精品解析：广东省佛山市顺德区华侨中学2023-2024学年高一下学期期末热身考试数学试卷

顺德区华侨中学2023级高一第二学期 期期末热身考数学学科试卷 本试卷共4页，19小题．满分150分．考试用时120分钟． 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 在复平面内，复数（其中i为虚数单位）对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 对于任意的平面向量，下列说法中正确的是（ ） A. 若且，则 B. 若，且，则 C. D. 在上的投影向量为 3. 已知，则（ ） A. B. C. D. 4. 在中，角的对边分别为，向量，，若，则一定是（ ） A. 锐角三角形 B. 等腰三角形 C. 直角三角形 D. 等腰三角形或直角三角形 5. 已知一组正数的方差为，则另一组数据，的平均数为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 6. 正方体中，分别是的中点，则直线与直线所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 7. 如图所示，六氟化硫分子结构是六个氟原子处于顶点位置，而硫原子处于中心位置的正八面体，也可将其六个顶点看作正方体各个面的中心点．若正八面体的表面积为，则正八面体外接球的体积为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在直角坐标系内，角的终边与单位圆交于点，逆时针旋转得，逆时针旋转得，…，逆时针旋转得，则点的横坐标为（ ） A B. C. D. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分.共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，不分选对的得都分分，有选错的得0分） 9. 在中，角对边分别为，则（      ） A. 若，则恰有1解 B. 若，则为直角三角形 C. 若，则为锐角三角形 D. 若，则 10. 如图为某新能源汽车企业2015—2022年及2023年1～9月份的营业额（单位：亿元）、净利润（单位：亿元）及2015—2022年营业额的增长率的统计图．已知2023年第二、三、四季度的净利润相比上季度均增长，则下列结论正确的是（ ） A. 年营业额逐年增加 B. 2022年的净利润超过年净利润的总和 C. 年营业额的增长率最大的是2022年 D. 2023年第四季度的净利润比第一季度的净利润多30多亿元 11. 在直三棱柱中，，且，为线段上动点，则（ ） A. B. 三棱锥的体积不变 C. 的最小值为 D. 当是的中点时，过三点的平面截三棱柱外接球所得的截面面积为 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 如图所示，水平放置的的斜二测直观图是图中的，已知，则的面积为__________. 13. 如图，在中，，为的中点．将沿翻折，使点移动至点，在翻折过程中，当时，三棱锥的内切球的表面积为_________． 14. 在中，内角，，所对的边分别为，，，若，则的取值范围是______． 四、解答题（本题共5小题，共77分．解题时请写出解答过程及演算步骤） 15. 在中，角的对边分别为，已知 （1）求； （2）若为锐角三角形，且边，求面积的取值范围. 16. 某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：，得到如图所示的频率分布直方图． （1）求频率分布直方图中a的值； （2）求样本成绩； （3）已知落在的平均成绩是54，方差是7，落在的平均成绩为66，方差是4，求两组成绩的总平均数和总方差． 17. 已知向量，函数，． （1）当时，求值； （2）若的最小值为﹣1，求实数m的值； （3）是否存在实数m，使函数，有四个不同的零点？若存在，求出m的取值范围；若不存在，说明理由． 18. 如图，四边形与均为菱形，，，，记平面与平面的交线为． （1）证明：； （2）证明：平面平面； （3）记平面与平面夹角为，若正实数，满足，，证明：． 19. 定义三边长分别为，，，则称三元无序数组为三角形数．记为三角形数的全集，即． （1）证明：“”是“”的充分不必要条件； （2）若锐角内接于圆O，且，设． ①若，求； ②证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 顺德区华侨中学2023级高一第二学期 期期末热身考数学学科试卷 本试卷共4页，19小题．