第14讲 相似三角形的判定定理与应用（3大考点5大题型）-【帮课堂】2024-2025学年九年级数学上册同步学与练（北师大版）

第14讲 相似三角形的判定定理与应用 课程标准 学习目标 ①了解相似三角形的判定定理:两角分别相等的两个三角形相似；两边成比例且夹角相等的两个三角形相似；三边成比例的两个三角形相似． ②*了解相似三角形判定定理的证明． 1、经历相似多边形概念的形成过程，了解相似多边形的含义． 2.在探索相似多边形本质特征的过程中，进一步发展学生观察、操作、归纳、类比、反思、交流等多方面的能力,提高学生的数学思维水平，体会反例的作用． 知识点一：两角对应相等的两个三角形相似(AA). 如图，若∠A＝∠D，∠B＝∠E，则△ABC∽△DEF. 知识点二：两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似（SAS）． 如图，若∠A＝∠D，，则△ABC∽△DEF. 知识点三： 三边对应成比例的两个三角形相似（SSS）． 如图，若，则△ABC∽△DEF. 题型01 用合适的方法判定相似三角形 1．已知在和中，，则不能使两直角三角形相似的条件为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查直角三角形相似的判定定理，根据题中条件，由各个选项中添加的条件，利用两个直角三角形相似的判定定理验证即可得到答案，熟记直角三角形相似的判定定理是解决问题的关键． 【详解】解：A、由，加上，利用两个三角形相似的判定定理：两个角对应相等的两个三角形相似确定和相似，不符合题意； B、由，加上，利用两个三角形相似的判定定理：两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似确定和相似，不符合题意； C、在和中，由，确定、为两个直角三角形的斜边，利用两个直角三角形相似的判定定理：直角边及斜边对应成比例的两个直角三角形相似确定和相似，不符合题意； D、根据两个直角三角形相似的判定定理，添加，无法确定和相似，符合题意； 故选：D． 2．已知是的边上一点，连接，则下列不能判定的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了相似三角形的性质．解题的关键是掌握有两角对应相等的三角形相似与两边对应成比例且夹角相等的三角形相似定理的应用．根据题意画出草图，结合相似三角形的判定定理（①有两角分别相等的两三角形相似，②有两边的比相等，并且它们的夹角也相等的两三角形相似）逐个进行判断即可． 【详解】解：根据题意作图如下： A、，， ，不符合题意； B、，， ，不符合题意； C、，， ，不符合题意； D、根据和不能判断，符合题意； 故选：D． 3．下列条件中，不能判定的是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，相似三角形的判定方法有：“两角对应相等，两三角形相似”，“两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似”，“三边对应成比例，两三角形相似”，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题的关键． 根据相似三角形的判定方法依次判断即可． 【详解】解：A、∵， ∴，故A能判定； B、根据不能证明，故B不能判定； C、∵，     ∴，故C能判定； D、∵．     ∴，故D能判定； 故选：B． 4．如图，下列条件中能判定的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查添加条件式三角形相似，根据已知相似三角形的逐一判断选项是否符合条件即可． 【详解】解：．若，则， ∵， ∴，该选项正确，符合题意； ．若，无法得出和对应边成比例，该选项错误，不符合题意； ．若，无和对应边成比例，选项错误，不符合题意； ．若，无和对应边成比例，该选项错误，不符合题意； 故选：A． 5．如图，已知，那么添加下列一个条件后，仍无法判定的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了相似三角形的判定，先求出两三角形的一对相等的角是确定其他条件的关键，再根据相似三角形的几种判定方法逐一判断即可． 【详解】解：， ， A、添加，可用两角法判定，故本选项错误； B、添加，可用两角法判定，故本选项错误； C、添加，可用两边及其夹角法判定，故本选项错误； D、添加，不能判定，故本选项正确； 故选：D． 6．如图，点在的边上，添加一个条件可判定，其中添加不正确的是(    ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键，即在两个三角形中，满足三边对应成比例、两边对应成比例且夹角相等或两组角对应相等，则这两个三角形相似．根据相似三角形的判定方法，逐项判断即可． 【详解】解：∵在和中，， ∴当时，满足两组角对应相等，可判断，故A不符合题意； 当时，满足两组角对应相等，可判断，故B不符合题意； 当时，满足两边对应成比例且夹角相等，可判断，故C不符合题意； 当时，不能判断，故D符合题意； 故选：D． 