第4章 立体几何初步全章总结提升课件-2024-2025学年高一下学期数学湘教版（2019）必修第二册

全 章 总 结 提 升 湘教版 数学 必修第二册 第4章　立体几何初步 网络构建•归纳整合 专题突破•素养提升 目录索引 网络构建•归纳整合 专题突破·素养提升 专题一　空间几何体的结构特征 【例1】 根据下列对几何体结构特征的描述,说出几何体的名称. (1)由六个面围成,其中一个面是凸五边形,其余各面是有公共顶点的三角形; (2)一个等腰梯形绕着两底边中点的连线所在的直线旋转180°形成的旋转体; (3)一个直角梯形绕较长的底边所在的直线旋转一周形成的旋转体. 解 (1)如图①,因为该几何体的五个面是有公共顶点的三角形,所以是棱锥,又其底面是凸五边形,所以是五棱锥. (2)如图②,等腰梯形两底边中点的连线将梯形平分为两个直角梯形,每个直角梯形旋转180°形成半个圆台,故该几何体为圆台. (3)如图③,过直角梯形ABCD的顶点A作AO⊥CD于点O,将直角梯形分为一个直角三角形AOD和一个矩形AOCB,绕CD旋转一周形成一个组合体,该组合体由一个圆锥和一个圆柱组成. 规律方法　与空间几何体结构特征有关问题的解题技巧 (1)紧扣结构特征是判断的关键,熟悉空间几何体的结构特征,依据条件构建几何模型,在条件不变的情况下,变换模型中的线面关系或增加线、面等基本元素,然后再依据题意判定. (2)通过举反例对结构特征进行辨析,要说明一个说法是错误的,只要举出一个反例即可. 变式训练1（多选题）下列说法正确的是(　　) A.底面是矩形的平行六面体是长方体 B.棱长都相等的直四棱柱是正方体 C.侧棱垂直于底面两条边的平行六面体是直平行六面体 D.底面为正多边形,且相邻两个侧面与底面垂直的棱柱是正棱柱 BD 专题二　空间几何体的表面积和体积 【例2】 如图所示,在边长为4的正三角形ABC中,E,F依次是AB,AC的中点,AD⊥BC,EH⊥BC,FG⊥BC,D,H,G为垂足.若将△ABC中的四边形EFGH抠掉后,剩余部分绕AD所在直线旋转180°,求形成的几何体的表面积与体积. 规律方法　1.空间几何体表面积的求法 (1)多面体的表面积是各个面的面积之和;组合体的表面积注意衔接部分的处理. (2)旋转体的表面积问题注意其侧面展开图的应用. 2.空间几何体体积问题的常见类型及解题策略 (1)若所给定的几何体是可直接用公式求解的柱体、锥体或台体,则可直接利用公式进行求解. (2)若所给定的几何体的体积不能直接利用公式得出,则常用转换法、分割法、补形法等方法进行求解. 变式训练2 (1)如图所示,圆柱内有一个内切球,这个球的直径恰好与圆柱的高相等,则圆柱的表面积与球的表面积之比为(　　) C 解析 设球的半径为R,则圆柱的底面半径为R,高为2R. 圆柱的表面积S1=2πR2+2πR·2R=6πR2,球的表面积S2=4πR2,所以圆柱的表面积与球的表面积之比为 故选C. (2)如图所示的三棱锥O-ABC为长方体的一角,其中OA,OB,OC两两垂直,三个侧面OAB,OAC,OBC的面积分别为1.5 cm2,1 cm2,3 cm2,则三棱锥O-ABC的体积为　　　 cm3.  1 【例3】 如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,A1B1=A1C1,D,E分别是棱BC,CC1上的点(点D不同于点C),且AD⊥DE,F为B1C1的中点.求证: (1)平面ADE⊥平面BCC1B1; (2)直线A1F∥平面ADE. 专题三　空间中的平行与垂直关系 证明 (1)因为三棱柱ABC-A1B1C1是直三棱柱, 所以CC1⊥平面ABC.