22.3 实际问题与二次函数 第一课时 二次函数与图形面积问题-2024-2025学年九年级数学上册核心要点同步题型精练（人教版）

好题精选·同步精练22.3实际问题与二次函数 第一课时 二次函数与图形面积问题 知识点1 二次函数与图形面积问题 1．（23-24九年级上·山东东营·期末）如图所示，是一个长、宽的矩形花园，根据需要将它的长缩短、宽增加，要想使修改后的花园面积达到最大，则x应为 ． 2．（2024·浙江台州·二模）如图，人民医院在某流感高发时段，用防护隔帘布临时搭建了一隔离区，隔离区一面靠长为的墙，隔离区分成两个区域，中间也用防护隔帘布隔开．已知整个隔离区所用防护隔帘布总长为，如果隔离区出入口的大小不计，并且隔离区靠墙的一面不能超过墙长，小明认为：隔离区的最大面积为；小亮认为：隔离区的面积可能为．你认为他们俩的说法是（   ） A．小明正确，小亮错误 B．小明错误，小亮正确 C．两人均正确 D．两人均错误 3．（23-24九年级下·全国·课后作业）如图，若用长的铁丝借助墙围成一个斜边为的直角三角形，则所围成的的最大面积为（　　） A． B． C． D． 4．（23-24九年级下·全国·课后作业）如图，从一块长为，宽为的矩形木板上割取一块小的矩形木板，则剩余部分木板的面积和之间的函数关系式为 ，其自变量x的取值范围为 ． 5．（23-24九年级上·贵州六盘水·期末）正三角形的边长为1，D是边上的一点（点D不与点B、C重合），过点D作边的垂线，交于点G，用x表示线段的长度，的面积y是x的函数，则该函数的表达式是 （要求写出自变量x的取值范围） 6．（22-23九年级上·广东湛江·期中）如图，有长为的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为）围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，设花圃边长为x米，面积为y平方米． (1)求y与x的函数关系式，并写出x的取值范围； (2)如果要围成面积为的花圃，求的长度； (3)如果要使围成的花圃面积最大，求最大面积是多少． 7．（23-24八年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，要用篱笆（虚线部分）围成一个矩形苗圃，其中两边靠的墙足够长，中间用平行的篱笆隔开，已知篱笆的总长度为18米． (1)设矩形苗圃的一边的长为，矩形苗圃面积为，求关于的函数关系式，直接写出自变量的取值范围； (2)当为何值时，所围矩形苗圃的面积为． 8．（23-24八年级下·福建福州·期末）某学校为丰富同学们的课余生活，培养学生的劳动技能，决定利用校内的旧围墙和木栏为同学们围出一片矩形“守望田”，已知旧围墙的长度为，木栏的总长为． (1)如图，矩形守望田的一边靠墙，另三边使用了木栏，且围成的矩形守望田面积为，求利用旧墙的长； (2)有同学在学习完二次函数的知识后，发现更好地利用旧墙，就可以让矩形守望田的面积比（1）中的大得多．为了保证安全且能种植更多的蔬菜水果，守望田要保持封闭且面积应尽可能大，请画出你的矩形守望田方案示意图，并求出矩形守望田面积的最大值． 9．（23-24九年级下·四川达州·阶段练习）如图，在一边长为的正方形硬纸板的四角各剪去一个同样大小的小正方形，将剩余部分折成一个无盖的长方体盒子（纸板的厚度忽略不计）． (1)要使折成的长方体盒子的底面积为，那么剪掉的正方形的边长为多少？ (2)折成的长方体盒子的侧面积是否有最大值？如果有，求出这个最大值和此时剪去的小正方形的边长；如果没有，请说明理由． 10．（23-24九年级下·广东江门·阶段练习）一块三角形材料如图所示，，，．用这块材料剪出一个矩形，其中点分别在上．设，取何值时，使剪出的矩形的面积最大，并求出矩形的最大面积． 11．（23-24九年级上·宁夏吴忠·阶段练习）如图，利用一面墙（墙最长可利用24米），围成一个矩形苗圃园，与围墙平行的一边上要预留3米宽的入口（如图所示，不用砌墙），用45米长的墙的材料做围墙，设这个苗圃园垂直于墙的一边的长为x米． (1)若平行于墙的一边长为y米，直接写出y与x的函数表达式及其自变量x的取值范围； (2)垂直于墙的一边的长为多少米时，这个苗圃园的面积最大，并求出这个最大值． 12．（2024·天津河北·一模）如图，是一块菱形新型平面材料，，，点E在上，且垂直于，先沿着切开材料，然后在四边形内切割出一块矩形，且矩形相邻两边落在，上，一个顶点落在边上．设边上矩形的边长为，矩形的面积为．有下列结论：①y与x之间的函数关系式为：；②当时，切割出矩形后，四边形剩余的面积为；③若切割出的矩形材料用于某种生产时，售价为元/，则当时，出售此块矩形材料的总价最大，最大值为元．其中，正确结论的个数是（  ） A．0 B．1 C．2 D．3 13．（2024·天津红桥·二模）如图，有一块矩形空地，学校规划在其中间的一块四边形空地上种花，其余的四块三角形空地上铺设草坪，其中点，，，分别在边，，，上，且．已知．有下列结论： ①铺设草坪的面积可以是； ②种花的面积的最大值为； ③AF的长有两个不同的值满足种花的面积为． 其中，正确结论的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 14．（2024·河南周口·模拟预测）如图，要围一个矩形菜园，其中一边是墙，且的长不能超过26m，其余的三边用篱笆，且这三边的和为40m，有下列结论：①的长可以为6m；②的长有两个不同的值满足菜园面积为；③菜园面积的最大值为．