7．如图，下列条件不能判定的是（    ） A．， B． C．， D．， 【答案】C 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，三边对应成比例的两三角形相似，有两组角对应相等的两三角形相似，两组边对应成比例，且它们的夹角相等的两三角形相似，据此逐一判断即可， 【详解】解：A、由可得，再由，可证，故A不符合题意； B、由，可证明，可得故B不符合题意； C、由可得，再由，不能证明，故C符合题意； D、由可得，再由，可证明，故D不符合题意； 故选：C． 8．如图，点D在的边上，添加一个条件，使得．以下是天翼和往琛的做法．下列说法不正确的是（    ）    天冀的做法：添加条件． 证明：∵，． ∴（两组角对应相等的两个三角形相似） 往琛的做法：添加条件． 证明：∵,． ∴（两组对应边成比例及一组对应角相等的两个三角形相似） A．天翼的做法证明过程没有问题 B．往琛的做法证明过程没有问题 C．天翼的做法添加的条件没有问题 D．往琛的做法添加的条件有问题 【答案】B 【分析】根据题意已知，故添加两组对应边成比例夹角为或者添加一组对应角相等，即可求解．本题考查了相似三角形的判定，正确记忆相关知识点是解题关键． 【详解】解：依题意，，添加一组对应角相等，可以使得，故天翼的做法以及过程没有问题，往琛的做法添加的条件有问题，应为，证明过程中用到两组对应边成比例夹角相等，故B选项符合题意， 故选：B． 题型02 补充条件判定相似三角形 9．如图，线段相交于点，连接，请添加一个条件，使与相似，且点的对应点为点，这个条件可以是 ．（写出一个条件即可） 【答案】（或或） 【分析】本题考查了相似三角形的判定方法，根据图形结合相似三角形的判定方法即可得出答案． 【详解】解：∵，且点的对应点为点， ∴根据三角形相似的判定方法，可以有两组角对应相等或一组角相等，且这组角的两边对应成比例都可以证明两三角形相似， ∴可以添加或或， 故答案为：（或或）． 10．如图，点D是边上一点，，连接．若添加一个条件使得与相似，你添加的条件是 ．（只填写一个你认为正确的答案） 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据三角形相似的判定定理，选择适当的条件即可． 本题考查了三角形相似的判定，熟练掌握判定定理是解题的关键． 【详解】∵， ∴， ∵， ∴， 故可以添加如下条件：， 故答案为：． 11．如图，，要使，需添加的一个条件是 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据三角形相似的判定定理，选择条件即可． 本题考查了三角形相似的判定，熟练掌握相似的判定定理是解题的关键． 【详解】∵ ∴， 当， 故， 故答案为：． 12．如图，在中，点D，E分别在边上，要使，则需要添加的一个条件是 ．（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】此题考查了相似三角形的判定．此题比较简单，注意熟记判定定理是解此题的关键． 由是公共角，根据相似三角形的判定定理求解即可求得答案． 【详解】解：∵是公共角， ∴当或等时，． 故答案为：(答案不唯一)． 13．如图，点B，F，C，E在同一条直线上，，若使，则还需添加一个条件是 ．（只需填一个） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查相似三角形的判定，解题的关键是掌握相似三角形的判定，属于中考常考题型． 根据两角对应相等两三角形相似判断即可． 【详解】解：若添加：． 又∵， ∴， ∴． 故答案为：（答案不唯一）． 14．如图，已知，添加一个条件使，你添加的条件是 ．(写出一个即可)    【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，利用相似三角形的判定方法即可解答本题，熟练掌握相似三角形的判定方法是解决此题的关键． 【详解】∵， ∴， ∴， ∴当，或时，， 故答案为：（答案不唯一）． 15．如图，与相交于点，连接，，添加一个条件，使．你添加的条件是 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定等知识点，由图可知，所以要使，只需再添加一个对应角相等或其对应边成比例即可得解，熟练掌握相似三角形的判定定理是解决此题的关键． 【详解】∵（对顶角相等）， ∴要使，只需再添加一个对应角相等或其对应边成比例即可， ∴可以添加， 故答案为：（答案不唯一）． 16．如图，、和3张都标注一个条件的卡片．从这3张卡片中随机一次性抽取2张的结果，能判断的概率为 ． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的判定，概率等知识．利用相似三角形的判定方法依次判断可求解． 【详解】解：若，，则； 若，，则； 若，，则无法证明； 从这3张卡片中随机一次性抽取2张有3种等可能结果，其中能判断的有两种， 能判断的概率为， 故答案为：． 题型03 用SSS判定三角形相似 17．