4.3.2 空间中直线与平面的位置关系（第1课时 直线与平面平行）课件-2024-2025学年高一下学期数学湘教版（2019）必修第二册

4.3.2　空间中直线与平面的位置关系 第1课时　直线与平面平行 湘教版 数学 必修第二册 课 程 标 准 1.掌握直线与平面之间的位置关系,并能判断这些位置关系. 2.通过直观感知、操作确认,归纳出空间中线面平行的相关定理和性质. 3.掌握直线与平面平行的判定定理和性质定理,能利用以上定理解决空间中的相关平行性问题. 基础落实•必备知识全过关 重难探究•能力素养全提升 目录索引 成果验收•课堂达标检测 基础落实•必备知识全过关 知识点1 空间直线与平面的位置关系 位置关系 图形语言 符号语言 公共点 直线在平面内 　　　  直线上所有的点都是公共点 直线和平面相交 　　　  　　　　　　　公共点  直线和平 面平行 　　　  　　　　公共点  a⊂α a∩α=A a∥α 有且只有一个 没有 过关自诊 1.观察如图所示的长方体ABCD-A1B1C1D1,线段A1B所在的直线与长方体的六个面所在平面有几种位置关系? 提示 直线A1B在平面ABB1A1内,与平面CDD1C1平行,与其余四个面相交. 2.直线a与平面α满足a∩α≠⌀,则直线a与平面α的位置关系包括哪些情况? 提示 直线 在平面内、直线与平面相交. 知识点2 直线与平面平行的判定定理 文字 语言 如果__________一条直线与此平面内的一条直线_______,那么该直线与此平面平行  图形 语言 符号 语言 若a_______α,b⊂α,a∥b,则a∥α  作用 证明直线与平面平行 平面外 平行 ⊄ 名师点睛 1.线面平行的判定定理包含三个条件: (1)平面外一条直线; (2)平面内一条直线; (3)两条直线平行.这三个条件缺一不可. 2.定理充分体现了等价转化思想,它将线面平行问题转化为线线平行问题,即线线平行⇒线面平行. 过关自诊 1.直线在平面外,是否说明直线与平面一定平行? 2.如果直线a与平面α内的一条直线b平行,直线a与平面α一定平行吗? 提示 不一定,也可能直线与平面相交. 提示 不一定,直线a可能在平面α内. 知识点3 直线与平面平行的性质定理 文字 语言 一条直线与一个平面平行,如果__________的平面与此平面相交,那么 该直线与交线__________  图形 语言 符号 语言 若a∥α,a⊂β,__________,则a∥b  作用 证明两条直线平行 过该直线 平行 α∩β=b 名师点睛 1.线面平行的性质定理包含三个条件:(1)a∥α;(2)a⊂β;(3)α∩β=b.这三个条件缺一不可. 2.当a∥α时,过a的任何平面与α的交线都与a平行,即a可以和α内的无数条直线平行,但不是任意的. 过关自诊 1.如果直线和平面平行,那么这条直线与这个平面内的直线的位置关系是怎样的? 2.若直线a与平面α平行,则在平面α内与直线a平行的直线有多少条?这些直线的位置关系如何? 提示 平行或者异面. 提示 在平面α内与直线a平行的直线有无数条,这些直线互相平行. 重难探究•能力素养全提升 探究点一 直线与平面平行的判定 【例1】 如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点N在BD上,点M在B1C上,且CM=DN.求证:MN∥平面AA1B1B. ∴ME=NF.又ME∥BC∥AD∥NF, ∴四边形MEFN为平行四边形.∴MN∥EF. ∵MN⊄平面AA1B1B,EF⊂平面AA1B1B, ∴MN∥平面AA1B1B. ① (方法2)如图②,连接CN并延长交BA所在直线于点P,连接B1P, 则B1P⊂平面AA1B1B. ∵△NDC∽△NBP, ∵MN⊄平面AA1B1B,B1P⊂平面AA1B1B, ∴MN∥平面AA1B1B. ② 规律方法　证明线面平行的思路及步骤 证明直线与平面平行,可以用定义,也可以用判定定理,但说明直线与平面没有公共点不是很容易(当然也可用反证法),所以更多的是用判定定理,用判定定理证明直线与平面平行的步骤如下: 变式训练1[北师大版教材例题]如图,长方体ABCD-A1B1C1D1中,点E为DD1的中点,试判断BD1与平面AEC的位置关系,并说明理由. 