其中，正确结论的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 15．（2024九年级下·全国·专题练习）如图，在，，，，点在边上，从点向点移动，点在边上，从点向点移动．若点，均以的速度同时出发，且当一点移动到终点时，另一点也随之停止，连接，则线段的最小值是 ． 16．如图，圆柱体的母线长为2，是上底的直径．一只蚂蚁从下底面的点A处出发爬行到上底面的点C处．设沿圆柱体侧面由A处爬行到C处的最短路径长为，沿母线与上底面直径形成的折线段爬行到C处的路径的长为．当圆柱体底面半径r变化时，为比较与的大小，记，则d是r的二次函数，下列说法错误的是（   ） A．该函数的图象都在r轴上方 B．该函数的图象的对称轴为 C．当时， D．当时， 17．（23-24九年级上·吉林·阶段练习）如图，用长为34米的篱笆，围成一面利用墙（墙的最大可用长度为16米）的一个矩形场地花圃，边上留有2米宽的小门（用其他材料做，不用篱笆围），设花圃的一边长为x（米），面积为y（平方米）． (1)若矩形场地面积为144平方米，求矩形场地的长和宽； (2)矩形场地的长和宽为多少时，矩形场地的面积最大，并求出最大面积． 18．（23-24八年级下·安徽合肥·期末）《劳动教育》成为一门独立的课程，某校率先行动，在校园内开辟了一块劳动教育基地．八年级数学兴趣小组在课余时间里，利用一面学校的墙（墙的最大可用长度为22米），现用长为34米的篱笆（篱笆正好要全部用完，且不考虑接头的部分），围成中间隔有一道篱笆的长方形菜地，在菜地的前端各设计了两个宽1米的小门，供同学们进行劳动实践．设垂直于墙的篱笆边长为米． (1)求当为何值时，围成的菜地面积为81平方米； (2)要想围成菜地面积为120平方米，可能吗？请计算说明理由； (3)围成菜地的最大面积为 平方米． 19．（2024·江苏无锡·二模）为了加强劳动教育，我校在校园开辟了一块劳动教育基地：一面利用学校的墙（墙的最大可用长度为28米），用长为39米的篱笆，围成中间隔有一道篱笆的矩形菜地，在菜地的前端及中间篱笆上设计了三个宽1米的小门，便于同学们进入． (1)若围成的菜地面积为120平方米，求此时边的长； (2)若每平方米可收获2千克的菜，问该片菜地最多可收获多少千克的菜？ 20．（2024·内蒙古呼伦贝尔·一模）如图，正方形纸片的边长为4，将它剪去四个全等的直角三角形，得到四边形．设的长为x，四边形的面积为y． (1)求y关于x的函数表达式； (2)四边形的面积是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由． 21．（22-23九年级上·天津河西·期末）如图所示，在中，，，，点从点开始沿边向点以的速度运动，点从点开始沿边向点以的速度运动．、分别从、同时出发，当、两点中有一点停止运动时，则另一点也停止运动．设运动的时间为． (1)当为何值时，的长度等于； (2)求出关于的函数解析式，计算、出发几秒时，有最大值，并求出这个最大面积？ 22．（2024·河南周口·一模）如图是某校田径运动场的示意图其中和为直线跑道，两端为半圆形跑道． (1)如果田径运动场的总长为，其中，试计算矩形内部操场的面积． (2)①如果田径运动场的总长为，要使矩形内部操场的面积最大，直线跑道应设计为多长？操场的最大面积是多少？ ②小明测量发现，学校田径运动场的总长为，直线跑道，请判断这与①中的计算结果是否一致，并给出一种可能的原因． 23．（22-23九年级上·辽宁营口·期中）为了有效预防和控制疫情，及时监测疫情发展态势，实施定期核酸检测．某社区准备搭建一个动态核酸检测点，现有33米可移动的隔离带，搭围成如图的临时检测点，这是一个一面靠墙（墙面为）的矩形，内部分成两个区，M区为登记区，N区为检测区，入口通道在边上，两区通道在边上，出口通道在边上，通道宽均为1米． (1)若设米，则可表示为 ； (2)问所围成矩形的面积能否达到96平方米？如果能，求出的长；如果不能，说明理由； (3)检测点使用一天后，发现检测点面积需要扩大，问现有的33米隔离带，能否围出147平方米的面积？如果能，请说明理由；如果不能，请求出能围出的最大面积是多少？ 24．（2024·湖北武汉·三模）问题背景：为美化校园，某学校计划在如图所示的正方形花坛内种植红、蓝、黄三种颜色的花卉，在四个全等三角形（阴影部分）内种植红色花卉，正方形内种植蓝色花卉，剩下四个全等三角形内种植黄色花卉．的长为，．红、蓝、黄三种花卉的单价分别为元，元，元．    建立模型： 设的长为，购买花卉的总费用为元． （）用含的式子分别写出红、蓝、黄三种颜色花卉的种植面积； （）求与之间的函数表达式； 方案决策： （）当购买花卉的总费用最少时，求的长． 25．（23-24九年级下·全国·课后作业）为了节省材料，某工厂以岸堤（岸堤足够长）为一边，用总长为80米的材料围成一个由三块面积相等的小长方形组成的长方形区域（如图），若米，则给出下列四个结论：①米，②；③；④长方形的最大面积为300平方米，其中，正确的是 .    26．（2024·江苏无锡·一模）如图所示，某景区拟在矩形的空地上建造一个含“内接平行四边形”的花坛．平行四边形四个顶点、、、分别在矩形四条边、、、上．已知，，为增加美感，要求．设，平行四边形的面积为． (1)求与的函数关系式； (2)景区准备在平行四边形内种植“郁金香”，四个三角形内种植“红玫瑰”．已知“郁金香”的价格为20元，“红玫瑰”的价格为40元．若景区购买两种花卉的预算不超过1800元，求的取值范围． 27．