如图，在的正方形网格中，和的顶点都在正方形的格点处，则与的周长之比是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理与网格问题，相似三角形的判定；根据勾股定理求得各边长，根据三边对应成比例的两个三角形相似，即可求解． 【详解】解：设每个正方形网格的边长都为1， 则在中， ， ， ， 在中， ， ， ， ，，， ∴， ∴， 与的周长之比为：， 故选：． 18．如图，在4×4的正方形网格中，是相似三角形的是（　　） A．①和② B．②和③ C．①和③ D．无法确定 【答案】C 【分析】此题考查的是相似三角形的判定，掌握其判定定理是解决此题的关键． 根据两三角形相似的判定定理，三边对应成比例的两个三角形相似，即可解答． 【详解】解：设网格中每个小正方形的边长为1， ①中的三角形的各边长分别为2，，， ③中的三角形的各边长分别为，2，， ， 这两个三角形的三边对应成比例 ①中的三角形和③中的三角形相似， 故选C. 19．如图，小正方形的边长都为1，则图形中的阴影三角形相似的序号为 ． 【答案】①② 【分析】本题是考查了三边对应成比例的两个三角形相似，掌握“三边对应成比例的两个三角形相似”这一知识点是解决本题的关键． 分别求出每个三角形的三边长，若两个三角形的三边对应成比例，则这两个三角形相似． 【详解】解：①三边分别为：， ②三边分别为：， ③三边分别为：， ④三边分别为：， ⑤三边分别为：， ， 图形中的阴影三角形相似的序号为①②． 故答案为：①②． 20．如图，已知，下列添加的条件不能使的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了相似三角形的判定与性质，熟记相似三角形的判定与性质是解题的关键．根据相似三角形的判定定理判断求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故A不符合题意； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故B不符合题意； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 又， ∴， 故C不符合题意； 由，，不能判定， 故D符合题意； 故选：D． 21．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，其顶点称为格点，和的顶点都在格点上，则与相似吗？请说明理由． 【答案】与相似；理由见解析 【分析】本题主要考查了勾股定理，三角形相似的判定，解题的关键是熟练掌握三边对应成比例的两个三角形相似． 【详解】解：与相似，理由如下： 由勾股定理可得： ， ， ， ， ， ， ， ． 题型04 用SAS判定三角形相似 22．如图，小正方形的边长均为1，则图中三角形（阴影部分）与相似的是（    ）    A．   B．   C．   D．   【答案】B 【分析】此题考查了相似三角形的判定以及勾股定理，熟练掌握相似三角形的判定方法是解本题的关键．根据网格中的数据求出的长，，求出，利用两边对应成比例且夹角相等的两三角形相似判断即可． 【详解】解：根据题意可得：，； A．三角形中没有角，图中的三角形（阴影部分）与不相似． B．夹的两边之比为：，图中的三角形（阴影部分）与相似． C．三角形中没有角，图中的三角形（阴影部分）与不相似． D．三角形中没有角，图中的三角形（阴影部分）与不相似． 故答案为：B． 23．如图，在中，，，，将沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与不相似的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查图形的相似，熟练掌握三角形相似的条件是解题的关键．根据题意分别判定即可． 【详解】解：两角分别相等的两个三角形相似，故选项A中剪下的阴影三角形与相似，故选项A不符合题意； 两角分别相等的两个三角形相似，故选项B中剪下的阴影三角形与相似，故选项B不符合题意； 选项C中剪下的阴影三角形与不相似，故选项C符合题意； 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似，故选项D中剪下的阴影三角形与相似，故选项D不符合题意； 故选C． 24．如图，已知，，，．将沿图中的DE剪开，剪下的阴影三角形与不相似的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．根据相似三角形的判定逐一判断即可． 【详解】解：A、，， ， 故A不符合题意； B、，， ， 故B不符合题意； C、由图形可知，， ， ，， ， 又， ， 故C不符合题意； D、由已知条件无法证明与相似， 故D符合题意， 故选：D． 25．下列各组条件中，不能判定三角形与三角形相似的是（   ） A．， B．， C．， D． 【答案】B 【分析】本题考查了相似三角形的判定．根据有两组角对应相等的两个三角形相似对A进行判断；根据两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似对B进行判断；根据直角三角形相似的判定方法对C进行判断；根据三组对应边的比相等的两个三角形相似对D进行判断． 