4.3.2 空间中直线与平面的位置关系（第2课时 直线与平面垂直）课件-2024-2025学年高一下学期数学湘教版（2019）必修第二册

4.3.2　空间的几何体 第2课时　直线与平面垂直 湘教版 数学 必修第二册 课 程 标 准 1.理解并掌握直线与平面垂直的定义,明确定义中“所有”两字的重要性. 2.掌握直线与平面垂直的判定定理和性质定理,并能解决有关线面垂直的问题. 3.理解直线和平面所成的角的含义,并知道其求法. 4.理解点、直线到平面距离的含义,并能求解距离. 基础落实•必备知识全过关 重难探究•能力素养全提升 目录索引 成果验收•课堂达标检测 基础落实•必备知识全过关 知识点1 直线与平面垂直的定义 定义  如果直线l与平面α相交,并且垂直于这个平面内的所有直线,那么就称直线l与平面α垂直 记法 l⊥α 有关 概念 直线l叫作平面α的__________,平面α叫作直线l的______________,它们的交点叫作____________ 图示 画法 画直线与平面垂直时,通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直 常见 结论 1.过一点有且只有一条直线和一个平面垂直; 2.过一点有且只有一个平面和一条直线垂直 可以看作是任意但不是无数 垂线 垂面 垂足 名师点睛 直线和平面垂直是直线与平面相交的一种特殊情况. 过关自诊 直线l与平面α内的无数条直线垂直,则( ) A.l和α相互平行 B.l和α相互垂直 C.l在平面α内 D.l和α的位置关系不能确定 解析 直线l和α相互平行或直线l和α相互垂直或直线l在平面α内都有可能,如图所示. D 知识点2 直线与平面垂直的判定定理 文字 语言   如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直,那么该直线与此平面垂直   图形 语言   符号 语言 若a⊂α,b⊂α,l⊥a,l⊥b,_______,则l⊥α  作用 判断直线与平面垂直 不是任意 a∩b=A 过关自诊 1.[人教A版教材习题]判断下列命题是否正确,正确的在括号内画“√”,错误的画“×”. (1)如果两条平行直线中的一条与已知直线垂直,那么另一条也与已知直线垂直.( ) (2)垂直于同一条直线的两条直线平行.( ) √ × [人教A版教材习题]如图,在长方体ABCD-A'B'C'D'的各条棱所在直线中, (1)与直线AB垂直的直线有______________条;  (2)与直线AB异面且垂直的直线有______________条;  (3)与直线AB和A'D'都垂直的直线有______________条;  (4)与直线AB和A'D'都垂直且相交的直线是直线______________. 8 4 4 AA' 知识点3 直线与平面垂直的性质定理 文字语言 垂直于同一个平面的两条直线_______ 符号语言 若a⊥α,b⊥α,则_______ 图形语言 作用 证明两条直线平行 平行 a∥b 过关自诊 在长方体ABCD-A'B'C'D'中,棱AA',BB'所在直线与平面ABCD位置关系如何?这两条直线又有什么样的位置关系? 提示 棱AA',BB'所在直线都与平面ABCD垂直;这两条直线互相平行. 知识点4 空间距离 1.点到平面的距离:过一点S向平面ABC作垂线,垂足为A,则称垂线段SA的长度为点S到平面ABC的距离. 2.直线与平面的距离:一条直线和一个平面______________,这条直线上任意一点到这个平面的距离,叫作这条直线与这个平面的距离.  平行 过关自诊 已知在正方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,则点C到平面BDD1B1的距离为 ( ) 解析 如图,AC与DB交于点O,在正方体ABCD-A1B1C1D1中, ∵DB⊥AC,BB1⊥AC,BB1∩DB=B,BB1,DB⊂平面BDD1B1, ∴AC⊥平面BDD1B1. ∴点C到平面BDD1B1的距离为CO. B 知识点5 直线与平面所成的角 一条直线l与一个平面α相交,但不与平面α_______,则直线l称为平面α的一条斜线,斜线l与平面α的______________称为斜足.过斜线l上斜足以外的一点P向平面α作______________,过垂足O和斜足A的直线AO称为斜线l在平面α上的投影.平面的一条斜线与它在该平面上的投影所成的__________,叫作这条直线与这个平面所成的角.  当直线l与平面α______________或在平面α内时,直线l与平面α所成的角为0°.当直线l与平面α垂直时,直线l与平面α所成的角为_______.