4.1.2 空间几何体的直观图课件-2024-2025学年高一下学期数学湘教版（2019）必修第二册

4.1　空间的几何体 4.1.2　空间几何体的直观图 湘教版 数学 必修第二册 课 程 标 准 1.理解“斜二测画法”的概念并掌握斜二测画法的步骤. 2.会用斜二测画法画出一些简单的水平放置的平面图形和立体图形的直观图. 基础落实•必备知识全过关 重难探究•能力素养全提升 目录索引 成果验收•课堂达标检测 基础落实•必备知识全过关 知识点1 空间几何体的表示方法 在平行投影下得到的平面图形 我们常用三视图和直观图来表示空间几何体. 三视图是观察者从三个不同位置来观察同一个空间几何体而画出的图形,而直观图是观察者站在某一点观察一个空间几何体而获得的图形. 过关自诊 相等的角在直观图中还相等吗? 提示 不一定.例如正方形的直观图为平行四边形. 知识点2 用斜二测画法画空间几何体直观图的规则 画法口诀:“横长不变,纵长减半,竖长不变,平行关系不变.” 1.在已知图形中取水平平面,取互相垂直的轴Ox,Oy,再取Oz轴,使∠xOz= 90°,且yOz=90°. 2.画直观图时,把它们画成对应的轴O'x',O'y',O'z',使∠x'O'y'=________________,∠x'O'z'=_______,x'O'y'所确定的平面表示 ___________.  3.已知图形中平行于x轴、y轴或z轴的线段,在直观图中分别画成__________于x'轴、y'轴或z'轴的线段.  4.已知图形中平行于__________的线段,在直观图中保持长度不变,平行于　　　_______的线段,长度取原来的一半.  45°(或135°) 90° 水平平面 平行 x轴或z轴 y轴 名师点睛 画空间几何体的直观图与画水平放置的平面图形的直观图相比较有以下特征: (1)与水平放置的平面图形的直观图画法相比多了一个z轴,直观图中与之对应的是z'轴; (2)平面x'O'y'表示水平平面,平面y'O'z'和x'O'z'表示竖直平面; (3)已知空间几何体中平行于z轴(或在z轴上)的线段,在其直观图中平行关系和长度都不变. 过关自诊 如图,观察边长2 cm的正方形ABCD及其直观图,A'B'与C'D'有何位置关系?A'D'与B'C'呢?AB与A'B'相等吗?AD与A'D'呢? 重难探究•能力素养全提升 探究点一 画水平放置的平面图形的直观图 【例1】 [人教A版教材例题]用斜二测画法画水平放置的正六边形的直 观图. (2)在图2中,以O'为中点,在x'轴上取A'D'=AD,在y'轴上取M'N'=MN.以点N'为中点,画B'C'平行于x'轴,并且等于BC;再以M'为中点,画F'E'平行于x'轴,并且等于FE. (3)连接A'B',C'D',D'E',F'A',并擦去辅助线x'轴和y'轴,便获得正六边形ABCDEF水平放置的直观图A'B'C'D'E'F'(图3). 画法 (1)如图1,在正六边形ABCDEF中,取AD所在直线为x轴,AD的垂直平分线MN为y轴,两轴相交于点O.在图2中,画相应的x'轴与y'轴,两轴相交于点O',使∠x'O'y'=45°. 图1 图2 图3 规律方法　画水平放置的平面图形的直观图的技巧 (1)在画水平放置的平面图形的直观图时,选取适当的坐标系是关键,一般要使得平面多边形尽可能多的顶点在坐标轴上,以便于画点. (2)画水平放置的平面图形的直观图,首先画与坐标轴平行的线段(平行关系不变),与坐标轴不平行的线段通过与坐标轴平行的线段确定它的两个端点,然后连接成线段. 