4.5.2 几种简单几何体的体积课件-2024-2025学年高一下学期数学湘教版（2019）必修第二册

第4章　立体几何初步 4.5　几种简单几何体的表面积和体积 4.5.2　几种简单几何体的体积 湘教版 数学 必修第二册 课 程 标 准 1.通过对柱体、锥体、台体的研究,掌握柱体、锥体、台体的体积的求法. 2.理解柱体、锥体、台体的体积计算公式之间的关系;会求组合体的体积. 3.在掌握球的体积计算公式的基础上,能够求解与球有关的组合体体积计算问题. 基础落实•必备知识全过关 重难探究•能力素养全提升 目录索引 成果验收•课堂达标检测 基础落实•必备知识全过关 知识点1　棱柱、棱锥、棱台的体积 几何体 体积公式 棱柱 V棱柱=Sh(S为棱柱的底面积,h为棱柱的高) 棱锥 V棱锥=Sh(S为棱锥的底面积,h为棱锥的高) 棱台 V棱台=_________________(S',S分别为棱台的上底、下底面积, h为棱台的高)  过关自诊 1.等底等高的棱柱和棱锥,它们的体积之间有什么关系? 2.棱台与棱锥有什么关系?如何求一个棱台的体积? 提示 等底等高的棱锥体积是棱柱体积的 . 提示 棱台是用一个平行于棱锥底面的平面截棱锥得到的,它的体积可用原棱锥体积减去截得的上部小棱锥的体积求解. 知识点2　圆柱、圆锥的体积 1.V圆柱=πr2h(r是圆柱的底面半径,h是圆柱的高) 2.V圆锥= πr2h(r是圆锥的底面半径,h是圆锥的高) 名师点睛 棱柱和圆柱都是柱体,棱锥和圆锥都是锥体,它们的体积公式可统一如下: (1)V柱体=Sh(S为柱体的底面积,h为柱体的高); (2)V锥体= Sh(S为锥体的底面积,h为锥体的高). 过关自诊 下图是由圆柱与圆锥构成的组合体,下部是圆柱,其轴截面是边长为4的正方形,上部为圆锥,其高为3,则该几何体的体积为__________.  20π 解析　圆柱的底面半径是2,高为4,圆锥的底面半径是2,高为3, 则V=π×22×4+ ×π×22×3=20π. 知识点3　球的体积 若球的半径为R,则球的体积为V= πR3. 过关自诊 [北师大版教材习题]球表面积膨胀为原来的2倍,体积变为原来的几倍? 重难探究•能力素养全提升 探究点一 柱体的体积 【例1】 用一块长4 m,宽2 m的矩形铁皮卷成一个圆柱形铁筒,如何制作可使铁筒的体积最大? 规律方法　柱体的体积公式V=Sh(S为底面面积,h为高),特别地,圆柱的体积公式也可以表示为V=πr2h(r为底面半径,h为高).因此求柱体体积的关键是求出底面积与高. 变式训练1 如图,在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,A1A=2,AB=1,那么该正四棱柱的体积为(　　) A.1 B.2 C.4 D.8 B 解析　正四棱柱的体积为V=S正方形ABCD×AA1=12×2=2. 探究点二 锥体的体积 【例2】 (1)如图所示,正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长为2,侧棱长为 ,D为BC的中点,则三棱锥A-B1DC1的体积为(　　) C A 规律方法　1.锥体的体积公式V= Sh(S为底面面积,h为高),特别地,圆锥的体积公式也可以表示为V= πr2h(r为底面半径,h为高).因此求锥体体积的关键是求出底面面积与高. 2.求解三棱锥的体积时,由于三棱锥的每一个面均可以看作是底面,因此要注意根据几何体的特征变换顶点. 变式训练2 (1)如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,S是棱A1B1上任意一点,四棱锥S-ABCD的体积与正方体ABCD-A1B1C1D1的体积之比为(　　) A.1∶2 B.1∶3 C.1∶4 D.不确定 B 解析 设正方体的棱长为a,则正方体的体积V=a3. 易知四棱锥S-ABCD的高为点S到底面的距离,即a, 所以四棱锥S-ABCD体积为 所以V'∶V=1∶3,故四棱锥S-ABCD的体积与正方体ABCD-A1B1C1D1的体积之比为1∶3.故选B. D 探究点三 棱台的体积 【例3】 已知一个三棱台上、下底面分别是边长为20 cm和30 cm的正三角形,侧面是全等的等腰梯形,且侧面面积等于上、下底面面积之和,求棱台的高和体积. 规律方法　1.棱台的体积公式 (S',S分别为上、下底面面积,h为高),因此求棱台体积的关键是求出上、下底面面积和高. 2.涉及与正棱台有关的几何计算,应根据正棱台底面正多边形的特征构造与下底面正多边形边上的高、正棱台的高有关的直角三角形再求解. 变式训练3[北师大版教材习题]有一个正四棱台形状的油槽,可以装油190 L.