第11讲 弧长及扇形的面积-【帮课堂】2024-2025学年九年级数学上册同步学与练（苏科版）

第11讲 弧长及扇形的面积 课程标准 学习目标 1 理解弧长和扇形面积的计算公式； 2 能运用公式进行计算； 3 体会转化思想在解决问题中的应用。 1. 掌握弧长和扇形面积的计算方法； 2. 能够灵活运用公式解决实际问题。 知识点一、弧长公式 1.弧长公式 如图所示，若把圆周长看作是360°的圆心角所对的弧长，其长度为，那么的圆心角所对的弧长公式为（弧是圆的一部分）； 在半径为R的圆中，弧长与所对的圆心角度数之间的关系：. 弧长公式所涉及的三个量：弧长、圆心角度数、弧所在圆的半径，知道其中的两个量就可以求出第三个量. 知识点二、扇形及扇形面积公式 1.扇形：由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形； 2.扇形的面积公式： 在半径为的圆中： （1）360°的圆心角所对的扇形面积(圆面积)公式； （2）的圆心角所对的扇形面积公式. 题型01 求弧长 1．如图，在半径为6的⊙O中，弦AB⊥CD于点E，若∠A＝30°，则的长为（　　） A．8π B．5π C．4π D．6π 【分析】连接OA、OC，根据直角三角形的性质求出∠ADC，根据圆周角定理求出∠AOC，再根据弧长公式计算吗，得到答案． 【解答】解：连接OA、OC， ∵AB⊥CD，∠A＝30°， ∴∠ADC＝90°﹣∠A＝60°， 由圆周角定理得：∠AOC＝2∠ADC＝120°， ∴的长为：4π， 故选：C． 【点评】本题考查的是弧长的计算，掌握弧长公式、圆周角定理是解题的关键． 2．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝40°，AB＝6，斜边AB是半圆O的直径，点D是半圆上的一个动点，连接CD与AB交于点E，若BE＝BC时，弧BD的长为（　　） A． B． C． D． 【分析】根据BE＝BC求出∠BOD，利用弧长公式求解即可． 【解答】解：如图1，当BE＝BC时， ∵BE＝BC，∠ABC＝40°， ∴∠BCE＝∠BEC（180°﹣40°）＝70°， ∴∠BOD＝2∠BCE＝140°， ∴弧BD的长π． 故选：B． 【点评】本题考查弧长公式，圆周角定理，等腰三角形的性质，三角形内角和定理等知识，解题的关键是根据圆周角定理求出∠BOD＝140°． 3．如图，点A，B，C在半径为4的⊙O上，AC∥OB．若∠AOB＝130°，则长为 　 　． 【分析】连接CO，根据平行线的性质求出∠A＝50°，再根据等腰三角形的性质、平行线的性质求出∠COB＝50°，最后根据弧长公式即可求解． 【解答】解：如图，连接OC， ∵AC∥OB， ∴∠A+∠AOB＝180°，∠C＝∠BOC， ∵∠AOB＝130°， ∴∠A＝50°， ∵OA＝OC， ∴∠A＝∠C＝50°， ∴∠COB＝50°， ∴的长为π． 故答案为：π． 【点评】本题考查了弧长的计算，掌握弧长计算公式是解题的关键． 4．如图，点A、B、C在半径为1的⊙O上，∠ACB＝70°，则的长等于 　 　. 【分析】根据圆周角定理求出∠AOB，再根据弧长公式计算，得到答案． 【解答】解：∵∠ACB＝70°， ∴∠AOB＝2∠ACB＝140°， ∴的长为：， 故答案为：． 【点评】本题考查的是弧长计算、圆周角定理，熟记弧长公式是解题的关键． 题型02 求扇形半径 1．已知扇形的弧长为6πcm，该所对圆心角为90°，则此扇形的半径为（　　） A．3cm B．6cm C．12cm D．18cm 【分析】利用弧长公式直接求出扇形的半径r． 【解答】解：设扇形的半径为r cm， 由题意：6π， ∴r＝12． 故选：C． 【点评】本题考查弧长公式，解题的关键是熟记弧长公式，属于中考常考题型． 2．已知扇形的圆心角是120°，扇形弧长是20π，则扇形的半径＝　 　． 【分析】根据扇形弧长的计算公式可以求得扇形的半径，从而可以解答本题． 【解答】解：设扇形的半径为r， ， 解得，r＝30， 故答案为：30． 【点评】本题考查弧长的计算，解题的关键是明确弧长的计算公式． 3．若一个扇形的圆心角为45°，弧长为，则这个扇形的半径为 　 　． 【分析】根据弧长公式求解即可． 【解答】解：设半径为r， ∵π， ∴r＝4． 故答案为：4． 【点评】本题考查了弧长的计算．解题时，主要是根据弧长公式列出关于半径r的方程，通过解方程即可求得r的值． 题型03 求圆心角 1．一个扇形的半径是3，面积为6π，那么这个扇形的圆心角是（　　） A．260° B．240° C．140° D．