22.2 二次函数与一元二次方程-2024-2025学年九年级数学上册核心要点同步题型精练（人教版）

好题精选·同步精练22.2二次函数与一元二次方程 知识点1 二次函数与一元二次方程的关系 1．（2024·浙江宁波·模拟预测）已知二次函数（）图像上部分点的坐标对应值列表如下：则关于x的方程的解是（    ）． x … 0 30 80 … y … 2 2 … A．， B．， C． D． 2．（2023·陕西渭南·一模）若二次函数的图象经过点，，则关于x的方程的解为（　　） A．， B．， C．， D．， 3．（23-24九年级上·重庆江津·阶段练习）小明画出二次函数的图像如下图，则关于的方程的解为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24九年级上·山西吕梁·期末）二次函数的图象如图所示，则关于的方程的解为（   ） A． B． C． D．此方程无解 5．（23-24九年级上·广西百色·期末）函数的图象与x轴交点坐标为和，则方程的两个解为： ． 6．（23-24九年级上·浙江宁波·期中）二次函数的图象过点，则方程的解为 ． 7．（23-24九年级上·吉林·阶段练习）抛物线与x轴的其中一个交点坐标是，则的值为 ． 8．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）已知抛物线的部分图象如图所示，则方程的解为 ．    知识点2 二次函数与x轴的交点个数与一元二次方程根的个数的关系 9．（23-24九年级上·山东烟台·期中）已知二次函数的图象在轴的下方，则，，满足的条件是（   ） A．， B．， C．， D．， 10．（23-24九年级上·北京石景山·期末）若抛物线与x轴只有一个交点，则m的值为（    ） A．3 B． C． D． 11．（23-24九年级上·山西吕梁·阶段练习）若抛物线与x轴没有交点，则c的值可以是（　　） A． B．0 C．2 D．5 12．（22-23九年级上·湖南株洲·期中）已知二次函数与x轴有交点，则k的取值范围在数轴上表示正确的是(　　) A． B． C． D． 13．（2023·江西新余·一模）若抛物线与x轴无交点，则k的取值范围是 ． 14．（23-24九年级上·宁夏吴忠·期中）如果函数的图象与x轴有公共点，那么m的取值范围是 ． 15．（23-24九年级上·江苏·期末）若抛物线与轴交于两点，则 ． 16．（23-24九年级上·湖南株洲·期末）若二次函数（a为常数）与x轴没有交点，则a的取值范围是 ． 17．（23-24九年级下·吉林长春·阶段练习）在平面直角坐标系中，若将抛物线向上平移个单位后的抛物线与x轴只有一个交点，则的值为 ． 知识点3 二次函数与一元二次不等式的关系 18．（23-24九年级上·新疆塔城·期中）如图是二次函数的部分图象，由图象可知不等式的解集是（    ） A． B． C．且 D．或 19．（23-24九年级上·浙江金华·期中）如图，利用函数的图象，直接回答： （1）方程的解是 ； （2）当时，的取值范围为 ； 20．（22-23九年级上·广西崇左·阶段练习）如图，已知抛物线与直线交于、两点，则关于的不等式的解集是 ． 21．（23-24九年级上·山东济宁·期中）如图， 抛物线 与直线交于两点， 则不等式 的解集是 ． 22．（22-23九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，已知抛物线与直线交于点，，点，的横坐标分别是，，则不等式的解为 ． 23．（2024·广西南宁·模拟预测）如图，二次函数的图象与一次函数的图象在第一象限的交点为A，点A的横坐标为1，则关于x的不等式的解集为 ． 24．（2024·江苏宿迁·模拟预测）如图是二次函数和一次函数的图象，当时，x的取值范围是 ． 25．（23-24八年级下·福建福州·期末）如图，抛物线与直线交于，两点，则不等式的解集是 ． 26．（23-24八年级下·浙江宁波·期末）如图是二次函数的部分图像，由图像可知不等式的解是 ． 知识点4 利用二次函数求一元二次方程的近似解 27．（广东省佛山市大沥镇2022-2023学年九年级上学期月考数学试题）根据下表中的对应值，判断方程的一个解的范围是（    ） x A． B． C． D． 28．（23-24九年级上·安徽黄山·期末）如图是二次函数的图象，图象上有两点分别为，，则方程的一个解只可能是（   ）     A． B． C． D． 29．（23-24九年级上·河南信阳·阶段练习）已知二次函数中x和y的值如下表所示： x 0.10 0.11 0.12 0.13 0.14 y 0.9 1.8 若其图象的对称轴为直线，则的较大的根的范围是（    ） A． B． C． D． 