【详解】解：A、，，能判定，本选项不符合题意； B、，，不能判定，本选项符合题意； C、，，能判定，本选项不符合题意； D、，能判定，本选项不符合题意； 故选：B． 26．如图，点，分别在正方形的边，上，，，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定定理是解题关键．根据正方形的性质，得出，，进而得出，根据两边成比例且夹角相等的两个三角形相似即可证明． 【详解】解：，， ， 四边形是正方形， ，， ，， 又， ． 27．如图，点为边上一点，，，．求证：．    【答案】见解析 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定条件是解题关键．根据“如果两个三角形的两组对应边成比例，并且对应的夹角相等，那么这两个三角形相似”证明结论即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴，， ∴， 又∵， ∴． 28．如图，在平面直角坐标系内有两点，，所在直线的方程为，连接．    (1)求的值； (2)求证：． 【答案】(1)； (2)证明见解析． 【分析】（）把代入即可求解； （）由得直线的方程为，求出，从而得，，，然后根据“两组对边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”即可求证； 本题考查了待定系数法求一次函数解析式，相似三角形的判定，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】（1）∵在直线上， ∴， 解得：； （2）由（）得， ∴所在直线的方程为， 当时，， ∴， ∵，， ∴，，， ∴， 又， ∴． 题型05 用AA判定三角形相似 29．在研究相似问题时，甲、乙同学的观点如下： 甲：将边长为6、8、10的三角形按图1的方式向外扩张，得到新三角形，它们的对应边间距为1，则新三角形与原三角形相似． 乙：将邻边为6和10的矩形按图2的方式向外扩张，得到新的矩形，它们的对应边间距均为1，则新矩形与原矩形也相似． 对于两人的观点，下列说法正确的是（    ）    A．甲对，乙不对 B．甲不对，乙对 C．两人都对 D．两人都不对 【答案】A 【分析】本题考查相似三角形的判定、相似多边形的判定，根据题意得，，，，可得，，即可证得；再根据题意得，，可得，可知新矩形与原矩形不相似，即可求解． 【详解】解：甲：根据题意得，，，， ∴，， ∴， ∴甲说法正确； 乙：根据题意得，，，则，， ∴，， ∴， ∴新矩形与原矩形不相似， ∴乙说法不正确； 故选：A．    30．如图，在中，为边上一点，连接为上一点，连接，且．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查相似三角形的判定和平行四边形的性质，由平行四边形的性质得，，得到，然后由，得到，然后根据相似三角形的判定可得结论． 【详解】证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴． 31．如图，在 中，，，垂足为，为上一点，连接 ，作 交 于 ．求证：．    【答案】证明见解析． 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，由，得到，求出，根据相似三角形的判定得到结论即可，熟练掌握相似三角形的判定是解题的关键． 【详解】∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 又， ∴， 又， ∴， ∴， ∴． 32．如图，为平行四边形的对角线，且平分；点在的延长线上，． (1)求证：四边形是菱形． (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据角平分线的定义及平行线的性质得，，从而即可得证； （2）由菱形的性质可得，．则．由，，证明三角形相似即可． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴四边形是菱形； （2）证明：∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，等角对等边，菱形的判定及性质，相似三角形的判定．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 33．如图，四边形是正方形，点G为边上一点，连接并延长，交的延长线于点F，连接交于点E，连接．求证： (1)； (2)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定． （1）证明，即可； （2）根据平行得到，再根据，即可得证． 掌握正方形的性质，证明三角形全等和相似，是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵正方形， ∴， 又， ∴， ∴； （2）∵正方形， ∴， ∴， 又， ∴． 34．如图，和是两个全等的等腰直角三角形，，的顶点与的斜边的中点重合，将绕点旋转，旋转过程中，线段与线段相交于点，线段与射线相交于点．    (1)如图①，当点在线段上，且时，求证：； (2)如图②，当点在线段的延长线上时，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】此题考查了相似三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定、三角形的外角性质． （1）由是等腰直角三角形，易得，，又由，是的中点，利用，可证得：； （2）由和是两个全等的等腰直角三角形，易得，然后利用三角形的外角的性质，即可得，则可证得：． 【详解】（1）证明：是等腰直角三角形， ，， ， ， 是的中点， ， 在和中， ， ； （2）证明：和是两个全等的等腰直角三角形， ， ， 即， ， ， ． 1．如图，的高、相交于，连结，则图中相似三角形的对数是（    ） A．5对 B．6对 C．7对 D．8对 【答案】D 【分析】本题考查了相似三角形的判定，圆的有关知识，用相似三角形的判定方法可判定．，，即可求解 【详解】解：∵的高、相交于点O， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴ ∵，， ∴． 同理可得， ∴共6对， ∵， ∴点B，点C，点D，点E四点共圆∶ ∴， ， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴ 故选D． 2．如图，在中，分别为的中点，连接为的中点，过点H作，交于点D，连接，则与相似（不含）的三角形个数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键． 由三角形中位线定理可得，可得，由有两组角对应相等的两个三角形相似可证，可得结论． 【详解】解：∵、分别为、的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， 故选：B． 3．如图，在中，，E、F分别为、的中点，连接，H为的中点，过点H作，交于点 D，连接，则与相似(不含)的三角形个数为（    ） A．1 B．4 C．8 D．2 【答案】D 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定等知识点，由三角形中位线定理可得，可得，由有两组角对应相等的两个三角形相似可证，可得结论，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键． 【详解】∵E、F分别为、的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， 故选：D． 4．如图，八个完全相同的小长方形拼成一个正方形网格，连结小长方形的顶点所得的四个三角形中是相似三角形的是（    ）    A．①与③ B．①与④ C．②与③ D．②与④ 【答案】B 【分析】本题考查相似三角形的判定，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识．设小长方形的长为，宽为a．利用勾股定理求出三角形的三边长即可判断． 【详解】由题意可知：小长方形的长是宽的2倍， 设小长方形的宽为a，则长为， ∴图①中的三角形三边长分别为、； 图②中的三角形三边长分别为，； 图③中的三角形三边长分别为，； 图④中的三角形三边长分别为、， ∴①和②图中三角形不相似； ∵ ∴②和③图中三角形不相似； ∵ ∴①和③图中三角形不相似； ∵ ∴①和④图中三角形相似． 故选：B 5．如图，在中，点D、E分别在边上，则下列条件中：①；②；③；④，能使得以A，D，E为顶点的三角形与相似的条件有（　　）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查的是相似三角形的判定．根据相似三角形的判定定理对各条件进行逐一判断即可． 【详解】解：①，则，故①符合题意； ②，则，故②符合题意； ③，且夹角，则，故③符合题意； ④由可得，此时不确定，故④不符合题意， 故选：C． 6．如图，点、分别是等边三角形的两边、上两点， 、相交于点，连结．若 ，则下列结论错误的是(   ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形出的性质与判定，等边三角形的性质，相似三角形的判定；先证明，根据全等三角形的性质，以及三角形的外角的性质即可得出的度数是，进而根据，证明，即可求解． 【详解】如图，在等边中，，， 在与中， ， ；故B选项正确 ， ， 即的度数是，故C选项正确， ， ，故D选项正确， 无法判断，故A选项错误 故选：A． 7．数学课上，老师提出下面的问题：如图，在中，，请用直尺和圆规在上确定点D，使与相似．下面是四个学生的不同作法，根据作图痕迹可以判断，作法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查尺规作图、相似三角形的判定． 根据作图痕迹判断即可． 【详解】若使与相似， 则， 即是的垂线， 故选：C． 8．已知在与中，点分别在边上，（点不与点重合，点不与点重合）．