120° 【分析】设这个扇形的圆心角是n°，根据，求出这个扇形的圆心角为多少即可． 【解答】解：设这个扇形的圆心角是n°， 由题意得， ∴n＝240， ∴这个扇形的圆心角为240度． 故选：B． 【点评】此题主要考查了扇形的面积的计算方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：设圆心角是n°，圆的半径为r的扇形面积为S，则． 2．若扇形半径为4，弧长为2π，则该扇形的圆心角为 　 　． 【分析】利用弧长公式求解即可． 【解答】解：设圆心角为n°．则有2π， ∴n＝90， 故答案为：90°． 【点评】本题考查弧长公式，解题的关键是记住弧长l． 3．将一个半径为3的圆形纸片，沿着两条半径剪开形成两个扇形，若其中的一个扇形的面积是6π，则另一个扇形的圆心角的度数是　 　． 【分析】根据扇形面积求得面积是6π的扇形的圆心角，进而即可求得另一个扇形的圆心角的度数． 【解答】解：∵一个扇形的面积是6π，半径为3， ∴6π， 解得n＝240°， ∴另一个扇形的圆心角的度数是360°﹣240°＝120°， 故答案为120°． 【点评】本题考查了扇形的面积，熟记扇形公式S是解题的关键． 4．一个扇形的弧长是10πcm，面积是60πcm2，则此扇形的圆心角的度数是 　 　． 【分析】利用扇形面积公式1求出R的值，再利用扇形面积公式2计算即可得到圆心角度数． 【解答】解：∵一个扇形的弧长是10πcm，面积是60πcm2， ∴SRl，即60πR×10π， 解得：R＝12， ∴S＝60π， 解得：n＝150°， 故答案为：150°． 【点评】此题考查了扇形面积的计算，以及弧长的计算，熟练掌握扇形面积公式是解本题的关键． 题型04 求弧形轨迹长度 1．为纪念北京奥运会成功举办，国务院批准从2009年起，将每年8月8日设置为“全民健身日”．因为为了认真发展体育运动，增强人民体质，贯彻执行《中华人民共和国体育法》，网上各种健身项目层出不穷．如图是侧抬腿运动，可以保证全身得到锻炼!已知小敏大腿根部距脚尖90cm，即OA＝90cm，当其完成图中一次动作时，脚尖划过的轨迹长度为（　　）cm． A． B． C．45π D． 【分析】根据弧长公式L，代入数据计算即可． 【解答】解；根据弧长公式L，n＝45°，r＝90代入公式得： L． 故选：A． 【点评】本题考查了弧长计算，熟练掌握弧长公式是关键． 2．如图1，扇形AOB中，OA＝10，∠AOB＝36°．若固定B点，将此扇形依顺时针方向旋转，得一新扇形A′O′B，其中A点在O′B上，如图2所示，则O点旋转至O′点所经过的运动轨迹长度为（　　） A．π B．2π C．3π D．4π 【分析】根据弧长公式，此题主要是得到∠OBO′的度数．根据等腰三角形的性质即可求解． 【解答】解：根据题意，知OA＝OB． 又∵∠AOB＝36°， ∴∠OBA＝72°． ∴点旋转至O′点所经过的运动轨迹长度4π． 故选：D． 【点评】此题综合运用了等腰三角形的性质和弧长公式． 3．如图，钟面上分针的长为1，从12点到12点45分，分针针尖在钟面上走过的轨迹长度 　 　． 【分析】分针针尖在钟面上走过的轨迹为圆弧，从12点到12点45分走了圆周长的四分之三，由此计算即可． 【解答】解：由题意知，从12点到12点45分，分针针尖在钟面上走了圆周长的四分之三， 因此分针针尖在钟面上走过的轨迹长度为：， 故答案为：． 【点评】本题考查弧长公式，熟练掌握弧长公式是解题的关键． 题型05 扇形面积有关的计算 1．如图，正方形ABCD的边长为8，以BC为直径的半圆O交对角线BD于点E，则阴影部分的面积是（　　） A．8﹣π B．16﹣2π C．16﹣4π D．32﹣4π 【分析】据图形可得，阴影部分的面积等于三角形BCD的面积减去扇形OCE的面积，代入面积公式进行计算即可． 【解答】解：∵四边形ABCD为正方形， ∴BC＝CD＝8， ∴OC＝4， ∴S阴影＝S△BCD﹣S扇形OCE8×832﹣4π． 故选：D． 【点评】本题考查了扇形面积的计算，正方形的性质，解题的关键是修改利用分割法求阴影部分面积． 2．如图，折扇的骨柄OA长为7，折扇扇面宽度AB是折扇骨柄长的，折扇张开的角度为120°，则这把折扇扇面面积为（　　） A． B． C． D． 【分析】先求出OB的长，再根据折扇的扇面面积是两个扇形面积的差即可得出结论． 【解答】解：∵折扇扇面宽度AB是折扇骨柄长的，骨柄OA长为7， ∴AB＝74， ∴OB＝7﹣4＝3， ∴S扇面π， 故选：C． 【点评】本题考查的是扇形面积的计算，熟记扇形的面积公式是解答此题的关键． 3．