（2024·湖北黄冈·模拟预测）某小型花圃基地计划将如图所示的一块长，宽的矩形空地划分成五块小矩形区域．其中一块正方形空地为育苗区，另一块空地为活动区，其余空地为种植区，分别种植，，三种花卉．活动区一边与育苗区等宽，另一边长是．，，三种花卉每平方米的产值分别是100元、200元、300元． (1)设育苗区的边长为，用含的代数式表示下列各量：花卉的种植面积是______，花卉的种植面积是______，花卉的种植面积是______． (2)育苗区的边长为多少时，，两种花卉的总产值相等？ (3)若花卉与的种植面积之和不超过，求，，三种花卉的总产值之和的最大值． 28．（2024·陕西榆林·一模）（1）在等边三角形中，点分别在上，，当______时，为等边三角形． （2）如图1，在中，，求面积的最大值． （3）如图2，在一块四边形土地上，准备搭建光伏基地，基地包含光伏逆变器和光伏太阳能板两个区域，为光伏逆变器安装区域，阴影部分为光伏太阳能板安装区域，已知基地外围栏，，点在的中点上，，两点为汇流箱接口，，按照设计要求，光伏逆变器安装区域（即的面积）需要尽可能大，试求光伏太阳能板的占地面积的最小值．（结果保留根号）    试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 好题精选·同步精练22.3实际问题与二次函数 第一课时 二次函数与图形面积问题 知识点1 二次函数与图形面积问题 1．（23-24九年级上·山东东营·期末）如图所示，是一个长、宽的矩形花园，根据需要将它的长缩短、宽增加，要想使修改后的花园面积达到最大，则x应为 ． 【答案】2 【分析】本题考查了二次函数的应用，先根据长方形的面积公式列出函数关系式，再根据二次函数的性质即可求得结果． 【详解】解：由题意得修改后的花园面积， ∵， ∴当时，修改后的花园面积达到最大， 故答案为：2． 2．（2024·浙江台州·二模）如图，人民医院在某流感高发时段，用防护隔帘布临时搭建了一隔离区，隔离区一面靠长为的墙，隔离区分成两个区域，中间也用防护隔帘布隔开．已知整个隔离区所用防护隔帘布总长为，如果隔离区出入口的大小不计，并且隔离区靠墙的一面不能超过墙长，小明认为：隔离区的最大面积为；小亮认为：隔离区的面积可能为．你认为他们俩的说法是（   ） A．小明正确，小亮错误 B．小明错误，小亮正确 C．两人均正确 D．两人均错误 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，数形结合并熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．设垂直于墙的一边为，则隔离区的另一边为，根据矩形的面积公式列出面积关于的函数解析式，再根据题意求出的取值范围，然后分别令和，解方程求出，取在取值范围内的值即可． 【详解】解：设垂直于墙的一边为，则隔离区的另一边为， ； 根据题意，得不等式组， 解得：， 当时，， 解得（不合题意，舍去）； 当时，， 解得，（不合题意，舍去）， 故小亮说法正确． 故选：B． 3．（23-24九年级下·全国·课后作业）如图，若用长的铁丝借助墙围成一个斜边为的直角三角形，则所围成的的最大面积为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的实际应用，设，根据列出函数关系式并配方找到最大值即可解题. 【详解】设，则， ∴， ∵， ∴该函数图象的开口向下， ∴当时，面积最大，为， 故选D. 4．（23-24九年级下·全国·课后作业）如图，从一块长为，宽为的矩形木板上割取一块小的矩形木板，则剩余部分木板的面积和之间的函数关系式为 ，其自变量x的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了函数的实际应用——几何图形面积．熟练掌握矩形的面积公式列函数关系式，矩形的长宽限制范围求自变量的取值范围，是解决问题的关键． 根据矩形木板的长和宽写出其面积为，根据割取一块小的矩形木板长和宽写出其面积为，即得剩余部分木板的面积；根据且即得x的取值范围． 【详解】∵矩形木板长为，宽为， ∴面积为， ∵小矩形木板的长为，宽为， ∴小的矩形木板面积为， ∴剩余部分木板的面积， 由题图知，且， ∴自变量x的取值范围为． 故答案为：，． 5．（23-24九年级上·贵州六盘水·期末）正三角形的边长为1，D是边上的一点（点D不与点B、C重合），过点D作边的垂线，交于点G，用x表示线段的长度，的面积y是x的函数，则该函数的表达式是 （要求写出自变量x的取值范围） 【答案】（） 【分析】本题考查等边三角形性质，含直角三角形三边关系，利用三角形面积公式列函数解析式．根据题意可知，，根据面积公式即可得到函数解析式，因为点D不与点B、C重合可列关于的一元一次不等式求出范围即可． 【详解】解：∵正三角形的边长为1，，， ∴，， ∴， ∴， ∵点D不与点B、C重合，， ∴，即：， 故答案为：（）． 6．（22-23九年级上·广东湛江·期中）如图，有长为的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为）围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，设花圃边长为x米，面积为y平方米． (1)求y与x的函数关系式，并写出x的取值范围； (2)如果要围成面积为的花圃，求的长度； (3)如果要使围成的花圃面积最大，求最大面积是多少． 