4.1.1 几类简单几何体（第2课时 圆柱、圆锥、圆台、球）课件-2024-2025学年高一下学期数学湘教版（2019）必修第二册

4.1.1　几类简单几何体 第2课时　圆柱、圆锥、圆台、球 湘教版 数学 必修第二册 课 程 标 准 1.理解圆柱、圆锥、圆台、球的定义,知道这四种几何体的结构特征,能够识别和区分这些几何体. 2.理解柱体、锥体、台体之间的关系. 3.会用柱、锥、台、球的结构特征描述简单组合体的结构特征. 基础落实•必备知识全过关 重难探究•能力素养全提升 目录索引 成果验收•课堂达标检测 基础落实•必备知识全过关 知识点1 圆柱 圆柱 图形及表示 定义 将矩形ABCD(及其内部)绕其一条边AB所在直线旋转一周,所形成的几何体叫作圆柱   圆柱可以用表示它的轴的字母来表示. 图中的圆柱记作:圆柱AB 相关概念 轴:____________________叫作圆柱的轴;  底面:由_____________绕轴旋转而成的圆面叫作圆柱的底面; 侧面:由__________绕轴旋转而成的曲面叫作圆柱的侧面;  母线:边CD叫作圆柱的一条母线     边AB所在直线 边AD和BC 圆柱有两个互相平行的底面 边CD 圆柱有无穷多条母线,且所有母线都与 轴平行 名师点睛 研究将矩形绕其一条直角边所在直线旋转一周所形成的圆柱时一定要明确是绕哪一条直角边所在直线旋转,若不明确,则需要分类讨论. 过关自诊 1.如图,将矩形ABCD绕其一条边AB所在直线旋转一周,其余三边BC,CD,DA旋转各形成什么图形? 提示 边BC,DA旋转各形成一个圆面,边CD旋转形成一个曲面. 2.如图,在圆柱中任取不重合的两条母线,如AB,CD,它们有何关系?过它们的截面是怎样的图形?连接AC,AC还是母线吗? 提示 AB∥CD,截面ABCD是矩形,AC不是母线. 知识点2 圆锥 圆锥 图形及表示 定义 将直角三角形ABC(及其内部)绕其一条__________　所在直线旋转一周,所形成的几何体叫作圆锥    圆锥用表示它的轴的字母来表示. 图中的圆锥记作:圆锥AB 相关概念 轴:____________________叫作圆锥的轴;  顶点:点A叫作圆锥的顶点; 底面:由直角边BC绕轴旋转而成的________叫作圆锥的底面;  侧面:由斜边AC绕轴旋转而成的________叫作圆锥的侧面;  母线:__________叫作圆锥的一条母线   　　 圆锥有无穷多条母线,且所有 母线相交于圆锥的顶点 直角边AB 直角边AB所在直线 圆面 曲面 斜边AC 过关自诊 1.如图,在圆锥中任取不重合的两条母线,如AB,AD,它们之间有何关系?过它们的截面是怎样的图形? 提示 AB与AD相交于顶点A,且AB=AD.截面ABD是过顶点A的等腰三角形. 2.将Rt△ABC(及其内部)绕其任一条边所在直线旋转一周,所形成的几何体叫作圆锥,这句话对吗? 提示 不对.必须绕直角边所在直线旋转一周,若绕斜边所在直线旋转一周,所形成的几何体是由同底面的两个圆锥组成的. 知识点3 圆台 圆台 图形及表示 定义 将直角梯形ABCD(及其内部)绕其______于底边的腰BC所在直线旋转一周,所形成的几何体叫作圆台    圆台用表示它的轴的 字母来表示. 　 　　 图中的圆台记作: __________　　  相关概念 轴:腰BC所在直线叫作圆台的轴; 底面:由底边AB和CD绕轴旋转而成的_______叫作圆台的底面;  侧面:由腰AD绕轴旋转而成的_______叫作圆台的侧面;  母线:腰AD叫作圆台的一条母线     垂直 圆面 曲面 圆台BC 圆台的母线延长后一定相交于一点 名师点睛 1.圆台的平行于底面的截面是圆面. 2.圆台的过轴的截面(轴截面)是全等的等腰梯形. 3.圆台的母线l,高h和上、下两底圆的半径r,R组成一个直角梯形,且有l2=h2+(R-r)2. 4.圆台的侧面展开图是一个扇环. 5.圆柱、圆锥、圆台的关系如图所示. 过关自诊 1.判断正误.(正确的画√,错误的画×) (1)圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆面.(　　) (2)用平面去截圆柱,会得到一个圆柱和一个圆台.(　　) (3)用一个平面截圆锥,截得的两部分分别是圆锥和圆台.(　　) × √ × 2.下列说法正确的是(　　) A.