如果与相似，点分别对应点，那么添加下列条件可以证明与相似的是（    ） ①分别是与的角平分线； ②分别是与的中线； ③分别是与的高． A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 【答案】A 【分析】本题考查添加条件证明三角形相似，根据与相似，可得，，，再根据相似三角形的判定方法逐项判断即可． 【详解】解：与相似，点分别对应点， ，，， ①分别是与的角平分线时：，， ， 又， ；故①正确； ②分别是与的中线时，，， ， ， 又， ；故②正确； ③分别是与的高时，现有条件不足以证明，故③错误； 综上可知，添加①或②时，可以证明与相似 故选A． 9．要在已知上用直尺和圆规截取出一个新的三角形，使之与原相似．以下是甲、乙两人的作法： 甲：如图1，分别以点A，C为圆心，同样长度为半径画弧，交于点F，D，E；以F点为圆心，以D、E间的距离为半径画弧，与先画的弧交于点G；作射线，交边与点H．则即为所求； 乙：如图2，分别以点A，B，C为圆心，大于的同样长度为半径画弧，所画弧分别交于点D，E，F，G；分别作直线和，直线和分别交于点M，N；连接．则即为所求．对于甲、乙两人的作法，下列判断正确的是（    ） A．甲、乙两人的作法都正确 B．甲、乙两人的作法都错误 C．甲的作法正确，乙的作法错误 D．甲的作法错误，乙的作法正确 【答案】A 【分析】本题考查了尺规作一个角等于已知角，作线段垂直平分线，相似三角形的判定； 由甲作图可知，结合可得；由乙作图可得，结合可得． 【详解】解：由甲作图可知， ∵， ∴； 由乙作图可知垂直平分，垂直平分， ∴， 又∵， ∴； ∴甲、乙两人的作法都正确， 故选：A． 10．如图，在中，点E在边上，已知，添加一个条件，使．你添加的条件是 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】此题考查了本题考查了相似三角形的判定，解题的关键是掌握相似三角形的判定方法．已知，得到，则可以再添加从而利用有两组角对应相等的两个三角形相似来判定或添加夹此角的两边对应成比例也可以判定． 【详解】解：添加的条件是， ， ， ， ， 故答案为：（答案不唯一）． 11．如图，在等腰直角中，，D为上一点，E为延长线上一点，且，，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理，添加辅助线，构造相似三角形是解题的关键．过点E作，交的延长线于点H，先证明，得到，，同时计算，因此得到，再证明，即可得到答案． 【详解】过点E作，交的延长线于点H， ，， ，， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ． 故答案为：． 12．如图，在中，为边上任意一点，利用尺规作图法，在边上找一点，使得.（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】见解析 【分析】本题主要考查相似三角形，以点为圆心，任意长度为半径画弧，交于，交于，以点为圆心，以相同的半径画弧，再以为半径画弧，两弧交于点，连接并延长，交于，则，结合可得． 【详解】解：如图，即为所作， ． 13．如图，已知，，吗？请说明理由．若不相似，请添加一个条件，使这两个三角形一定相似． 【答案】不相似，或或 【分析】本题考查了相似三角形的判定，根据两边成比例且夹角相等的两个三角形相似，即可得出答案，熟练掌握相似三角形的判定定理是解此题的关键． 【详解】解  不一定相似，因为，不是成比例的两边的夹角， 可添加：或或． 14．如图，在由若干个小正方形组成的网格图中，的顶点均在格点上．请仅用无刻度的直尺完成以下作图（保留作图痕迹，不写作法）． (1)在图中的外部作，使； (2)在图中，作绕点顺时针旋转一定角度后，各个顶点仍在格点上的． 【答案】(1)作图见解析； (2)作图见解析． 【分析】（）延长至点，使得，延长至点，使得，连接，得到，则即为所求； （）根据旋转的性质作图即可； 本题考查了作相似三角形，作旋转后的图形，掌握相似三角形的判定和旋转的性质是解题的关键． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求． 理由：∵，， ∴， 又∵， ∴； （2）解：如图所示，即为所求． 15．如图，在平行四边形中，过点作，垂足为，连接，为线段上一点，且． 求证：． 【答案】证明见解析 【分析】本题考查了相似三角形的判定，平行四边形的性质，余角性质，由四边形为平行四边形得到，，得到，，由得到，又由得到，进而可得到，即可得到，进而得到，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键． 【详解】证明：∵四边形为平行四边形， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴． 16．如图，矩形中，，点是的中点，连接．将沿着折叠后得，延长交于，连接． (1)求证：平分． (2)求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）可推出，，进而推出，从而得出，从而平分； （2）可推出，，从而，进一步得出结论． 