如图，在半径为2，圆心角为90°的扇形内，以OB为直径作半圆交AB于点D，连接OD，则阴影部分的面积是（　　） A． B． C．π﹣2 D．π﹣1 【分析】先根据题意可知OA＝OB＝2，∠AOB＝∠ODB＝90°，从而证明OD＝BD，最后根据阴影部分的面积＝扇形AOB的面积﹣△AOB的面积，进行解答即可． 【解答】解：由题意可知：OA＝OB＝2，∠AOB＝90°， ∴∠ABO＝∠BAO＝45°， ∵OB为直径， ∴∠ODB＝90°， ∴∠DOB＝∠DBO＝45°， ∴OD＝BD， ∴弓形OD的面积＝弓形BD的面积， ∴阴影部分的面积 ＝扇形AOB的面积﹣△AOB的面积 ＝π﹣2， 故选：C． 【点评】本题主要考查了扇形面积的计算，解题关键是正确结合图形得出阴影部分的面积＝扇形AOB的面积﹣△AOB的面积． 4．如图，在正方形ABCD中，先以点B为圆心，AB长为半径画弧，再以CD为直径作半圆O，交前弧于点E，连接CE，DE．若AB＝10，则图中阴影部分的面积为（　　） A． B．25π﹣10 C． D．25π﹣20 【分析】作BH⊥CE于H，利用垂径定理可得EH＝CHCE，利用圆周角定理得到∠CED＝90°，然后通过证得△BCH≌△CDE（AAS），得出DE，设DE＝x，CE＝2x，根据勾股定理得出x2＝20，然后根据S阴影＝S半圆CED﹣S△CED即可求解． 【解答】解：如图，作BH⊥CE于H，则EH＝CHCE， ∵CD是直径， ∴∠CED＝90°， ∴∠ECD+∠EDC＝90°， ∵∠BCD＝90°， ∴∠BCH+∠ECD＝90°， ∴∠EDC＝∠BCH， ∵BC＝CD，∠BHC＝∠CED＝90°， ∴△BCH≌△CDE（AAS）， ∴DE＝CH， ∴DE 设DE＝x，CE＝2x， 在Rt△CDE中，由勾股定理得， DE2+CE2＝CD2， 即x2+（2x）2＝102， ∴x2＝20， ∴S△CEDx2＝20， ∴S阴影＝S半圆CED﹣S△CED20， 故选：A． 【点评】本题考查扇形面积的计算，正方形的性质，垂径定理，圆周角定理，掌握垂径定理，正方形的性质以及全等三角形的判定和性质是正确解答的关键． 1．如图，在⊙O中，点A、B、C在圆上，∠ACB＝45°，⊙O的半径的长为2，则劣弧AB的长是（　　） A．2π B．π C． D． 【分析】先根据圆周角定理可得出∠AOB＝90°，再根据弧长公式计算即可． 【解答】解：∵∠ACB＝45°， ∴∠AOB＝2∠ACB＝90°， ∵⊙O的半径是2， ∴劣弧AB的长是π． 故选：B． 【点评】本题考查了弧长的计算以及圆周角定理，解题关键是掌握弧长公式． 2．如图，以半圆O的直径AB为边向上作正方形ABCD，连接AC交半圆弧于点E，若AB＝10，则图中阴影部分的面积为（　　） A．π B．50π C．π D．25π 【分析】连接OE，根据正方形的性质和扇形的面积公式以及三角形的面积公式即可得到结论． 【解答】解：如图，连接OE． ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝BC，∠ABC＝90°， ∴∠BAC＝∠BCA＝45°， ∴S扇形OBEπ•（）2π，S△AOEAO•OE， ∴S阴＝S△ABC﹣S扇形OBE﹣S△AOE 10×10π π， 故选：A． 【点评】本题考查了扇形的面积的计算，正方形的性质，正确地作出辅助线是解题的关键． 3．如图，将⊙O沿弦AB折叠，恰好经过圆心O，若⊙O的半径为3，则的长为（　　） A．12π B．π C．2π D．3π 【分析】连接OA、OB，作OC⊥AB于C，根据翻转变换的性质得到OCOA，根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理求出∠AOB，根据弧长公式计算即可． 【解答】解：连接OA、OB，作OC⊥AB于C， 由题意得，OCOA， ∴∠OAC＝30°， ∵OA＝OB， ∴∠OBA＝∠OAC＝30°， ∴∠AOB＝120°， ∴劣的长2π， 故选：C． 【点评】本题考查的是弧长的计算、直角三角形的性质、翻转变换的性质，掌握弧长公式是解题的关键． 4．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠B＝58°，∠ACD＝40°．若⊙O的半径为5，则的长为（　　） A． B． C．π D． 【分析】根据圆周角的性质，计算出弧DC所对的圆心角度数，按照公式求出弧长即可． 【解答】解：连接OA、OD、OC， ∵∠B＝58°，∠ACD＝40°． ∴∠AOC＝2∠B＝116°，∠AOD＝2∠ACD＝80°， ∴∠DOC＝36°， ∴π． 