以直角三角形的一直角边所在的直线为轴旋转一周所得的旋转体是 圆锥 B.以直角梯形的一腰所在的直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆台 C.圆柱、圆锥、圆台都有两个底面 D.圆锥的侧面展开图为扇形,这个扇形所在圆的半径等于圆锥底面圆的 半径 A 解析 以直角梯形垂直于底边的腰所在的直线为轴,旋转一周所得的旋转体才是圆台,所以选项B不正确;圆锥仅有一个底面,所以选项C不正确;圆锥的侧面展开图为扇形,这个扇形所在圆的半径等于圆锥的母线长,所以选项D不正确,很明显选项A正确. 知识点4 球 球 图形及表示 定义 将圆心为O的半圆(及其内部)绕其直径AB所在直线旋转一周,所形成的几何体叫作球   球用表示球心的字母来表示. 图中的球记作:______ 相关概念 球面:半圆的圆弧旋转一周所形成的曲面叫作球面(即球的表面); 球心:把点O称为球心; 半径:把原半圆的__________称为球的半径;  直径:把原半圆的__________称为球的直径  球的性质 1.球面上所有的点到球心的距离都相等,等于球的半径; 2.用任何一个平面去截球面,得到的截面都是圆,其中过球心的平面截球面得到的圆的半径最大,等于球的半径 半径 直径 球O 名师点睛 用一个平面α去截半径为R的球O的球面得到的圆有以下性质: 过关自诊 1.在球面上任取两点A,B,线段AB一定是球的直径吗?什么时候是直径? 提示 不一定.当AB过球心时是直径. 2.[北师大版教材习题]用一个平面截半径为13 cm的球,截面面积是25π cm2,求球心到截面的距离. 知识点5 简单组合体 1.简单组合体的定义 有许多物体表示的几何体是由柱体、锥体、台体、球等简单几何体组合而成,这些几何体称为简单组合体. 2.简单组合体的构成的基本形式 类型 内容 图例 拼接型 由简单几何体拼接而成 (1)(2) 截挖型 由简单几何体截去或挖去一部分而成 (3)(4) 过关自诊 如图,第一排中的图形绕虚线旋转一周,能形成第二排中的某个几何体,请把第一、第二排中相应的图形用线连起来. 解 ①—C　②—B　③—D　④—A 重难探究•能力素养全提升 探究点一 旋转体的结构特征 【例1】 (多选题)下列说法正确的是(　　) A.以三角形的一边所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥 B.棱台的侧面都是等腰梯形 C.底面半径为r,母线长为2r的圆锥的轴截面为等边三角形 D.棱柱的侧棱长都相等,但侧棱不一定都垂直于底面 CD 解析 圆锥是以直角三角形的某一条直角边所在直线为轴旋转一周所得的旋转体,当绕斜边旋转时,不是棱锥,故A错误;棱台的侧面都是梯形,但棱台的侧棱不一定都相等,故B错误;圆锥的轴截面是等腰三角形,其腰长为2r,又底面半径为r,故等腰三角形的底边为2r,即该圆锥的轴截面为等边三角形,故C正确;棱柱的侧面都为平行四边形,所以侧棱都相等,棱柱包含直棱柱与斜棱柱,故侧棱不一定都垂直于底面,故D正确.故选CD. 规律方法　1.判断简单旋转体结构特征的方法 (1)明确由哪个平面图形旋转而成. (2)明确旋转轴是哪条直线. 2.简单旋转体的轴截面及其应用 (1)简单旋转体的轴截面中有底面半径、母线、高等体现简单旋转体结构特征的关键量. (2)在轴截面中解决简单旋转体问题体现了化空间图形为平面图形的转化思想. 变式训练1 给出下列说法:①用任意一个平面去截圆锥得到的截面一定是一个圆;②经过圆柱任意两条母线的截面是一个矩形;③圆台的任意两条母线的延长线可能相交,也可能不相交;④夹在圆柱的两个截面间的几何体还是一个旋转体.其中说法正确的是__________.(填序号)  ② 解析 截面可能是一个三角形,因此①错误;经过圆柱任意两条母线的截面是一个矩形,则②正确;③错误,圆台的母线延长相交于一点;④错误,圆柱夹在两个平行于底面的截面间的几何体才是旋转体,其他的两截面间的几何体不是旋转体. 探究点二 组合体的结构特征 【例2】 描述下列几何体的结构特征. 解 图①所示的几何体是由两个圆台拼接而成的组合体;图②所示的几何体是由一个圆台挖去一个圆锥得到的组合体;图③所示的几何体是在一个圆柱中间挖去一个三棱柱后得到的组合体. 