4.2 平面课件-2024-2025学年高一下学期数学湘教版（2019）必修第二册

第4章　立体几何初步 4.2　平面 湘教版 数学 必修第二册 课 程 标 准 1.理解平面的概念,会用图形与字母表示平面. 2.能用符号语言描述空间中的点、直线、平面之间的位置关系. 3.能用图形、文字、符号三种语言描述三条基本事实(公理)及其推论. 4.理解三个基本事实及推论的地位和作用. 基础落实•必备知识全过关 重难探究•能力素养全提升 目录索引 成果验收•课堂达标检测 基础落实•必备知识全过关 知识点1 平面的概念及表示 平面的描 述性概念 黑板面、桌面、平静的湖面等都给我们以“平面”的形象.几何中所说的平面,就是从这些物体中抽象出来的.但是,几何里的平面_________________________,也就是说,平面是没有大小限制的  记法 (1) 平面常用小写希腊字母α,β,γ,…来表示,把它写在表示平面的平行四边形的一个角上,如平面α (2) 用表示平面的平行四边形的顶点字母来表示,如平面ABCD (3) 用表示平面的平行四边形的对角顶点字母来表示,如平面AC 没有厚度,向四周无限延展 过关自诊 1.我们通常用什么图形来代表平面? 提示 我们通常用一个平行四边形来代表平面,但仍然需要把它想象成是无限延展的. 2.下列说法正确的是(　　) A.镜面是一个平面 B.一个平面长10 m,宽5 m C.一个平面的面积是另一个平面面积的2倍 D.所有的平面都是无限延展的 D 解析 镜面可以抽象成平面,但不是平面,所以选项A不正确;平面没有大小,所以选项B和选项C都不正确,故选D. 知识点2 点、直线、平面之间的位置关系 文字语言表达 图形语言表达 符号语言表达   点A在直线l上 A∈l   点B不在直线l上 B∉l   点A在平面α内 　　　 　　 　    点B不在平面α内 B∉α   直线a在平面α内 　　 　　 　　    A∈α a⊂α 直线b不在平面α内 __________ 　   直线a,b相交于点P a∩b=P 直线AB和平面α交于点C __________ 平面α与平面β交于直线CD __________ b⊄α AB∩α=C α∩β=CD 过关自诊 1.若点A∈直线a,a⊂平面α,能否推出A∈α? 提示 由直线在平面内的定义可知,若A∈a,a⊂α,则A∈α. 2.如图所示,平面ABEF记作平面α,平面ABCD记作平面β,根据图形填写: (1)A∈α,B______α,E______α,C______α,D______α.  (2)α∩β=______.  (3)A∈β,B______β,C______β,D______β,E______β,F______β .  (4)AB______α,AB______β,CD______α,CD______β,BF______α,BF______β. ∈ ∈ ∉ ∉ AB ∈ ∈ ∈ ∉ ∉ ⊂ ⊂ ⊄ ⊂ ⊂ ⊄ 知识点3 关于平面的基本事实及推论 1.关于平面的基本事实 基本 事实 内容 图形 符号 作用 1 如果一条直线上的__________在一个平面内,那么这条直线在这个平面内  若A∈α,B∈α,则AB⊂α 判定直线是否在平面内 2 过不在一条直线上的________,有且只有一个平面  若A,B,C三点不共线,则存在唯一的平面α使A,B,C∈α 确定平面的依据 两个点 三个点 3 如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线 　 若P∈α,且P∈β,则α∩β=l,且P∈l 判定两个平面相交的依据 称为两平面的 “交线” 2.关于平面的推论 推论 内容 图形 1 一条直线和直线外一点确定一个平面 2 两条相交直线确定一个平面 3 两条平行直线确定一个平面 过关自诊 1.过给定的两个点能作几个平面?过三个点能作几个平面? 提示 过两个点能作无数个平面.过三点时,如果三点在同一条直线上,能作无数个平面;如果三点不在同一条直线上,只能作一个平面. 2.两个不重合的平面可能存在有限个公共点吗? 提示 不能.要么没有公共点,要么有无数个公共点. 3.如果两个不重合的平面有无数个公共点,这些公共点有什么特点? 提示 这些公共点落在同一条直线上. 4.[北师大版教材习题]用符号和图形表示下列语句: (1)A,B两点既在平面α内,又在平面β内,则直线AB是平面α与平面β的交线; (2)两条相交直线a和b都在平面α内; (3)直线a在平面α内,直线b在平面α外,a与b相交于一点M. 解 (1)A∈α,A∈β,B∈α,B∈β⇒α∩β=AB,如图1. 