已知它的两底面边长分别等于60 cm和40 cm,求它的深度. 探究点四 球的体积 【例4】 各棱长均为 的四面体内有一内切球,求该球的体积. 变式探究求本例所给四面体外接球的体积. 规律方法　与球有关的组合体一般有两类,一类是与球内接的组合体,在此类组合体中,球心与多面体顶点的连线是半径;另一类是与球外切的组合体,在这一类组合体中,球心与各切点的连线是半径.在解答与球有关的组合体问题时,要注意这些半径的应用. 探究点五 组合体的体积 【例5】 如图所示,扇形AOB的半径为2,圆心角为90°.若扇形AOB绕OA旋转一周,则图中阴影部分所得几何体的体积为(　　) C 解析　扇形AOB绕OA旋转一周,图中阴影部分所得几何体为半径R=2的半球去掉一个底面半径r=2,高h=2的圆锥,则图中阴影部分绕OA旋转一周所得几何体的体积为 .故选C. 规律方法　求组合体体积的方法: (1)分析结构特征.明确组合体的组成形式,找准有关简单几何体的关键量. (2)设计计算方法.根据组成形式,利用“切割”“补形”的方法设计计算方法求体积. (3)计算求值.根据设计的计算方法求值. “割”“补”法在求解几何体体积中的应用 【典例】 如图,在多面体ABCDEF中,已知四边形ABCD是边长为3的正方形,EF∥AB,平面FBC⊥平面ABCD,EF= ,EF与平面AC的距离为2,则该多面体的体积为__________.  (方法3　补体法)延长FE到G,使FE=EG,连接GA,GD,把该多面体补上一个三棱锥E-ADG. ∵在多面体ABCDEF中,四边形ABCD是边长为3的正方形,EF∥AB,平面FBC⊥平面ABCD, ∴几何体FBC-GAD是一个直三棱柱. 过点F作FH⊥BC,垂足为H,则FH⊥平面ABCD, ∴△FBC的边BC上的高FH=2. 规律方法　当给出的几何体比较复杂,有关的计算公式无法运用,或者几何体并不复杂,但条件中的已知元素彼此离散时,我们可采用“割”“补”的技巧,化复杂几何体为简单几何体(柱、锥、台),或化离散为集中,为解题提供便利. (1)几何体的“分割” 几何体的分割即将已给的几何体按照结论的要求,分割成若干个易求体积的几何体,进而求之. (2)几何体的补形 与分割一样,有时为了计算方便,可将几何体补成易求体积的几何体,如长方体、正方体等.另外补台成锥是常见的解决棱台侧面积与体积的方法. 成果验收•课堂达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 A 级 必备知识基础练 18 19 20 D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 D 2.[2023浙江杭州高一校联考期中]直径为6 cm的一个大金属球,熔化后铸成若干个直径为2 cm的小球,如果不计损耗,可铸成这样的小球的个数为 (　　) A.3 B.6 C.9 D.27 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 4.[2023浙江平湖当湖高级中学校联考]龙洗的盆体可以近似看作一个圆台.现有一龙洗盆高15 cm,盆口直径36 cm,盆底直径18 cm.现往盆内倒入水,当水深5 cm时,盆内水的体积近似为(　　) B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 5.在长方体ABCD-A1B1C1D1中,已知AB=1,BC=BB1=2,在该长方体内放置一 个球,则最大球的体积为____________.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 6.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,O是上底面ABCD的中心.若正方体的棱长为 a,则三棱锥O-AB1D1的体积为________.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 7.如图,一个四棱柱形容器中盛有水,在底面ABCD中,AB∥CD,AB=3,CD=1,侧棱AA1=4.若侧面AA1B1B水平放置时,水面恰好过边AD,BC,B1C1,A1D1的 中点,则当底面ABCD水平放置时,水面高为　　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 8.如图所示,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a,过顶点B,D,A1截下一个三棱锥. (1)求剩余部分的体积; 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 (2)求三棱锥A-A1BD的高. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 B 级 关键能力提升练 9.长方体ABCD-A1B1C1D1的体积是120,若E为CC1的中点,则三棱锥E-BCD的体积为(　　) A.10 B.20 C.30 D.40 A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 10.[2023浙江高一校联考期中]（多选题）如图,扇形ABC圆心角A=90°,D为半径AB的中点,线段CB,CD把扇形分成三部分,这三部分绕AC旋转一周,所得三部分旋转体的体积V1,V2,V3之比是(　　) A.1∶2∶2 B.1∶2∶3 C.1∶3∶3 D.1∶3∶4 AD 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 12.如图是我国古代米斗,若将某个米斗近似看作一个四棱台,上、下两个底面都是正方形,侧棱均相等,下底面边长为25 cm,上底面边长为15 cm,侧棱长为10 cm,则该米斗的容积约为(　　) A.2 400 cm3 B.2 600 cm3Q C.2 900 cm3 D.3 100 cm3 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 13.[2023安徽宿松中学校联考期中]依次连接棱长为2的正方体ABCD-A1 B1 C1D1六个面的中心,得到的多面体的体积是________.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 14.如图①,一只装了水的密封瓶子,其内部可以看成是由半径为1 cm和半径为3 cm 的两个圆柱组成的几何体.当这个几何体如图②水平放置时,液面高度为20 cm,当这个几何体如图③水平放置时,液面高度为28 cm,则这个几何体的总高度为_________ cm.  29 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 15.如图,某种水箱用的“浮球”,是由两个半球和一个圆柱筒组成.已知半球的直径是6 cm,圆柱筒高为 2 cm. (1)这种“浮球”的体积是多少 cm3(结果精确到0.1)? 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 (2)要在2 500个这样的“浮球”表面涂一层胶,如果每平方米需要涂胶100 g,那么共需多少胶? 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 16.[2023山东枣庄高一期中]如图,圆锥SO的底面半径为3,此圆锥的侧面展开图是一个半圆. (1)求圆锥的表面积; 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 (2)若圆锥的底面圆周和顶点S都在球O'的球面上,求球O'的体积. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 C 级 学科素养创新练 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 (1)求该几何体中间一个空心球的表面积的大小; 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 (2)求图中阴影部分绕直线BC旋转一周所得旋转体的体积. (S++S')h 解 因为球表面积膨胀为原来的2倍,所以球半径膨胀为原来的倍,所以球体积膨胀为原来的2倍. 解 ①若以矩形的长为圆柱的母线l, 则l=4 m,此时圆柱底面周长为2 m, 即圆柱底面半径为R= m, 所以圆柱的体积为V=πR2l=π×4=(m3). ②若以矩形的宽为圆柱的母线,同理可得V=(m3), 所以第二种方法可使铁筒体积最大. A.3 B. C.1 D. 解析 在等边三角形ABC中,D为BC的中点,则有AD=AB=. 又平面BB1C1C⊥平面ABC,平面BB1C1C∩平面ABC=BC, AD⊥BC,AD⊂平面ABC, ∴AD⊥平面BB1C1C,即AD为三棱锥A-B1DC1的底面B1DC1上的高. ∴三棱锥A-B1DC1的体积 ·AD=×2×=1. (2)圆锥的轴截面是等腰直角三角形,侧面积是16π,则圆锥的体积是(　　) A. B. C.64π D.128π 解析 作圆锥的轴截面(如图所示). 