故选：C． 【点评】本题考查了弧长的计算和圆周角定理，同弧所对的圆周角是圆心角的一半． 5．如图，在△ABC中，∠A＝30°，∠C＝45°，BC＝2，则的长度为（　　） A． B． C．π D．2π 【分析】根据题意和图形，可以求得∠AOB和∠BOC的度数，从而可以得到OB的长，然后根据弧长公式即可求得的长度． 【解答】解：连接OA、OB、OC，如图所示， ∵∠CAB＝30°，∠ACB＝45°， ∴∠BOC＝60°，∠AOB＝90°， ∵OB＝OC，BC＝2， ∴△OBC是等边三角形， ∴OB＝2， ∴的长度为：π， 故选：C． 【点评】本题考查弧长的计算、等边三角形的判定与性质、圆周角、圆心角，解答本题的关键是求出OB的长和∠AOB的度数． 6．如图，正方形ABCD的边长为2，将长为2的线段QR的两端放在正方形的相邻的两边上同时滑动、如果Q点从A点出发，沿图中所示方向按A⇒B⇒C⇒D⇒A滑动到A止，同时点R从B点出发，沿图中所示方向按B⇒C⇒D⇒A⇒B滑动到B止，在这个过程中，线段QR的中点M所经过的路线的长为　 　． 【分析】根据直角三角形的性质，斜边上的中线等于斜边的一半，可知：点M到正方形各顶点的距离都为1，故点M所走的运动轨迹为以正方形各顶点为圆心，以1为半径的四个扇形，点M所经过的路线为半径为1圆的周长，求出即可． 【解答】解：连接BM， 当Q在A、B之间运动时，QR及B点形成直角三角形， ∵M为QR中点， ∴总有BMQR＝1， ∴M点的运动轨迹是以点B为圆心的四分之一圆． 同理，当Q在B、C之间运动时，M点的运动轨迹是以点C为圆心的四分之一圆， ∴点M经过的路线为半径BM＝1圆的周长，即为2π． 故答案为：2π 【点评】此题主要是考查了直角三角形的性质和弧长公式． 7．如图．将扇形AOB翻折，使点A与圆心O重合，展开后折痕所在直线l与交于点C，连接AC．若OA＝2，则图中阴影部分的面积是 　 　． 【分析】由翻折的性质得到CA＝CO，而OA＝OC，得到△OAC是等边三角形，求出扇形OAC的面积，△AOC的面积，即可求出阴影的面积． 【解答】解：连接CO，直线l与AO交于点D，如图所示， ∵扇形AOB中，OA＝2， ∴OC＝OA＝2， ∵点A与圆心O重合， ∴AD＝OD＝1，CD⊥AO， ∴OC＝AC， ∴OA＝OC＝AC＝2， ∴△OAC是等边三角形， ∴∠COD＝60°， ∵CD⊥OA， ∴CD， ∴阴影部分的面积为：2． 故答案为：． 【点评】本题考查扇形面积的计算、翻折变换，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 8．如图，点A、B、C在半径为9的⊙O上，弧AB的长为2π，则∠ACB＝　 　°． 【分析】连接OA、OB．先由弧AB的长为2π，利用弧长计算公式求出∠AOB＝40°，再根据在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半得到∠ACB∠AOB＝20°． 【解答】解：连接OA、OB， 设∠AOB＝n°． ∵弧AB的长为2π， ∴2π， ∴n＝40， ∴∠AOB＝40°， ∴∠ACB∠AOB＝20°． 故答案为：20． 【点评】本题考查了弧长公式：l（弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为R），同时考查了圆周角定理． 9．如图，AB是⊙O的直径，点C在圆上．将沿AC翻折与AB交于点D．若OA＝3cm，的度数为35°，则　 　cm（弧长）． 【分析】作D关于AC的对称点E，连接AE，BE，OE，则，然后再根据的度数为35°知∠CAB＝17.5°，然后再根据圆周角定理、邻补角性质可得∠AOE＝180°﹣70°＝110°，最后运用弧长公式即可解答． 【解答】解：如图，作D关于AC的对称点E，连接AE，BE，OE， 则， ∵ 的度数为35°， ∴∠CAB＝17.5°， ∴∠EAB＝2∠CAB＝35°， ∴∠EOB＝2∠EAB＝70°， ∴∠AOE＝180°﹣70°＝110°， ∴的长度为π（cm）， ∴ 的长度为． 故答案为：． 【点评】本题主要考查了翻折变换的性质、圆周角定理、弧长公式等知识点，求得的长度是解答本题的关键． 10．如图，在 Rt△ABC中，∠A＝90°，∠C＝30°，AB＝3，以点A为圆心，AB的长为半径画弧，分别交BC，AC于点E，D，则图中阴影部分的周长是 　 　． 【分析】连接AE，可知△ABE为等边三角形，利用弧长公式即可求解． 