图1 图2 图3 (2)a⊂α,b⊂α,a∩b≠⌀,如图2. (3)a⊂α,b⊄α,a∩b=M,如图3. 重难探究•能力素养全提升 探究点一 文字、图形、符号三种语言的转化 【例1】 用符号语言表示下列语句,并画出图形. (1)三个平面α,β,γ相交于一点P,且平面α与平面β相交于PA,平面α与平面γ相交于PB,平面β与平面γ相交于PC; (2)平面ABD与平面BDC相交于BD,平面ABC与平面ADC相交于AC. 解 (1)符号语言:α∩β∩γ=P,α∩β=PA,α∩γ=PB,β∩γ=PC、图形表示如图① 所示. (2)符号语言:平面ABD∩平面BDC=BD,平面ABC∩平面ADC=AC、图形表示如图②所示. 规律方法　学习几何问题,三种语言间的互相转化是一种基本技能.要注意符号语言的意义,如点与直线、点与平面间的位置关系只能用“∈”或“∉”,直线与平面间的位置关系只能用“⊂”或“⊄”.由图形语言表示点、线、面的位置关系时,要注意实线和虚线的区别. 变式训练1 (1)若点M在直线a上,a在平面α内,则M,a,α间的关系可记为______________.  (2)如图,填入相应的符号:A______平面ABC,A______平面BCD,BD_____平面ABC,平面ABC∩平面ACD=______.  M∈a,a⊂α,M∈α ∈ ∉ ⊄ AC (3)根据下列条件画出图形:平面α∩平面β=MN,△ABC的三个顶点满足条件A∈MN,B∈α,B∉MN,C∈β,C∉MN. 解 (3)如图所示. 探究点二 证明多线共面 【例2】 证明:两两相交且不过同一点的四条直线共面. 已知:a,b,c,d四条直线两两相交,且不共点. 求证:a,b,c,d四线共面. 证明 ①无三线共点情况,如图. 设a∩d=M,b∩d=N,c∩d=P,a∩b=Q,a∩c=R,b∩c=S.因为a∩d=M,所以a,d可确定一个平面α. 因为N∈d,Q∈a,所以N∈α,Q∈α,所以NQ⊂α,即b⊂α.同理,c⊂α,所以a,b,c,d共面. ②有三线共点的情况,如图. 设b,c,d三线相交于点K,与a分别交于N,P,M且K∉a.因为K∉a,所以K和a确定一个平面,设为β. 因为N∈a,a⊂β,所以N∈β.所以NK⊂β,即b⊂β. 同理,c⊂β,d⊂β. 所以a,b,c,d共面.由①②知,a,b,c,d共面. 规律方法　证明多线共面的常用方法有: (1)先由部分直线确定一个面,再证其余的直线都在这个平面内,即用“纳入平面法”; (2)先由其中一部分直线确定一个平面α,一部分直线确定另一个平面β,再证平面α与β重合,即用“辅助平面法”; (3)假设不共面,结合题设推出矛盾,用“反证法”. 变式训练2 求证:如果两两平行的三条直线a,b,c都与另一条直线l相交,那么这四条直线共面. 已知:如图所示,a∥b,b∥c,a∩l=A,b∩l=B,c∩l=C.求证:直线a,b,c,l在同一平 面内. 证明 因为a∥b,可知直线a与b确定一个平面,设为α. 因为l∩a=A,l∩b=B,所以A∈a,B∈b,则A∈α,B∈α, 又因为A∈l,B∈l,所以l⊂α. 因为b∥c,所以直线b与c确定一个平面β,同理可知l⊂β. 因为平面α和平面β都包含着直线b与l,且l∩b=B,又因为经过两条相交直线,有且只有一个平面,可知平面α与平面β重合,所以直线a,b,c和l共面. 探究点三 证明点共线 【例3】 已知△ABC在平面α外,AB∩α=P,AC∩α=R,BC∩α=Q,如图.求证:P,Q,R三点共线. 证明 (方法1)∵AB∩α=P,∴P∈AB,P∈平面α. 又AB⊂平面ABC,∴P∈平面ABC. ∴点P在平面ABC与平面α的交线上,同理可证Q,R也在平面ABC与平面α的交线上, ∴P,Q,R三点共线. (方法2)∵AP∩AR=A, ∴直线AP与直线AR确定平面APR. 又AB∩α=P,AC∩α=R, ∴平面APR∩平面α=PR. ∵B∈平面APR,C∈平面APR, ∴BC⊂平面APR. ∵Q∈BC,∴Q∈平面APR.又Q∈α, ∴Q∈PR,∴P,Q,R三点共线. 规律方法　点共线:证明多点共线通常利用两相交平面交线的唯一性,通过证明点分别在两个平面内,证明点在相交平面的交线上;也可先选择其中两点确定一条直线,再证明其他点也在其上. 变式训练3 如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点M,N,E,F分别是棱CD,AB,DD1,AA1上的点,若MN与EF交于点Q,求证:D,A,Q三点共线. 证明 因为MN∩EF=Q, 所以Q∈直线MN,Q∈直线EF. 