由题设,在△PAB中,∠APB=90°,PA=PB. 设圆锥的高为h,底面半径为r,则h=r,PB=r. 由S侧=π·r·PB=16π,得πr2=16π. 所以r=4,h=4. 故圆锥的体积V圆锥=πr2h=. V'=S四边形ABCD·AA1=a2·a=. (2)将半径为3,圆心角为的扇形作为侧面围成一个圆锥,则该圆锥的体积为(　　) A.π B.2π C.3π D. 解析 由扇形弧长公式可求得弧长l=×3=2π,即圆锥底面周长为2π. 可求得圆锥底面半径r=1,故圆锥的高h==2. 故圆锥的体积V=πr2·h=.故选D. 解 如图,在三棱台ABC-A'B'C'中,O',O分别为上、下底面的中心,D,D'分别是BC,B'C'的中点, 则DD'是梯形BCC'B'的高,所以S侧=3××(20+30)×DD'=75DD'. 又A'B'=20 cm,AB=30 cm,所以上、下底面面积之和为 S上+S下=×(202+302)=325(cm2). 由S侧=S上+S下,得75DD'=325, 所以DD'=(cm). O'D'=×20=(cm),OD=×30=5(cm), 所以棱台的高 h=O'O==4(cm). 由棱台的体积公式,可得棱台的体积为 V=(S上+S下+)= =1 900(cm3). V=(S'++S)h 解 190 L=190 000 cm3. 由正四棱台的体积公式V=(S上+S下+)h, 可得190 000=(602+402+60×40)h,解得h=75. 即油槽的深度为75 cm. 解 如图,在四面体S-ABC中,取底面△ABC的中心为O1,连接SO1,O1A, 则SO1⊥O1A. ∵AO1==1,∴SO1=, ∴四面体的体积为V三棱锥S-ABC=×()2×. 设内切球球心为O,半径为r,连接OA,OB,OC, ∴V三棱锥S-ABC=V三棱锥O-SAB+V三棱锥O-SBC+V三棱锥O-SAC+V三棱锥O-ABC=S表·r =×4××()2×r=r=, ∴r=,∴球的体积为V球=r3=. 解 设外接球半径为R,由上述例题解题过程可知, R=OS=SO1-OO1=SO1-r=, ∴外接球的体积为V球=R3=×()3=. A.3π B.5π C. D. V=×π×23-×π×22×2= 答案 解析 (方法1　分割法)分别取AB,CD的中点G,H,连接EG,GH,EH. 把该多面体分割成一个四棱锥E-AGHD与一个三棱柱EGH-FBC. ∵四边形ABCD是边长为3的正方形,EF∥AB, EF=,EF与平面AC的距离为2, ∴=3×,S△EGH=×3×2=3. ∴四棱锥E-AGHD的体积为V1=×2×=3, 三棱柱EGH-FBC的体积V2=×3=. ∴多面体的体积为V=V1+V2=3+. (方法2　分割法)如图,连接EB,EC. 把该多面体分割成一个四棱锥E-ABCD和一个三棱锥F-EBC. 四棱锥E-ABCD的体积V四棱锥E-ABCD=×32×2=6. ∵AB=2EF,EF∥AB, ∴S△EAB=2S△BEF. ∴V三棱锥F-EBC=V三棱锥C-EFB=V三棱锥C-ABE=V三棱锥E-ABC=V四棱锥E-ABCD=×6=. ∴多面体的体积V=V四棱锥E-ABCD+V三棱锥F-EBC=6+. ∴三棱锥E-ADG的体积为×3×2×. ∴原几何体的体积为×3×2×3-. 解析 截面半径r=1,所以球的半径R=,所以球的体积V=πR3=.故选D. 1.用与球心距离为1的平面去截球,所得的截面面积为π,则球的体积为 (　　) A. B. C.8π D. 解析 小球的体积为×13= cm3,大球的体积为×33=36π cm3,所以可铸成这样的小球的个数为=27.故选D. 3.[2023海南海口中学校考期中]已知一个正四棱台的上底面边长为1,下底面边长为2,体积为,则该正四棱台的高为(　　) A.1 B. C. D. 解析 设正四棱台的高为h,根据棱台的体积公式V=(S1+S2+)h,可得×(12+22+)h=,解得h=.故选D. A. cm3 B.555π cm3 C. cm3 D.735π cm3 解析在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=1,BC=BB1=2,则长方体内最大球只能与平面ADD1A1和BCC1B1相切,此时球的直径为1,所以长方体内放置的球的体积最大值为V=×()3=. 解析如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,O是上底面ABCD的中心,棱长为a, 易得对角线AC⊥平面BDD1B1, 故三棱锥O-AB1D1的体积为·AO=B1D1·BB1·AO=. 