规律方法　判断实物是由哪些简单几何体组成的技巧: (1)准确理解简单几何体(柱、锥、台、球)的结构特征; (2)正确掌握简单组合体构成的两种基本形式; (3)若用分割的方法,则需要根据几何体的结构特征恰当地作出辅助线 (或面). 变式训练2 如图①②所示的图形绕虚线旋转一周后形成的立体图形分别是由哪些简单几何体组成的? 解 旋转后的图形如图所示.其中①是由一个圆柱O1O2和两个圆台O2O3,O4O3组成的;②是由一个圆锥O5O4,一个圆柱O3O4及一个圆台O1O3中挖去圆锥O2O1组成的. 探究点三 旋转体中的计算 【例3】 如图,用一个平行于圆锥SO底面的平面截这个圆锥,截得圆台上、下底面的面积之比为1∶16,截去的圆锥的母线长是3 cm,求圆台O'O的母线长. 规律方法　用平行于底面的平面去截柱、锥、台等几何体,注意抓住截面的性质(与底面全等或相似),同时结合旋转体中经过旋转轴的截面(轴截面)的性质,利用相似三角形中的相似比,构造相关几何变量的方程组求解.这种立体问题平面化的方法是解答旋转体中计算问题最常用的方法. 变式训练3 [北师大版教材习题]一个圆台的高为4 cm,上底面和下底面直径分别为2 cm和8 cm,求圆台的母线长. 探究点四 球中的计算问题 规律方法　解决有关球的问题时常用到的性质 (1)求解与球有关的问题,首先作出球的过球的大圆的一个截面,利用球心与截面圆的圆心垂直于截面构造直角三角形利用勾股定理求解. (2)正方体(长方体)的外接球的直径等于体对角线的长. 变式训练4 用一个平面截半径为5 cm的球,球心到截面的距离为4 cm,求截面圆的半径. 转化与化归思想在求空间几何体表面上两点间最短距离中的应用 【典例】 如图,底面半径为1,高为2的圆柱,在点A处有一只蚂蚁,现在这只蚂蚁要围绕圆柱侧面一周由点A爬到点B,问蚂蚁爬行的最短距离是多少? 规律方法　 求旋转体侧面上两点间的最短距离,一般转化为侧面展开图上两点间的距离进行求解. 成果验收•课堂达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A 级 必备知识基础练 1.[2023山西太原高一]下列平面图形中,通过围绕定直线旋转可得到如图几何体的是(　　) C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 2.(多选题)[2023甘肃高一校联考期中]下列说法正确的是(　　) A.圆锥的顶点与底面圆周上任意一点的连线都是母线 B.两个面平行且相似,其余各面都是梯形的多面体是棱台 C.以直角梯形的一条直角腰所在的直线为旋转轴,旋转一周形成的旋转体是圆台 D.用平面截圆柱得到的截面只能是圆和矩形 解析 对于A,根据圆锥的母线的定义,可知A正确; 对于B,把各个梯形的腰延长后有可能不交于一点,此时得到的几何体就不是棱台,故B错误; 对于C,根据圆台的定义,可知C正确; 对于D,当平面不与圆柱的底面平行且不垂直于底面时,得到的截面不是圆和矩形,故D错误.故选AC. AC 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 3.已知一个圆锥的母线长为6,底面半径为3,用该圆锥截出一个圆台,所得圆台的母线长为4,则圆台的另一底面半径为_______.  1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 4.如果圆柱的底面直径为4,母线长为2,那么圆柱的侧面展开图的面积为_________. 8π 解析圆柱的侧面展开图为矩形,两邻边的长分别为圆柱的母线长和底面圆的周长,故S=2π× ×2=8π. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 5.圆台的母线长为2a,母线与轴的夹角为30°,一个底面的半径是另一个底面半径的2倍,求两底面的半径及两底面面积之和. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 B 级 关键能力提升练 6.用一个平面去截一个几何体,得到的截面是四边形,这个几何体可能是 (　　) A.圆锥 B.圆柱 C.球体 D.以上都有可能 解析 用一个平面去截一个圆锥,得到的截面图形不可能是四边形,故A不满足要求;用一个平面去截一个圆柱,得到的图形可能是圆、椭圆、四边形,故B满足要求;用一个平面去截一个球体得到的图形只能是圆,故C不满足要求,故选B. B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 7.