速度、加速度、位移都是向量. 2.物理学中的力、速度、加速度、位移的合成与分解就是向量的加减法. 3.利用向量方法解决物理问题的基本步骤: (1)问题转化,即把物理问题转化为数学问题; (2)建立模型,即建立以向量为载体的数学模型; (3)求解参数,即求向量的模、夹角、数量积等; (4)回答问题,即把所得的数学结论回归到物理问题. 过关自诊 1.已知三个力F1=(-2,-1),F2=(-3,2),F3=(4,-3)同时作用于某物体上一点,为使物体保持平衡,现加上一个力F4,则F4等于(　　) A.(-1,-2) B.(1,-2) C.(-1,2) D.(1,2) D 解析　由已知F1+F2+F3+F4=0, 故F4=-(F1+F2+F3)=-[(-2,-1)+(-3,2)+(4,-3)]=-(-1,-2)=(1,2). D 重难探究•能力素养全提升 探究点一 向量在平面几何中的应用 规律方法　证明A,B,C三点共线的步骤 (1)证明其中两点组成的向量与另外两点组成的向量共线. (2)下结论,即A,B,C三点共线. 变式训练1如图,已知AD,BE,CF是△ABC的三条高,且交于点O,DG⊥BE于G,DH⊥CF于H.求证:HG∥EF. 角度2.垂直问题 【例2】 如图,在正方形ABCD中,P是对角线BD上的一点,四边形PECF是矩形,用向量证明:PA⊥EF. 变式训练2如图所示,在正方形ABCD中,E,F分别是AB,BC的中点,求证: AF⊥DE. 角度3.长度问题 【例3】 如图,在平行四边形ABCD中,已知AD=1,AB=2,对角线BD=2,求对角线AC的长. B 变式探究本例中,条件不变,试问:在BC上是否存在点M,使得∠EAM=45°?若存在,求出点M的位置;若不存在,说明理由. 规律方法　平面几何中夹角问题的求解策略 利用平面向量解决几何中的夹角问题,本质是将平面图形中的角视为两个向量的夹角,借助夹角公式进行求解.在求解过程中,务必注意向量的方向. 探究点二 向量在物理中的应用 角度1.用向量解决力学问题 【例5】 一个物体受到平面上的三个力F1,F2,F3的作用处于平衡状态,已知F1,F2成60°角,且|F1|=3 N,|F2|=4 N,则F1与F3夹角的余弦值是________.  规律方法　力的合成与分解的向量解法 运用向量解决力的合成与分解问题,实质就是向量的线性运算,因此可借助向量运算的平行四边形法则或三角形法则进行求解. 变式训练4[北师大版教材习题]如图,两条绳提一个物体,每条绳的拉力大小均为5 N,这时两条绳的夹角为60°,求物重G的大小. 解设ω为风速,va为有风时飞机的航行速度,vb为无风时飞机的航行速度, va=vb+ω.如图所示. 规律方法　速度问题的向量解法 运用向量解决物理中的速度问题,一般涉及速度的合成与分解,因此应充分利用三角形法则与平行四边形法则将物理问题转化为数学中的向量问题,正确地作出图形再解决问题. 变式训练5一船以8 km/h的速度向东航行,船上的人测得风自北方来;若船速加倍,则测得风自东北方向来,求风速的大小及方向. 成果验收•课堂达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 A 级 必备知识基础练 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 A.64 B.62 C.76 D.60 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 ABC 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 7.某人骑摩托车以20 km/h的速度向西行驶,感觉到风从正南方向吹来,而当其速度变为40 km/h时,他又感觉到风从西南方向吹来,求实际风速的大小和方向. 