30．（2024·四川成都·模拟预测）如图，二次函数的图象与轴交于点，顶点坐标为，下列说法正确的是（    ） A． B．二次函数图象与轴有两个交点且两交点距离为5 C．当时， D．直线与二次函数图象有两个交点 31．（2023·贵州铜仁·三模）将抛物线的图象位于直线以上的部分向下翻折，得到如图图象，若直线与此图象有四个交点，则的取值范围是（    ）    A． B． C． D． 32．（23-24九年级上·四川泸州·阶段练习）已知二次函数，若关于x的方程在的范围内有解，则k的取值范围是（　　） A． B． C． D． 33．（23-24九年级上·浙江绍兴·期中）已知二次函数与x轴的交点是和，关于x的方程（其中）的两个解分别是和5，关于x的方程（其中）也有两个整数解，这两个整数解分别是 ． 34．（2024·广东广州·二模）已知二次函数（a为常数）的图象经过和两点，则二次函数与y轴的交点坐标为（    ） A． B． C． D． 35．（2024·新疆昌吉·模拟预测）如图所示是抛物线的部分图象，图象过点，对称轴为直线，有下列四个结论：①；②；③的最大值为3；④方程有两个不相等的实根．其中正确的为 ．      36．（2024·四川成都·三模）如图是二次函数的部分图象，由图象可知下列说法错误的是（    ） A．， B．不等式的解集是 C． D．方程的解是， 37．（2024·浙江舟山·三模）已知二次函数，当时，的取值范围是或．若二次函数的图象经过点，，则的值不可能是（    ） A． B．0 C． D．5 38．（23-24九年级上·天津·期末）已知抛物线的对称轴为直线，与x轴的一个交点坐标为，其部分图象如图所示，下列结论：①抛物线一定过原点；②方程的解为或，③；④当时，；⑤当时，y随x增大而增大，其中结论正确的个数（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 39．（23-24九年级上·河北邢台·阶段练习）在平面直角坐标系中，抛物线的顶点坐标为，若抛物线与轴相交于，两点，则 ． ． 40．（23-24九年级上·江苏宿迁·阶段练习）若二次函数（为常数）的图象如图所示，则关于的方程的解为 ． 41．（23-24九年级上·浙江台州·阶段练习）二次函数图象经过点，且图象对称轴为直线，则方程的解为 ． 42．（23-24九年级上·河南新乡·阶段练习）  如图，二次函数的图象与轴交于，两点（点在点的左侧）．    (1)若为二次函数的图象上一点，求的值； (2)求的长． 43．（23-24九年级上·吉林·阶段练习）如图，二次函数的图象交x轴于点和点，交y轴于点C，且点C、D是二次函数图象上关于对称轴对称的一对点，一次函数的图象经过点B、D． (1)求二次函数的解析式； (2)根据图象直接写出不等式的解集为________． 44．（2024·广东东莞·模拟预测）如图，已知二次函数经过点和点，    (1)求该二次函数的解析式； (2)如图，若一次函数经过B、C两点，直接写出不等式的解； (3)点A为该二次函数与x轴的另一个交点，求的面积． 45．（2021·四川广元·中考真题）将二次函数的图象在x轴上方的部分沿x轴翻折后，所得新函数的图象如图所示．当直线与新函数的图象恰有3个公共点时，b的值为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 46．（2024·湖北武汉·中考真题）抛物线（a，b，c是常数，）经过，两点，且．下列四个结论： ①； ②若，则； ③若，则关于x的一元二次方程 无实数解； ④点，在抛物线上，若，，总有，则． 其中正确的是 （填写序号）． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 好题精选·同步精练22.2二次函数与一元二次方程 知识点1 二次函数与一元二次方程的关系 1．（2024·浙江宁波·模拟预测）已知二次函数（）图像上部分点的坐标对应值列表如下：则关于x的方程的解是（    ）． x … 0 30 80 … y … 2 2 … A．， B．， C． D． 【答案】A 【分析】本题考查抛物线与轴的交点、二次函数图像上点的坐标特征、二次函数与一元二次方程的关系，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．根据表格中的数据，可以得到该函数的对称轴和的值，从而可以得到和时对应的函数值都是，再将，代入函数解析式，整理可以得到方程，从而可以得到该方程的解． 【详解】解：由表格可知， 二次函数的对称轴是直线， 则和对应的函数值都是， 当时，，即， 当时，，即， 整理，得， 则方程的解是，， 故选：A． 