解 BD1∥平面AEC,理由如下: 如图,连接BD,设BD∩AC=O,则点O为BD的中点,连接EO. 因为点E为DD1的中点,所以EO∥BD1. 又因为EO⊂平面AEC,BD1⊄平面AEC, 所以由直线与平面平行的判定定理,得BD1∥平面AEC. 探究点二 直线与平面平行性质定理的应用 如图,已知AB与CD是异面直线,且AB∥平面α,CD∥平面α,AC∩α=E,AD∩α=F,BD∩α=G,BC∩α=H. 求证:四边形EFGH是平行四边形. 证明 因为AB∥平面α,AB⊂平面ABC, 平面ABC∩平面α=EH,所以AB∥EH, 因为AB∥平面α,AB⊂平面ABD,平面ABD∩平面α=FG,所以AB∥FG,所以EH∥FG, 同理由CD∥平面α,可证EF∥GH, 所以四边形EFGH是平行四边形. 变式探究(1)本例中添加条件异面直线AB与CD垂直,其他条件不变,判断四边形EFGH的形状. 解 (1)由例2知AB∥EH,CD∥EF, 又因为AB⊥CD,所以EH⊥EF. 又因为四边形EFGH是平行四边形, 所以四边形EFGH是矩形. (2)本例中若添加条件AB=CD,能否得出四边形EFGH为菱形?说明理由. 因为AB=CD,所以要得到EH=EF,需CE=AE. 由题意知CE=AE不一定成立,所以由AB=CD不能得出四边形EFGH为菱形. 规律方法　1.利用线面平行的性质定理解题的步骤 2.运用线面平行的性质定理时,应先确定线面平行,再寻找过已知直线的平面与这个平面相交的交线,然后确定线线平行. 探究点三 直线与平面平行性质定理在探索性问题中的应用 【例3】 已知正三棱柱ABC-A'B'C'中,D是AA'上的点,E是B'C'的中点,且A'E∥平面DBC'.试判断点D在AA'上的位置,并给出证明. 解 D为AA'的中点.证明如下:取BC的中点F,连接AF,EF,设EF与BC'交于点O,连接DO,易证A'E􀱀AF.所以点A',E,F,A共面于平面A'EFA. 因为A'E∥平面DBC',A'E⊂平面A'EFA, 且平面DBC'∩平面A'EFA=DO, 所以A'E∥DO.在平行四边形A'EFA中,因为O是EF的中点(因为EC'∥BF,且EC'=BF), 所以D为AA'的中点. 规律方法　解答与平行有关的探索性题目的方法与步骤 (1)有中点这一条件时,一般试探性地以中点为基础作辅助线或面,然后再证明是否满足条件. (2)关于平行的性质定理是作证明和计算的理论依据. (3)一般步骤:取点、连线、成形→探索论证→计算(作答). 变式训练2 如图,AB是圆O的直径,点C是圆O上异于A,B的点,P为平面ABC外一点,E,F分别是PA,PC的中点.记平面BEF与平面ABC的交线为l,试判断直线l与平面PAC的位置关系,并加以证明. 证明 直线l∥平面PAC,证明如下: 因为E,F分别是PA,PC的中点,所以EF∥AC. 又EF⊄平面ABC,且AC⊂平面ABC, 所以EF∥平面ABC. 而EF⊂平面BEF,且平面BEF∩平面ABC=l, 所以EF∥l. 因为l⊄平面PAC,EF⊂平面PAC,所以l∥平面PAC. 分类讨论思想在线面平行中的应用 【典例】 已知BC∥平面α,D在线段BC上,A∉α,直线AB,AC,AD分别交α于点E,G,F,且BC=a,AD=b,DF=c,求EG的长. ① 解(1) 当BC位于点A与平面α之间时, 如图①,AB∩AC=A,由AB,AC确定平面β, (2)当点A在BC与平面α之间时,如图②,因为BC∥平面α, 同理有BC∥EG,,即, 所以EG=. ② (3)当点A和BC位于平面α两侧时,如图③. ③ 成果验收•课堂达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 A 级 必备知识基础练 1.[2023浙江高一课时练习]下列条件能得出直线m与平面α平行的是(　　) A.直线m与平面α内的所有直线平行 B.直线m与平面α内的无数条直线平行 C.直线m与平面α没有公共点 D.直线m与平面α内的一条直线平行 解析 直线m不可能与平面α内的所有直线平行,故A错误; 当直线m在平面α内时,满足直线m与平面α内的无数条直线平行,但m与α不平行,故B错误; 直线m与平面α没有公共点,则直线m与平面α平行,故C正确; 当直线m在平面α内时,直线m与平面α不平行,故D错误.