4.3.1 空间中直线与直线的位置关系（第2课时 异面直线）课件-2024-2025学年高一下学期数学湘教版（2019）必修第二册

4.3.1　空间中直线与直线的位置关系 第2课时　异面直线 湘教版 数学 必修第二册 课 程 标 准 1.理解异面直线的定义及判断方法. 2.理解异面直线垂直的定义. 3.理解异面直线所成角的概念,会求给定两条异面直线所成的角. 基础落实•必备知识全过关 重难探究•能力素养全提升 目录索引 成果验收•课堂达标检测 基础落实•必备知识全过关 知识点1 异面直线 1.定义:我们把不同在任何一个平面内的两条直线叫作异面直线. 2.异面直线的画法: 为了表示异面直线a,b不共面的特点,作图时,通常用一个或两个平面来衬托,如图①②③所示. 3.异面直线判定定理:与平面相交的直线与_____________________的直线是异面直线. 该平面内不过该交点 过关自诊 判断正误.(正确的画√,错误的画×) (1)分别在两个平面内的直线是异面直线.(　　) (2)在空间中不相交的直线是异面直线.(　　) (3)平面内的一条直线与平面外的一条直线是异面直线.(　　) (4)不同在平面α内的两条直线是异面直线.(　　) × × × × 知识点2 异面直线所成的角 异面直线所成的角定义 对于异面直线a和b,在空间任取一点P,过P分别作a和b的平行线a'和b',我们把a'与b'所成的_____________叫作异面直线a与b所成的角  异面直线 互相垂直 如果两条异面直线a与b所成的角为______,则称这两条异面直线互相垂直,记作__________ 大小范围 异面直线a与b所成的角α的取值范围是__________ 锐角或直角 90° a⊥b (0°,90°] 过关自诊 如图,在正方体中,异面直线A'B与C'C所成的角是___. 45° 重难探究•能力素养全提升 探究点一 判断两条直线为异面直线 【例1】 如图,四棱柱ABCD-A1B1C1D1为正方体,证明:直线BC1与直线A1C是异面直线. 证明 (方法1　反证法)假设直线BC1与直线A1C不是异面直线,则直线BC1与直线A1C共面. 设直线BC1与直线A1C所在的平面为α,则B,C,C1,A1∈α. ∵B,C,C1三点确定的平面为平面BCC1,即平面BCC1B1, ∴平面BCC1B1为α,∴A1∈平面BCC1B1, 这与事实相矛盾,故假设不成立,∴直线BC1与直线A1C是异面直线. (方法2　异面直线判定定理法)∵A1C∩平面BCC1B1=C,又BC1⊂平面BCC1B1,且C∉BC1, ∴直线BC1与直线A1C是异面直线. 规律方法　判定两条直线是异面直线的方法 (1)定义法:由定义判断两直线不可能在同一平面内; (2)反证法:假设所证异面直线是共面的(即平行或相交),由此得到一个矛盾的结论; (3)判定定理法:与平面相交的直线与该平面内不过该交点的直线是异面 直线. 变式训练1 如图,在三棱锥P-ABC中,PB与AC是异面直线吗?并由此判断三棱锥P-ABC的六条棱所在的直线中,异面直线共有几对. 解 由于PB∩平面ABC=B,AC⊂平面ABC,B∉AC,因此PB与AC是异面直线. 同理可知AP与BC异面,PC与AB异面,因此三棱锥P-ABC的六条棱所在的直线中,异面直线共有3对. 探究点二 异面直线所成的角的求法 【例2】 如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是A1B1,B1C1的中点,求异面直线DB1与EF所成角的大小. ① 解 (方法1)如图①,连接A1C1,B1D1,并设它们相交于点O,取DD1的中点G,连接OG,A1G,C1G, 则OG∥B1D,EF∥A1C1,∴∠GOA1为异面直线DB1与EF所成的角或其补角. ∵GA1=GC1,O为A1C1的中点, ∴GO⊥A1C1,∴异面直线DB1与EF所成的角为90°. ② ③ (方法3)如图③,在原正方体的右侧补上一个全等的正方体,连接B1Q,则B1Q∥EF.于是∠DB1Q为异面直线DB1与EF所成的角或其补角. 通过计算,不难得到B1D2+B1Q2=DQ2,从而异面直线DB1与EF所成的角 为90°. 变式探究 若把“直线DB1”换为“直线DC1”呢? 解 如图,连接A1C1,A1D. 在△A1B1C1中,A1E=EB1,C1F=FB1,所以EF∥A1C1,所以∠A1C1D为直线DC1与EF所成的角. 在△A1C1D中,A1D=DC1=A1C1,所以∠A1C1D=60°,所以直线DC1与EF所成的角等于60°. 