2．（2023·陕西渭南·一模）若二次函数的图象经过点，，则关于x的方程的解为（　　） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】根据一元二次方程的根为二次函数与x轴的交点即可解答． 【详解】解：的图象经过点，， 方程的解为，． 故选：A． 【点睛】此题考查了二次函数与一元二次方程的关系，解题的关键是正确应用两者的关系． 3．（23-24九年级上·重庆江津·阶段练习）小明画出二次函数的图像如下图，则关于的方程的解为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数与一元二次方程的关系，解题的关键在于熟知二次函数与x轴的交点的横坐标即为对应一元二次方程的解． 【详解】解：由函数图象可知二次函数与x轴的两个交点坐标为， ∴关于的方程的解为， 故选：B． 4．（23-24九年级上·山西吕梁·期末）二次函数的图象如图所示，则关于的方程的解为（   ） A． B． C． D．此方程无解 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的性质，直接根据图象即可确定方程的根，从而得出答案． 【详解】 由图象可知，当时， 故选B． 5．（23-24九年级上·广西百色·期末）函数的图象与x轴交点坐标为和，则方程的两个解为： ． 【答案】， 【分析】本题主要考查了抛物线与x轴的交点的意义，解题时要熟练掌握并能由抛物线与x轴的交点的横坐标就是方程的解进行判断是关键．依据题意，由方程的两个解是函数的图象与x轴交点的横坐标进行判断可以得解． 【详解】解：由题意，∵函数的图象与x轴交点坐标为和， ∴方程的两个解是函数的图象与x轴交点的横坐标． ∴，． 故答案为：，． 6．（23-24九年级上·浙江宁波·期中）二次函数的图象过点，则方程的解为 ． 【答案】， 【分析】本题考查了抛物线与轴的交点：把求二次函数，，是常数，与轴的交点坐标问题转化为解关于的一元二次方程，先求抛物线的对称轴，再利用抛物线的对称性得到抛物线与轴的另一个交点为，然后根据抛物线与轴的交点问题得到方程的解． 【详解】解：二次函数的图象的对称轴为直线， 而二次函数的图象与轴的一个交点为， 二次函数的图象与轴的另一个交点为， 方程的解为，． 故答案为：，． 7．（23-24九年级上·吉林·阶段练习）抛物线与x轴的其中一个交点坐标是，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查抛物线与轴的交点，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．根据抛物线与轴的其中一个交点是，可以得到的值，从而可以得到的值，本题得以解决． 【详解】解：抛物线与轴的其中一个交点是， ， ， ， 故答案为：． 8．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）已知抛物线的部分图象如图所示，则方程的解为 ．    【答案】 【分析】此题考查了二次函数和一元二次方程的关系，抛物线与x轴的交点横坐标即为二次函数函数值为0时的一元二次方程的解，据此进行求解即可． 【详解】解：∵根据图示知，抛物线与x轴的一个交点是,对称轴为直线， ∴根据对称性，抛物线与x轴的另一交点为， ∴令，即， ∴方程的解是． 故答案为：． 知识点2 二次函数与x轴的交点个数与一元二次方程根的个数的关系 9．（23-24九年级上·山东烟台·期中）已知二次函数的图象在轴的下方，则，，满足的条件是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的图像与性质，解题的关键是掌握二次函数的图像与性质，根据二次函数的图像在轴的下方，可得抛物线开口向下，与轴无交点，即可判断． 【详解】解：二次函教的图象在轴的下方， 抛物线开口向下，与轴无交点， 即，， 故选：C． 10．（23-24九年级上·北京石景山·期末）若抛物线与x轴只有一个交点，则m的值为（    ） A．3 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次函数与轴的交点问题．二次函数与轴有两个交点，则；与轴有一个交点，则；与轴没有交点，则．据此即可求解． 【详解】解：由题意得：． 解得：， 故选：D 11．（23-24九年级上·山西吕梁·阶段练习）若抛物线与x轴没有交点，则c的值可以是（　　） A． B．0 C．2 D．5 【答案】D 【分析】本题考查抛物线与x轴的交点问题，解题关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． 