满分150分．考试用时120分钟． 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 在复平面内，复数（其中i为虚数单位）对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】A 【解析】 【分析】根据复数的乘法运算求出复数，再根据复数的几何意义即可得解. 【详解】解：， 则对应点的坐标为，位于第一象限. 故选：A. 2. 对于任意的平面向量，下列说法中正确的是（ ） A. 若且，则 B. 若，且，则 C. D. 在上的投影向量为 【答案】D 【解析】 【分析】选项A，时，不共线时，，得不出； 选项B，根据条件得出，不能得出； 选项C，根据数量积的定义判断即可； 选项D，根据投影向量的定义，判断即可． 【详解】对于A，时，不共线时，满足，不能得出，选项A错误； 对于B，因为，所以，且， 所以，不能得出，选项B错误； 对于C，根据向量数量积的定义知，与不一定相等，与不一定共线，所以不成立，选项C错误； 对于D，在上的投影向量为，选项D正确． 故选：D. 3. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由，再结合诱导公式和余弦倍角公式即可求解. 【详解】 ， 故选：C 4. 在中，角的对边分别为，向量，，若，则一定是（ ） A. 锐角三角形 B. 等腰三角形 C. 直角三角形 D. 等腰三角形或直角三角形 【答案】D 【解析】 【分析】根据向量垂直的坐标表示得，再根据正弦定理边化角以及二倍角的正弦公式可得，根据为三角形的内角可得，或，进一步可得答案. 【详解】因，所以， 所以，由正弦定理可知，所以． 又，且，所以，或， 所以，或． 则是等腰三角形或直角三角形． 故选：D． 【点睛】本题考查了平面向量垂直的坐标表示，考查了正弦定理，二倍角的正弦公式，属于基础题. 5. 已知一组正数的方差为，则另一组数据，的平均数为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，求得，结合数据平均数的性质，即可求解. 【详解】由， 可得且，所以， 故数据的平均数为． 故选：B． 6. 正方体中，分别是的中点，则直线与直线所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先通过平移将异面直线的所成角转化为相交直线的所成角，在三角形内利用余弦定理即可求得 【详解】 如图，取的中点，再取的中点，连接，因点是的中点，易证,可得， 又因点是中点，故，则，故直线与直线所成角即直线与直线所成角. 不妨设正方体棱长为4，在中，， 由余弦定理，，即直线与直线所成角的余弦值为. 故选：C. 7. 如图所示，六氟化硫分子结构是六个氟原子处于顶点位置，而硫原子处于中心位置的正八面体，也可将其六个顶点看作正方体各个面的中心点．若正八面体的表面积为，则正八面体外接球的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据正八面体的结构特征结合条件可得外接球的半径，进而由球的体积公式即得体积． 【详解】如图正八面体，连接和交于点， 因为，， 所以，，又和为平面内相交直线， 所以平面，所以为正八面体的中心， 设正八面体的外接球的半径为，因为正八面体的表面积为，所以正八面体的棱长为， 所以， 则． 故选：B． 8. 如图，在直角坐标系内，角的终边与单位圆交于点，逆时针旋转得，逆时针旋转得，…，逆时针旋转得，则点的横坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据余弦值的定义，结合诱导公式求解即可 【详解】由题意，，故，由诱导公式且，有，即点的横坐标为 故选：B 二、多选题（本题共3小题，每小题6分.共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，不分选对的得都分分，有选错的得0分） 9. 在中，角的对边分别为，则（      ） A. 若，则恰有1解 B. 若，则为直角三角形 C. 若，则为锐角三角形 D. 若，则 【答案】BD 【解析】 【分析】由正弦定理，求得两解，可判定A错误；化简得到，可判定B正确；由正弦定理化角为边，再由余弦定理求得，可判定C错误；由正弦定理结合余弦定理，求得，可判定D正确. 【详解】对A中，因为，由正弦定理，可得， 因为，所以有两解，所以A错误； 对B中，因为，所以，可得， 因为，所以，故，所以B正确； 对C中，由，可得， 即，则，所以，可得为钝角，所以C错误； 对D中，由余弦定理知， 因为，可得， 又由正弦定理可得， 因为，可得， 所以， 可得，又因为，且， 所以，即，所以D正确. 