【答案】(1)（） (2) (3) 【分析】本题主要考查二次函数的应用， 由宽为x米，则花圃的长为，利用面积公式求解即可； 由条件列出，求解并结合取值范围即可判定； 根据将二次函数解析式化为顶点式，结合x的取值范围求其最大值即可． 【详解】（1）解：由题可知，花圃的宽为x米，则花圃的长为， 那么，， ∵，解得：， ∴（）； （2）由条件， 化简得，解得， ∴不合题意，舍去， 即的长度为5米； （3）（）， ∵，开口向下， ∴当时，y有最大值， 故最大面积为． 7．（23-24八年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，要用篱笆（虚线部分）围成一个矩形苗圃，其中两边靠的墙足够长，中间用平行的篱笆隔开，已知篱笆的总长度为18米． (1)设矩形苗圃的一边的长为，矩形苗圃面积为，求关于的函数关系式，直接写出自变量的取值范围； (2)当为何值时，所围矩形苗圃的面积为． 【答案】(1) (2)4或5 【分析】本题考查了一元二次方程的应用以及列二次函数的表达式， （1）根据题意列出函数关系式； （2）根据题意列出方程解决即可． 【详解】（1）解：在矩形中，， ， ， ； （2）， 解得：，． 答：当为4或5时，所围矩形花圃的面积为． 8．（23-24八年级下·福建福州·期末）某学校为丰富同学们的课余生活，培养学生的劳动技能，决定利用校内的旧围墙和木栏为同学们围出一片矩形“守望田”，已知旧围墙的长度为，木栏的总长为． (1)如图，矩形守望田的一边靠墙，另三边使用了木栏，且围成的矩形守望田面积为，求利用旧墙的长； (2)有同学在学习完二次函数的知识后，发现更好地利用旧墙，就可以让矩形守望田的面积比（1）中的大得多．为了保证安全且能种植更多的蔬菜水果，守望田要保持封闭且面积应尽可能大，请画出你的矩形守望田方案示意图，并求出矩形守望田面积的最大值． 【答案】(1)旧墙的长为 (2)作图见解析，矩形守望田面积最大值为 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用、二次函数的实际应用，涉及解一元二次方程、二次函数图象与性质、求二次函数最值等知识，读懂题意，准确得到方程及函数解析式是解决问题的关键． （1）设旧墙的长为，则，列一元二次方程求解，根据旧围墙的长度为，即可得到答案； （2）根据题意，作出图形，如图所示，设旧墙的长为，则，得到，由二次函数图象与性质求出最大值即可得到答案． 【详解】（1）解：设旧墙的长为，则， ，则，解得或； 旧围墙的长度为， ，即， 答：旧墙的长为； （2）解：根据题意，作出图形，如图所示： 设旧墙的长为，则， 设矩形守望田的面积为S平方米， ， 旧围墙的长度为， ， 当时，矩形守望田面积有最大值，为， 答：矩形守望田面积最大值为． 9．（23-24九年级下·四川达州·阶段练习）如图，在一边长为的正方形硬纸板的四角各剪去一个同样大小的小正方形，将剩余部分折成一个无盖的长方体盒子（纸板的厚度忽略不计）． (1)要使折成的长方体盒子的底面积为，那么剪掉的正方形的边长为多少？ (2)折成的长方体盒子的侧面积是否有最大值？如果有，求出这个最大值和此时剪去的小正方形的边长；如果没有，请说明理由． 【答案】(1)剪掉的正方形边长为 (2)折成的长方体盒子的侧面积有最大值；长方形盒子的侧面积最大值为，剪掉的正方形边长为 【分析】本题考查了二次函数的应用，一元二次方程的实际运用，利用已知关系正确列出方程与函数式是解题关键． （1）设剪掉的正方形边长为，根据题意列方程求解即可得到答案； （2）设剪掉的正方形边长为，根据题意列出函数解析式，即可求出侧面积最大值和剪掉的正方形边长． 【详解】（1）解：设剪掉的正方形边长为，根据题意，得： ． 解得：，（舍）， 答：剪掉的正方形边长为； （2）解：设剪掉的正方形边长为， 则长方形盒子的侧面积为： ， 当时，S有最大值． 即长方形盒子的侧面积最大值为，剪掉的正方形边长为． 10．（23-24九年级下·广东江门·阶段练习）一块三角形材料如图所示，，，．用这块材料剪出一个矩形，其中点分别在上．设，取何值时，使剪出的矩形的面积最大，并求出矩形的最大面积． 【答案】当时，矩形的面积最大，矩形的最大面积是． 【分析】本题考查的是勾股定理的应用，含的直角三角形的性质，矩形的性质，二次函数的性质．利用含的直角三角形的性质可得，，再求解，再利用矩形的面积公式列二次函数关系式，再利用二次函数的性质可得答案． 【详解】解：∵矩形， ∴，，则， ∵，， ∴，， ∵，，， ∴，， ∴． 由题意，矩形的面积 ． ∵， 当时，S取得最大值． 答：当时，矩形的面积最大，矩形的最大面积是． 11．（23-24九年级上·宁夏吴忠·阶段练习）如图，利用一面墙（墙最长可利用24米），围成一个矩形苗圃园，与围墙平行的一边上要预留3米宽的入口（如图所示，不用砌墙），用45米长的墙的材料做围墙，设这个苗圃园垂直于墙的一边的长为x米． (1)若平行于墙的一边长为y米，直接写出y与x的函数表达式及其自变量x的取值范围； (2)垂直于墙的一边的长为多少米时，这个苗圃园的面积最大，并求出这个最大值． 【答案】(1) (2)垂直于墙的一边的长为12米时，这个苗圃园的面积最大，最大值为288平方米； 【分析】本题主要考查了二次函数的应用、一次函数的应用等知识点，正确求得函数解析式成为解题的关键． （1）根据题意和图像可以写出y与x的函数关系式及其自变量x的取值范围即可； （2）根据题意可以列出面积与x之间的函数关系式，再根据第一问的到x的取值范围以及函数增减性即可解答． 