又AD⊂平面ABC,所以CC1⊥AD.又因为AD⊥DE, CC1,DE⊂平面BCC1B1,CC1∩DE=E, 所以AD⊥平面BCC1B1.又AD⊂平面ADE, 所以平面ADE⊥平面BCC1B1. (2)因为A1B1=A1C1,F为B1C1的中点, 所以A1F⊥B1C1.因为CC1⊥平面A1B1C1, 且A1F⊂平面A1B1C1,所以CC1⊥A1F. 又因为CC1,B1C1⊂平面BCC1B1, CC1∩B1C1=C1,所以A1F⊥平面BCC1B1. 由(1)知AD⊥平面BCC1B1,所以A1F∥AD. 又AD⊂平面ADE,A1F⊄平面ADE,所以A1F∥平面ADE. 规律方法　1.空间平行、垂直关系的相互转化:       2.证明空间线面平行或垂直需注意三点: (1)由已知想性质,由求证想判定. (2)适当添加辅助线(或面)是解题的常用方法之一. (3)用定理时要先明确条件,再由定理得出相应结论. 变式训练3[北师大版教材习题]如图,已知四棱锥P-ABCD的底面为直角梯形,AD∥BC,∠BCD=90°,且PA⊥AB,PD⊥CD. (1)判断CD是否与平面PAD垂直,证明你的结论; (2)证明:平面PAB⊥平面ABCD. (1)解 CD⊥平面PAD. 证明:由∠BCD=90°,AD∥BC,可知CD⊥AD. 又CD⊥PD,且AD∩PD=D,所以CD⊥平面PAD. (2)证明 由(1)得CD⊥平面PAD,又PA⊂平面PAD,所以CD⊥PA. 又PA⊥AB,且AB,CD为相交直线,所以PA⊥平面ABCD. 又PA⊂平面PAB,所以平面PAB⊥平面ABCD. 专题四　空间角的求解 (1)证明:AC⊥平面POD; (2)求二面角P-AC-O的正弦值. (1)证明 连接OC(图略),因为OA=OC,D是AC的中点,所以AC⊥OD. 又PO⊥底面☉O,AC⊂底面☉O,所以AC⊥PO. 又OD∩PO=O,所以AC⊥平面POD. (2)解 由(1)知AC⊥平面POD,又PD⊂平面POD,所以PD⊥AC. 又OD⊥AC,所以∠PDO为二面角P-AC-O的平面角. 在Rt△ODA中,因为∠DAB=30°,OA=1, 规律方法　求空间各种角的大小一般都转化为平面角来计算,空间角的计算步骤:一作,二证,三计算. (1)求异面直线所成的角常用平移转化法(转化为相交直线的夹角). (2)求直线与平面所成的角常用投影转化法(即作垂线、找投影). (3)二面角的平面角的作法常有三种:①定义法;②垂线法;③垂面法. 变式训练4 如图,正方体的棱长为1,B'C∩BC'=O.求: (1)AO与A'C'所成角的大小; (2)AO与平面ABCD所成角的正切值; (3)平面AOB与平面AOC所成二面角的大小. 解 (1)∵A'C'∥AC, ∴AO与A'C'所成的角是∠OAC. ∵AB⊥平面BC',OC⊂平面BC', ∴OC⊥AB.又OC⊥BO,AB∩BO=B, ∴OC⊥平面ABO.又OA⊂平面ABO,∴OC⊥OA. ∴∠OAC=30°. 即AO与A'C'所成角为30°. (3)∵OC⊥OA,OC⊥OB,OA∩OB=O, ∴OC⊥平面AOB. 又OC⊂平面AOC,∴平面AOB⊥平面AOC. 即平面AOB与平面AOC所成的二面角为90°. 专题五　折叠问题 【例5】 如图1,在直角梯形ABCD中,AB⊥AD,AD∥BC,F为AD的中点,点E在BC上,且EF∥AB,已知AB=AD=CE=2,现沿EF把四边形CDFE折起如图2,使平面CDFE⊥平面ABEF.   (1)求证:AD∥平面BCE; (2)求证:平面ABC⊥平面BCE; (3)求三棱锥C-ADE的体积. (1)证明 由题意知AF∥BE,AF⊄平面BCE,BE⊂平面BCE, ∴AF∥平面BCE,同理,DF∥平面BCE. ∵AF∩DF=F,AF,DF⊂平面ADF,∴平面ADF∥平面BCE.又AD⊂平面ADF, ∴AD∥平面BCE. (2)证明 在图1中,EF∥AB,AB⊥AD,AD∥BC, ∴EF⊥AD,则在图2中,CE⊥EF. 又平面CDFE⊥平面ABEF,平面CDFE∩平面ABEF=EF, ∴CE⊥平面ABEF,得CE⊥AB. 又AB⊥BE,BE∩CE=E,BE⊂平面BCE,CE⊂平面BCE,∴AB⊥平面BCE. ∵AB⊂平面ABC,∴平面ABC⊥平面BCE. (3)解 连接DE,AE.∵平面CDFE⊥平面ABEF,平面CDFE∩平面ABEF=EF,AF⊥EF,AF⊂平面ABEF, ∴AF⊥平面CDFE,则AF为三棱锥A-CDE的高,AF=1. 规律方法　求解折叠问题应明确在折叠线同侧的线面位置关系在折叠前后不变,而在折叠线异侧的线面位置关系在折叠后改变. 变式训练5如图1是矩形ABCD和以边AB为直径的半圆组成的平面图形,将此图形沿AB折叠,使平面ABCD垂直于半圆所在的平面,如图2,若点E是折叠后图形中 上异于A,B的点. (1)证明:EA⊥EC; (2)若AB=2AD=2,且异面直线AE和DC所成的角为 ,求三棱锥D-ACE的体积. (1)证明 ∵平面ABCD垂直于半圆所在的平面,两平面的交线为AB, BC⊂平面ABCD,BC⊥AB,∴BC垂直于半圆所在的平面. 又EA在半圆所在的平面内,∴BC⊥EA. ∵∠AEB是直角,∴BE⊥EA.又BE∩BC=B,BE,BC⊂平面BEC,∴EA⊥平面EBC.又EC⊂平面EBC,∴EA⊥EC. 解 所得几何体是由一个圆锥挖去一个圆柱后形成的, ∵S锥表=π·DC2+π·DC·AC=4π+8π=12π, S柱侧=2π·DG·FG=2π, ∴所求几何体的表面积S=S锥表+S柱侧=12π+2π=2(6+)π. 由V圆锥=π·DC2×AD=π×22×2π, V圆柱=π·DG2×FG=π×12×π, ∴所求几何体的体积为V圆锥-V圆柱=π-π=π. A. B.2 C. D. . 解析 设OA,OB,OC的长依次为x cm,y cm,z cm, 则由已知可得xy=1.5,xz=1,yz=3, 解得x=1,y=3,z=2. 故V三棱锥O-ABC=V三棱锥C-OAB=S△OAB·OC=×1.5×2=1(cm3). 【例4】 [北师大版教材习题]如图,在圆锥PO中,已知PO=,☉O的直径AB=2,点C在上,且∠CAB=30°,点D为AC的中点. 所以OD=OA=. 在Rt△ODP中,因为PO=, 所以PD=, 所以sin∠PDO=,所以二面角P-AC-O的正弦值为. 在Rt△AOC中,OC=,AC=,sin∠OAC=, (2)如图,过点O作OE⊥BC于点E,连接AE. ∵平面BC'⊥平面ABCD, ∴OE⊥平面ABCD, ∴∠OAE为OA与平面ABCD所成的角. 在Rt△OAE中,OE=,AE=, ∴tan∠OAE=. 即AO与平面ABCD所成角的正切值为. 又AB=CE=2,∴S△CDE=×2×2=2. ∴V三棱锥C-ADE=V三棱锥A-CDE=S△CDE·AF=×2×1=. (2)解 ∵在矩形ABCD中,AB∥CD,直线AE和DC所成的角为, ∴直线AE和AB所成的角为,即∠BAE=. 过点E作EF⊥AB于点F,则EF⊥平面ABCD. 又AB=2,∠BAE=,∴AE=,EF=. ∵S△ACD=AD·CD=×1×2=1, ∴V三棱锥D-ACE=V三棱锥E-ACD=S△ACD·EF=×1×. 故三棱锥D-ACE的体积是. $$