【解答】解：如图，连接AE， 在Rt△ABC中，∠A＝90°，∠C＝30°，AB＝3， ∴∠B＝60°， ∵AB＝AE， ∴△ABE是等边三角形， ∴∠BAE＝60°，BE＝AB＝3， ∴弧BE的长度为π， ∴图中阴影部分的周长是：3+π． 故答案为：3+π． 【点评】本题考查含30度角的直角三角形的性质和弧长的计算，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 11．如图，直角坐标系中一条圆弧经过网格点A（0，4），B（4，4），C（6，2）． （1）该圆弧所在圆的圆心坐标为 　 　． （2）求弧ABC的长． 【分析】（1）根据垂径定理结合网格的性质可得答案； （2）借助网格求出圆心角度数和半径，再利用弧长公式进行计算即可． 【解答】解：（1）由垂径定理可知，圆心是AB、BC中垂线的交点， 由网格可得该点P（2，0）， 故答案为：（2，0）； （2）根据网格可得，OP＝CQ＝2，OA＝PQ＝4， ∠AOP＝∠PQC＝90°， 由勾股定理得， AP2PC， ∵AP2＝22+42＝20，CP2＝22+42＝20，AC2＝22+62＝40， ∴AP2+CP2＝AC2， ∴∠APC＝90°， ∴弧ABC的长为π， 答：弧ABC的长为π． 【点评】本题考查弧长的计算、垂径定理，掌握垂径定理以及网格特征是确定圆心坐标的关键，求出弧所在圆的半径和相应圆心角度数是求弧长的前提． 12．如图，在正方形ABCD中有一点P，连接AP、BP，旋转△APB到△CEB的位置． （1）若正方形的边长是8，PB＝4．求阴影部分面积； （2）若PB＝4，PA＝7，∠APB＝135°，求PC的长． 【分析】（1）根据旋转的性质得到△APB≌△CEB，则BP＝BE，∠ABP＝∠EBC；以B为圆心，BP画弧交AB于F点，如图，易得扇形BFP的面积＝扇形BEQ，则图形ECQ的面积＝图形AFP的面积，于是S阴影部分＝S扇形BAC﹣S扇形PBE，然后根据扇形的面积公式计算即可； （2）连PE，利用△APB≌△CEB得到BP＝BE＝4，∠ABP＝∠EBC，PA＝EC＝7，∠BEC＝∠APB＝135°，易得△PBE为等腰直角三角形，则∠BEP＝45°，PE＝4，则∠PEC＝135°﹣45°＝90°，然后在Rt△PEC中根据勾股定理计算即可得到PC的长． 【解答】解：（1）∵把△APB旋转到△CEB的位置， ∴△APB≌△CEB， ∴BP＝BE，∠ABP＝∠EBC， 以B为圆心，BP画弧交AB于F点，如图， ∴扇形BFP的面积＝扇形BEQ， ∴图形ECQ的面积＝图形AFP的面积， ∴S阴影部分＝S扇形BAC﹣S扇形PBE ＝12π； （2）连PE， ∴△APB≌△CEB， ∴BP＝BE＝4，∠ABP＝∠EBC，PA＝EC＝7，∠BEC＝∠APB＝135°， ∴△PBE为等腰直角三角形， ∴∠BEP＝45°，PE＝4， ∴∠PEC＝135°﹣45°＝90°， ∴PC9． 【点评】本题考查了扇形的面积公式：S（其中n为扇形的圆心角的度数，R为半径）．也考查了正方形和旋转的性质． 13．如图，AB是⊙O的直径，CD是弦，AB⊥CD于点E． （1）求证：∠BCO＝∠D； （2）若，∠D＝30°，求阴影部分的面积． 【分析】（1）由OB＝OC，利用等边对等角得到一对角相等，再由同弧所对的圆周角相等得到一对角相等，等量代换即可得证； （2）利用垂径定理和勾股定理求出OE和OB的长，根据两边关系得到圆心角度数，利用扇形面积减去三角形面积即可求得结果． 【解答】（1）证明：∵OB＝OC， ∴∠BCO＝∠B， ∵∠B＝∠D， ∴∠BCO＝∠D； （2）解：∵，∠D＝30°，∠B＝∠D，AB⊥CD， ∴∠B＝30°，CECD＝2，∠CEB＝90°， ∴BC＝4，∠COE＝2∠B＝60°， ∴BE6，∠OCE＝30°， ∴OC＝2OE， ∴OEBE＝2，OB＝4， ∴阴影部分的面积为：2×22． 【点评】本题考查了扇形面积的计算、勾股定理、垂径定理等，求出圆心角60°是关键． 14．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是⊙O的直径，AC平分∠BAD，BD交OC于点H． （1）判断OC与BD的位置关系，并说明理由； （2）当∠DCB＝130°，CH＝2，BD＝8时，求劣弧BC的长度． 【分析】（1）先证明∠ADB＝90°，再证明∠DAC＝∠OCA，可得OC∥AD，可得OC⊥BD； （2）先求解∠DAB＝50°，证明∠COB＝∠DAB＝50°，设半径为r，则OH＝r﹣2，由r2＝（r﹣2）2+42，可得：r＝5，再利用弧长公式计算即可． 