故选：BD 10. 如图为某新能源汽车企业2015—2022年及2023年1～9月份的营业额（单位：亿元）、净利润（单位：亿元）及2015—2022年营业额的增长率的统计图．已知2023年第二、三、四季度的净利润相比上季度均增长，则下列结论正确的是（ ） A. 年营业额逐年增加 B. 2022年的净利润超过年净利润的总和 C. 年营业额的增长率最大的是2022年 D. 2023年第四季度的净利润比第一季度的净利润多30多亿元 【答案】BC 【解析】 【分析】根据图中营业额即可判断A；计算年总利润和2022净利润比较即可判断B；根据图中增长率大小即可判断C；根据等比数列求和公式即可判断D. 【详解】选项A：2019年的营业额低于2018年，A错误． 选项B：2022年的净利润为166.2亿元， 年的净利润的总和为（亿元），，B正确． 选项C：年营业额的增长率最大的是2022年，C正确． 选项D：设2023年第一季度的净利润为亿元，则第四季度的净利润为， 则，得， 故2023年第四季度的净利润比第一季度的净利润多21.37亿元，D错误． 故选：BC. 11. 在直三棱柱中，，且，为线段上的动点，则（ ） A. B. 三棱锥的体积不变 C. 的最小值为 D. 当是的中点时，过三点的平面截三棱柱外接球所得的截面面积为 【答案】ABD 【解析】 【分析】由线面垂直证明线线垂直证明选项A；，由底面积和高判断体积验证选项B；转化为点和点到点的距离之和，计算验证选项C；通过构造直角三角形求截面半径，计算体积验证选项D. 【详解】连接，如图所示， 直三棱柱中，， 为正方形，， ，平面，平面，， 平面，，平面， 平面，，A选项正确； 由直三棱柱的结构特征，，故三棱锥的体积为定值，B选项正确； 设，，， ， ， ，其几何意义是点和点到点的距离之和，最小值为点到点的距离，为，C选项错误； 当是的中点时，，，， ， ，， ，设点到平面的距离为，由， 得，， 直三棱柱是正方体的一半，外接球的球心为的中点，外接球的半径，点到平面的距离为， 则过三点的平面截三棱柱外接球所得截面圆的半径为，截面面积为，D选项正确. 故选：ABD 【点睛】方法点睛： 对于线面位置关系的判定中，熟记线面平行与垂直、面面平行与垂直的定理是关键；与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，通过构造直角三角形求半径. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 如图所示，水平放置的的斜二测直观图是图中的，已知，则的面积为__________. 【答案】 【解析】 【分析】还原图形即可求出面积. 【详解】由已知得的原图如下： 其中， 所以. 故答案为：. 13. 如图，在中，，为的中点．将沿翻折，使点移动至点，在翻折过程中，当时，三棱锥的内切球的表面积为_________． 【答案】 【解析】 【分析】设内切球半径为，三棱锥表面积为，根据三棱锥体积求出，然后由球的表面积公式可得. 【详解】因为，，所以，， 当时，，因为，， 所以平面，，， ， 则三棱锥的表面积为， 设内切球半径为，则由等体积法知， 解得，所以内切球的表面积． 故答案为： 14. 在中，内角，，所对的边分别为，，，若，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据二倍角公式可得，即，根据角的范围可得，，，故.由正弦定理、同角三角函数的基本关系及二倍角公式可得，换元，结合对勾函数的性质即可求解. 【详解】由题意可得，故， 即， 因为,所以， 因为，所以或， 即或，即或. 若，则，则无意义，故. 又，所以，即. 因为，所以,，， 所以，解得，故. 由正弦定理可得 ， 令，则. 设， 由对勾函数的性质可得在上单调递增， 所以，即. 故答案为:. 四、解答题（本题共5小题，共77分．解题时请写出解答过程及演算步骤） 15. 在中，角的对边分别为，已知 （1）求； （2）若为锐角三角形，且边，求面积的取值范围. 【答案】(1) ；(2) 【解析】 【详解】解：（1），即 可得， ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ 由，可得； （2）因为是锐角三角形，又，所以， 则． 因为，所以，则， 从而，故面积的取值范围是． 【点睛】本题主要考查正弦定理余弦定理解三角形，考查三角形面积的取值范围的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题. 16. 