4.3.1 空间中直线与直线的位置关系（第1课时 平行直线）课件-2024-2025学年高一下学期数学湘教版（2019）必修第二册

4.3.1　空间中直线与直线的位置关系 第1课时　平行直线 湘教版 数学 必修第二册 课 程 标 准 1.掌握空间直线的位置关系. 2.理解并掌握关于平行直线的基本事实并会应用其解决相关直线与直线平行问题. 3.理解等角定理,并会应用其解决有关问题. 基础落实•必备知识全过关 重难探究•能力素养全提升 目录索引 成果验收•课堂达标检测 基础落实•必备知识全过关 知识点1 空间中直线与直线的位置关系 空间两条直线的位置关系有且只有以下三种: 过关自诊 空间中没有公共点的两直线有哪几种位置关系? 提示 平行与异面. 知识点2 关于平行直线的基本事实 文字语言 平行于同一条直线的两条直线______ 图形语言 符号语言 若a,b,c为空间中三条不重合的直线,且a∥b,a∥c,则______ 作用 判断或证明两条直线平行 说明 关于平行直线的基本事实表述的性质通常叫作平行线的传递性 平行 b∥c 过关自诊 如图,在长方体ABCD-A'B'C'D'中,BB'∥AA',DD'∥AA',BB'与DD'平行吗? 提示 BB'与DD'平行. 知识点3 等角定理 在平面上也成立 不涉及方向 如果空间中两个角的两条边分别对应平行,那么这两个角______________. 相等或互补 名师点睛 如果一个角的两边与另一个角的两边分别对应平行,并且方向相同(或相反),那么这两个角相等;如果一个角的两边与另一个角的两边分别对应平行,并且一组对应边的方向相同,另一组对应边的方向相反,那么这两个角互补. 过关自诊 如图,在四棱柱ABCD-A'B'C'D'中,底面ABCD为菱形,∠ADC与∠A'D'C',∠ADC与∠D'C'B'的两边分别对应平行,这两组角的大小关系 如何? 提示 ∠ADC=∠A'D'C',∠ADC+∠D'C'B'=180°. 重难探究•能力素养全提升 探究点一 空间直线的位置关系 【例1】 已知直线a与直线b相交,直线c与直线b相交,则直线a与直线c的位置关系是(　　)　 A.相交 B.平行 C.异面 D.以上都有可能 D 解析 如图所示,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB与AA1相交,可知A1B1与AA1相交,且AB∥A1B1;AD与AA1相交,且AB与AD相交;A1D1与AA1相交,且AB与A1D1异面.故选D. 规律方法　判断空间两直线的位置关系的方法:一是利用定义及推理论证法,二是通过构造空间几何体帮助判断(常见的空间几何体主要是长方体、正方体等). 变式训练1 已知直线a,b,c,d是四条不同的直线,且a∥b,b∥c,c∥d,则直线a与d的位置关系是(　　) A.平行 B.相交 C.异面 D.不确定 解析 ∵a∥b,b∥c,∴a∥c.又c∥d,∴a∥d.故选A. A 探究点二 平行线传递性的应用 【例2】 如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是BC,A1D1的中点.求证:四边形B1EDF是菱形. 规律方法　空间中两条直线平行的证明方法 证明空间中两条直线平行的方法有两个:一是利用平面几何知识(三角形、梯形的中位线,平行四边形性质,平行线分线段成比例定理等)证明;二是利用关于平行直线的基本事实,就是需要找到第三条直线c,设a∥c,b∥c,由基本事实得到a∥b. 变式训练2 如图所示,在正方体ABCD-A'B'C'D'中,若M,N分别是A'D',C'D'的中点,求证:四边形ACNM是梯形. 探究点三 等角定理的应用 【例3】 如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,M1分别是棱AD和A1D1的中点.求证: (1)四边形BB1M1M为平行四边形; (2)∠B1M1C1=∠BMC. 证明 (1)在正方形ADD1A1中,M,M1分别为AD,A1D1的中点,∴MM1􀱀AA1. 又AA1􀱀BB1,∴MM1∥BB1,且MM1=BB1, ∴四边形BB1M1M为平行四边形. (2)(方法1)由(1)知四边形BB1M1M为平行四边形, ∴B1M1∥BM. 由(1)同理可得四边形CC1M1M为平行四边形, ∴C1M1∥CM. 由平面几何知识可知,∠BMC和∠B1M1C1都是锐角. ∴∠BMC=∠B1M1C1. (方法2)由(1)知四边形BB1M1M为平行四边形, ∴B1M1=BM. 