解 设v1表示20 km/h的速度,在无风时,此人感觉到的风速为-v1,实际的风速为v,那么此人以v1速度行驶时所感觉到的风速为v+(-v1)=v-v1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 B 级 关键能力提升练 A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 10.(多选题)如图所示,小船被绳索拉向岸边,船在水中运动时设水的阻力大小不变,那么小船匀速靠岸过程中,下列四个选项中,其中正确的是(　　) A.绳子的拉力不断增大 B.绳子的拉力不断变小 C.船的浮力不断变小 D.船的浮力保持不变 AC 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 11.一条渔船距对岸4 km,以2 km/h的速度向垂直于对岸的方向划去,到达对岸时,船的实际行程为8 km,则河水的流速是________ km/h. 解析 如图, 用v1表示河水的流速,v2表示船的速度,则v=v1+v2为船的实际航行速度. 由图知,||=4,||=8, 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 12.已知△ABC是等腰直角三角形,∠B=90°,D是BC边的中点,BE⊥AD,垂足为E,延长BE交AC于点F,连接DF,求证:∠ADB=∠FDC. 证明 如图,以B为原点,BC所在直线为x轴建立平面直角坐标系, 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 C 级 学科素养创新练 14.如图所示,若D是△ABC内的一点,且AB2-AC2=DB2-DC2,求证:AD⊥BC. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 4 解析　以线段AB,AC为邻边的平行四边形的两条对角线长分别是||和||. ∵=(3,5),=(-1,1), ∴=(2,6),=(4,4),∴||==2,||==4. 证明 如图,因为DE是△ABC的中位线, 所以. 从而). 又,所以. 于是DE∥BC,DE=BC. 2.已知速度v1,v2的大小分别为|v1|=10 m/s,|v2|=12 m/s,且v1与v2的夹角为60°,则v1与v2的合速度v的大小是(　　) A.2 m/s B.10 m/s C.12 m/s D.2 m/s 解析　∵|v|2=|v1+v2|2=|v1|2+2v1·v2+|v2|2=100+2×10×12cos 60°+144=364, ∴|v|=2(m/s). 角度1.平行或共线问题 【例1】 如图,在平行四边形ABCD中,已知DE=AB,DF=DB,求证:A,E,F三点共线. 证明因为DE=AB,DF=DB, 所以. 于是=-, 因此, 所以A,E,F三点共线. 证明∵,∴. 设=λ(λ≠0),则=λ.同理=λ. 于是=λ()=λ, ∴,即HG∥EF. 证明(方法1)设正方形边长为a,由于P是对角线BD上的一点,可设=λ(0<λ<1).则-λ-λ()=(1-λ)-λ. 又因为=(1-λ)-λ, 所以=[(1-λ)-λ]·[(1-λ)-λ]=(1-λ)2-(1-λ)λ-λ(1-λ)+λ2=-λ(1-λ)a2+λ(1-λ)a2=0, 因此,故PA⊥EF. (方法2)以D为原点,DC,DA所在直线分别为x轴、y轴,建立如图所示的平面直角坐标系. 设正方形边长为a,由于P是对角线BD上的一点,设DP=λDB=λa(0<λ<1),则A(0,a),P(λa,λa),E(a,λa),F(λa,0),于是=(-λa,a-λa),=(λa-a,-λa), 因此=-λa(λa-a)-(a-λa)λa=-λ2a2+λa2-λa2+λ2a2=0,因此,故PA⊥EF. 规律方法　向量法证明平面几何中AB⊥CD的方法 方法一:①选择一组向量组成基;②用基表示;③证明的值为0;④给出几何结论AB⊥CD. 方法二:建立适当的平面直角坐标系,先求的坐标,=(x1,y1),=(x2,y2),再计算的值为0,从而得到几何结论AB⊥CD. 