【详解】（1）证明：四边形是矩形， ， 点是的中点， ， 将沿着折叠后得， ，， ，， ， ， ， 平分． （2）证明：由折叠可得：， 由（1）得：， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了矩形的性质，轴对称的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定，角平分线等知识，解决问题的关键是转化条件和集中条件． 17．如图，在中，，是的中线，作于点E． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定、相似三角形的性质、直角三角形的性质、等腰三角形的判定与性质等知识点，证得是解题的关键． （1）根据直角三角形斜边上中线等于斜边的一半可得，再根据等腰三角形的性质可得；再说明，最后根据两组对应角相等的三角形是相似三角形即可证明结论； （2）根据相似三角形的性质可得，进而得到，最后根据直角三角形斜边上中线等于斜边的一半即可解答． 【详解】（1）证明：是的中线，， ，即， ， ， ． （2）解：， ，即， ， 是的中线， ． 试卷第2页，共24页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第14讲 相似三角形的判定定理与应用 课程标准 学习目标 ①了解相似三角形的判定定理:两角分别相等的两个三角形相似；两边成比例且夹角相等的两个三角形相似；三边成比例的两个三角形相似． ②*了解相似三角形判定定理的证明． 1、经历相似多边形概念的形成过程，了解相似多边形的含义． 2.在探索相似多边形本质特征的过程中，进一步发展学生观察、操作、归纳、类比、反思、交流等多方面的能力,提高学生的数学思维水平，体会反例的作用． 知识点一：两角对应相等的两个三角形相似(AA). 如图，若∠A＝∠D，∠B＝∠E，则△ABC∽△DEF. 知识点二：两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似（SAS）． 如图，若∠A＝∠D，，则△ABC∽△DEF. 知识点三： 三边对应成比例的两个三角形相似（SSS）． 如图，若，则△ABC∽△DEF. 题型01 用合适的方法判定相似三角形 1．已知在和中，，则不能使两直角三角形相似的条件为（　　） A． B． C． D． 2．已知是的边上一点，连接，则下列不能判定的是（    ） A． B． C． D． 3．下列条件中，不能判定的是（  ） A． B． C． D． 4．如图，下列条件中能判定的是（    ） A． B． C． D． 5．如图，已知，那么添加下列一个条件后，仍无法判定的是（    ） A． B． C． D． 6．如图，点在的边上，添加一个条件可判定，其中添加不正确的是(    ) A． B． C． D． 7．如图，下列条件不能判定的是（    ） A．， B． C．， D．， 8．如图，点D在的边上，添加一个条件，使得．以下是天翼和往琛的做法．下列说法不正确的是（    ）    天冀的做法：添加条件． 证明：∵，． ∴（两组角对应相等的两个三角形相似） 往琛的做法：添加条件． 证明：∵,． ∴（两组对应边成比例及一组对应角相等的两个三角形相似） A．天翼的做法证明过程没有问题 B．往琛的做法证明过程没有问题 C．天翼的做法添加的条件没有问题 D．往琛的做法添加的条件有问题 题型02 补充条件判定相似三角形 9．如图，线段相交于点，连接，请添加一个条件，使与相似，且点的对应点为点，这个条件可以是 ．（写出一个条件即可） 10．如图，点D是边上一点，，连接．若添加一个条件使得与相似，你添加的条件是 ．（只填写一个你认为正确的答案） 11．如图，，要使，需添加的一个条件是 ． 12．如图，在中，点D，E分别在边上，要使，则需要添加的一个条件是 ．（写出一个即可） 13．如图，点B，F，C，E在同一条直线上，，若使，则还需添加一个条件是 ．（只需填一个） 14．如图，已知，添加一个条件使，你添加的条件是 ．(写出一个即可)    15．如图，与相交于点，连接，，添加一个条件，使．你添加的条件是 ． 16．如图，、和3张都标注一个条件的卡片．从这3张卡片中随机一次性抽取2张的结果，能判断的概率为 ． 题型03 用SSS判定三角形相似 17．如图，在的正方形网格中，和的顶点都在正方形的格点处，则与的周长之比是（　　） A． B． C． D． 18．如图，在4×4的正方形网格中，是相似三角形的是（　　） A．①和② B．②和③ C．①和③ D．无法确定 19．如图，小正方形的边长都为1，则图形中的阴影三角形相似的序号为 ． 20．如图，已知，下列添加的条件不能使的是（    ） A． B． C． D． 21．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，其顶点称为格点，和的顶点都在格点上，则与相似吗？请说明理由． 题型04 用SAS判定三角形相似 22．如图，小正方形的边长均为1，则图中三角形（阴影部分）与相似的是（    ）    A．   B．   C．   D．   23．如图，在中，，，，将沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与不相似的是（   ） A． B． C． D． 