1.1 向量课件-2024-2025学年高一下学期数学湘教版（2019）必修第二册

第1章　平面向量及其应用 1.1　向量 湘教版 数学 必修第二册 课 标 要 求 1.通过对位移的分析,了解向量的实际背景,理解平面向量的意义. 2.理解平面向量的几何表示和基本要素. 3.理解零向量、相反向量、相等向量的含义. 基础落实•必备知识全过关 重难探究•能力素养全提升 目录索引 成果验收•课堂达标检测 基础落实•必备知识全过关 知识点1　向量的概念及表示 2.向量 概念 像位移这样既有________又有________的量,在数学中称为向量  几何 表示 每个向量都可以用有向线段来表示.有向线段的方向和长度分别代表了向量的方向和大小 符号 表示 用粗体字母(印刷)或在字母上方标箭头(书写)来表示 大小 方向 名师点睛 有向线段与向量的区别和联系 区别 从定义上看,向量有大小和方向两个要素,而有向线段有起点、方向、长度三个要素.因此,这是两个不同的量.在空间中,有向线段是固定的线段,而向量是可以自由平移的 联系 有向线段是向量的表示,并不是说向量就是有向线段,每一条有向线段对应着一个向量,但每一个向量对应着无数多条有向线段 过关自诊 1.有下列物理量:①质量;②位移;③力;④加速度;⑤路程;⑥密度.其中不是向量的有(　　) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 C 解析　②③④既有大小,又有方向,是向量;①⑤⑥只有大小,没有方向,不是向量. 2.[北师大版教材习题]在平面直角坐标系xOy中有三点A(1,0),B(-1,2), C(-2,2).请用有向线段分别表示由A到B,由B到C,由C到A的位移. 解 如图, 知识点2　与向量有关的概念 名称 定义 记法 向量 的模 向量a的________,也就是向量a的长度,称为a的模  |a| 零向量 如果向量a的大小|a|=0,就称a是零向量 0 相等 向量 把________、长度相等的向量a,b称为相等向量  a=b 相反 向量 类似于相反数的定义,我们把长度相等、________的向量a,b称为相反向量  b=-a a=-b 大小 方向相同 方向相反 名师点睛 对向量概念的理解 (1)若用有向线段表示零向量,则其终点与始点重合. (2)要注意0与0的区别与联系:0是一个实数,0是一个向量,且有|0|=0;书写时 表示零向量,一定不能漏掉0上的箭头. (3)判断一组向量是否相等,关键是看这组向量是否方向相同、长度相等. (4)判断两个向量是否互为相反向量,关键是看这两个向量是否方向相反、长度相等. 过关自诊 1.设O是正方形ABCD的中心,则向量 是(　　) A.相等向量 B.相反向量 C.有相同起点的向量 D.模相等的向量 D 2.[人教A版教材习题]指出图中各向量的长度.(规定小方格的边长为0.5) 重难探究•能力素养全提升 探究点一 平面向量的相关概念 【例1】 已知下列说法:①若|a|=0,则a为零向量;②若|a|=|b|,则a=b;③两个有共同起点,而且相等的向量,其终点必相同.其中正确的有(　　) A.1个 B.2个 C.3个 D.0个 B 解析　①正确;②由|a|=|b|得a与b的模相等,但不确定方向,故②错误,③正确. 规律方法　明确向量及其相关概念的联系与区别 (1)区分向量与数量.向量既强调大小,又强调方向,而数量只与大小有关. (2)明确向量与有向线段的区别.有向线段有三要素,起点、方向、长度.只要起点不同,另外两个要素相同也不是同一条有向线段;但决定向量的要素只有两个,大小和方向,与表示向量的有向线段的起点无关. (3)零向量是通过模的大小来确定的,零向量的方向是任意的. (4)向量之间不能比较大小,但它们的模可以比较大小. 变式训练1给出以下说法:①直角坐标平面上的x轴、y轴都是向量;②零向量的长度为零,方向是任意的;③有向线段就是向量.其中正确说法的序号是________.  ② 解析　直角坐标平面上的x轴、y轴是数轴,但不是向量,故①错误;由零向量的定义可知②正确;有向线段可以用来表示向量,但它不是向量,故③错误. 