规律方法　异面直线所成角的求解策略 (1)求两条异面直线所成角的一般步骤: ①构造:恰当地选择一个点(线段的端点或中点),用平移法构造异面直线所成的角. ②证明:证明①中所作出的角就是所求异面直线所成的角或其补角. ③计算:通过解三角形等知识,求出①中所构造的角的大小. ④结论:假如所构造的角的大小为α,若0°<α≤90°,则α即所求异面直线所成角的大小;若90°<α<180°,则180°-α即所求. (2)异面直线所成的角可通过多种方法平移产生,主要有三种方法: ①直接平移法(可利用图中已有的平行线). ②中位线平移法. ③补形平移法(在已知图形中,补作一个相同的几何体,以便找到平行线). 探究点三 根据异面直线所成的角求几何体的其他量 【例3】 在底面边长为2的正四棱锥P-ABCD中,异面直线PC与AD所成角的正切值为2,则四棱锥P-ABCD的高为__________. 解析 根据题意,该几何体如图所示. 规律方法　根据已知几何体中两异面直线所成的角求解几何体中的其他量问题,首先根据题意作出满足条件的角,再结合待求已知量,建立方程 求解. 变式训练2 已知长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=2BC=4,E是C1D1的中点,且异面直线AD1与CE所成的角是60°,则AA1=__________.  2 解析 如图,F为CD中点, 成果验收•课堂达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 A 级 必备知识基础练 1.若a和b是异面直线,b和c是异面直线,则a和c的位置关系是(　　) A.异面或平行 B.异面或相交 C.异面 D.相交、平行或异面 解析 异面直线不具有传递性,如图所示的长方体中a,b异面,a和c的位置关系可以是相交、平行或异面. D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 2.正方体ABCD-A1B1C1D1中,与对角线AC成异面直线的棱有(　　) A.3条 B.4条 C.6条 D.8条 解析 由图知与直线AC为异面直线的棱分别是BB1,DD1,A1D1,B1A1,B1C1, C1D1,共6条. 故选C. C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 解析 若a,b与l都不相交,即a∥l,b∥l,则a∥b,与a,b是异面直线矛盾,故选C. C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 4.[2023湖北高一专题练习]如图所示,在长方体ABCD-A1B1C1D1中, AB=1, AD=2,AA1=3,P是线段A1C1上的动点,则下列直线中,始终与直线BP异面的是(　　) A.DD1 B.B1C C.D1C D.AC 解析 在长方体ABCD-A1B1C1D1中,BB1∥DD1,当P是A1C1与B1D1的交点时,BP⊂平面BDD1B1,BP与DD1相交,故A错误; D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 5.如图,在三棱锥S-ABC中,E为棱SC的中点.若AC=2, SA=SB=SC= AB= BC=2,则异面直线AC与BE所成的角为(　　) A.30° B.45° C.60° D.90° C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 6.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,异面直线B1D1与CD所成角的大小是_____.  45° 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 7.如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,判断下列直线的位置关系. (1)直线A1B与直线D1C的位置关系是__________________;  (2)直线A1B与直线B1C的位置关系是__________________.  平行 异面 解析(1)在长方体ABCD-A1B1C1D1中,A1D1∥BC,A1D1=BC,所以四边形A1BCD1为平行四边形,所以A1B∥D1C. (2)直线A1B与直线B1C不同在任何一个平面内,故直线A1B与直线B1C为异面直线. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 8.如图所示,在空间四边形ABCD中,AB=CD,AB⊥CD,E,F分别为BC,AD的中点,求EF和AB所成的角. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 B 级 关键能力提升练 9.如图,G,N,M,H分别是正三棱柱的顶点或所在的棱的中点,则表示直线GH,MN是异面直线的图形有(　　) A.①③ B.②③ C.②④ D.②③④ 解析 在①中,∵M,G分别是所在棱的中点,∴GH∥MN,故①错误; 在②中,直线GH,MN既不平行又不相交,是异面直线,故②正确; 在③中,∵GH与MN平行且不相等,∴GH与MN相交,故③错误; 在④中,直线GH,MN既不平行又不相交,是异面直线,故④正确.故选C. C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 10.如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,D为A1B1的中点,AB=BC= 2BB1=2, AC=2,则异面直线BD与AC所成的角为(　　) A.30° B.45° C.60° D.90° C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 12.(多选题)一个正方体纸盒展开后如图,在原正方体纸盒中有如下结论,其中正确的是(　　) A.AB与EF是异面直线 B.AB与CM所成的角为60° C.EF与MN是异面直线 D.MN∥CD 解析 把正方体平面展开图还原到原来的正方体, 如图所示,AB与EF是异面直线,EF与MN是异面直线, AB∥CM,MN与CD是异面直线,故A,C正确. AC 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 13.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是BB1,CC1的中点,则AE,BF所成的 角的余弦值是___________. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 14.如图,已知圆柱的上底面圆圆心为O,高和底面圆的半径相等,AB是底面圆的一条直径,点C为底面圆周上一点,且∠ABC=45°,则异面直线AC与OB 所成角的余弦值为__________.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 15.如图,在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,侧面都是矩形,底面四边形ABCD是菱形且AB=BC=2,∠ABC=120°,若异面直线A1B和AD1所成的角为90°,试求AA1的长. 解连接CD1,AC. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 C 级 学科素养创新练 16.如图,在四面体A-BCD中,AC=BD=a,AC与BD所成的角为60°,M,N分别为AB,CD的中点,则线段MN的长为__________________.  解析 如图,取BC的中点E,连接EM,EN, 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 17.设P是直线l外一定点,过点P且与l成30°角的异面直线(　　) A.有无数条 B.有两条 C.至多有两条 D.有一条 解析 如图,过点P作直线l'∥l,以l'为轴,与l'成30°角的圆锥面的所有母线都与l成30°角,除两条与l共面的母线,其余都符合要求.因此,这样的异面直线有无数条. A (方法2)如图②,连接A1D,取A1D的中点H,连接HE,则HE∥DB1,且HE= DB1,于是∠HEF为异面直线DB1与EF所成的角或补角.连接HF,设 AA1=1,则EF=,HE=,取A1D1的中点I,连接IF,IH,则HI⊥IF,∴HF2=HI2+IF2=,∴HF2=EF2+HE2,∴∠HEF=90°,∴异面直线DB1与EF所成的角为90°. 其中H为BC的中点,O'为底面ABCD的中心,则PH⊥BC. 异面直线PC与AD所成角的正切值为2,即直线PC与 BC所成角的正切值为2, 所以tan∠PCH=2,即=2. 因为HC=BH=1,所以PH=2. 