【详解】（1）解：由题意可得，， ∵， 解得：， 即y与x的函数关系式是． （2）解：设苗圃的面积为S，则： ∵，对称轴为直线， ∴在时，S随x的增大而减小， ∴当时，S取得最大值，此时，即垂直于墙的一边的长为12米时，这个苗圃园的面积最大，最大值为288平方米． 12．（2024·天津河北·一模）如图，是一块菱形新型平面材料，，，点E在上，且垂直于，先沿着切开材料，然后在四边形内切割出一块矩形，且矩形相邻两边落在，上，一个顶点落在边上．设边上矩形的边长为，矩形的面积为．有下列结论：①y与x之间的函数关系式为：；②当时，切割出矩形后，四边形剩余的面积为；③若切割出的矩形材料用于某种生产时，售价为元/，则当时，出售此块矩形材料的总价最大，最大值为元．其中，正确结论的个数是（  ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】本题考查函数模型的实际应用，熟练掌握根据题意得到函数的解析式是解题的关键，设，，易得，在中，，即可得到的取值范围；由①得， 易得，，故当时，，即可得到裁剪矩形后四边形为剩余的面积；③设此块布料的出售总价为元，由题可得，由于，故当时，取最大值，即可得到③的答案． 【详解】解：①如图，设剪下来的矩形为， ∵四边形为矩形， ∴， ∵四边形为菱形，， ∴， ∴， ∴， 由题意得，设， ∴， ∴， ∵四边形为菱形， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴的取值范围为；故①正确； ②：由①得， ∴是等腰直角三角形 ∴ ∴ ∴ 当时， ∴裁剪矩形后四边形为剩余的面积为平方厘米，故②错误； ③设此块布料的出售总价为元， ∵此块布料的出售为元/平方厘米， ∴， ∵， ∴当时，取最大值， ∴此块矩形布料出售总价的最大值为元，故③正确． 故选C． 13．（2024·天津红桥·二模）如图，有一块矩形空地，学校规划在其中间的一块四边形空地上种花，其余的四块三角形空地上铺设草坪，其中点，，，分别在边，，，上，且．已知．有下列结论： ①铺设草坪的面积可以是； ②种花的面积的最大值为； ③AF的长有两个不同的值满足种花的面积为． 其中，正确结论的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数，一元二次方程的应用，设，铺设草坪的面积为，种花的面积为，结合图象表示出函数关系式，进而根据各选项逐项分析判断，即可求解． 【详解】解：设，铺设草坪的面积为，种花的面积为 ∴ 则种花的面积的最大值为；故②正确 当时，即 即 ∴， ∴铺设草坪的面积可以是；故①正确 当时，即 ∴ 解得：，故③正确， 故选：D． 14．（2024·河南周口·模拟预测）如图，要围一个矩形菜园，其中一边是墙，且的长不能超过26m，其余的三边用篱笆，且这三边的和为40m，有下列结论：①的长可以为6m；②的长有两个不同的值满足菜园面积为；③菜园面积的最大值为．其中，正确结论的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】本题考查的是一元二次方程的应用，根据题意设米，则米，设菜园面积为，然后逐一对选项分析，即可得出答案． 【详解】解：设，， 当时，，解得， ∵的长不能超过， ∴，故①不正确； ∵菜园的面积为， ∴，整理得， 解得或， ∴的长有两个不同的值满足菜园的面积，故②正确； 设矩形菜园的面积为，根据题意，得， ∵ ∴当时，有最大值，最大值为200，故③正确， ∴正确的有2个． 故选：C． 15．（2024九年级下·全国·专题练习）如图，在，，，，点在边上，从点向点移动，点在边上，从点向点移动．若点，均以的速度同时出发，且当一点移动到终点时，另一点也随之停止，连接，则线段的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的最值，勾股定理，设移动时间为，用含的代数式表示出，，在中，根据勾股定理，列出关于的代数式，应用配方的方法，即可求出线段的最小值，解题的关键是：熟练应用配方法，求二次函数的最值． 【详解】解：设移动时间为，则，，， 在中，， 整理得：， 当时，取得最小值，此时， 故答案为：． 16．如图，圆柱体的母线长为2，是上底的直径．一只蚂蚁从下底面的点A处出发爬行到上底面的点C处．设沿圆柱体侧面由A处爬行到C处的最短路径长为，沿母线与上底面直径形成的折线段爬行到C处的路径的长为．当圆柱体底面半径r变化时，为比较与的大小，记，则d是r的二次函数，下列说法错误的是（   ） A．该函数的图象都在r轴上方 B．该函数的图象的对称轴为 C．当时， D．当时， 【答案】A 【分析】此题考查了二次函数的应用，二次函数的性质，勾股定理等知识，解题的关键是求出解析式． 根据勾股定理表示出和，进而表示出，然后利用二次函数的性质求解即可． 【详解】如图所示，将圆柱展开 ∴， ∴， ∴ ∵ ∴二次函数开口向上， 令，即 ∴，或 解得， ∴二次函数与x轴的交点坐标为， ∴该函数的图象不都在r轴上方，故A错误； 当时，， ∴，故C正确； ∵ ∴该函数的图象的对称轴为，故B正确； ∵二次函数开口向上， ∴当时， ∴ ∴ ∴，故D正确． 故选：A． 17．（23-24九年级上·吉林·阶段练习）如图，用长为34米的篱笆，围成一面利用墙（墙的最大可用长度为16米）的一个矩形场地花圃，边上留有2米宽的小门（用其他材料做，不用篱笆围），设花圃的一边长为x（米），面积为y（平方米）． (1)若矩形场地面积为144平方米，求矩形场地的长和宽； (2)矩形场地的长和宽为多少时，矩形场地的面积最大，并求出最大面积． 