又因为M∈直线CD,N∈直线AB,CD⊂平面ABCD,AB⊂平面ABCD, 所以M,N∈平面ABCD,所以MN⊂平面ABCD, 所以Q∈平面ABCD. 同理,可得EF⊂平面ADD1A1, 所以Q∈平面ADD1A1. 又因为平面ABCD∩平面ADD1A1=AD, 所以Q∈直线AD,即D,A,Q三点共线. 探究点四 证明线共点 【例4】 如图所示,三个平面α,β,γ两两相交于不同的直线,即α∩β=c,β∩γ =a,γ∩α=b,若直线a和b不平行,求证:a,b,c三条直线必过同一点. 证明 ∵α∩γ=b,β∩γ=a,∴a⊂γ,b⊂γ. 又直线a和b不平行,∴a,b必相交. 如图所示,设a∩b=P, 则P∈a,P∈b.∵a⊂β,b⊂α, ∴P∈β,P∈α, 又α∩β=c,∴P∈c,即交线c经过点P,∴a,b,c三条直线必过同一点. 规律方法　证明三线共点常用的方法是先说明两条直线共面且相交于一点,再说明这个点在以另一条直线为交线的两个平面内,即该点在另一条直线上,则可得三线共点. 变式训练4 如图所示,在空间四边形ABCD中,E,F分别是AB和CB上的点,G,H分别是CD和AD上的点,HG∥EF,HG∶EF=1∶3.求证:EH,BD,FG三条直线相交于同一点. 证明 延长EH,FG,不妨设EH∩FG=O, ∵HG∥EF,HG∶EF=1∶3, ∴四边形EFGH为梯形, ∴EH,FG共面,且EH与FG不平行. ∵O∈EH,EH⊂平面ABD,∴O∈平面ABD. ∵O∈FG,FG⊂平面BCD,∴O∈平面BCD. ∵平面ABD∩平面BCD=BD,∴O∈BD, ∴EH,BD,FG三条直线相交于同一点O. 利用平面的基本性质作空间几何体的截面 【典例】 如图所示,G是正方体ABCD-A1B1C1D1的棱DD1的延长线上一点,E,F是棱AB,BC的中点.试分别画出过下列点、直线的平面与正方体表面的交线. (1)过点G及直线AC; (2)过三点E,F,D1. 解 (1)画法:连接GA交A1D1于点M;连接GC交C1D1于点N;连接MN,AC,则MA,CN,MN,AC为所求平面与正方体表面的交线.如图①所示. (2)画法:连接EF并延长交DC的延长线于点P,交DA的延长线于点Q;连接D1P交CC1于点M,连接D1Q交AA1于点N;连接MF,NE,则D1M,MF,FE,EN,ND1为所求平面与正方体表面的交线.如图②所示. 规律方法　1.作空间几何体的截面图的主要原理——两个基本事实 (1)如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线; (2)如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线在这个平面内. 2.注意:(1)在平面几何中,凡是所引的辅助线都要画成虚线. (2)在立体几何中,被遮挡的部分画成虚线,没被遮挡的部分则画成实线.在学习时,一定要正确添加辅助线,否则将影响空间立体感的形成,不利于空间想象力的培养. 成果验收•课堂达标检测 1 2 3 4 5 1.下列四个选项中的图形正确表示两个相交平面的是(　　) D 解析 选项A错误,理由是两平面的交线没画出,且被遮挡的部分未用虚线画出;选项B,C错误,理由是被遮挡的部分未用虚线画出.D正确. 1 2 3 4 5 2.[人教A版教材习题]下列命题正确的是(　　) A.三点确定一个平面 B.一条直线和一个点确定一个平面 C.圆心和圆上两点可确定一个平面 D.梯形可确定一个平面 解析 A错误,因为三点可能共线,也可能不共线;B错误,因为点可能在直线上,也可能不在直线上;C错误,因为圆上两点可能是直径的端点,此时三点共线. D 1 2 3 4 5 3.(多选题)下列图形中,一定是平面图形的是(　 　) A.三角形 B.平行四边形 C.四边相等的四边形 D.梯形 ABD 1 2 3 4 5 4.不重合的三条直线,若相交于一点,最多能确定______个平面. 3 解析 三条直线相交于一点,最多可确定3个平面,如图所示,直线a,b,c相交于点A,直线a,b确定平面α,直线b,c确定平面β,直线a,c确定平面γ,共3个平面. 1 2 3 4 5 5.如图,在空间四边形ABCD中,E,F分别是AD,AB的中点,G,H分别在BC,CD上,且BG∶GC=DH∶HC=1∶2. 求证:E,F,G,H四点共面. 证明 在△ABD中,∵E,F为AD,AB中点, ∴EF∥BD. 在△CBD中,∵BG∶GC=DH∶HC=1∶2, ∴GH∥BD,∴EF∥GH, ∴E,F,G,H四点共面. $$