由(1)同理可得四边形CC1M1M为平行四边形, ∴C1M1=CM.又B1C1=BC,∴△B1C1M1≌△BCM, ∴∠B1M1C1=∠BMC. 规律方法　证明角相等的常用方法 证明角相等,利用等角定理是常用的思考方法,另外也可以通过证明两个三角形全等或相似来证明两角相等.在应用等角定理时,应注意当两个角的两边分别对应平行且方向都相同或相反时,这两个角相等,否则这两个角互补.因此,在证明两个角相等时,只说明两个角的两边分别对应平行是不够的. 变式训练3 如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,M,N,P分别为A1C1, AC和AB的中点.求证:∠PNA1=∠BCM. 证明 因为P,N分别为AB,AC的中点,所以PN∥BC. ① 又因为M,N分别为A1C1,AC的中点, 所以A1M􀱀NC,所以四边形A1NCM为平行四边形,于是A1N∥MC.② 由①②及∠PNA1与∠BCM对应边方向相同,得∠PNA1=∠BCM. 成果验收•课堂达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 A 级 必备知识基础练 1.[2023山东潍坊高一课时练习]如图,在空间四边形ABCD中,E,F,G,H分别是四边上的中点,则直线EG和FH的位置关系是(　　) A.平行 B.相交 C.异面 D.以上都可能 A 解析 连接EG,FH,易得EG,FH分别为△ABC,△ADC的中位线,故EG∥AC,FH∥AC,故EG∥FH.故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 2.[2023安徽高一专题练习]已知AB∥PQ,BC∥QR,∠ABC=60°,则与∠ABC两边方向相同的∠PQR等于(　　) A.60° B.60°或120° C.120° D.以上结论都不对 解析 因为AB∥PQ,BC∥QR,∠PQR与∠ABC两边方向相同,所以∠PQR=∠ABC=60°.故选A. A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 3.(多选题)给出下列四个说法,其中正确的是(　　) A.在空间,若两条直线不相交,则它们一定平行 B.平行于同一条直线的两条直线平行 C.一条直线和两条平行直线的一条相交,那么它也和另一条相交 D.空间四条直线a,b,c,d,如果a∥b,c∥d,且a∥d,那么b∥c 解析 由于两直线可以异面,因此A错误;由关于平行直线的基本事实可知B正确;一条直线和两条平行直线的一条相交与另一条可以相交可以异面,故C错误;由关于平行直线的基本事实可知D正确. BD 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 4.(多选题)下列说法错误的有(　　) A.如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行,那么这两个角相等 B.如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行,那么这两组直线所成的锐角(或直角)相等 C.如果一个角的两边和另一个角的两边分别垂直,那么这两个角相等或互补 D.如果两条直线同时平行于第三条直线,那么这两条直线互相平行 解析 这两个角相等或互补,选项A错误;由等角定理知选项B正确;在空间中,这样的两个角大小关系不确定,选项C错误;由关于平行直线的基本事实知选项D正确. AC 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 5.如图,AA'是长方体ABCD-A'B'C'D'的一条棱,那么长方体中与AA'平行的棱共有___条. 3 解析 ∵四边形ABB'A',ADD'A'均为长方形, ∴AA'∥BB',AA'∥DD'. 又四边形BCC'B'为长方形, ∴BB'∥CC',∴AA'∥CC'. 故与AA'平行的棱共有3条,它们分别是BB',CC',DD'. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 6.[人教A版教材习题]如图,在四面体A-BCD中,E,F,G分别为AB,AC,AD上的点,若EF∥BC,FG∥CD,则△EFG和△BCD有什么关系?为什么? 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 B 级 关键能力提升练 7.