故直线l与平面α所成角的取值范围是__________.  垂直 交点A 垂线 锐角 平行 90° [0°,90°] 过关自诊 1.如图所示,若斜线段AB是它在平面α上的投影BO的2倍,则直线AB与平面α所成的角是( ) A.60° B.45° C.30° D.120° A 解析∠ABO即是斜线AB与平面α所成的角,在Rt△AOB中,AB=2BO,所以cos∠ABO=,即∠ABO=60°. 2.如图所示,在三棱锥P-ABC中,PA⊥平面ABC,PA=AB,则直线PB与平面ABC所成的角等于_______.  解析 因为PA⊥平面ABC,所以斜线PB在平面ABC上的投影为AB,所以∠PBA即为直线PB与平面ABC所成的角. 在△PAB中,∠BAP=90°,PA=AB,所以∠PBA=45°, 即直线PB与平面ABC所成的角等于45°. 45° 重难探究•能力素养全提升 探究点一 证明直线与平面垂直 【例1】 如图所示,AB⊥BC,△ABC所在平面外有一点S,且SA=SB=SC,AC的中点为D. (1)求证:SD⊥平面ABC. (2)若AB=BC,求证:BD⊥平面SAC. 证明 (1)∵SA=SC,D为AC的中点,∴SD⊥AC. 在Rt△ABC中,AD=DC=BD, 又SA=SB,∴△SDA≌△SDB. ∴∠SDA=∠SDB,即SD⊥DB. 又AC∩BD=D,AC⊂平面ABC,BD⊂平面ABC, ∴SD⊥平面ABC. (2)∵BA=BC,D为AC的中点,∴BD⊥AC. ∵SD⊥平面ABC,BD⊂平面ABC,∴BD⊥SD, ∵AC⊂平面SAC,SD⊂平面SAC,AC∩SD=D, ∴BD⊥平面SAC. 规律方法　直线与平面垂直的证明方法 证明线面垂直时主要是利用直线与平面垂直的判定定理,在已知平面内寻找两条相交直线与平面外的直线垂直.证明线线垂直时,要注意分析几何图形,寻找隐含的和题目中推导出的线线垂直关系,进而证明线面垂直.三角形全等、等腰三角形、菱形、正方形的对角线、三角形中的勾股定理等都是找线线垂直的方法. 变式训练1 如图,在四棱锥S-ABCD中,AB∥CD,BC⊥CD,侧面SAB为等边三角形,AB=BC=2,CD=SD=1.求证:SD⊥平面SAB. 探究点二 线面垂直性质定理的应用 【例2】如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,EF与异面直线AC,A1D都垂直相交.求证:EF∥BD1. 证明 连接AB1,B1C,BD,B1D1,如图. ∵DD1⊥平面ABCD,AC⊂平面ABCD,∴DD1⊥AC. 又AC⊥BD,BD∩DD1=D, BD⊂平面BDD1B1,DD1⊂平面BDD1B1, ∴AC⊥平面BDD1B1.又BD1⊂平面BDD1B1, ∴AC⊥BD1.同理BD1⊥B1C,∵AC∩B1C=C, ∴BD1⊥平面AB1C. ∵EF⊥A1D,且A1D∥B1C,∴EF⊥B1C. 又EF⊥AC,AC∩B1C=C,AC⊂平面AB1C,B1C⊂平面AB1C,∴EF⊥平面AB1C.∴EF∥BD1. 规律方法　直线与平面垂直的性质定理主要是用来证明直线与直线平行:垂直于同一平面的两条直线平行. 变式训练2 如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M是AB上一点,N是A1C的中点,MN⊥平面A1DC.求证: (1)MN∥AD1; (2)M是AB的中点. 证明 (1)因为四边形ADD1A1为正方形, 所以AD1⊥A1D.又因为CD⊥平面ADD1A1, 所以CD⊥AD1. 因为A1D∩CD=D,A1D,CD⊂平面A1DC,所以AD1⊥平面A1DC.又因为MN⊥平面A1DC,所以MN∥AD1. (2)如图,设AD1与A1D的交点为O,连接ON, 所以ON∥AM. 又因为MN∥OA, ∴四边形AMNO为平行四边形.所以ON=AM. 探究点三 直线与平面所成的角 【例3】 在正方体ABCD-A1B1C1D1中: (1)求直线A1C与平面ABCD所成的角的正切值; (2)求直线A1B与平面BDD1B1所成的角. 解 (1)∵直线A1A⊥平面ABCD, ∴∠A1CA为直线A1C与平面ABCD所成的角. 设A1A=1,则AC=,∴tan∠A1CA=. (2)连接A1C1交B1D1于点O,连接OB, 在正方形A1B1C1D1中,A1C1⊥B1D1, ∵BB1⊥平面A1B1C1D1,A1C1⊂平面A1B1C1D1,∴BB1⊥A1C1. 又BB1∩B1D1=B1, BB1,B1D1⊂平面BDD1B1, ∴A1C1⊥平面BDD1B1,垂足为点O. ∴∠A1BO为直线A1B与平面BDD1B1所成的角, 即直线A1B与平面BDD1B1所成的角为30°. 