证明(方法1)设=a,=b, 则|a|=|b|,a·b=0,又=-a+=b+, 所以=-a2-a·b+=-|a|2+|b|2=0. 故,即AF⊥DE. (方法2)如图,建立平面直角坐标系,设正方形的边长为2,则A(0,0),D(0,2),E(1,0),F(2,1),=(2,1),=(1,-2). 因为=(2,1)·(1,-2)=2-2=0,所以,即AF⊥DE. 解 设=a,=b, 则=a-b,=a+b, 而||=|a-b|= ==2,① ||2=|a+b|2=a2+2a·b+b2 =|a|2+2a·b+|b|2=1+4+2a·b. ∵由①得2a·b=1,∴||2=6, ∴||=,即AC=. 变式训练3已知△ABC,∠BAC=60°,AB=2,AC=3,则BC的长为(　　) A.7 B. C. D.19 解析　∵, ∴||2=()2=||2-2+||2=9-2×3×2×cos 60°+4=7, ∴||=,即BC的长为. 角度4.夹角问题 【例4】 已知矩形ABCD,AB=,AD=1,E为DC上靠近D的三等分点,求∠EAC的大小. 解如图,建立平面直角坐标系, 则A(0,0),C(,1),E(,1),=(,1),=2. cos∠EAC=. ∵0<∠EAC<,∴∠EAC=. 解 存在.理由如下: 假设在BC上存在点M,使得∠EAM=45°,不妨设M(,y0)(0≤y0≤1),则=(,y0). 因为,而∠EAM=45°,所以cos<>=,整理得+6y0-3=0,解得y0=-3+2或y0=-3-2, 由于-3+2∈[0,1],-3-2∉[0,1],因此在BC上存在点M,使得∠EAM=45°,且此时BM=-3+2. - 解析　因为物体处于平衡状态, 所以F1+F2+F3=0. 因此F3=-(F1+F2),于是|F3|= ===, 设F1与F3的夹角是θ.又F2=-(F1+F3), 所以|F2|== ==4, 解得cos θ=-. 解 依题意知|G|=2×5cos 30°=5(N),即物重G的大小为5 N. 角度2.用向量解决速度问题 【例6】 在风速为75() km/h的西风中,飞机以150 km/h的航速向西北方向飞行,求没有风时飞机的航速和航向. 设||=|va|,||=|ω|,||=|vb|, 作AD∥BC,CD⊥AD于点D,BE⊥AD于点E, 则∠BAD=45°.设||=150,则||=75(). ∴||=||=||=75,||=75. 从而||=150,∠CAD=30°. ∴|vb|=150 km/h,方向为北偏西60°. 解 分别取正东、正北方向上的单位向量i,j组成基,设风速为xi+yj.依题意第一次船速为8i,第二次船速为16i.依题意可得 解得x=8,y=-8,即风速为8i-8j, 因此风速为西北方向,大小为8 km/h. 1.在Rt△ABC中,∠ABC=90°,AB=8,BC=6,D为AC中点,则cos∠BDC=(　　) A.- B. C.0 D. 2.两个大小相等的共点力F1,F2,当它们的夹角为90°时,合力的大小为20 N,则当它们的夹角为120°时,合力的大小为(　　) A.40 N B.10 N C.20 N D. N 解析 对于两个大小相等的共点力F1,F2,当它们的夹角为90°,合力的大小为20 N时,由三角形法则可知,这两个力的大小都是10 N;当它们的夹角为120°时,由三角形法则可知力的合成构成一个等边三角形,因此合力的大小为10 N. 3.河水的流速为2 m/s,一艘小船以垂直于河岸方向10 m/s的速度驶向对岸,则小船在静水中的速度大小为(　　) A.10 m/s B.2 m/s C.4 m/s D.12 m/s 解析 由题意知|v水|=2 m/s,|v船|=10 m/s,作出示意图如图.∴|v|==2(m/s). 4.体育锻炼是青少年生活学习中非常重要的部分,某学生做引体向上运动,处于如图所示的平衡状态,若两只胳膊的夹角为60°,每只胳膊的拉力大小均为360 N,则该学生的体重m(单位:kg)约为(　　)(参考数据:g取重力加速度大小10 m/s2,≈1.732) 5.