根据抛物线与x轴没有交点，知无解，根据根的判别式小于0，列不等式求解． 【详解】解：∵抛物线与x轴没有交点， 无解， ， 解得， 故选：D． 12．（22-23九年级上·湖南株洲·期中）已知二次函数与x轴有交点，则k的取值范围在数轴上表示正确的是(　　) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查抛物线与x轴的交点问题，根据题意得出一元二次方程有实数根，再根据一元二次方程的定义和根的判别式得出且，解得且，再在数轴上表示出来，即可得出答案． 【详解】解：∵二次函数与x轴有交点， ∴一元二次方程有实数根， ∴，且， ∴且， 在数轴上表示为： 故答案为：C． 13．（2023·江西新余·一模）若抛物线与x轴无交点，则k的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数与轴的交点问题，转化为一元二次方程无实根是解题的关键．根据题意可得方程无实根，得出，解不等式即可求解． 【详解】解：∵抛物线与轴无交点， 则方程无实根， 即， 解得， 故答案为：． 14．（23-24九年级上·宁夏吴忠·期中）如果函数的图象与x轴有公共点，那么m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查二次函数与x轴的交点问题．根据二次函数与一元二次方程的关系，利用根的判别式即可得出答案． 【详解】解：∵函数的图象与x轴有公共点， ∴， 解得：． 故答案为： 15．（23-24九年级上·江苏·期末）若抛物线与轴交于两点，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了抛物线与一元二次方程，根与系数关系，熟练掌握根与系数的关系是解题的关键．根据根与系数关系定理求解即可． 【详解】∵抛物线与轴交于两点， ∴， 故答案为： 16．（23-24九年级上·湖南株洲·期末）若二次函数（a为常数）与x轴没有交点，则a的取值范围是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查二次函数与x轴交点问题，抛物线与x轴交点个数由决定，当时，抛物线与x轴有2个交点；当时，抛物线与x轴有1个交点；当时，抛物线与x轴没有交点． 根据判别式，函数图像与x轴没有交点，则，计算求解即可． 【详解】解：二次函数（a为常数）与x轴没有交点， ， 即：， 解得：． 故答案为：． 17．（23-24九年级下·吉林长春·阶段练习）在平面直角坐标系中，若将抛物线向上平移个单位后的抛物线与x轴只有一个交点，则的值为 ． 【答案】3 【分析】本题考查了二次函数图象的平移、二次函数与轴的交点问题，根据二次函数的平移法则得出平移后的抛物线的解析式为，再根据根的判别式的意义得出，计算即可得出答案，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：将抛物线向上平移个单位后的抛物线的解析式为， ∵抛物线与x轴只有一个交点， ∴， 解得：， 故答案为：． 知识点3 二次函数与一元二次不等式的关系 18．（23-24九年级上·新疆塔城·期中）如图是二次函数的部分图象，由图象可知不等式的解集是（    ） A． B． C．且 D．或 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数与不等式、二次函数的对称性，先利用抛物线的对称性求出与x轴的另一个交点坐标，然后写出抛物线在x轴上方部分的x的取值范围即可． 【详解】解：由图可知，抛物线的对称轴为直线，与x轴的一个交点为， ∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为， ∴不等式的解集是． 故选：A． 19．（23-24九年级上·浙江金华·期中）如图，利用函数的图象，直接回答： （1）方程的解是 ； （2）当时，的取值范围为 ； 【答案】 【分析】本题考查了二次函数与对应的一元二次方程、一元二次不等式的联系，旨在考查学生的数形结合能力．找到二次函数图象与轴的交点坐标是解题关键． 【详解】解：由题意可知：二次函数图象与轴的交点坐标为 ∴方程的解是：， 当时，， 故答案为：①② 20．（22-23九年级上·广西崇左·阶段练习）如图，已知抛物线与直线交于、两点，则关于的不等式的解集是 ． 【答案】 【分析】根据图象，写出抛物线在直线上方部分的x的取值范围即可． 【详解】由图象可知，当时，抛物线在直线的上方， 关于的不等式的解集是， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数与不等式的关系，主要利用了数形结合的思想，解题关键在于对图象的理解，题目中的不等式的含义为：二次函数的图象在一次函数图象上方时，自变量x的取值范围． 