探究点二 平面向量的表示 【例2】 在如图所示的坐标纸上(每个小方格的边长均为1),用直尺和圆规画出下列向量: 规律方法　 1.准确画出向量的方法是先确定向量的起点,再确定向量的方向,最后根据向量的大小确定向量的终点. 2.注意事项:在书写字母表示向量时不要忘记字母上的箭头. 变式训练2如图,B,C是线段AD的三等分点,分别以图中各点为起点和终点,可以写出________个向量.  12 探究点三 相等向量与相反向量 角度1.相等向量与相反向量的内在关系 【例3】 如图,D,E,F分别是△ABC各边的中点,四边形BCGF是平行四边形,以A,B,C,D,E,F,G七点中的任一点为起点,以与起点不同的另一点为终点的所有向量中,试分别写出与 共线及相等的向量. 角度2.向量在平面几何中的应用 规律方法　1.寻找相等向量:先找与表示已知向量的有向线段长度相等的向量,再确定哪些方向相同. 2.寻找相反向量:先找与表示已知向量的有向线段长度相等的向量,再确定哪些方向相反. 3.证明或判断线段相等,只需证明或判断相应向量的长度(模)相等. 常用结论:若 ,且A,B,C,D四点不共线,则四边形ABCD为平行四边形;若四边形ABCD为平行四边形,则 . 变式训练3如图,已知四边形ABCD,M,N分别是BC,AD的中点, 关于一道向量模的问题的辨析 【典例】 已知A1,A2,…,A8是圆O的八个等分点,则在以A1,A2,…,A8以及圆心这九个点中的任意两点为起点与终点的向量中,模等于半径长的向量有多少个?模等于半径长的 倍的向量有多少个? 以A1,A2,…,A8的一部分点为顶点的圆O的内接正方形有两个,一个是正方形A1A3A5A7,另一个是正方形A2A4A6A8.在所有的向量中,只有这两个正方形的边(看成有向线段,每一边对应两个向量)的长度为半径长的 倍,所以模为半径长的 倍的向量共有4×2×2=16(个). 成果验收•课堂达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A 级 必备知识基础练 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 BC 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 4.[2023江苏高一专题练习]在右图田字格中,以图中的结点为向量的起点或终点. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 B 级 关键能力提升练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 C 级 学科素养创新练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1.有向线段 质点从位置A运动到位置B,位置的改变称为位移,位移用带箭头的线段表示,其中箭头表示这条线段的方向是从A到B,像这样具有方向的线段,称为有向线段.位移的大小就是A到B的直线距离,记作|AB|,也就是有向线段的长度,也记作||. 有向线段表示由A到B的位移;有向线段表示由B到C的位移; 有向线段表示由C到A的位移. 解析　由正方形的性质知||=||=||=||. 解 ||=2,||=2.5,||=3,||==2. (1),使||=4,点A在点O北偏东45°方向; (2),使||=4,点B在点A正东方向; (3),使||=6,点C在点B北偏东30°方向. 解 如图中的. 解析　由向量的几何表示可知,可以写出12个向量,它们分别是. 解 与共线的向量:.与相等的向量:. 【例4】 如图所示,在四边形ABCD中,,N,M是AD, BC上的点,且. (1)求证:; (2)在以A,B,C,D,M,N这六点中任意两点为起点和终点的向量中,试写出图中向量的相反向量. (1)证明 因为,所以||=||,且AB∥CD. 因此四边形ABCD是平行四边形, 所以||=||,且DA∥CB. 