变式训练1 试画出该图的直观图. 探究点二 画空间几何体的直观图 【例2】 用斜二测画法画出底面为正方形的四棱台的直观图,其中上、下底面边长分别为2,3,高为2. 画法 (1)画轴.如图①,画x轴、y轴、z轴,三轴相交于点O,使∠xOy=45°,∠xOz=90°. (2)画下底面的直观图.以O为中点,在x轴上取线段MN,使MN=3,在y轴上取线段PQ,使PQ=1.5.分别过点M和点N作y轴的平行线,过点P和点Q作x轴的平行线,设它们的交点分别为A,B,C,D,则四边形ABCD即为四棱台的下底面. (3)画上底面的直观图.在z轴上取一点O',使OO'=2,过点O'画直线a和直线b,使直线a∥x轴,直线b∥y轴,在平面aO'b内以O'为中心画水平放置的边长为2的正方形的直观图A'B'C'D'. (4)成图.被遮挡的线画成虚线,擦去辅助线并整理就得到四棱台的直观图(如图②). 规律方法　画空间几何体的直观图的四个步骤 (1)画轴.通常以高所在直线为z轴建系. (2)画底面.根据水平放置的平面图形的直观图画法确定底面. (3)画侧棱.利用与z轴平行或在z轴上的线段确定有关顶点. (4)成图.画图完成后,擦除辅助线,看得见的部分用实线,被遮挡的部分用虚线,就得到了空间几何体的直观图. 变式训练2 画出底面是边长为2的正方形,侧棱均相等且高为2的四棱锥的直观图. 画法 (1)画轴.画Ox轴、Oy轴、Oz轴,使∠xOy=45°,∠xOz=90°,如图①. (2)画底面.在xOy平面内以O为中心,画出水平放置的边长为2正方形的直观图ABCD. (3)画侧棱.在z轴上截取OP使OP的长度等于2. (4)成图.顺次连接PA,PB,PC,PD,并加以整理(擦去辅助线,将被遮挡的部分改为虚线),得四棱锥的直观图,如图②. 探究点三 直观图的还原与计算问题 规律方法　直观图的还原技巧 (1)由直观图还原为平面图的关键是找与x'轴、y'轴平行的直线或线段,且平行于x'轴的线段还原时长度不变,平行于y'轴的线段还原时扩大为直观图中相应线段长的2倍,由此确定图形的各个顶点,再顺次连接. (2)要注意坐标系变化前后变化的量与不变的量,计算时要结合两个坐标轴确定数据. 变式训练3 如图,△A'B'C'是水平放置的△ABC的直观图,A'C'=6,B'C'=4,能否判断△ABC的形状并求A'B'边的实际长度是多少? 水平放置的平面图形的直观图的面积与原图形的面积之间的关系 D 解析 (方法1)如图,由斜二测画法原理知,原梯形与直观图中的梯形上、下底边的长度是一样的,不一样的是两个梯形的高. 成果验收•课堂达标检测 1 2 3 4 5 1.如图,已知等腰三角形ABC,则下图所示的四个图形中,可能是水平放置的△ABC的直观图的是(　　) A.①② B.②③ C.②④ D.③④ D 1 2 3 4 5 解析 当∠x'O'y'=135°时,其直观图是③; 当∠x'O'y'=45°时,其直观图是④. 1 2 3 4 5 2.(多选题)下列关于用斜二测画法画直观图的说法中,正确的是(　 　) A.用斜二测画法画出的空间几何体的直观图通常是在平行投影下得到的平面图形 B.几何体的直观图的长、宽、高与其几何体的长、宽、高的比例相同 C.水平放置的矩形的直观图是平行四边形 D.水平放置的圆的直观图是椭圆 ACD 解析 根据斜二测画法的规则,可知B不正确.因此选ACD. 1 2 3 4 5 3.[2023湖南安化校级期中]一个水平放置的平面图形用斜二测画法画出的直观图如图所示,此直观图恰好是一个边长为2的正方形,则原平面图形的面积是__________. 