21．（23-24九年级上·山东济宁·期中）如图， 抛物线 与直线交于两点， 则不等式 的解集是 ． 【答案】/ 【详解】解：解：观察图象可知当和时， 在交点之间时，一次函数的图象在抛物线下方，即， ∴不等式的解集是， 故答案为：． 【分析】本题主要考查了抛物线与一次函数图象的交点求不等式的解集，确定图象之间的位置关系可得出函数值的大小． 22．（22-23九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，已知抛物线与直线交于点，，点，的横坐标分别是，，则不等式的解为 ． 【答案】 【分析】由图像可知的解即为直线在抛物线上方时，即可得出答案． 【详解】由图像可知的解即为直线在抛物线上方时， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查二次函数的图像与性质，熟练掌握二次函数与不等式之间的关系，数形结合是解题的关键． 23．（2024·广西南宁·模拟预测）如图，二次函数的图象与一次函数的图象在第一象限的交点为A，点A的横坐标为1，则关于x的不等式的解集为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了利用函数图形解不等式，理解是二次函数值小于一次函数值时自变量的取值是关键． 即二次函数的图象在一次函数的图象的下边，求自变量x的范围． 【详解】解：由题意得，二次函数的图象与一次函数的图象都经过点， ∵点A的横坐标为1， ∴关于x的不等式的解集为． 故答案为：． 24．（2024·江苏宿迁·模拟预测）如图是二次函数和一次函数的图象，当时，x的取值范围是 ． 【答案】或 【分析】本题考查了二次函数的性质．根据图象可以直接回答，即可． 【详解】解：观察图象得：当或时，二次函数的图象位于一次函数的图象的上方， ∴当时，x的取值范围是或 故答案为：或 25．（23-24八年级下·福建福州·期末）如图，抛物线与直线交于，两点，则不等式的解集是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数与不等式的关系，解题的关键是将问题转化为交点的横坐标的取值范围． 由得：，故抛物线在直线的下方对应交点的横坐标的取值范围即为该不等式的解集，据此求解即可． 【详解】解：由得：， ∴抛物线在直线的下方对应交点的横坐标的取值范围即为该不等式的解集， ∵两图像交于，两点， ∴， 故答案为：． 26．（23-24八年级下·浙江宁波·期末）如图是二次函数的部分图像，由图像可知不等式的解是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质以及二次函数与不等式的关系，由题意可得：二次函数的对称轴是直线，抛物线与轴的一个交点为，然后可根据抛物线的对称性求出抛物线与轴的另一个交点，再根据抛物线在轴上方的图象对应的的范围解答即可，正确读懂图象信息、熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 【详解】解：由图象可知：抛物线的对称轴为直线， ∵抛物线与轴的一个交点坐标为， ∴抛物线与轴的另一个交点坐标为， 当时，， 故答案为：． 知识点4 利用二次函数求一元二次方程的近似解 27．（广东省佛山市大沥镇2022-2023学年九年级上学期月考数学试题）根据下表中的对应值，判断方程的一个解的范围是（    ） x A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的近似解，找到相近的函数值分别为正值、负值对应的自变量即可求解． 【详解】解：∵当时，； 当时，； ∴方程的一个解的范围是 故选：C 28．（23-24九年级上·安徽黄山·期末）如图是二次函数的图象，图象上有两点分别为，，则方程的一个解只可能是（   ）     A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数与坐标轴交点问题，根据题意得方程的一个解，进而即可求解． 【详解】解：∵二次函数图象上有两点分别为，， ∴方程的一个解， ∴方程的解为：， 即． 故选：C． 29．（23-24九年级上·河南信阳·阶段练习）已知二次函数中x和y的值如下表所示： x 0.10 0.11 0.12 0.13 0.14 y 0.9 1.8 若其图象的对称轴为直线，则的较大的根的范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的性质：图象法确定一元二次方程的近似根，先根据表格数据，得的较小的根的范围为，根据对称轴为直线，即可作答． 