(多选题)已知O是四边形ABCD内一点,若=0,则下列结论错误的是(　 　) A.四边形ABCD为正方形,点O是正方形ABCD的中心 B.四边形ABCD为一般四边形,点O是四边形ABCD的对角线交点 C.四边形ABCD为一般四边形,点O是四边形ABCD的外接圆的圆心 D.四边形ABCD为一般四边形,点O是四边形ABCD对边中点连线的交点 解析 由=0知,=-().设AB,CD的中点分别为E,F,由向量加法的平行四边形法则,知=0,O是EF的中点;同理,设AD,BC的中点分别为M,N,则O是MN的中点,所以O是EF,MN的交点. 6.一个物体在大小为10 N的力F的作用下产生的位移s的大小为50 m,且 力F所做的功W=250 J,则F与s的夹角等于________. 解析 设F与s的夹角为θ,由W=F·s,得250=10×50×cos θ,∴cos θ=.又θ∈[0,π],∴θ=. 如图,令=-v1,=-2v1,实际风速为v. ∵, ∴=v-v1. 这就是骑车人感觉到的从正南方向吹来的风的速度. ∵, ∴=v-2v1. 这就是当车的速度为40 km/h时,骑车人感觉到的风速. 由题意,得∠DCA=45°,DB⊥AB,AB=BC, ∴△DCA为等腰三角形,DA=DC,∠DAC=∠DCA=45°,∴DA=DC=BC.∴|v|=20 km/h.∴实际风速的大小是20 km/h,为东南风. 8.已知△ABC的外接圆半径为1,圆心为O,且3+4+5=0,则的值为(　　) A.- B. C.- D. 9.O是平面ABC内的一定点,P是平面ABC内的一动点.若()·()=()·()=0,则O为△ABC的(　　) A.内心 B.外心 C.重心 D.垂心 解析 因为()·()=0, 则()·()=0,所以||2-||2=0, 所以||=||. 同理可得||=||,即||=||=||,所以O为△ABC的外心. 解析 设水的阻力为f,绳的拉力为F,绳AB与水平方向夹角为θ(0<θ<),则|F|cos θ=|f|,∴|F|=. ∵θ增大,cos θ减小,∴|F|增大. ∵|F|sin θ增大,∴船的浮力减小. 2 则∠AOB=60°.又|v2|=2,∴|v1|=|v2|·tan 60°=2. 即河水的流速是2 km/h. 设A(0,2),C(2,0), 则D(1,0),=(2,-2). 设=λ,则=(0,2)+(2λ,-2λ)=(2λ,2-2λ).又=(-1,2),由题设,所以=0,所以-2λ+2(2-2λ)=0, 所以λ=.所以. 所以.又=(1,0), 所以cos∠ADB=,cos∠FDC=, 又∠ADB,∠FDC∈(0,π),所以∠ADB=∠FDC. 13.已知e1=(1,0),e2=(0,1),今有动点P从P0(-1,2)开始,沿着与向量e1+e2相同的方向做匀速直线运动,速度为|e1+e2|;另一动点Q从Q0(-2,-1)开始,沿着与向量3e1+2e2相同的方向做匀速直线运动,速度为|3e1+2e2|.设P,Q在t=0 s时分别在P0,Q0处,当时所需的时间t为多少秒? 解e1+e2=(1,1),|e1+e2|=,其单位向量为;3e1+2e2=(3,2),|3e1+2e2|=,其单位向量为. 依题意知,||=t,||=t, ∴=|=(t,t),=||()=(3t,2t),由P0(-1,2),Q0(-2,-1),得P(t-1,t+2),Q(3t-2,2t-1),∴=(-1,-3),=(2t-1,t-3), ∵,∴=0,即2t-1+3t-9=0, 解得t=2.即当时所需的时间为2 s. 证明 设=a,=b,=e,=c,=d, 则a=e+c,b=e+d, 所以a2-b2=(e+c)2-(e+d)2=c2+2e·c-2e·d-d2. 由已知可得a2-b2=c2-d2, 所以c2+2e·c-2e·d-d2=c2-d2, 所以e·(c-d)=0.因为=d-c, 所以=e·(d-c)=0, 所以,即AD⊥BC. $$