第1章 平面向量及其应用全章总结提升课件-2024-2025学年高一下学期数学湘教版（2019）必修第二册

全 章 总 结 提 升 湘教版 数学 必修第二册 第1章　平面向量及其应用 网络构建•归纳整合 专题突破•素养提升 目录索引 网络构建•归纳整合 专题突破·素养提升 专题突破•素养提升 专题一　平面向量的线性运算 专题二　平面向量数量积的运算 规律方法　向量数量积的求解策略 (1)利用数量积的定义、运算律求解. 在数量积运算律中,有两个形似实数的完全平方公式在解题中的应用较为广泛,即(a+b)2=a2+2a·b+b2,(a-b)2=a2-2a·b+b2.上述两公式以及(a+b)·(a-b)=a2-b2这一类似于实数平方差的公式在解题过程中可以直接应用. (2)借助零向量. 借助“围成一个封闭图形且首尾相接的向量的和为零向量”,再合理地进行向量的移项以及平方等变形,求解数量积. (3)借助平行向量与垂直向量. 借助向量的拆分,将待求的数量积转化为有垂直关系或平行关系的向量数量积,借助a⊥b,则a·b=0等解决问题. (4)建立平面直角坐标系,利用坐标运算求解数量积. AD 专题三　平面向量的平行与垂直问题 【例3】 (1)已知向量m=(λ+1,1),n=(λ+2,2).若(m+n)⊥(m-n),则λ=(　　) A.-4 B.-3 C.-2 D.-1 B 解析　因为m+n=(2λ+3,3),m-n=(-1,-1), 且(m+n)⊥(m-n), 所以(m+n)·(m-n)=-2λ-3-3=0, 解得λ=-3.故选B. 规律方法　1.证明向量共线问题常用的方法 (1)向量a,b共线⇔存在实数λ,使b=λa或 a=λb. (2)向量a=(x1,y1),b=(x2,y2)共线⇔x1y2-x2y1=0. (3)向量a与b共线⇔|a·b|=|a||b|. (4)向量a与b共线⇔存在不全为零的实数λ1,λ2,使λ1a+λ2b=0. 2.证明平面向量垂直问题的常用方法 a⊥b⇔a·b=0⇔x1x2+y1y2=0, 其中a=(x1,y1),b=(x2,y2). 专题四　平面向量的模、夹角 C 专题五　利用正弦定理、余弦定理解三角形 规律方法　解三角形的一般方法 (1)已知两角和一边,如已知∠A,∠B和c,由∠A+∠B+∠C=π求∠C,由正弦定理求a,b. (2)已知两边和这两边的夹角,如已知a,b和∠C,应先用余弦定理求c,再应用正弦定理先求较短边所对的角,然后利用∠A+∠B+∠C=π,求另一角. (3)已知两边和其中一边的对角,如已知a,b和∠A,应先用正弦定理求∠B,由∠A+∠B+∠C=π求∠C,再由正弦定理或余弦定理求c,要注意解可能有多种情况. (4)已知三边a,b,c,可应用余弦定理求∠A,∠B,∠C. 专题六　正弦定理、余弦定理的实际应用 【例6】 如图,测量人员沿直线MNP的方向测量,测得塔顶A的仰角分别是∠AMB=30°,∠ANB=45°,∠APB=60°,且MN=PN=500 m,求塔高AB. 规律方法　解三角形在实际中的应用 正弦定理、余弦定理在实际生活中有着非常广泛的应用.常用的有测量距离问题、测量高度问题、测量角度问题等.解决的基本思路是画出正确的示意图,把已知量和未知量标在示意图中,目的是发现已知量与未知量之间的关系,最后确定用哪个定理转化,用哪个定理求解,并进行作答.解题时还要注意近似计算的要求. 变式训练6如图所示,a是海面上一条南北方向的海防警戒线,在a上点A处有一个水声监测点,另两个监测点B,C分别在A的正东方20 km和54 km处.某时刻,监测点B收到发自静止目标P的一个声波信号,8 s后监测点A,20 s后监测点C相继收到这一信号,在当时气象条件下,声波在水中的传播速度是1.5 km/s.   (1)设A到P的距离为x km,用x表示B,C到P的距离,并求x的值; (2)求静止目标P到海防警戒线a的距离(精确到0.01 km). 【例1】 (1)平面上有A(2,-1),B(1,4),D(4,-3)三点,点C在直线AB上,且,连接DC并延长至点E,使||=|,则点E的坐标为________.  解析　∵, ∴).∴=2=(3,-6). ∴点C的坐标为(3,-6).由||=|,且E在DC的延长线上,∴=-. 设E(x,y),则(x-3,y+6)=-(4-x,-3-y), 得解得 即E. (2)如图所示,在正五边形ABCDE中,若=a,=b,=c,=d,=e,求作向量a-c+b-d-e. 解a-c+b-d-e =(a+b)-(c+d+e) =()-() = =. 如图,连接AC,并延长至点F,使CF=AC,则, 所以即所求作的向量a-c+b-d-e. 规律方法　1.向量加法是由三角形法则定义的,要点是“首尾相接”,即. 2.向量减法实质是向量加法的逆运算,是相反向量的作用. 3.数乘运算即通过实数与向量的乘积,实现同向或反向上向量长度的伸缩变换. 变式训练1如图所示,在△ABC中,,P是BN上的一点.若=m,则实数m的值为________.  解析　由已知得,=-+m=(m-1). =-. ∵共线,∴(m-1)+=0.∴m=. 【例2】 如图,在梯形ABCD中,AB∥CD,AB=4,AD=3,CD=2,=2.若=-3,则=　 .  解析　因为·(-)=-2-=-3, 所以. 变式训练2（多选题）在边长为1的菱形ABCD中,∠BAD=60°,E是BC的中点,则等于(　　) A. B. C. D. (2)设A,B,C,D为平面内的四点,且A(1,3),B(2,-2),C(4,1). ①若,求点D的坐标; ②设向量a=,b=,若ka-b与a+3b平行,求实数k的值. 解①设D(x,y).