【解答】解：（1）OC⊥BD，理由如下： ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ADB＝90°，即AD⊥BD， ∵AC平分∠BAD， ∴∠DAC＝∠OAC， ∵OA＝OC， ∴∠OAC＝∠OCA， ∴∠DAC＝∠OCA， ∴OC∥AD， ∴OC⊥BD； （2）∵∠DCB＝130°， ∴∠DAB＝180°﹣130°＝50°， ∵OC∥AD， ∴∠COB＝∠DAB＝50°， 设半径为r，则OH＝r﹣2， ∵BD＝8，OC⊥BD， ∴BH＝4， ∴r2＝（r﹣2）2+42， 解得：r＝5， ∴劣弧BC的长度． 【点评】本题考查的是角平分线的定义，平行线的性质，圆周角定理的应用，等腰三角形的性质，圆的内接四边形的性质，勾股定理的应用，弧长的计算，掌握以上基础知识是解本题的关键． 15．如图，AB是⊙O的直径，BD是⊙O的弦，延长BD到点C，使DC＝BD，连接AC交⊙O于点F． （1）AB与AC的大小有什么关系？请说明理由； （2）若AB＝8，∠BAC＝45°，求：图中阴影部分的面积． 【分析】（1）连接AD，根据圆周角定理可以证得AD垂直且平分BC，然后根据垂直平分线的性质证得AB＝AC； （2）连接OD、过D作DH⊥AB，根据扇形的面积公式解答即可． 【解答】解：（1）AB＝AC． 理由是：连接AD． ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ADB＝90°，即AD⊥BC， 又∵DC＝BD， ∴AB＝AC； （2）连接OD、过D作DH⊥AB． ∵AB＝8，∠BAC＝45°， ∴∠BAD＝22.5°， ∴∠BOD＝45°，OB＝OD＝4， ∴DH＝2 ∴△OBD 的面积 扇形BOD的面积，阴影部分面积． 【点评】本题考查了圆周角定理以及等腰三角形的性质定理，理解弧的度数和对应 圆心角的度数的关系是关键． 16．如图，⊙O的半径为5，弦AB，CD互相垂直，垂足为点E．点F在ED上，且EF＝EC．连接AF，∠EAF＝25°． （1）求的长； （2）延长AF交⊙O于点M，连接BM．若EC＝EB，求∠AMB的度数． 【分析】（1）连接AC，OC，OB，求出AF＝AC，根据等腰三角形的性质求出∠CAE＝∠EAF＝25°，根据圆周角定理求出∠BOC，再根据弧长公式求出答案即可； （2）连接OA，OC，OB，BC，根据等腰直角三角形的性质求出∠EBC，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出∠OBC，求出∠OBA＝∠OAB＝20°，求出∠AOB，再根据圆周角定理求出答案即可． 【解答】解：（1）连接AC，OC，OB， ∵AB⊥CD，EF＝EC， ∴AF＝AC， ∴∠CAE＝∠EAF， ∵∠EAF＝25°， ∴∠CAE＝25°， ∴∠BOC＝2∠CAE＝50°， ∴的长为； （2）连接OA，OC，OB，BC， ∵AB⊥CD， ∴∠CEB＝90°， ∵CE＝BE， ∴∠EBC＝∠ECB＝45°， 由（1）知：∠BOC＝50°， ∵OB＝OC， ∴∠OBC＝∠OCB＝65°， ∴∠OBA＝∠OBC﹣∠EBC＝65°﹣45°＝20°， ∵OA＝OB， ∴∠OBA＝∠OAB＝20°， ∴∠AOB＝180°﹣∠OBA﹣∠OAB＝180°﹣20°﹣20°＝140°， ∴∠AMBAOB＝70°． 【点评】本题考查了圆周角定理，弧长公式，等腰三角形的性质和等腰直角三角形的性质和判定等知识点，能熟记圆周角定理是解此题的关键． 17．如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点E，∠ACD＝60°，∠ADC＝50°． （1）求∠CEB的度数； （2）若AD＝2，求扇形AOC的面积． 【分析】（1）连接BC，根据直径所对的角等于90°，求出∠BAC，再根据外角的性质得出∠CEB的度数； （2）连接BD，OC，根据圆周角定理得到∠AOC的度数，然后根据解直角三角形和扇形的面积公式即可得到结论． 【解答】解：连接BC． ∴∠ADC＝∠B， ∵∠ADC＝50°， ∴∠B＝50°， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°， ∴∠BAC＝40°， ∵∠CEB＝∠ACD+∠BAC，∠ACD＝60°， ∴∠CEB＝60°+40°＝100°； （2）连接BD，OC， 则∠AOC＝2∠ADC＝100°， ∵∠BAD＝∠BCD＝30°，∠ADB＝90°，AD＝2， ∴AB＝4， ∴AO＝2， ∴扇形AOC的面积． 