某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：，得到如图所示的频率分布直方图． （1）求频率分布直方图中a的值； （2）求样本成绩的； （3）已知落在的平均成绩是54，方差是7，落在的平均成绩为66，方差是4，求两组成绩的总平均数和总方差． 【答案】（1）； （2）84； （3）总平均数是62，总方差是37． 【解析】 【分析】（1）根据频率之和为1列式即可得解. （2）根据频率分布直方图先明确样本成绩的所在的范围，再结合已知数据即可求解. （3）先分别求出成绩落在和内的人数，再根据平均数定义和分层随机抽样的方差公式即可求解. 【小问1详解】 由频率之和为1得， 解得． 小问2详解】 因为成绩落在内的频率为 落在内的频率为 所以样本成绩的落在范围内， 设m，则，解得， 故为84. 【小问3详解】 由图可知，成绩在内的市民人数为， 成绩在内的市民人数为， 故． ， 所以两组市民成绩总平均数是62，总方差是37． 17. 已知向量，函数，． （1）当时，求的值； （2）若的最小值为﹣1，求实数m的值； （3）是否存在实数m，使函数，有四个不同的零点？若存在，求出m的取值范围；若不存在，说明理由． 【答案】（1） （2） （3）存在， 【解析】 【分析】（1）利用向量数量积的公式化简函数即可． （2）求出函数的表达式，利用换元法结合一元二次函数的最值性质进行讨论求解即可． （3）由得到方程的根，利用三角函数的性质进行求解即可． 【小问1详解】 ， 当时，， 则； 【小问2详解】 ∵， ∴， ∴， 则， 令，则， 则，对称轴， ①当，即时， 当时，函数取得最小值，此时最小值，得（舍）， ②当，即时， 当时，函数取得最小值，此时最小值，得或（舍去）， ③当，即时， 当时，函数取得最小值，此时最小值，得（舍）， 综上：若的最小值为﹣1，则实数． 【小问3详解】 令，得或， ∴方程或在上有四个不同的实根， 则，解得，则， 即实数m的取值范围是． 18. 如图，四边形与均为菱形，，，，记平面与平面的交线为． （1）证明：； （2）证明：平面平面； （3）记平面与平面夹角为，若正实数，满足，，证明：． 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）通过线面平行的性质定理进行转化求解即可； （2）通过图形关系证明，，然后得到线面垂直，再证明面面垂直即可； （3）首先通过几何图形关系得到即为平面与平面的夹角，得到角度后，通过基本不等式或三元均值不等式转化证明即可. 【小问1详解】 因为为菱形，所以， 因为平面，平面，所以平面， 又因为平面，平面平面，所以. 【小问2详解】 连接交于点，连接， 因为为菱形，所以，为中点， 因为，所以， 又因为平面，，所以平面， 因为平面，所以平面平面 【小问3详解】 因为为菱形，，， 所以，， 又因为为菱形，所以， 因为，，所以， 所以，所以，即， 又因为，平面，，所以平面， 又由（1）知，所以平面， 所以即为平面与平面的夹角， 在直角中，，所以， 所以平面与平面夹角的大小为， 因为，所以， 两式相加得，， 下面证明：①；②；且等号不同时取； 法一：基本不等式 因为 当且仅当时取等号，所以， 同理（当且仅当取等号） 所以，即， 所以 法二：三元均值不等式 当且仅当时取等号，所以， 同理（当且仅当取等号） 所以，即， 所以. 【点睛】思路点睛：本题考查立体几何与基本不等式的综合问题.立体几何要通过性质定理和判定定理进行图形关系的转化，不等式证明问题需要联系常用的基本不等式，将形式进行转化进而求解. 19. 定义三边长分别为，，，则称三元无序数组为三角形数．记为三角形数的全集，即． （1）证明：“”是“”的充分不必要条件； （2）若锐角内接于圆O，且，设． ①若，求； ②证明：． 【答案】（1）证明见解析 （2）①；②证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据三角形两边之和大于第三边证明充分性，再举反例说明推不出即可； （2）①将代入，通过移项平方得出和的余弦值，进而得到正弦值，再利用三角形面积公式即可得到面积比； ②通过移项平方得到，再通过得出，同理可得出，，再根据满足三角形两边之和大于第三边，两边之差的绝对值小于第三边即可得出. 【小问1详解】 ，则，即， ∴，即， 同理可得，， 则成立， 取，则为等腰直角三角形的三边， 但，，不能为三角形的三边， 故推不出， ∴“”是“”的充分不必要条件． 【小问2详解】 ①，则， ∴， 又因为，∴， 而均为三角形内角，∴， 记， ∴； ②由， ∴， ∴， ∵，即， ∴， ∴， 同理得，， ∴x，y，z可组成三角形，∴. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$