因为, 所以(2,-2)-(1,3)=(x,y)-(4,1), 即(1,-5)=(x-4,y-1). 所以解得所以D(5,-4). ②因为a==(2,-2)-(1,3)=(1,-5),b==(4,1)-(2,-2)=(2,3), 所以ka-b=k(1,-5)-(2,3)=(k-2,-5k-3),a+3b=(1,-5)+3(2,3)=(7,4). 因为ka-b与a+3b平行, 所以7(-5k-3)-4(k-2)=0,解得k=-. 变式训练3将本例(2)②中的“”改为“”,“平行”改为“垂直”,求实数k的值. 解 因为a==(1,-5),b==(3,-2),所以ka-b=(k-3,-5k+2),a+3b=(10,-11). 因为ka-b与a+3b垂直,所以(ka-b)·(a+3b)=10(k-3)-11(-5k+2)=65k-52=0, 解得k=. 【例4】 (1)已知向量a,b夹角为45°,且|a|=1,|2a-b|=,则|b|=________.  3 解析　因为向量a,b夹角为45°, 且|a|=1,|2a-b|=,所以,即4+|b|2-4|b|cos 45°=10,即|b|2-2|b|-6=0. 因为|b|≥0,解得|b|=3. (2)已知c=ma+nb,c=(-2,2),a⊥c,b与c的夹角为,b·c=-4,|a|=2,求实数m,n的值及a与b的夹角θ. 解∵c=(-2,2),∴|c|=4.∵a⊥c,∴a·c=0. ∵b·c=|b||c|cos=|b|×4×=-4, ∴|b|=2.∵c=ma+nb,∴c2=ma·c+nb·c. ∴16=n×(-4).∴n=-4. ∵c=ma+nb,∴a·c=ma2+na·b. ∴0=8m-4a·b. ① ∵c=ma+nb,∴b·c=ma·b+nb2.∴ma·b=12. ② 由①②,得m=±,∴a·b=±2. ∴cos θ==±,∴θ=. 规律方法　1.解决向量模的问题常用的策略 (1)应用公式|a|=(其中a=(x,y)). (2)应用三角形或平行四边形法则. (3)应用向量不等式||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|. (4)应用模的平方|a±b|2=(a±b)2. 2.求向量的夹角 设非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),两向量夹角θ(0≤θ≤π)的余弦值cos θ= . 变式训练4已知向量a=(1,2),b=(-2,-4),|c|=.若(c-b)·a=,则a与c的夹角为(　　) A.30° B.60° C.120° D.150° 解析　a·b=-10,则(c-b)·a=c·a-b·a=c·a+10=, 所以c·a=-.设a与c的夹角为θ, 则cos θ==-. 又θ∈[0°,180°],所以θ=120°. 【例5】 已知a,b,c分别为△ABC内角A,B,C的对边,且满足. (1)求角C; (2)若c=,a+b=,求△ABC的面积. 解(1)根据正弦定理,得,即a2-c2=ab-b2,由余弦定理c2=a2+b2-2abcos C,得cos C=, 因为C∈(0,π),所以C=. (2)因为c=,C=,根据余弦定理c2=a2+b2-2abcos C,得5=a2+b2-ab,即5=(a+b)2-3ab, 又a+b=,所以ab=2, 故△ABC的面积为absin C=×2×sin. 变式训练5[人教A版教材习题]已知a,b,c分别为△ABC三个内角A,B,C的对边,且acos C+asin C-b-c=0. (1)求A; (2)若a=2,则△ABC的面积为,求b,c. 解(1)因为acos C+asin C-b-c=0, 所以sin Acos C+sin Asin C-sin B-sin C=0. 所以sin Acos C+sin Asin C-sin(A+C)-sin C=0, sin Acos C+sin Asin C-sin Acos C-cos Asin C-sin C=0, sin C(sin A-cos A-1)=0. 因为sin C>0,所以sin A-cos A-1=0, 所以2sin(A-)=1,sin(A-)=. 因为-<A-,所以A-,所以A=. (2)因为S△ABC=bcsin A=, 所以bcsin, 所以bc=4.① 又a2=b2+c2-2bccos, 所以22=b2+c2-2bc×,② 由①②解得c=b=2. 解 设AB=x,因为AB垂直于地面, 所以△ABM,△ABN,△ABP均为直角三角形. 所以BM=x,BN==x. BP=x.在△MNB中,由余弦定理知 BM2=MN2+BN2-2MN·BNcos∠MNB, 在△PNB中,由余弦定理知 BP2=NP2+BN2-2NP·BNcos∠PNB, 又因为∠MNB与∠PNB互补,MN=NP=500, 所以3x2=250 000+x2-2×500x·cos∠MNB,① x2=250 000+x2-2×500x·cos∠PNB.② ①+②,得x2=500 000+2x2, 所以x=250或x=-250(舍去). 所以塔高为250 m. 解(1)由题意得PA-PB=1.5×8=12(km), PC-PB=1.5×20=30(km). ∴PB=(x-12) km,PC=(18+x) km. 在△PAB中,AB=20 km,cos∠PAB=. 同理可得cos∠PAC=. ∵cos∠PAB=cos∠PAC, ∴,解得x=. (2)作PD⊥a于点D,在Rt△PDA中, PD=PAcos∠APD=PAcos∠PAB=x·≈17.71(km). 所以静止目标P到海防警戒线a的距离为17.71 km. $$