1 2 3 4 5 解析 还原直观图为原图形如图所示. 1 2 3 4 5 4.如图为一个水平放置的矩形ABCO,在直角坐标系xOy中,点B的坐标为(4,2),则用斜二测画法画出的该矩形的直观图中,顶点B'到x'轴的距离为 __________. 1 2 3 4 5 5.如图,画出水平放置的等腰梯形ABCD的直观图. 画法 (1)如图①,在已知等腰梯形中以底边AB所在的直线为x轴、线段AB的中垂线为y轴建立平面直角坐标系.如图②,画x'轴和y'轴,使∠x'O'y'=45°. 1 2 3 4 5 (3)连接A'D',B'C',擦去辅助线,得到水平放置的等腰梯形ABCD的直观图,如图④. 提示 A'B'∥C'D',A'D'∥B'C',A'B'=AB,A'D'=AD. 画法 (1)在已知的直角梯形ABCD中,以底边AB所在直线为x轴,垂直于AB的腰AD所在直线为y轴建立平面直角坐标系,如图①. (2)画相应的x'轴和y'轴,使∠x'O'y'=45°,在x'轴上取O'B'=AB,在y'轴上取O'D'=AD,过D'作x'轴的平行线l,在l上沿x'轴正方向取点C'使得D'C'=DC. (3)连接B'C',所得四边形O'B'C'D'就是水平放置的直角梯形ABCD的直观图.如图②. (4)擦去辅助线,整理得图③. 【例3】 如图,梯 形A1B1C1D1是一水平放置的平面图形ABCD的直观图.若A1D1∥O'y',A1B1∥C1D1,A1B1=C1D1=2,A1D1=O'D1=1.试画出原四边形的形状,并求原图形的面积. 画法 如图,建立平面直角坐标系xOy,在x轴上截取OD=O'D1=1,OC=O'C1=2.在过点D的y轴的平行线上截取DA=2D1A1=2. 在过点A的x轴的平行线上截取AB=A1B1=2,连接BC,即得到了原图形(如图). 由作法可知,原四边形ABCD是直角梯形,上、下底长度分别为AB=2,CD=3,高长度为AD=2.故面积为S=×2=5. 解 根据斜二测画法规则知∠ACB=90°,故△ABC为直角三角形, 在△ABC中,AC=6,BC=8,故AB==10. 【典例】 一水平放置的梯形的直观图是一个如图所示的等腰梯形,且梯形OA'B'C'的面积为,则原梯形的面积为(　　) A.2 B. C.2 D.4 原梯形的高OC是直观图中OC'长度的2倍,OC'的长度是直观图中梯形的高的倍. 由此知原梯形的高OC的长度是直观图中梯形高的2倍,故其面积是梯形OA'B'C'面积的2倍,梯形OA'B'C'的面积为,所以原梯形的面积是4.故 选D. (方法2)设直观图梯形OA'B'C'面积为S',原平面梯形OABC的面积为S.由S'=S,得S=2S'=2=4,故选D. 规律方法　1.原梯形与直观图中梯形上、下底边的长度一样,但高的长度不一样.原梯形的高OC是直观图中OC'的长度的2倍,OC'长度是直观图中梯形的高的倍,此处易出错. 2.解答此类问题时要注意角度的变化以及长度的变化,直观图面积S'与原图形面积S满足S'=S. 8 因为O'A'=2,所以O'B'=2. 还原为平面图形后,OA=O'A'=2,OB=2O'B'=4. 所以原图形的面积为2×4=8. 解析 直观图如图,则O'A'=B'C'=1,∠B'C'x'=45°,故B'到x'轴的距离为. (2)设DC与y轴的交点为E,在x'轴上取A'B'=AB,且使O'为A'B'的中点,在y'轴上取O'E'=OE,过点E'作x'轴的平行线l,在l上取点D',C',使得E'C'=EC,D'E'=DE.如图③. $$