规律方法　求直线与平面所成角的方法 (1)寻找过斜线上斜足以外一点与平面垂直的直线;连接垂足和斜足得到斜线在平面上的投影,斜线与其投影所成的锐角即为所求的角.规定当直线与平面平行或在平面内时,所成角为0°;当直线与平面垂直时,所成角为90°. (2)把该角归结在某个三角形中,通过解三角形,求出该角. 变式训练3[人教A版教材例题]如图,已知正方体ABCD-A'B'C'D'. (1)哪些棱所在的直线与直线AA'垂直? (2)求直线BA'与CC'所成的角的大小. (3)求直线BA'与AC所成的角的大小. 解 (1)棱AB,BC,CD,DA,A'B',B'C',C'D',D'A'所在直线分别与直线AA'垂直. (2)因为ABCD-A'B'C'D'是正方体, 所以BB'∥CC',因此∠A'BB'为直线BA'与CC'所成的角. 又因为∠A'BB'=45°, 所以直线BA'与CC'所成的角等于45°. (3)如图,连接A'C'. 因为ABCD-A'B'C'D'是正方体, 所以AA'􀱀CC'. 从而四边形AA'C'C是平行四边形,所以AC∥A'C'. 于是∠BA'C'为异面直线BA'与AC所成的角. 连接BC',易知△A'BC'是等边三角形,所以∠BA'C'=60°. 从而异面直线BA'与AC所成的角等于60°. 探究点四　　点到平面距离的求法 【例4】 如图所示,已知P为△ABC外一点,PA,PB,PC两两垂直,PA=PB=PC=a,求点P到平面ABC的距离. 解 (方法1)过点P作PO⊥平面ABC于点O,连接AO,BO,CO, 所以PO⊥OA,PO⊥OB,PO⊥OC. 因为PA=PB=PC=a,所以△PAO≌△PBO≌△PCO. 所以OA=OB=OC,所以O为△ABC的外心. 规律方法　1.求点到平面距离的基本步骤是: (1)找到或作出要求的距离; (2)使所求距离在某一个三角形中; (3)在三角形中根据三角形的边角关系求出距离. 2.求点到平面距离的常用方法: (1)直接过点作面的垂线,求垂线段的长,通常是化归到某一个直角三角形中去求解; (2)转移法:借助于线面平行将点转移到直线上某一特殊点到平面的距离 求解; (3)等体积法:利用三棱锥的特征选择恰当的底面来求点到面的距离(即棱锥的高). 变式训练4在矩形ABCD中,AB=3,BC=4,PA⊥平面ABCD,且PA=1,取对角线BD上一点E,连接PE,PE⊥DE,则PE的长为__________.  解析 如图所示,连接AE. 因为PA⊥平面ABCD, BD⊂平面ABCD,所以PA⊥BD. 又因为BD⊥PE,PA∩PE=P, PA,PE⊂平面PAE, 所以BD⊥平面PAE,所以BD⊥AE. 成果验收•课堂达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 A 级 必备知识基础练 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2.直线a与平面α所成的角为50°,直线b∥a,则直线b与平面α所成的角等于 (　　) A.40° B.50° C.90° D.150° B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 4.若空间四边形ABCD的四边相等,则它的两对角线AC,BD的关系是(　　) A.垂直且相交 B.相交但不一定垂直 C.垂直但不相交 D.不垂直也不相交 解析 取BD的中点O,连接AO,CO, 则BD⊥AO,BD⊥CO, 故BD⊥平面AOC,BD⊥AC. 又因为BD,AC异面,所以AC,BD垂直但不相交.故选C C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 6.线段AB在平面α的同侧,A,B到α的距离分别为3和5,则AB的中点到α的距离为_________.  4 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 7.如图,四边形ABCD为矩形,AD⊥平面ABE,F为CE上的点,且BF⊥平面ACE.求证:AE⊥BE. 证明∵AD⊥平面ABE,AD∥BC, ∴BC⊥平面ABE.又AE⊂平面ABE, ∴AE⊥BC. ∵BF⊥平面ACE,AE⊂平面ACE, ∴AE⊥BF. ∵BF⊂平面BCE,BC⊂平面BCE,BF∩BC=B, ∴AE⊥平面BCE.又BE⊂平面BCE, ∴AE⊥BE. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 B 级 关键能力提升练 8.