已知圆锥的母线长为5 cm,圆锥的侧面展开图如图所示,且∠AOA1=120°,一只蚂蚁欲从圆锥的底面上的点A出发,沿圆锥侧面爬行一周回到点A,则蚂蚁爬行的最短路程长为(　　) A.8 cm B. cm C.10 cm D.5π cm 关闭 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 8.(多选题)一个正方体内接于一个球,过球心作一个截面,则截面可能是 (　 　) 解析 当截面平行于正方体的一个侧面时得D;当截面过正方体的体对角面时得B;当截面不平行或重合于任何侧面和对角面时得A;但无论如何都不能截出C,故选ABD. ABD 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 9.过球O的一条半径的中点,作垂直于该半径的截面,则截面的面积与球的一个大圆面积之比为________.  3∶4 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 C 级 学科素养创新练 10.已知圆锥的底面半径为r,高为h,且正方体ABCD-A1B1C1D1内接于圆锥,求这个正方体的棱长. 解过内接正方体的一组对棱作圆锥的轴截面,如图所示.设圆锥内接正方体的棱长为x,则在轴截面中,正方体的对角面A1ACC1的一组邻边AA1和AC的长分别为x和 x. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 (1)若平面α过球心O,则截得的圆是以O为圆心的球的大圆. (2)若平面α不过球心O,如图,设OO'⊥α,垂足为O',记OO'=d,对于平面α与球面的任意一个公共点P,都满足OO'⊥O'P,则有O'P=,即此时截得的圆是以O'为圆心,以r=为半径的球的小圆. 解 作出过球心和截面圆圆心的截面图,如图所示.设球的半径为R cm,截面圆的半径为r cm, 则R=13,πr2=25π,所以r=5. 所以球心到截面的距离为=12(cm). 解 设圆台的母线长为l cm,由截得圆台上、下底面面积之比为1∶16,可设截得圆台的上、下底面的半径分别为r cm,4r cm. 过轴SO作截面,如图. 则△SO'A'∽△SOA,SA'=3 cm, ∴, ∴,解得l=9.故圆台的母线长为9 cm. 解 如图,作出圆台的轴截面,则OO1=4,AB=2,CD=8,过点B作BE⊥CD于点E,则CE==3. 在Rt△BCE中,BC==5. 所以圆台的母线长为5 cm. 【例4】 (1)平面α截球O所得截面圆的半径为1,球心O到平面α的距离为,则此球的半径为__________.  (2)若球的半径为R,则球的内接正方体的棱长是__________. R 解 (1)如图,设截面圆的圆心为O',M为圆O'上任一点. 由题意得OO'=,O'M=1, ∴OM=.即球的半径为. (2)设球的内接正方体的棱长是a.∵球的半径为R,球的内接正方体的棱长为a,∴a=2R,解得a=R,∴球的内接正方体的棱长为R. 解 如图所示,设AK为截面圆的半径,O为球心,则OK⊥AK. 在Rt△OAK中,OA=5 cm,OK=4 cm, ∴AK==3(cm). 解 把圆柱的侧面沿AB剪开,然后展开成为平面图形——矩形,如图,连接AB',则AB'即为蚂蚁爬行的最短距离. ∵AB=A'B'=2,AA'为底面圆的周长,即AA'=2π×1=2π, ∴AB'==2,故蚂蚁爬行的最短距离为2. 解析 作轴截面如图,则,解得r=1. 解轴截面如图所示,设OB=R.由题意易知BC'=a, 则R-a=,∴=a, ∴R=2a,∴两底面的半径分别为a,2a, ∴两底面面积之和为πa2+π(2a)2=5πa2. 5 解析 如图,连接AA1,作OC⊥AA1交AA1于C,则蚂蚁爬行的最短路径为AA1,∵圆锥的母线长为5 cm,∠AOA1=120°,∴AC= cm,∴AA1=2AC=5 cm.故选B. 解析 如图,因为d=R,所以θ=30°,所以r=Rcos 30°=R,所以. ∵△VA1C1∽△VMN,∴, ∴hx=2rh-2rx,∴x=. 故该圆锥的内接正方体的棱长为 $$