故选C. C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2.在正方体ABCD-A'B'C'D'中,点E,F分别为平面 ABCD和平面A'B'C'D'的中心,则正方体的六个面中与EF平行的平面有(　　) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 解析 如图,正方体四个侧面AA'B'B,BB'C'C,CC'D'D,DD'A'A都与EF平行.故选D. D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 4.(多选题)下列四个说法正确的是(　 　) A.如果一条直线不在某个平面内,那么这条直线就与这个平面平行 B.过直线外一点有无数个平面与这条直线平行 C.过平面外一点有无数条直线与这个平面平行 D.过空间一点必存在某个平面与两条异面直线都平行 解析 如果一条直线不在某个平面内,那么这条直线就与这个平面平行或相交,故A错误;B正确,C正确;过空间一点不一定存在某个平面与两条异面直线都平行,可能与其中一条平行,经过另一条直线,故D错误.故选BC. BC 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 5.在五棱台ABCDE-A1B1C1D1E1中,F,G分别是AA1和BB1上的点且 ,则FG与平面ABCDE的位置关系是(　　) A.平行 B.相交 C.FG⊂平面ABCDE D.无法判断 A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 6.若直线a∥直线b,则过a且与b平行的平面有_________个 无数 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 B 级 关键能力提升练 8.如图,在四面体ABCD中,若M,N,P分别为线段AB,BC,CD的中点,则直线BD与平面MNP的位置关系为(　　) A.平行 B.相交 C.相交或BD⊂平面MNP D.以上都不对 A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 9.设m,n是平面α外的两条直线,给出下列三个论断:①m∥n;②m∥α;③n∥α.以其中两个为条件,余下的一个为结论,可构成三个命题:①②⇒③,②③⇒①,①③⇒②.其中真命题的个数为(　　) A.0 B.1 C.2 D.3 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 10.(多选题)如图,空间四边形ABCD中,E,F,G分别是AB,BC,CD的中点,下列结论正确的是(　　) A.AD∥EG B.AC∥平面EFG C.BD∥平面EFG D.AD,FG是一对相交直线 BC 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 13.如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为梯形,AB∥CD,AB=4,CD=2,点M在棱PD上. (1)求证:CD∥平面PAB; 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 C 级 学科素养创新练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 证明 (方法1)如图①,作ME∥BC,交BB1于点E,作NF∥AD,交AB于点F,连接EF,则EF⊂平面AA1B1B,且. ∵在正方体ABCD-A1B1C1D1中,CM=DN,B1C=BD,∴B1M=NB. ∴.又AD=BC, ∴. 又CM=DN,B1C=BD, ∴.∴MN∥B1P. (2)不能.理由如下:由例2知AB∥EH,则. 又因为CD∥EF,所以. 所以BC⊂β,α∩β=EG. 因为BC∥平面α,所以BC∥EG. 在△AEG中,, 所以,即.所以EG=. 