【答案】(1)， (2)矩形的长为，宽为，矩形面积最大，最大面积为 【分析】本题考查了矩形的面积与周长，一元二次方程的应用，构造二次函数求最值，熟练掌握矩形的性质，一元二次方程的应用，构造二次函数是解题的关键． （1）根据题意，得宽，长为，根据矩形场地面积为144平方米，列出方程，解方程即可； （2）设矩形的面积为，根据题意，得，，构造二次函数解答即可． 【详解】（1）解：根据题意，得宽， 长为， ∵矩形场地面积为144平方米， ∴， 即， 解得：，， 当时，，符合题意， 当时，，舍去， 故当时，成立， 答：矩形的长为，宽为． （2）∵， ∴， 根据题意，得， ∴当时，随增大而减小， ∴当时，有最大值160，此时矩形的长为，宽为． 答：矩形的长为，宽为，矩形面积最大，最大面积为． 18．（23-24八年级下·安徽合肥·期末）《劳动教育》成为一门独立的课程，某校率先行动，在校园内开辟了一块劳动教育基地．八年级数学兴趣小组在课余时间里，利用一面学校的墙（墙的最大可用长度为22米），现用长为34米的篱笆（篱笆正好要全部用完，且不考虑接头的部分），围成中间隔有一道篱笆的长方形菜地，在菜地的前端各设计了两个宽1米的小门，供同学们进行劳动实践．设垂直于墙的篱笆边长为米． (1)求当为何值时，围成的菜地面积为81平方米； (2)要想围成菜地面积为120平方米，可能吗？请计算说明理由； (3)围成菜地的最大面积为 平方米． 【答案】(1)米 (2)不能，理由见详解 (3)108 【分析】本题考查了一元二次方程的应用和二次函数的性质． （1）根据各边之间的关系，可知为米，根据围成的菜地面积为平方米，可得出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可； （2）根据菜地面积若为平方米，即可得出关于的一元二次方程，利用根的判别式即可判断； （3）利用二次函数的性质求其最大值即可． 【详解】（1）解：∵篱笆的总长为米，菜地的前端各设计了两个宽米的小门，且垂直于墙的篱笆边为米， ∴长为米． 根据题意得：， 整理得：， 解得：，， 当时，，不符合题意，舍去； 当时，，符合题意； 故当围成的菜地面积为平方米时，为米． （2）解：不能围成面积为平方米的菜地，理由如下： 依题意得：， 整理得：， ∵， ∴该方程无实数根， 即不能围成面积为平方米的菜地． （3）， 则当时，， 故围成菜地的最大面积为108平方米． 19．（2024·江苏无锡·二模）为了加强劳动教育，我校在校园开辟了一块劳动教育基地：一面利用学校的墙（墙的最大可用长度为28米），用长为39米的篱笆，围成中间隔有一道篱笆的矩形菜地，在菜地的前端及中间篱笆上设计了三个宽1米的小门，便于同学们进入． (1)若围成的菜地面积为120平方米，求此时边的长； (2)若每平方米可收获2千克的菜，问该片菜地最多可收获多少千克的菜？ 【答案】(1)菜地的面积能达到时的长为． (2)该片菜地最多可收获千克的菜． 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，二次函数的应用，熟练掌握方程的应用和二次函数最值的应用是解题的关键． (1) 设，则，依题意列方程计算即可． (2) 设菜地的面积为，依题意构造二次函数计算即可． 【详解】（1）设，则，依题意，得： ， 即， 解得：，， 当时，（不合题意，舍去）， 当时，． 答：菜地的面积能达到时的长为． （2）设菜地的面积为，依题意，得： ， ∴当时，y有最大值为147． 即菜地的最大面积是． ∴（千克）， 答：该片菜地最多可收获千克的菜． 20．（2024·内蒙古呼伦贝尔·一模）如图，正方形纸片的边长为4，将它剪去四个全等的直角三角形，得到四边形．设的长为x，四边形的面积为y． (1)求y关于x的函数表达式； (2)四边形的面积是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)当时，y有最小值8，即四边形的面积最小为8． 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，解题的关键是根据正方形的面积和三角形的面积公式，求出函数解析式． （1）根据，得出，用大正方形的面积减去4个直角三角形的面积即可得出答案； （2）通过配方求二次函数的最大值，求出结果即可． 【详解】（1）解：∵在正方形纸片上剪去4个全等的直角三角形， 在中，，，， ∴ ； （2）解：正方形的面积为：， ∴当时，y有最小值8，即四边形的面积最小为8． 21．（22-23九年级上·天津河西·期末）如图所示，在中，，，，点从点开始沿边向点以的速度运动，点从点开始沿边向点以的速度运动．、分别从、同时出发，当、两点中有一点停止运动时，则另一点也停止运动．设运动的时间为． (1)当为何值时，的长度等于； (2)求出关于的函数解析式，计算、出发几秒时，有最大值，并求出这个最大面积？ 【答案】(1)当t为0秒或2秒时，的长度等于 (2)P、Q出发秒时，有最大值，这个最大面积为 【分析】（1）利用的代数式分别表示出线段，，，利用勾股定理在 中列出关于的方程，解方程即可得出结论； （2）利用（1）中的结论和三角形的面积公式即可得到关于的函数解析式，再利用配方法和二次函数的性质解答即可得出结论． 【详解】（1）解：由题意得：，， ， ． 在中， ， ， 解得：或， 答：当为0秒或2秒时，的长度等于． （2）由（1）知：，， 当、两点中有一点停止运动时，则另一点也停止运动， ， ． ， 关于的函数解析式为； ， ， 当秒时，有最大值，最大值为． 