如图,AB是☉O的直径,C是圆周上不同于A,B的任意一点,PA与平面ABC垂直,则四面体P-ABC的四个面中,直角三角形有(　　) A.4个 B.3个 C.2个 D.1个 A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 9.[2023四川德阳模拟]如图,以等腰直角三角形ABC的斜边BC上的高AD为折痕,把△ABD和△ACD折成互相垂直的两个平面后,某学生得出下列四个结论: ①BD⊥AC; ②△BCA是等边三角形; ③三棱锥D-ABC是正三棱锥; ④平面ADC⊥平面ABC. 其中正确的是(　　) A.①②④ B.①②③ C.②③④ D.①③④ B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 10.(多选题)如图,在以下四个正方体中,直线AB与平面CDE垂直的是(　　) BD 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 ABC 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析 如图,连接AD1, 则EF∥AD1∥BC1, 又BC1⊥B1C, ∴EF⊥B1C,故A正确; ∵BC1∥EF,EF⊂平面EFG,BC1⊄平面EFG, ∴BC1∥平面EFG,故B正确;A1C⊥EF,A1C⊥EG,EF∩EG=E, ∴A1C⊥平面EFG,故C正确; ∵FG∥AB1, ∴∠AB1C为异面直线FG,B1C所成角,连接AC,可得△AB1C为等边三角形,则∠AB1C=,即异面直线FG,B1C所成角的大小为,故D错误.故选ABC. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 12.在三棱锥V-ABC中,当三条侧棱VA,VB,VC之间满足条件_____________ __________________________________________时,有VC⊥AB.(注:填上你认为正确的一种条件即可)  VC⊥VB (答案不唯一,只要能保证VC⊥AB即可) VC⊥VA, 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 13.[2023天津高一专题练习]正方体ABCD-A1B1C1D1中,直线A1B与平面ABC1D1所成角的大小为________.  30° 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 14.如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,A1D与AD1交于点O. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 (2)求直线AC与平面A1CD所成角的大小. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 C 级 学科素养创新练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 (2)若G为PC的中点,求DG与平面APC所成角的正切值; 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 A.1 B.C.2 D.2 ∵AB=2,∴AC=2,∴CO=AC=. 证明 ∵AB∥CD,BC⊥CD,AB=BC=2,CD=1, ∴底面ABCD为直角梯形,AD=. ∵侧面SAB为等边三角形,∴SA=SB=AB=2. 又SD=1,∴AD2=SA2+SD2,∴SD⊥SA. 连接BD(图略),则BD=,∴BD2=SD2+SB2,∴SD⊥SB. 又SA∩SB=S,SA,SB⊂平面SAB,∴SD⊥平面SAB. 在△A1DC中,A1O=OD,A1N=NC,所以ON􀱀CD􀱀AB. 因为ON=AB,所以AM=AB. 所以M是AB的中点. 在Rt△A1BO中,A1O=A1C1=A1B,∴∠A1BO=30°. 因为PA,PB,PC两两垂直,所以AB=BC=CA=a. 所以△ABC为正三角形,所以OA=AB=a. 所以PO=a. 所以点P到平面ABC的距离为a. (方法2)由题意可知△APB≌△BPC≌△CPA,且AB=BC=CA=a.设点P到平面ABC的距离为h, ∵PA,PB,PC两两垂直, ∴AP⊥平面BPC. 由V三棱锥P-ABC=V三棱锥A-BPC,得S△ABC·h=S△BPC·AP, 即×(a)2·h=a2·a,解得h=a. 故点P到平面ABC的距离为a. 所以AE=.