24．如图，已知，，，．将沿图中的DE剪开，剪下的阴影三角形与不相似的是（    ） A．B．C．D． 25．下列各组条件中，不能判定三角形与三角形相似的是（   ） A．， B．， C．， D． 26．如图，点，分别在正方形的边，上，，，．求证：． 27．如图，点为边上一点，，，．求证：．    28．如图，在平面直角坐标系内有两点，，所在直线的方程为，连接．    (1)求的值； (2)求证：． 题型05 用AA判定三角形相似 29．在研究相似问题时，甲、乙同学的观点如下： 甲：将边长为6、8、10的三角形按图1的方式向外扩张，得到新三角形，它们的对应边间距为1，则新三角形与原三角形相似． 乙：将邻边为6和10的矩形按图2的方式向外扩张，得到新的矩形，它们的对应边间距均为1，则新矩形与原矩形也相似． 对于两人的观点，下列说法正确的是（    ）    A．甲对，乙不对 B．甲不对，乙对 C．两人都对 D．两人都不对 30．如图，在中，为边上一点，连接为上一点，连接，且．求证：． 31．如图，在 中，，，垂足为，为上一点，连接 ，作 交 于 ．求证：．    32．如图，为平行四边形的对角线，且平分；点在的延长线上，． (1)求证：四边形是菱形． (2)求证：． 33．如图，四边形是正方形，点G为边上一点，连接并延长，交的延长线于点F，连接交于点E，连接．求证： (1)； (2)． 34．如图，和是两个全等的等腰直角三角形，，的顶点与的斜边的中点重合，将绕点旋转，旋转过程中，线段与线段相交于点，线段与射线相交于点．    (1)如图①，当点在线段上，且时，求证：； (2)如图②，当点在线段的延长线上时，求证：． 1．如图，的高、相交于，连结，则图中相似三角形的对数是（    ） A．5对 B．6对 C．7对 D．8对 2．如图，在中，分别为的中点，连接为的中点，过点H作，交于点D，连接，则与相似（不含）的三角形个数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 3．如图，在中，，E、F分别为、的中点，连接，H为的中点，过点H作，交于点 D，连接，则与相似(不含)的三角形个数为（    ） A．1 B．4 C．8 D．2 4．如图，八个完全相同的小长方形拼成一个正方形网格，连结小长方形的顶点所得的四个三角形中是相似三角形的是（    ）    A．①与③ B．①与④ C．②与③ D．②与④ 5．如图，在中，点D、E分别在边上，则下列条件中：①；②；③；④，能使得以A，D，E为顶点的三角形与相似的条件有（　　）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6．如图，点、分别是等边三角形的两边、上两点， 、相交于点，连结．若 ，则下列结论错误的是(   ) A． B． C． D． 7．数学课上，老师提出下面的问题：如图，在中，，请用直尺和圆规在上确定点D，使与相似．下面是四个学生的不同作法，根据作图痕迹可以判断，作法正确的是（    ） A． B． C． D． 8．已知在与中，点分别在边上，（点不与点重合，点不与点重合）．如果与相似，点分别对应点，那么添加下列条件可以证明与相似的是（    ） ①分别是与的角平分线； ②分别是与的中线； ③分别是与的高． A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 9．要在已知上用直尺和圆规截取出一个新的三角形，使之与原相似．以下是甲、乙两人的作法： 甲：如图1，分别以点A，C为圆心，同样长度为半径画弧，交于点F，D，E；以F点为圆心，以D、E间的距离为半径画弧，与先画的弧交于点G；作射线，交边与点H．则即为所求； 乙：如图2，分别以点A，B，C为圆心，大于的同样长度为半径画弧，所画弧分别交于点D，E，F，G；分别作直线和，直线和分别交于点M，N；连接．则即为所求．对于甲、乙两人的作法，下列判断正确的是（    ） A．甲、乙两人的作法都正确 B．甲、乙两人的作法都错误 C．甲的作法正确，乙的作法错误 D．甲的作法错误，乙的作法正确 10．如图，在中，点E在边上，已知，添加一个条件，使．你添加的条件是 ． 11．如图，在等腰直角中，，D为上一点，E为延长线上一点，且，，则 ． 12．如图，在中，为边上任意一点，利用尺规作图法，在边上找一点，使得.（不写作法，保留作图痕迹） 13．如图，已知，，吗？请说明理由．若不相似，请添加一个条件，使这两个三角形一定相似． 14．如图，在由若干个小正方形组成的网格图中，的顶点均在格点上．请仅用无刻度的直尺完成以下作图（保留作图痕迹，不写作法）． (1)在图中的外部作，使； (2)在图中，作绕点顺时针旋转一定角度后，各个顶点仍在格点上的． 15．如图，在平行四边形中，过点作，垂足为，连接，为线段上一点，且． 求证：． 16．如图，矩形中，，点是的中点，连接．将沿着折叠后得，延长交于，连接． (1)求证：平分． (2)求证：． 17．如图，在中，，是的中线，作于点E． (1)求证：； (2)若，，求的长． 试卷第2页，共24页 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