同理有BC∥EG,, 即,所以EG=. 综上所述,EG的长为. 3.[2023安徽合肥期中]如图,P为平行四边形ABCD所在平面外一点,E为AD的中点,F为PC上一点,当PA∥平面EBF时,= (　　) A. B. C. D. 解析 连接AC与BE相交于点O,连接FO,如图所示. ∵PA∥平面EBF,PA⊂平面PAC,平面PAC∩平面EBF=FO, ∴PA∥FO,则有. 由题意得,∠AOE=∠BOC,∠AEO=∠CBO, 则△AEO∽△CBO,故. 在平行四边形ABCD中,E为AD的中点,, 所以. 故选D. 解析 ∵在五棱台中,AB∥A1B1, ∴四边形AA1B1B是梯形.∵, ∴FG∥AB. 而FG⊄平面ABCDE,AB⊂平面ABCDE, ∴FG∥平面ABCDE.故选A. 解析在a上任取一点P,过点P作与b异面的直线c,则a与c确定一个平面α.由于能作无数条直线c,则平面α有无数个.又因为a∥b,b⊄α,a⊂α,所以b∥α. 7.如图,在长方体ABCD-A'B'C'D'中,点P∈BB'(不与点B,B'重合),PA∩BA'=M, PC∩BC'=N,求证:MN∥平面ABCD. 证明∵AA'􀱀CC', ∴四边形ACC'A'为平行四边形, ∴AC∥A'C'. 又AC⊄平面BA'C',A'C'⊂平面BA'C', ∴AC∥平面BA'C'. ∵平面PAC∩平面BA'C'=MN,AC⊂平面PAC, ∴MN∥AC. ∵MN⊄平面ABCD,AC⊂平面ABCD, ∴MN∥平面ABCD. 解析 显然BD⊄平面MNP,∵N,P分别为BC,DC的中点, ∴NP∥BD,而NP⊂平面MNP,∴BD∥平面MNP. 解析 m⊄α,n⊄α.m∥n,m∥α⇒n∥α,即①②⇒③;同理可得①③⇒②;m∥α,n∥α⇒m,n平行、相交或异面.所以真命题的个数为2,故选C. 解析 取BD的中点M,连接EM,可得AD∥EM.而EM与EG为相交直线,可得直线AD,EG为异面直线,故A错误. ∵E,F,G分别是AB,BC,CD的中点, ∴FE∥AC.又FE⊂平面EFG,AC⊄平面EFG, ∴AC∥平面EFG,故B正确. ∵E,F,G分别是AB,BC,CD的中点, ∴FG∥BD. 又FG⊂平面EFG,BD⊄平面EFG, ∴BD∥平面EFG,故C正确. ∵AD是平面BCD外的一条直线,而FG为平面BCD内不经过点D的一条直线,∴AD,FG为异面直线,故D错误. 故选BC. 11.如图所示,直线a∥平面α,A∉α,并且a和A位于平面α两侧,点B,C∈a,AB,AC分别交平面α于点E,F.若BC=4,CF=5,AF=3,则EF=_____.  解析由于点A不在直线a上,则直线a和点A确定一个平面β,所以α∩β=EF. 因为a∥平面α,a⊂平面β,所以EF∥a. 所以.所以EF=. 12.如图所示,ABCD-A1B1C1D1是棱长为a的正方体,M,N分别是棱A1B1,B1C1的中点,P是棱AD上的一点,AP=,过P,M,N的平面交上底面于PQ,Q在CD上,则PQ=__________________.  A 解析 由题得,MN∥平面ABCD,平面PMN∩平面ABCD=PQ,∴MN∥PQ.又MN∥A1C1∥AC,∴PQ∥AC. ∵AP=,∴DP=DQ=. ∴PQ=a. 证明因为CD∥AB,CD⊄平面PAB,AB⊂平面PAB,所以CD∥平面PAB. (2)若PB∥平面MAC,求的值. 解如图,连接BD交AC于点O,连接OM,因为PB∥平面MAC,且PB⊂平面PBD,平面PBD∩平面MAC=MO,所以PB∥MO.所以△DOM∽△DBP, 所以.因为CD∥AB,所以△COD∽△AOB, 则=2.故=2. 14.如图所示,在三棱柱ABC-A1B1C1中,D为线段AC的中点,D1是A1C1上的一点,当等于何值时,BC1∥平面AB1D1?请证明你的结论. 解=1.证明如下:如图所示,此时D1为线段A1C1的中点,连接A1B交AB1于点O,连接OD1. 由棱柱的定义,知四边形A1ABB1为平行四边形,∴O为A1B的中点. 在△A1BC1中,O,D1分别为A1B,A1C1的中点, ∴OD1∥BC1.又OD1⊂平面AB1D1,BC1⊄平面AB1D1, ∴BC1∥平面AB1D1. ∴当=1时,BC1∥平面AB1D1. $$