所以在Rt△PAE中, 由PA=1,AE=,得PE=. 1.[2023北京东城校级模拟]已知直线m,n和平面α,如果n⊂α,那么“m⊥n”是“m⊥α”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析 若n⊂α,m⊥n,则m⊥α或m⊂α,若m⊥α,n⊂α,则m⊥n,故“m⊥n”是“m⊥α”的必要不充分条件.故选B. 3.下列四个说法正确的是(　　) A.过空间一点有且只有一条直线与已知平面垂直 B.已知两条不重合的直线m,n和平面α,若m⊥n,m⊥α,则n∥α C.a,b,l表示三条不同的直线,α表示平面,若a⊂α,b⊂α,l⊥a,l⊥b,则l⊥α D.若直线a不平行于平面α,则直线a垂直于平面α 5.在三棱柱ABC-A1B1C1中,各棱长相等,侧棱垂直于底面,BC1∩B1C=D,则AD与平面ABC所成角的大小是(　　) A.30° B.45° C.60° D.90° 解析 取BC的中点E,连接AE,DE,则DE⊥底面ABC, ∴∠DAE为AD与平面ABC所成的角.设三棱柱的棱长为1, 则AE=,DE=, ∴tan∠DAE=,∴∠DAE=30°. 故选A. 解析如图,设M为AB的中点,分别过A,M,B向平面α作垂线,垂足分别为A1,M1,B1, 则由线面垂直的性质定理可知,AA1∥MM1∥BB1, 四边形AA1B1B为直角梯形. ∵AA1=3,BB1=5,MM1为其中位线, ∴MM1=4. 解析 对于A,由AB与CE所成角为45°, 可得直线AB与平面CDE不垂直; 对于B,由AB⊥CE,AB⊥ED,CE∩ED=E, 可得AB⊥平面CDE; 对于C,由AB与CE所成角为60°, 可得直线AB与平面CDE不垂直; 对于D,连接AC,由ED⊥平面ABC,可得ED⊥AB,同理可得EC⊥AB,又ED∩EC=E,所以AB⊥平面CDE. 11.(多选题)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点E,F,G分别为棱A1D1,A1A,A1B1的中点,下列结论正确的是(　　) A.EF⊥B1C B.BC1∥平面EFG C.A1C⊥平面EFG D.异面直线FG,B1C所成角的大小为 解析只要VC⊥平面VAB,即有VC⊥AB;故只要VC⊥VA,VC⊥VB即可. 解析如下图,由正方体性质知,AD1⊥A1D,且AD1∩A1D=O, 即AD1⊥A1O. 又AB⊥平面ADD1A1,A1O⊂平面ADD1A1, 故AB⊥A1O. 由AD1∩AB=A,AD1,AB⊂平面ABC1D1,故A1O⊥平面ABC1D1, 所以∠A1BO为直线A1B与平面ABC1D1所成角的平面角,显然sin∠A1BO=. 又0°≤∠A1BO≤90°,故∠A1BO=30° (1)求证:AD1⊥平面A1CD; 证明因为ABCD-A1B1C1D1为正方体, 所以DC⊥平面ADD1A1. 又因为AD1⊂平面ADD1A1,所以AD1⊥DC. 因为四边形ADD1A1为正方形, 所以AD1⊥A1D. 又因为DC⊂平面A1CD,A1D⊂平面A1CD,DC∩A1D=D, 所以AD1⊥平面A1CD. 解连接OC,由(1)可知AD1⊥平面A1CD, 所以AC在平面A1CD上的投影是OC, 所以∠ACO是直线AC与平面A1CD所成角. 设正方体的棱长为2,在直角三角形ACO中,AC=2,AO=, 所以sin∠ACO=,所以∠ACO=30°, 所以直线AC与平面A1CD所成的角是30°. 15.如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,AB=BC=2, AD=CD=, PA=,∠ABC=120°.G为线段PC上的点. (1)证明:BD⊥平面APC; 证明设点O为AC,BD的交点. 由AB=BC,AD=CD,得BD垂直平分线段AC. 所以O为AC的中点,BD⊥AC. 又因为PA⊥平面ABCD,BD⊂平面ABCD, 所以PA⊥BD. 又PA∩AC=A,所以BD⊥平面APC. 解连接OG.由(1)可知OD⊥平面APC,则DG在平面APC内的投影为OG,所以∠OGD是DG与平面APC所成的角.由题意得OG=PA=. 在△ABC中,因为AB=BC,∠ABC=120°,AO=CO, 所以∠ABO=∠ABC=60°, 所以AO=OC=AB·sin 60°=. 在Rt△OCD中,OD==2.在Rt△OGD中,tan∠OGD=. 所以DG与平面APC所成角的正切值为. (3)若G满足PC⊥平面BGD,求的值. 解因为PC⊥平面BGD,OG⊂平面BGD, 所以PC⊥OG. 在Rt△PAC中,PC=. 所以GC=. 从而PG=, 所以. $$