解析设四棱柱的底面梯形的高为2a,AD,BC的中点分别为F,E,所求的水面高为h, 则水的体积V水=S四边形ABEF·AA1=·4=S四边形ABCD·h=·h,解得h=. 解由题意,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a,则正方体的体积为V正方体=a3. 根据三棱锥的体积公式,可得三棱锥A1-ABD的体积·S△ABD·AA1 =a3. 故剩余部分的体积V=V正方体-=a3-a3=a3. 解由(1)知三棱锥A-A1BD的体积a3. 设三棱锥A-A1BD的高为h,则·h=×(a)2×h=a2h,故a2h=a3,解得h=a. 解析 V三棱锥E-BCD=×120=10.故选A. 11.圆台的上、下底面半径分别为2,4,母线长为3,则圆台的体积为(　　) A.π B.28π C.28π D.π 解析 因为圆台的上、下底面半径分别为2,4,母线长为3,则圆台的高为,所以圆台的体积为V=π(22+2×4+42)×. 解析依次连接正方体ABCD-A1B1C1D1六个面的中心,得到的多面体是正八面体,如图.该正八面体为两个全等的正四棱锥的组合体,正四棱锥的高为1,底面正方形的边长为,所以该正八面体的体积是2××()2×1=. 解析设半径为1 cm和半径为3 cm的两个圆柱的高分别为h1 cm和h2 cm,则由题意知π·32·h2+π·12·(20-h2)=π·12·h1+π·32·(28-h1),整理得8π(h1+h2)=232π,所以h1+h2=29. 解因为半球的直径是6 cm,可得半径R=3 cm, 所以两个半球的体积之和为V球=πR3=π·27=36π(cm3). 又圆柱筒的体积为V圆柱=πR2·h=π×9×2=18π(cm3). 所以这种“浮球”的体积是V=V球+V圆柱=36π+18π=54π≈169.6(cm3). 解根据题意,上下两个半球的表面积是S球表=4πR2=4×π×9=36π(cm2), 又因为“浮球”的圆柱筒的侧面积为S圆柱侧=2πRh=2×π×3×2=12π(cm2), 所以1个“浮球”的表面积为S=(m2). 因此,2 500个这样的“浮球”表面积的和为2 500S=2 500×=12π(m2). 因为每平方米需要涂胶100 g, 所以共需要胶的质量为100×12π=1 200π(g). 解设OA=OB=r,SA=SB=l. 由题意得,πl=2πr=6π,则l=6. 所以S侧=πrl=18π,S底=9π,故S表=S侧+S底=27π. 解由(1)得SO==3. 令SO'=R,由O'O2+OB2=O'B2,得(3-R)2+9=R2,解得R=2. 故V球=πR3=32π. 17.在三棱台ABC-A1B1C1中,三棱锥A-A1B1C1的体积为4,三棱锥A1-ABC的体积为8,则该三棱台的体积为 (　　) A.12+3 B.12+4 C.12+4 D.12+4 解析 设S△ABC=S1,=S2,棱台高为h.由已知S2h=4,得S2=; 由S1h=8,得S1=. 三棱台ABC-A1B1C1的体积为 V=h(S1+S2+)=h()=12+4.故选B. 18.如图,在四棱锥P-ABCD中,O是正方形ABCD的中心,PO⊥底面ABCD,PA=,AB=2,则四棱锥P-ABCD内切球的体积为(　　) A. B. C. D. 解析 连接OA.由题可知,该几何体的底面是边长为2的正方形,侧棱长都为, ∴S正方形ABCD=2×2=4,S△PAD=S△PCD=S△PBC=S△PAB=×2×2=2. ∵PO⊥底面ABCD,∴PO⊥AO. ∴AO=. ∴PO=. 设四棱锥的内切球的半径为R,球心为O', 由V四棱锥P-ABCD=V四棱锥O'-ABCD+V三棱锥O'-PAD+V三棱锥O'-PAB+V三棱锥O'-PBC+V三棱锥O'-PCD, 得S正方形ABCD·PO=S正方形ABCD·R+S△PAD·R+S△PAB·R+S△PBC·R+S△PCD·R, 即4×=4R+4×2R=12R,解得R=. 故四棱锥P-ABCD内切球的体积为V=πR3=π×()3=π. 19.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,∠ABC=30°,BC=,在三角形内挖去一个半圆(圆心O在边BC上,半圆与AC,AB分别相切于点C,M,与BC交于点N),将△ABC绕直线BC旋转一周得到一个旋转体. 解连接OM,则OM⊥AB, 设OM=r,则OB=-r, 在△BMO中,sin∠MBO=,解得r=, ∴空心球的表面积为S=4πr2=π. 解∵∠ACB=90°,∠ABC=30°,BC=,∴AC=, ∴所得旋转体的体积为V=V圆锥-V球=π×AC2×BC-πr3=π×π×π. $$