4.3.2 第3课时 距离及直线与平面所成的角（课件PPT）-【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学必修第二册（湘教版）

第3课时　距离及直线与平面所成的角 (深化课—题型研究式教学) 课时目标 1．了解点到平面的距离，直线和平面的距离的概念． 2．了解直线和平面所成角的概念．利用线面关系寻找直线与平面所成角．会求直线与平面所成的角． 1．两种距离 (1)点到平面的距离：从平面外一点引平面的垂线，这个_____________的距离，叫作这个点到这个平面的距离． (2)直线与平面的距离：一条直线和一个平面平行，这条直线上__________________________，叫作这条直线与这个平面的距离． 点和垂足之间 任意一点到这个平面的距离 2．直线与平面所成的角 (1)相关概念： 如图，①斜线：一条直线l与一个平面α相交， 但不与平面α垂直，则直线l称为平面α的一条_____． ②斜足：斜线l与平面α的_________称为斜足． ③投影：过斜线l上斜足以外的一点P向平面α作垂线，过_________________________称为斜线l在平面α上的投影． 斜线 交点A 垂足O和斜足A的直线AO (2)直线与平面所成角的定义：平面的一条斜线与它在该平面上的投影所成的_______，叫作这条直线与这个平面所成的角． (3)取值范围：直线l与平面α所成角θ的取值范围是0°≤θ≤90°. 锐角 1 2 目 录 3 题型(一)　距离问题 题型(二)　直线与平面所成的角 题型(三)　直线与平面位置关系的综合问题 5 题型(一)　距离问题 　 [方法技巧] (1)从平面外一点作一个平面的垂线，这个点与垂足间的距离就是这个点到这个平面的距离．当该点到已知平面的垂线不易作出时，可利用线面平行、面面平行的性质转化为与已知平面等距离的点作垂线，然后计算． (2)利用中点转化：如果条件中具有中点条件，将一个点到平面的距离，借助中点(等分点)，转化为另一点到平面的距离． (3)通过换底转化：一是直接换底，以方便求空间图形的高；二是将底面扩展(分割)，以方便求底面积和高． [针对训练] 1．已知在长方体ABCD－A1B1C1D1中，棱AA1＝12，AB＝5. (1)求点B1到平面A1BCD1的距离； (2)求B1C1到平面A1BCD1的距离． [典例2]　如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中． (1)求A1B与平面AA1D1D所成的角； (2)求A1B与平面BB1D1D所成的角． 题型(二)　直线与平面所成的角 [解]　(1)∵AB⊥平面AA1D1D， ∴∠AA1B就是A1B与平面AA1D1D所成的角， 在Rt△AA1B中，∠BAA1＝90°，AB＝AA1， ∴∠AA1B＝45°， ∴A1B与平面AA1D1D所成的角是45°. (2)如图，连接A1C1交B1D1于点O，连接BO. ∵A1O⊥B1D1，BB1⊥A1O，BB1∩B1D1＝B1，BB1⊂平面BB1D1D，B1D1⊂平面BB1D1D， ∴A1O⊥平面BB1D1D， ∴∠A1BO就是A1B与平面BB1D1D所成的角． [方法技巧] 求解直线和平面所成角的一般步骤 求直线和平面所成角的关键在于找出直线在平面内的射影，基本步骤为 (1)作：即在斜线上选取恰当的点向平面引垂线，准确确定垂足的位置是关键；几何图形的特征是确定垂足的依据，垂足一般都是一些特殊的点，比如线段的中点、平面图形的中心、重心、垂心等． (2)证：即证明所找到的角为直线和平面所成的角，也就是证明选取的点与垂足的连线和平面垂直，依据就是直线和平面所成角的定义． (3)求：将所求角转化为垂线段、斜线段与射影所构成的直角三角形中进行计算． [针对训练]　 2．三棱锥S－ABC的所有棱长都相等且为a，求SA与底面ABC所成角的余弦值． 解：如图，过S作SO⊥平面ABC于点O，连接AO，BO，CO. 则SO⊥AO，SO⊥BO，SO⊥CO. ∵SA＝SB＝SC＝a， ∴△SOA≌△SOB≌△SOC， ∴AO＝BO＝CO，∴O为△ABC的外心． 题型(三)　直线与平面位置关系的综合问题 [典例3]　如图，PA⊥矩形ABCD所在的平面，M，N分别是AB，PC的中点． (1)求证：MN∥平面PAD； (2)若PD与平面ABCD所成的角为45°，求证：MN⊥平面PCD. [方法技巧] 解决线面位置关系的综合问题一定要掌握线线平行与垂直的转化关系． (1)直线与平面平行问题，常常转化为直线与直线平行问题，而直线与直线平行问题也可以转化为直线与平面平行的问题，要做出正确的命题转化，就必须熟记线面平行的定义、判定定理和性质定理． (2)线线垂直常常转化为线面垂直，即证明其中一条直线垂直于另一条直线所在的平面即可．证明转化途径是线线垂直―→线面垂直―→线线垂直． 解：(1)证明：∵三棱柱A1B1C1－ABC的侧棱与底面垂直，AC＝BC＝1，∠ACB＝90°，