、出发秒时，有最大值，这个最大面积为． 【点睛】本题主要考查了二次函数的应用，二次函数的性质，二次函数的最值，勾股定理和一元二次方程分应用，本题是动点问题，利用的代数式分别表示出线段，，的长度是解题的关键． 22．（2024·河南周口·一模）如图是某校田径运动场的示意图其中和为直线跑道，两端为半圆形跑道． (1)如果田径运动场的总长为，其中，试计算矩形内部操场的面积． (2)①如果田径运动场的总长为，要使矩形内部操场的面积最大，直线跑道应设计为多长？操场的最大面积是多少？ ②小明测量发现，学校田径运动场的总长为，直线跑道，请判断这与①中的计算结果是否一致，并给出一种可能的原因． 【答案】(1) (2)①直线跑道设计为时，操场的面积最大，最大面积为 ②与①的计算结果不一致，可能的原因：受实际场地限制 【分析】本题考查了二次函数的最值，能够列出矩形面积的表达式，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）先求出半圆的直径为直径，再计算矩形内部操场的面积即可； （2）①设，则，列出二次函数关系式，再求出其最大值即可；②与①的计算结果不一致，说出合理的可能的原因即可． 【详解】（1）两个半圆形跑道的周长为，所以直径，于是操场的面积为． （2）①设，则， 所以操场的面积． 当时，取得最大值． 即直线跑道设计为时，操场的面积最大，最大面积为 ②与①的计算结果不一致，可能的原因：受实际场地限制． 注：其他合理的解释也给分，如为了方便开展赛跑等． 23．（22-23九年级上·辽宁营口·期中）为了有效预防和控制疫情，及时监测疫情发展态势，实施定期核酸检测．某社区准备搭建一个动态核酸检测点，现有33米可移动的隔离带，搭围成如图的临时检测点，这是一个一面靠墙（墙面为）的矩形，内部分成两个区，M区为登记区，N区为检测区，入口通道在边上，两区通道在边上，出口通道在边上，通道宽均为1米． (1)若设米，则可表示为 ； (2)问所围成矩形的面积能否达到96平方米？如果能，求出的长；如果不能，说明理由； (3)检测点使用一天后，发现检测点面积需要扩大，问现有的33米隔离带，能否围出147平方米的面积？如果能，请说明理由；如果不能，请求出能围出的最大面积是多少？ 【答案】(1)米 (2)能，长为4米或8米 (3)不可能围出147平方米的面积，能围出的最大面积是108平方米 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，二次函数的应用； （1）根据隔离带总长为33米，通道宽均为1米，结合图形列式即可； （2）根据矩形的面积公式列式，解方程即可； （3）首先表示出矩形的面积，然后根据二次函数求最值的方法求出能围出的最大面积即可． 【详解】（1）解：设米， 根据题意得：， ∴ 故答案为：米； （2）能； 根据题意得：， 整理得：， 解得：，， 答：的长为4米或8米； （3）根据题意得：矩形的面积， 当时，矩形的面积有最大值，最大值， ∴不可能围出147平方米的面积，能围出的最大面积是108平方米． 24．（2024·湖北武汉·三模）问题背景：为美化校园，某学校计划在如图所示的正方形花坛内种植红、蓝、黄三种颜色的花卉，在四个全等三角形（阴影部分）内种植红色花卉，正方形内种植蓝色花卉，剩下四个全等三角形内种植黄色花卉．的长为，．红、蓝、黄三种花卉的单价分别为元，元，元．    建立模型： 设的长为，购买花卉的总费用为元． （）用含的式子分别写出红、蓝、黄三种颜色花卉的种植面积； （）求与之间的函数表达式； 方案决策： （）当购买花卉的总费用最少时，求的长． 【答案】（）红色花卉的种植面积为，蓝色花卉的种植面积为， 黄色花卉的种植面积为；（）；（）． 【分析】（）先利用直角三角形的面积公式求出红色花卉的种植面积，再由正方形的面积公式求出蓝色花卉的种植面积，再用大正方形的面积小正方形的面积红色花卉的种植面积黄色花卉的种植面积； （）根据总费用各种花卉的费用之和列出函数解析式即可； （）根据()的解析式，由函数的性质求出取最小值时的值，然后设，由全等三角形的性质和勾股定理得出，解方程求出的值即可； 本题考查了二次函数的应用，根据图形求出各种花卉的种植面积是解题的关键． 【详解】解：（）∵，， ∴， ∵四个阴影部分的三角形全等， ∴， ∴红色花卉的种植面积为， ∵， ∴， ∴蓝色花卉的种植面积为， ∴黄色花卉的种植面积为； （）由题意可得， ， 即； （）∵， ∴当时，取最小值， ∴，， ∴， ∵四个白色部分的三角形全等， ∴， 设，则， 在中，， ∴， ∴， 解得或（不合，舍去）， ∴的长为． 25．（23-24九年级下·全国·课后作业）为了节省材料，某工厂以岸堤（岸堤足够长）为一边，用总长为80米的材料围成一个由三块面积相等的小长方形组成的长方形区域（如图），若米，则给出下列四个结论：①米，②；③；④长方形的最大面积为300平方米，其中，正确的是 .    【答案】③④/④③ 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，几何图形相关的整式运算，理解题意，找准图形间的数量关系是解题关键．设两个相同的小长方形的两边长分别为a，b，通过计算说明①②③，针对④可列出面积S与x的关系式，然后根据二次函数的性质说明即可． 【详解】解：∵三块小长方形的面积相等， ∴，， 设米，米，则米， ∴米， ∴， 无法得出，故②错误，③正确； ∵， ∴， ∴米，故①错误. ∵， 又∵， ∴当，即米时，长方形的面积最大，且最大面积为300平方米，故④正确； 综上分析可知，正确的是③④． 