在Rt△PO'H中,利用勾股定理得PO'2=PH2-O'H2=3,解得PO'=. 则可得D1E∥CF且D1E=CF,则四边形D1ECF为平行四边形,∴D1F∥CE,则∠AD1F即为异面直线AD1与CE所成的角,即∠AD1F=60°. 设AA1=t,则A=t2+4,D1F2=t2+4,AF=2, 则△AD1F为等边三角形,即=2,解得t=2. 3.已知a,b为异面直线,且a⊂α,b⊂β,若α∩β=l,则直线l(　　) A.与a,b都相交 B.与a,b都不相交 C.至少与a,b之一相交 D.至多与a,b之一相交 当点P与C1重合时,BP⊂平面BCC1B1,BP与B1C相交,故B错误; 当点P与A1重合时,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,四边形A1BCD1是矩形,此时BP∥D1C,故C错误; 因为AC⊂平面ABCD,B∉AC,B∈平面ABCD,而P∉平面ABCD,因此BP与AC是异面直线,故D正确.故选D. 解析 如图,取SA的中点F,连接EF,BF,则EF∥AC,∴∠BEF(或其补角)为异面直线AC与BE所成的角. ∵AC=2,SA=SB=AB=BC=SC=2, ∴BE=EF=BF=,∴∠BEF=60°.故选C. 解析如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中, ∵C1D1∥CD, ∴∠B1D1C1即异面直线B1D1与CD所成的角. ∵△B1D1C1为等腰直角三角形, ∴∠B1D1C1=45° 解如图,取AC的中点G,连接EG,FG,则FG∥CD,EG∥AB, 所以∠FEG即为EF与AB所成的角,且FG=CD,EG=AB,又AB=CD,AB⊥CD, 所以FG=EG,且FG⊥EG,所以∠FEG=45°, 故EF和AB所成的角为45°. 解析 如图,取B1C1的中点E,连接BE,DE,则AC∥A1C1,A1C1∥DE. 所以∠BDE即为异面直线BD与AC所成的角或其补角. 由已知可得BD=DE=BE=,△BDE为正三角形, 所以∠BDE=60°,所以异面直线BD与AC所成的角为60°. 11.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为棱CC1的中点,则异面直线AE与CD所成角的正切值为(　　) A. B. C. D. 解析 在正方体ABCD-A1B1C1D1中,CD∥AB, 所以异面直线AE与CD所成角为∠EAB(或其补角). 设正方体边长为2a,则由E为棱CC1的中点,可得CE=a, 所以BE=a.AE2=AC2+CE2=9a2, 则有AE2=AB2+BE2, 则tan∠EAB=.故选C. 解析取DD1的中点G,由GA∥BF且GA=BF可得∠GAE为AE,BF所成的角. 设正方体棱长为1,在△GAD中,利用勾股定理可得AG=, 所以AE=AG=.又EG=, 所以由余弦定理可得2=-2×cos∠EAG, ∴cos∠EAG=. 解析如图,O'为下底面圆圆心,过点B作BD∥AC交圆O'于D,连接OD,AD,则∠OBD即为直线AC与OB所成角, 设底面圆半径为1,由圆柱高和底面圆的半径相等,得圆柱高为1, ∴在Rt△OO'B中,OB=. ∵∠ABC=45°,∴AC=BC=, ∴BD=AC=.又OB=OD=, ∴△OBD为正三角形, 则∠OBD=,故直线AC与OB所成角的余弦值为. 由题意得在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,∵A1D1∥BC,A1D1=BC,∴四边形A1BCD1是平行四边形, ∴A1B∥CD1,∴∠AD1C(或其补角)为A1B和AD1所成的角. ∵异面直线A1B和AD1所成的角为90°, ∴∠AD1C=90°. ∵四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=2, ∴△ACD1是等腰直角三角形, ∴AD1=AC.∵底面四边形ABCD是菱形,且AB=BC=2,∠ABC=120°, ∴AC=2×sin 60°×2=6,AD1=AC=3, ∴AA1=. A ∵M,E分别为AB,BC的中点,∴ME∥AC且ME=AC=, 同理可得EN∥BD且EN=BD=,∴∠MEN为异面直线AC与BD所成的角或其补角,则∠MEN=60°或120°.在△MEN中,EM=EN=,若∠MEN=60°,则△MEN为等边三角形,此时,MN=;若∠MEN=120°,由余弦定理可得MN=a. 综上所述,MN=a. $$