【详解】解：∵时，；时，； ∴的较小的根的范围为， ∵对称轴为直线， ∴的较大的根的范围是， 故选：C． 30．（2024·四川成都·模拟预测）如图，二次函数的图象与轴交于点，顶点坐标为，下列说法正确的是（    ） A． B．二次函数图象与轴有两个交点且两交点距离为5 C．当时， D．直线与二次函数图象有两个交点 【答案】D 【分析】此题考查了二次函数的性质，求函数解析式，利用对称性求二次函数与轴交点坐标，据此分别判断各选项，进而得到答案，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 【详解】解：∵二次函数的图象与轴交于点，顶点坐标为， ∴二次函数解析式为，即，故A错误； ∵二次函数图象的对称轴为直线，图象与轴交于点， ∴图象与轴交于另一点， ∴二次函数图象与轴有两个交点且两交点距离为，故B错误； 将代入，得 ∴ 当时，；当时，， ∵图象开口向上，顶点坐标为， ∴函数有最小值， ∴当时，，故C错误； 令，整理得， ∴， ∴直线与二次函数图象有两个交点，故D正确； 故选：D． 31．（2023·贵州铜仁·三模）将抛物线的图象位于直线以上的部分向下翻折，得到如图图象，若直线与此图象有四个交点，则的取值范围是（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数图象，可发现，若直线与新函数有3个交点，可以有两种情况： ①直线经过对折点（即右边的对折点），可将点坐标代入直线的解析式中，即可求出的值； ②若直线与新函数图象有三个交点，那么当直线与该二次函数只有一个交点时，恰好满足这一条件，那么联立直线与该二次函数的解析式，可化为一个关于的一元二次方程，那么该方程的判别式，根据这一条件可确定的取值． 【详解】解：令，则， 解得或2， ， 平移直线知：直线位于和时，它与新图象有三个不同的公共点． ①当直线位于时，此时过点， ，即． ②当直线位于时，此时与函数的图象有一个公共点， 方程， 即有两个相等实根， ， 即． 由①②知若直线与新图象只有四个交点，的取值范围为； 故选：D．    【点睛】此题考查了二次函数图象与几何变换、一次函数的性质、函数图象交点以及根据值域确定二次函数参数取值范围的问题，综合性强，难度较大． 32．（23-24九年级上·四川泸州·阶段练习）已知二次函数，若关于x的方程在的范围内有解，则k的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数图象与性质、二次函数与一元二次方程的关系，解答的关键是熟练掌握二次函数的性质，利用数形结合思想解决二次函数与一元二次方程的关系问题．根据“关于x的方程在的范围内有解，”转化为与在时有交点，利用二次函数解析式求出函数值在时的最大最小值，即可解题． 【详解】解：， 二次函数对称轴为，且二次函数在对称轴处取得最小值， ，且，，离对称轴越远，函数值越大， 当时，二次函数的最大值为， 在时，关于x的方程有解， 即可以看在与在时有交点， ， 故选：D． 33．（23-24九年级上·浙江绍兴·期中）已知二次函数与x轴的交点是和，关于x的方程（其中）的两个解分别是和5，关于x的方程（其中）也有两个整数解，这两个整数解分别是 ． 【答案】0和4 【分析】本题考查二次函数与一元二次方程．解决问题的关键是画出图象，熟练掌握二次函数与一元二次方程的关系． 先确定二次函数与x轴和直线的交点，画出大致图象，然后根据二次函数与的交点位置，判断两个根的大小范围即可求解． 【详解】解：由题意可知二次函数与x轴的交点分别为和， 与的交点分别为和， 设与的交点分别为和， ∵， ∴直线在x轴和直线之间， 如图所示： 由图可知，， 又，q都为整数， ∴，， 故答案为：0和4． 34．（2024·广东广州·二模）已知二次函数（a为常数）的图象经过和两点，则二次函数与y轴的交点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数图象上的坐标特征，二次函数的对称性，关键是利用对称轴公式解题； 由抛物线的对称性求得对称轴为直线，即可得到，求得，即可求得，从而求得二次函数与y轴的交点坐标为． 【详解】解：和两点关于抛物线对称轴对称， 抛物线对称轴为直线， ， 解得， ， 二次函数与y轴的交点坐标为． 故选：B． 35．（2024·新疆昌吉·模拟预测）如图所示是抛物线的部分图象，图象过点，对称轴为直线，有下列四个结论：①；②；③的最大值为3；④方程有两个不相等的实根．其中正确的为 ．      