故答案为：③④． 26．（2024·江苏无锡·一模）如图所示，某景区拟在矩形的空地上建造一个含“内接平行四边形”的花坛．平行四边形四个顶点、、、分别在矩形四条边、、、上．已知，，为增加美感，要求．设，平行四边形的面积为． (1)求与的函数关系式； (2)景区准备在平行四边形内种植“郁金香”，四个三角形内种植“红玫瑰”．已知“郁金香”的价格为20元，“红玫瑰”的价格为40元．若景区购买两种花卉的预算不超过1800元，求的取值范围． 【答案】(1) (2)当或时，购买两种花卉的预算不超过1800元 【分析】（1）延长、交于点，利用矩形的性质和平行四边形性质证明，从而证明，利用周围4个三角形面积，即可解题； （2）由（1）知4个三角形的面积和，利用总费用种植“郁金香”的费用种植“红玫瑰”的费用建立关系式，当总费用为时，算出的取值，再利用二次函数的图象和性质进行求解即可解题． 【详解】（1）解：四边形为平行四边形， ，，， 延长、交于点， ， 四边形为矩形， ，， ，，，， ， ， ， ， ，， ， ， ， ； （2）解：由（1）知四个三角形的面积和， 总费用， 当时， 解得，． 又， 若景区购买两种花卉的预算不超过1800元，的取值范围为或． 答：当或时，购买两种花卉的预算不超过1800元． 【点睛】本题考查了二次函数的实际运用，平行线性质，全等三角形的性质与判定，平行四边形性质，矩形的性质，二次函数的图象和性质，解题的关键在于灵活运用二次函数的性质解决问题． 27．（2024·湖北黄冈·模拟预测）某小型花圃基地计划将如图所示的一块长，宽的矩形空地划分成五块小矩形区域．其中一块正方形空地为育苗区，另一块空地为活动区，其余空地为种植区，分别种植，，三种花卉．活动区一边与育苗区等宽，另一边长是．，，三种花卉每平方米的产值分别是100元、200元、300元． (1)设育苗区的边长为，用含的代数式表示下列各量：花卉的种植面积是______，花卉的种植面积是______，花卉的种植面积是______． (2)育苗区的边长为多少时，，两种花卉的总产值相等？ (3)若花卉与的种植面积之和不超过，求，，三种花卉的总产值之和的最大值． 【答案】(1)；； (2) (3)38400元 【分析】本题考查一元二次方程和二次函数的应用，正方形和长方形的面积，解题的关键是根据题意建立正确的方程和函数表达式． （1）根据矩形的面积计算公式可直接得到答案； （2）根据，C两种花卉的总产值相等建立一元二次方程，解方程即可得到答案； （3）先根据花卉与的种植面积之和不超过建立不等式，得到，再设，，三种花卉的总产值之和元，得到关于的二次函数，根据二次函数的图形性质即可得到答案． 【详解】（1）解：∵育苗区的边长为，活动区的边长为， ∴花卉的面积为：， 花卉的面积为：， 花卉的面积为：， 故答案为：；； （2）由（1）知：花卉A的面积为：， 花卉的面积为：， 由图可知：， ∵，C花卉每平方米的产值分别是100元、300元， ∴，C两种花卉的总产值分别为百元和百元， ∵，C两种花卉的总产值相等， ∴ 解得：(舍去)，， ∴当育苗区的边长为时，，C两种花卉的总产值相等； （3）根据题意得：， 解得：， ∴ 设，，三种花卉的总产值之和百元， ∴， 整理，得：， ∵，对称轴是直线， ∴当时，y随着x的增大而减小， ∴当时，最大，且(百元)， ∴，，三种花卉的总产值之和的最大值是元． 28．（2024·陕西榆林·一模）（1）在等边三角形中，点分别在上，，当______时，为等边三角形． （2）如图1，在中，，求面积的最大值． （3）如图2，在一块四边形土地上，准备搭建光伏基地，基地包含光伏逆变器和光伏太阳能板两个区域，为光伏逆变器安装区域，阴影部分为光伏太阳能板安装区域，已知基地外围栏，，点在的中点上，，两点为汇流箱接口，，按照设计要求，光伏逆变器安装区域（即的面积）需要尽可能大，试求光伏太阳能板的占地面积的最小值．（结果保留根号）    【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（1）先由等边三角形的性质得到，再由等边三角形的判定定理可知当时，为等边三角形，由此即可得到； （2）如图所示，过点C作交延长线于D，则，先求出，进而得到，设，则，，则，据此利用二次函数的性质求解即可； （3）先证明四边形是平行四边形，得到，，进而证明是等边三角形，得到，则，，由勾股定理得；如图所示，过点N作于F，设，则，，进而得到，则，据此利用二次函数的性质求解即可． 【详解】解：（1）∵是等边三角形， ∴， ∴当时，为等边三角形， 又∵， ∴， ∴当时，为等边三角形， 故答案为：；    （2）如图所示，过点C作交延长线于D，则， ∵， ∴， ∴， 设，则，， ∴ ， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为；    （3）∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， ∵为的中点， ∴，， ∴， 如图所示，过点N作于F， 设，则， ∴， ∴， ∴ ， ∵， ∴当时，面积最大，最大为， ∴， ∴光伏太阳能板的占地面积的最小值为．    【点睛】本题主要考查了二次函数的实际应用，等边三角形的性质与判定，勾股定理，平行四边形的性质与判定等等，正确作出辅助线通过构造直角三角形，把求面积的最大值转换成求二次函数的最大值是解题的关键． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$