【点评】本题考查了扇形的面积，圆周角定理，熟练掌握同弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角等于90°． 18．已知：如图，AB为半圆O的直径，C、D是半圆O上的两点，若直径AB的长为4，且BC＝2，∠DAC＝15°． （1）求∠DAB的度数； （2）求图中阴影部分的面积（结果保留π）． 【分析】（1）根据含30°角的直角三角形性质求出∠CAB，即可得出答案； （2）连接OD，求出∠DOA，分别求出扇形AOD和△AOD面积，即可得出答案． 【解答】解：（1）∵AB是直径， ∴∠ACB＝90°， 又∵BC＝2，AB＝4， ∴BCAB， ∴∠BAC＝30°， ∴∠DAB＝∠DAC+∠BAC＝15°+30°＝45°； （2）连接OD， ∵直径AB＝4， ∴半径OD＝OA＝2， ∵OA＝OD，∠DAB＝45°， ∴∠ADO＝∠DAB＝45°， ∴∠AOD＝90°， ∴阴影部分的面积S＝S扇形AOD﹣S△AOD2×2＝π﹣2． 【点评】本题考查了含30°角的直角三角形性质，扇形的面积计算，圆周角定理等知识点，能求出∠CAB＝30°和∠AOD＝90°是解此题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第11讲 弧长及扇形的面积 课程标准 学习目标 1 理解弧长和扇形面积的计算公式； 2 能运用公式进行计算； 3 体会转化思想在解决问题中的应用。 1. 掌握弧长和扇形面积的计算方法； 2. 能够灵活运用公式解决实际问题。 知识点一、弧长公式 1.弧长公式 如图所示，若把圆周长看作是360°的圆心角所对的弧长，其长度为，那么的圆心角所对的弧长公式为（弧是圆的一部分）； 在半径为R的圆中，弧长与所对的圆心角度数之间的关系：. 弧长公式所涉及的三个量：弧长、圆心角度数、弧所在圆的半径，知道其中的两个量就可以求出第三个量. 知识点二、扇形及扇形面积公式 1.扇形：由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形； 2.扇形的面积公式： 在半径为的圆中： （1）360°的圆心角所对的扇形面积(圆面积)公式； （2）的圆心角所对的扇形面积公式. 题型01 求弧长 1．如图，在半径为6的⊙O中，弦AB⊥CD于点E，若∠A＝30°，则的长为（　　） A．8π B．5π C．4π D．6π 2．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝40°，AB＝6，斜边AB是半圆O的直径，点D是半圆上的一个动点，连接CD与AB交于点E，若BE＝BC时，弧BD的长为（　　） A． B． C． D． 3．如图，点A，B，C在半径为4的⊙O上，AC∥OB．若∠AOB＝130°，则长为 　 　． 4．如图，点A、B、C在半径为1的⊙O上，∠ACB＝70°，则的长等于 　 　. 题型02 求扇形半径 1．已知扇形的弧长为6πcm，该所对圆心角为90°，则此扇形的半径为（　　） A．3cm B．6cm C．12cm D．18cm 2．已知扇形的圆心角是120°，扇形弧长是20π，则扇形的半径＝　 　． 3．若一个扇形的圆心角为45°，弧长为，则这个扇形的半径为 　 　． 题型03 求圆心角 1．一个扇形的半径是3，面积为6π，那么这个扇形的圆心角是（　　） A．260° B．240° C．140° D．120° 2．若扇形半径为4，弧长为2π，则该扇形的圆心角为 　 　． 3．将一个半径为3的圆形纸片，沿着两条半径剪开形成两个扇形，若其中的一个扇形的面积是6π，则另一个扇形的圆心角的度数是　 　． 4．一个扇形的弧长是10πcm，面积是60πcm2，则此扇形的圆心角的度数是 　 　． 题型04 求弧形轨迹长度 1．为纪念北京奥运会成功举办，国务院批准从2009年起，将每年8月8日设置为“全民健身日”．因为为了认真发展体育运动，增强人民体质，贯彻执行《中华人民共和国体育法》，网上各种健身项目层出不穷．如图是侧抬腿运动，可以保证全身得到锻炼!已知小敏大腿根部距脚尖90cm，即OA＝90cm，当其完成图中一次动作时，脚尖划过的轨迹长度为（　　）cm． A． B． C．45π D． 2．如图1，扇形AOB中，OA＝10，∠AOB＝36°．若固定B点，将此扇形依顺时针方向旋转，得一新扇形A′O′B，其中A点在O′B上，如图2所示，则O点旋转至O′点所经过的运动轨迹长度为（　　） A．π B．2π C．3π D．4π 3．如图，钟面上分针的长为1，从12点到12点45分，分针针尖在钟面上走过的轨迹长度 　 　． 