【答案】①②④ 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，掌握二次函数的图象和性质是求解本题的关键． 根据二次函数的图象和性质依次判断即可． 【详解】解：∵抛物线开口向下，与轴交于正半轴， ∵抛物线的对称轴为直线，且过点， ∴，抛物线过点，即． ， ∴①正确，②正确． ∵抛物线开口向下，对称轴是直线， ∴当时，有最大值，其值与有关， ∴③错误． ∵方程的根即是的图象与的交点， 由图象知，的图象与的图象有两个交点． ∴④正确． 故答案为：①②④． 36．（2024·四川成都·三模）如图是二次函数的部分图象，由图象可知下列说法错误的是（    ） A．， B．不等式的解集是 C． D．方程的解是， 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数图象的应用；能够根据二次函数图象特点求出函数与x轴的两个交点，数形结合是解题的关键．由图象判断，，对称轴是，再判断出，与x轴一个交点是，则另一个交点，结合函数图象即可求解． 【详解】解：由图象得：，，对称轴是， ∴， ∴，故A正确，不符合题意； ∵对称轴是，函数图象与x轴一个交点是， ∴另一个交点， ∴不等式的解集是，故B错误，符合题意； ∵函数图象与x轴有两个不同的交点， ∴，故C正确，不符合题意； ∵函数图象与x轴的两个交点为和， ∴方程的解是，，故D正确，不符合题意； 故选：B． 37．（2024·浙江舟山·三模）已知二次函数，当时，的取值范围是或．若二次函数的图象经过点，，则的值不可能是（    ） A． B．0 C． D．5 【答案】C 【分析】本题主要考查二次函数的性质及图像上点的坐标的特征．由题意可知该抛物线的对称轴和开口方向，并通过比较两点的纵坐标可知两点离对称轴的远近关系，由此可列不等式，求出范围，进而选出符合条件的选项． 【详解】解：根据题意可知，该二次函数图像开口向下，且经过点和 ∴对称轴为直线， ∵， ∴点比点更靠近对称轴， ∴，整理得， ∴当时，有， 解得； 当时，有， 解得， 综上所述，或， ∴选项A，B，D不符合题意，选项C符合题意． 故选：C． 38．（23-24九年级上·天津·期末）已知抛物线的对称轴为直线，与x轴的一个交点坐标为，其部分图象如图所示，下列结论：①抛物线一定过原点；②方程的解为或，③；④当时，；⑤当时，y随x增大而增大，其中结论正确的个数（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的图象和性质． 根据题意，求得，根据二次函数的图象和性质，结合选项进行逐一分析，即可判断． 【详解】①由题可知对称轴为直线，与轴的一个交点坐标为，则另一个交点坐标为，故①正确； ②因为抛物线过点， ∴方程的解为或，故②正确； ③由图可知，当时，函数值为，故③错误； ④由图可知，当时，，故④正确； ⑤由图可知，当时，随增大而减小，故⑤错误； 故选：B． 39．（23-24九年级上·河北邢台·阶段练习）在平面直角坐标系中，抛物线的顶点坐标为，若抛物线与轴相交于，两点，则 ． ． 【答案】 4 【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数与坐标轴的交点问题，先求得解析式，进而求得的值，令，进而得出的长． 【详解】解：∵中，，顶点坐标为， ∴抛物线解析式为，则， 令，则， 解得： ∴, 故答案为：，． 40．（23-24九年级上·江苏宿迁·阶段练习）若二次函数（为常数）的图象如图所示，则关于的方程的解为 ． 【答案】或 【分析】本题考查利用函数图象解方程，涉及二次函数图象与性质、二次函数图象平移等知识，根据题意，令，数形结合，由二次函数图象的平移，将二次函数（为常数）的图象与轴的交点向左平移个单位长度即可得到答案，熟练掌握二次函数图象的平移是解决问题的关键． 【详解】解：令， 将二次函数（为常数）的图象向左平移个单位长度即可得到， 二次函数（为常数）的图象与轴的交点为和， 的图象与轴的交点为和， 关于的方程的解为或， 故答案为：或． 41．（23-24九年级上·浙江台州·阶段练习）二次函数图象经过点，且图象对称轴为直线，则方程的解为 ． 【答案】1或3 【分析】本题考查根据二次函数图象确定相应方程根的情况，明确题意，运用二次函数的对称性是解题关键．由抛物线图象经过点，对称轴是直线，则抛物线一定经过点关于直线的对称点，从而可得答案． 【详解】解：由二次函数图象可得， 抛物线图象经过点，对称轴是直线， 则抛物线一定经过点关于直线的对称点， 当时，关于x的方程的两个解为：，． ∴方程的解为，； 故答案为：1或3． 42．（23-24九年级上·河南新乡·阶段练习）  如图，二次函数的图象与轴交于，两点（点在点的左侧）．    (1)若为二次函数的图象上一点，求的值； (2)求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将代入二次函数解析式，即可求解； （2）令，可求出，，即可求解． 【详解】（1）解：当时， ； （2）解：当时， ， 解得：，， ，， ． 【点睛】本题考查了函数图象上的点坐标，函数图象与坐标轴的交点，图象与x轴的截线长，理解函数图象上点的坐标意义及坐标求法是解题的关键． 43．（23-24九年级上·吉林·阶段练习）如图，二次函数的图象交x轴于点和点，交y轴于点C，且点C、D是二次函数图象上关于对称轴对称的一对点，一次函数的图象经过点B、D． (1)求二次函数的解析式； (2)根据图象直接写出不等式的解集为________． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据题意，设抛物线解析式为，解答即可； （2）根据题意，，，对称轴为，确定，确定直线与抛物线的交点坐标，然后利用数形结合思想，结合不等式，确定解集即可． 本题考查了待定系数法求抛物线解析式，数形结合思想求解析式构成的不等式的解集， 熟练掌握待定系数法和数形结合思想是解题的关键． 【详解】（1）解：根据题意，设抛物线解析式为， 故抛物线解析式为． （2）解：根据题意，，，对称轴为， ∴， ∴直线与抛物线的交点坐标分别为和， ∵， ∴或． 44．（2024·广东东莞·模拟预测）如图，已知二次函数经过点和点，    (1)求该二次函数的解析式； (2)如图，若一次函数经过B、C两点，直接写出不等式的解； (3)点A为该二次函数与x轴的另一个交点，求的面积． 【答案】(1) (2) (3)6 【分析】本题考查了待定系数法求解析式，利用函数图象解不等式，能熟练掌握待定系数法是解决问题的关键． （1）用待定系数法求解即可． （2）根据二次函数图象可得出结论． （3）先求出点A得坐标，从而得出的值，利用三角形面积即可得出结论． 【详解】（1）将和点代入二次函数得：， 解得：， ∴二次函数解析式为：． （2）∵当时，的图象在的下方， ∴不等式的解集为：． （3）当时，， 解得， ∴， ∴． ∴． 45．（2021·四川广元·中考真题）将二次函数的图象在x轴上方的部分沿x轴翻折后，所得新函数的图象如图所示．当直线与新函数的图象恰有3个公共点时，b的值为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】A 【分析】由二次函数解析式，可求与x轴的两个交点A、B，直线表示的图像可看做是直线的图像平移b个单位长度得到，再结合所给函数图像可知，当平移直线经过B点时，恰与所给图像有三个交点，故将B点坐标代入即可求解；当平移直线经过C点时，恰与所给图像有三个交点，即直线与函数关于x轴对称的函数图像只有一个交点，即联立解析式得到的方程的判别式等于0，即可求解． 【详解】解：由知，当时，即 解得： 作函数的图像并平移至过点B时，恰与所给图像有三个交点，此时有： 平移图像至过点C时，恰与所给图像有三个交点，即当时，只有一个交点 当的函数图像由的图像关于x轴对称得到 当时对应的解析式为 即，整理得： 综上所述或 故答案是：A． 【点睛】本题主要考查二次函数翻折变化、交点个数问题、函数图像平移的性质、二次函数与一元二次方程的关系等知识，属于函数综合题，中等难度．解题的关键是数形结合思想的运用，从而找到满足题意的条件． 46．（2024·湖北武汉·中考真题）抛物线（a，b，c是常数，）经过，两点，且．下列四个结论： ①； ②若，则； ③若，则关于x的一元二次方程 无实数解； ④点，在抛物线上，若，，总有，则． 其中正确的是 （填写序号）． 【答案】②③④ 【分析】本题考查了二次函数的性质，根据题意可得抛物线对称轴，即可判断①，根据，两点之间的距离大于，即可判断②，根据抛物线经过得出，代入顶点纵坐标，求得纵坐标的最大值即可判断③，根据④可得抛物线的对称轴，解不等式，即可求解． 【详解】解：∵（a，b，c是常数，）经过，两点，且． ∴对称轴为直线， ， ∵， ∴，故①错误， ∵ ∴，即，两点之间的距离大于 又∵ ∴时， ∴若，则，故②正确； ③由①可得， ∴，即， 当时，抛物线解析式为 设顶点纵坐标为 ∵抛物线（a，b，c是常数，）经过， ∴ ∴ ∴ ∵，，对称轴为直线， ∴当时，取得最大值为，而， ∴关于x的一元二次方程 无解，故③正确； ④∵，抛物线开口向下，点，在抛物线上， ，，总有， 又， ∴点离较远， ∴对称轴 解得：，故④正确． 故答案为：②③④． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$