同理由,可证四边形CNAM是平行四边形, 所以||=||.所以||=||,即的模相等. 又的方向相同,故. (2)解 图中向量的相反向量有. . 求证:. 证明 由可知AB=DC且AB∥DC, 所以四边形ABCD为平行四边形,从而. 又M,N分别是BC,AD的中点,于是, 所以AN=MC且AN∥MC. 所以四边形AMCN是平行四边形. 从而CN=MA且CN∥MA,即. 解 由于A1,A2,…,A8是圆O的八个等分点,所以八边形A1A2…A8是正八边形,模等于半径长的向量只有两类,一类是(i=1,2,…,8),共8个,另一类是(i=1,2,…,8),也有8个,两类合计16个. 规律方法　1.在模等于半径长的向量个数的计算中,要计算(i=1,2,…,8)与(i=1,2,…,8)两类,一般我们易想到(i=1,2,…,8)这8个,而易遗漏(i=1,2,…,8)这8个. 2.圆内接正方形的一边对应了长度为半径长的倍的两个向量.例如边A1A3对应向量.因此在解题过程中要防止漏算,认为满足条件的向量个数为8是错误的. 1.如图所示,在正三角形ABC中,P,Q,R分别是AB,BC,AC的中点,则与向量相等的向量是(　　) A. B. C. D. 解析 向量相等要求模相等,方向相同,因此都是和相等的向量. 2.如图,在四边形ABCD中,O为两条对角线的交点,且,则必有(　　) A. B. C. D. 解析 ∵在四边形ABCD中,,∴AB=CD,AB∥CD,∴四边形ABCD为平行四边形,∴. 3.(多选题)下列说法正确的是(　　) A.若,则A,B,C,D四点是平行四边形的四个顶点 B.在平行四边形ABCD中,一定有 C.若a=b,b=c,则a=c D.两个向量,当且仅当它们的起点相同、终点相同时才相等 解析 当时,A,B,C,D也可能在一条直线上,所以选项A错误; 在平行四边形ABCD中,对边平行且相等,的方向相同,所以,选项B正确; 由向量相等的定义知,当a=b,b=c时,有a=c,所以选项C正确; 两个向量相等只要模相等且方向相同即可,而与起点和终点的位置无关,所以选项D错误. 故选BC. (1)写出与相等的向量; (2)写出与平行的非零向量. 解(1)与相等的向量有. (2)与平行的非零向量有. 5.如图,A1,A2,…,A8是圆O上的八个等分点,则在以A1,A2,…,A8以及点O这九个点中任意两点为起点与终点的向量里,模等于圆半径的向量有多少个?模等于圆半径 倍的向量有多少个? 解 由题图可知,模等于圆半径的向量为(i=1,2,…,8),共16个; 题图中两个正方形的每条边对应了2个模等于圆半径 倍的向量,故共16个模等于圆半径 倍的向量. 6.如图所示,B,C是线段AD的三等分点,分别以图中各点为起点或终点,与相等的向量是　　　　　. 解析 设线段AD的长度为3,则||=2,与的方向相同且模等于2的向量仅有. 7.如图所示,在等腰梯形ABCD中,对角线AC与BD交于点P,点E,F分别在两腰AD,BC上,EF过点P,且EF∥AB,则下列等式成立的是(　　) A. B. C. D. 解析 的方向不同,故A错误;的方向不同,故B错误;的方向相反,故C错误;由等腰梯形的性质,知P为线段EF的中点,故的方向相同,且长度都等于EF长度的一半,故D正确. 8.已知在四边形ABCD中,,且||=||,tan D=,判断四边形ABCD的形状. 解 ∵在四边形ABCD中,,∴AB􀱀DC, ∴四边形ABCD是平行四边形. ∵tan D=,∴∠B=∠D=60°. 又||=||, ∴△ABC是等边三角形. ∴AB=BC,故四边形ABCD是菱形. 9.如图所示的方格纸由若干个边长为1的小正方形组成,方格纸中有两个定点A,B,点C为小正方形的顶点,且||=. (1)画出所有的向量; (2)求||的最大值与最小值. 解(1)画出所有的向量如图所示. (2)由(1)所画的图知, ①当点C位于点C1或C2时,||取得最小值; ②当点C位于点C5或C6时,||取得最大值. ∴||的最大值为,最小值为. $$