(多选题)如图,在四面体A-BCD中,M,N,P,Q,E分别是AB,BC,CD,AD,AC的中点,则下列说法正确的是( 　　) A.M,N,P,Q四点共面 B.∠QME=∠CBD C.△BCD∽△MEQ D.四边形MNPQ为梯形 ABC 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 8.如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,E,F分别是AB,AC上的点,且AE∶EB= AF∶FC,则EF与B1C1的位置关系是_____________.  平行 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 9.如图,在空间四边形ABCD中,M,N分别是△ABC和△ACD的重心,若BD=m,则MN=___________.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 C 级 学科素养创新练 (1)证明:四边形BCHG是平行四边形. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 (2)C,D,F,E四点是否共面?为什么? 证明 如图,取B1C1的中点G,连接GD1,GE, 则GE∥C1C∥D1D,GE=C1C=D1D, ∴四边形GEDD1是平行四边形,GD1∥ED,GD1=ED.∵FD1∥B1G,FD1=B1G, ∴四边形FB1GD1是平行四边形, ∴B1F∥GD1,B1F=GD1,∴B1F∥ED,B1F=ED, ∴四边形B1EDF是平行四边形,又B1E=BB1,B1F=A1B1,A1B1=BB1, ∴B1E=B1F,∴四边形B1EDF是菱形. 证明 如图所示,连接A'C', 因为M,N分别是A'D',C'D'的中点,所以MN∥A'C',且MN=A'C'. 由正方体的性质可知A'C'∥AC,且A'C'=AC,所以MN∥AC,且MN=AC, 所以四边形ACNM是梯形. 解△EFG∽△BCD.理由如下: 因为EF∥BC,所以. 因为FG∥CD,所以. 所以,所以EG∥BD. 由等角定理,可得∠EFG=∠BCD,∠FGE=∠CDB,∠GEF=∠DBC,所以△EFG∽△BCD. 解析 由三角形中位线定理,易知MQ∥BD,ME∥BC,QE∥CD,NP∥BD.对于A,有MQ∥NP,所以M,N,P,Q四点共面,故A说法正确;对于B,根据等角定理,得∠QME=∠CBD,故B说法正确;对于C,由等角定理,知∠QME=∠CBD,∠MEQ=∠BCD,所以△BCD∽△MEQ,故C说法正确;由三角形的中位线定理,知MQ􀱀BD,NP􀱀BD,所以MQ􀱀NP,所以四边形MNPQ为平行四边形,故D说法不正确. 解析在△ABC中,因为AE∶EB=AF∶FC, 所以EF∥BC.又在三棱柱ABC-A1B1C1中,BC∥B1C1, 所以EF∥B1C1. m 解析连接AM并延长交BC于E,连接AN并延长交CD于F,再连接MN,EF,图略.根据三角形重心性质得BE=EC,CF=FD,∴MNEF,EFBD.∴MNBD. ∴MN=m. 10.[人教A版教材习题]如图,AA',BB',CC'不共面,且AA' BB',BB'CC'.求证:△ABC≌△A'B'C'. 证明因为AA'BB',所以四边形ABB'A'是平行四边形,所以AB=A'B'. 同理BC=B'C'. 因为AA'∥BB',BB'∥CC', 所以AA'∥CC'. 因为AA'=BB',BB'=CC', 所以AA'=CC'.所以四边形ACC'A'是平行四边形,所以AC=A'C'. 所以△ABC≌△A'B'C'(SSS). 11.如图,四边形ABEF和ABCD都是直角梯形,∠BAD=∠FAB=90°,BC∥AD,BC=AD,BE∥FA,BE=FA,G,H分别为FA,FD的中点. 证明∵G,H分别为FA,FD的中点,则FG=GA,FH=HD,且GH∥AD,GH=AD.又BC∥AD,BC=AD,∴GH∥BC,GH=BC,∴四边形BCHG为平行四边形. 解C,D,F,E四点共面.证明如下: ∵BE∥FA,BE=FA,G为FA的中点, ∴BE∥FG,BE=FG,∴四边形BEFG为平行四边形,∴EF∥BG,EF=BG. 由(1)知BG∥CH,BG=CH, ∴EF∥CH,EF=CH,∴四边形EFHC是平行四边形,∴CE与HF共面.又D∈FH, ∴C,D,F,E四点共面. $$