题型05 扇形面积有关的计算 1．如图，正方形ABCD的边长为8，以BC为直径的半圆O交对角线BD于点E，则阴影部分的面积是（　　） A．8﹣π B．16﹣2π C．16﹣4π D．32﹣4π 2．如图，折扇的骨柄OA长为7，折扇扇面宽度AB是折扇骨柄长的，折扇张开的角度为120°，则这把折扇扇面面积为（　　） A． B． C． D． 3．如图，在半径为2，圆心角为90°的扇形内，以OB为直径作半圆交AB于点D，连接OD，则阴影部分的面积是（　　） A． B． C．π﹣2 D．π﹣1 4．如图，在正方形ABCD中，先以点B为圆心，AB长为半径画弧，再以CD为直径作半圆O，交前弧于点E，连接CE，DE．若AB＝10，则图中阴影部分的面积为（　　） A． B．25π﹣10 C． D．25π﹣20 1．如图，在⊙O中，点A、B、C在圆上，∠ACB＝45°，⊙O的半径的长为2，则劣弧AB的长是（　　） A．2π B．π C． D． 2．如图，以半圆O的直径AB为边向上作正方形ABCD，连接AC交半圆弧于点E，若AB＝10，则图中阴影部分的面积为（　　） A．π B．50π C．π D．25π 3．如图，将⊙O沿弦AB折叠，恰好经过圆心O，若⊙O的半径为3，则的长为（　　） A．12π B．π C．2π D．3π 4．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠B＝58°，∠ACD＝40°．若⊙O的半径为5，则的长为（　　） A． B． C．π D． 5．如图，在△ABC中，∠A＝30°，∠C＝45°，BC＝2，则的长度为（　　） A． B． C．π D．2π 6．如图，正方形ABCD的边长为2，将长为2的线段QR的两端放在正方形的相邻的两边上同时滑动、如果Q点从A点出发，沿图中所示方向按A⇒B⇒C⇒D⇒A滑动到A止，同时点R从B点出发，沿图中所示方向按B⇒C⇒D⇒A⇒B滑动到B止，在这个过程中，线段QR的中点M所经过的路线的长为　 　． 7．如图．将扇形AOB翻折，使点A与圆心O重合，展开后折痕所在直线l与交于点C，连接AC．若OA＝2，则图中阴影部分的面积是 　 　． 8．如图，点A、B、C在半径为9的⊙O上，弧AB的长为2π，则∠ACB＝　 　°． 9．如图，AB是⊙O的直径，点C在圆上．将沿AC翻折与AB交于点D．若OA＝3cm，的度数为35°，则　 　cm（弧长）． 10．如图，在 Rt△ABC中，∠A＝90°，∠C＝30°，AB＝3，以点A为圆心，AB的长为半径画弧，分别交BC，AC于点E，D，则图中阴影部分的周长是 　 　． 11．如图，直角坐标系中一条圆弧经过网格点A（0，4），B（4，4），C（6，2）． （1）该圆弧所在圆的圆心坐标为 　 　． （2）求弧ABC的长． 12．如图，在正方形ABCD中有一点P，连接AP、BP，旋转△APB到△CEB的位置． （1）若正方形的边长是8，PB＝4．求阴影部分面积； （2）若PB＝4，PA＝7，∠APB＝135°，求PC的长． 13．如图，AB是⊙O的直径，CD是弦，AB⊥CD于点E． （1）求证：∠BCO＝∠D； （2）若，∠D＝30°，求阴影部分的面积． 14．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是⊙O的直径，AC平分∠BAD，BD交OC于点H． （1）判断OC与BD的位置关系，并说明理由； （2）当∠DCB＝130°，CH＝2，BD＝8时，求劣弧BC的长度． 15．如图，AB是⊙O的直径，BD是⊙O的弦，延长BD到点C，使DC＝BD，连接AC交⊙O于点F． （1）AB与AC的大小有什么关系？请说明理由； （2）若AB＝8，∠BAC＝45°，求：图中阴影部分的面积． 16．如图，⊙O的半径为5，弦AB，CD互相垂直，垂足为点E．点F在ED上，且EF＝EC．连接AF，∠EAF＝25°． （1）求的长； （2）延长AF交⊙O于点M，连接BM．若EC＝EB，求∠AMB的度数． 17．如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点E，∠ACD＝60°，∠ADC＝50°． （1）求∠CEB的度数； （2）若AD＝2，求扇形AOC的面积． 18．已知：如图，AB为半圆O的直径，C、D是半圆O上的两点，若直径AB的长为4，且BC＝2，∠DAC＝15°． （1）求∠DAB的度数； （2）求图中阴影部分的面积（结果保留π）． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$