第1章 有理数易错训练与压轴训练（单元培优 6类易错+5类压轴）-2024-2025学年七年级数学上册单元速记 巧练（沪科版2024）

第一章 有理数易错训练与压轴训练 01 思维导图 目录 易错题型一　对正数、负数的意义理解不透 1 易错题型二　对有理数与数轴上点的关系易产生“一一对应”的错误认识 7 易错题型三　对相反数的定义理解不透彻 7 易错题型四　对绝对值的几何意义理解不透彻 7 易错题型五　有理数计算时考虑不全 7 易错题型六　混淆与 7 压轴题型一　利用绝对值的的意义求数轴上两点间的距离 13 压轴题型二　利用有理数解决实际问题 15 压轴题型三　有理数混合运算的应用 17 压轴题型四　有理数新定义运算 19 压轴题型五　与规律有关的计算 19 02 易错题型 易错题型一　对正数、负数的意义理解不透 例1． （23-24七年级上·四川眉山·期中）有下列说法，正确的个数是（   ）个 ①0是最小的整数；②一个有理数不是正数就是负数 ；③若是正数，则是负数； ④自然数一定是正数；⑤一个整数不是正整数就是负整数；⑥非负数就是指正数． A．0 B．1 C．2 D．3 巩固训练 1．（22-23七年级上·山东滨州·阶段练习）下列说法中，错误的有（　　） ①是负分数；②1.5不是整数；③非负有理数不包括0； ④正整数、负整数统称整数；⑤0是最小的有理数 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（2024七年级上·江苏·专题练习）下列语句中错误的有（    ）个． ①不带“”号的数都是正数；②如果是正数，那么一定是负数；③不存在既不是正数，也不是负数的数；④表示没有温度． A．1 B．2 C．3 D．4 3．（23-24七年级上·江苏南通·开学考试）下列说法中不正确的是（    ） A．既是负数，又是分数，也是有理数 B．既不是正数，也不是负数，但是整数 C．既是负数，也是整数，但不是有理数 D．是分数 易错题型二　对有理数与数轴上点的关系易产生“一一对应”的错误认识 例2．（24-25七年级上·全国·随堂练习）下列说法中正确的是（    ） A．规定了原点、正方向的直线是数轴 B．数轴上原点及原点左边的点表示的数是非负数 C．数轴上单位长度可以不一致 D．任何一个有理数都可以在数轴上找到与它对应的点 巩固训练 1．（2024七年级上·江苏·专题练习）将一把刻度尺按如图所示的方式放在数轴上（数轴的单位长度是），刻度尺上的“”和“”分别对应数轴上的和，则的值为（    ） A．7 B．6 C． D． 2．（23-24六年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）点为数轴上表示的点，将点在数轴上平移2个单位长度到点，则点所表示的数为（    ） A．3 B． C．或 D．或7 3．（2024七年级上·江苏·专题练习）下列说法正确的是（    ） A．数轴上的一个点可以表示不同的有理数 B．数轴上有两个不同的点可以表示同一个有理数 C．任何有理数都可以在数轴上找到与它对应的唯一的点 D．有的有理数不能在数轴上表示出来 易错题型三　对相反数的定义理解不透彻 例3. （22-23七年级·江苏·假期作业）下列说法中正确的有（　　） ①和互为相反数；②符号不同的两个数互为相反数；③互为相反数的两个数必定一个是正数，一个是负数；④的相反数是；⑤一个数和它的相反数不可能相等． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个或更多 巩固训练 1．（21-22七年级上·四川绵阳·期中）下列说法中，正确结论的序号是（      ） ①一个数的绝对值一定不是负数；②一个数的相反数一定是负数；③若，则或；④若，则． A．①② B．②④ C．③④ D．①③ 2．（22-23六年级上·上海·阶段练习）下列说法中正确的个数是（    ） ①当时， ②若a是有理数， ③若，，那么a、b为一正一负且正数的绝对值大于负数的绝对值 ④相反数等于本身的数只有一个，而绝对值等于本身的数有无数个 A．1 B．2 C．3 D．4 3．（22-23七年级上·湖南永州·期中）下列说法正确个数的有（    ） ①若，互为相反数，则； ②在数轴上到原点距离为个单位长度的点有两个，表示的数分别为和； ③若，则． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 易错题型四　对绝对值的几何意义理解不透彻 例4. （2024七年级·全国·竞赛）如图，数轴上点、点、点分别对应数，则在中，正数共有（    ）． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 巩固训练 1．（23-24七年级上·湖北武汉·期末）在数轴上表示有理数a，b，c的点如图所示，若a，c异号，为负数，则（    ） A．为负数 B．比小 C．比大 D．为负数 2．（23-24八年级上·北京通州·期末）如图所示，实数，，在数轴上对应的点分别是，，，如果，那么下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24七年级上·云南昭通·阶段练习）有理数在数轴上的位置如图所示，下列结论正确的是(   ) A． B． C． D． 易错题型五　有理数计算时考虑不全 例5. （23-24七年级上·浙江宁波·开学考试）a、b、c都是质数，且满足，则 ． 巩固训练 1．（23-24七年级上·四川南充·阶段练习）若，求代数式 ． 2．（2024六年级下·上海·专题练习）若， ；若， ； ①若，则 ； ②若，则 ． 3．（23-24七年级上·吉林·阶段练习）计算：． 易错题型六　混淆与 例6. （23-24七年级下·湖南郴州·期末）计算： ． 巩固训练 1．（24-25七年级上·全国·假期作业）计算： ， ， ． 2．（2022七年级上·全国·专题练习）判断下列各式计算结果的正负： (1)； (2)； (3)； (4)． 3．（23-24六年级下·上海·期末）计算：． 03 压轴题型 压轴题型一　利用绝对值的的意义求数轴上两点间的距离 例1. （23-24七年级上·吉林·阶段练习）同学们知道，表示8与3的差的绝对值，也可理解为数轴上表示数8与3两点间的距离．试探索： (1)表示数轴上数8与数______两点间的距离； (2)表示数轴上数与数______两点间的距离； (3)表示数轴上数与数______的距离和数与数______的距离的和； (4)满足的所有整数的值是______． 巩固训练 1．（24-25七年级上·全国·随堂练习）如图，数轴上有三点A，B，C． (1)将点A向右移动4个单位长度后，A，B，C三个点所表示的数中最小的数是多少？ (2)点B向左移动2个单位长度，点C向左移动8个单位长度，A，B，C三个点所表示的数中最大的数是多少？ (3)怎样移动A，B，C三点中的两点，才能使三个点表示的数相同？有几种移动的方法？ 2．（23-24七年级·全国·假期作业）阅读下列材料，回答问题． 经过有理数运算的学习，我们知道可以表示5与3之差的绝对值，同时也可以理解为5与3两个数在数轴上所对应的两点之间的距离，我们可以把这称之为绝对值的几何意义．同理，可以表示5与之差的绝对值，也可以表示5与两个数在数轴上所对应的两点之间的距离．试探究： (1)表示数轴上 与 所对应的两点之间的距离． (2)表示数轴上有理数x所对应的点到 所对应的点之间的距离；表示数轴上有理数x所对应的点到 所对应的点之间的距离． (3)利用绝对值的几何意义，请找出所有符合条件的整数x，使得．这样的整数x有 ． 3．（23-24七年级上·江苏连云港·阶段练习）在学习了数轴后，小亮决定对数轴进行变化应用： 应用一：点A、B在数轴上分别表示有理数a，b，A、B两点之间的距离表示为AB，在数轴上A、B两点之间的距离． 利用数形结合思想回答下列问题： (1)数轴上表示和6的两点之间的距离表示为__________；数轴上表示和的两点之间的距离表示为__________． (2)若表示一个有理数，则的最小值__________，满足条件的所有整数的和为__________． (3)请写出当__________时，有最小值为__________． (4)规律应用 工厂加工车间工作流水线上依次间隔2米排着9个工作台A、B、C、D、E、F、G、H、I，一只配件相应该放在工作__________处，能使工作台上的工作人员取配件所走的路程最短，最短路程是__________米． 压轴题型二　利用有理数解决实际问题 例2. （23-24七年级上·江苏南通·开学考试）吴老师（身高1.68米）带领学生参观花卉博物馆，全价门票是40元/人．请根据以上信息解决问题： 购买须知： （1）1.5米以上，买全价票． （2）米，买半价票． （3）1.2米以下，免票． 学生身高 1.2米以下 米 1.5米以上 人数 2 7 11 (1)一共有多少人需要购买门票？ (2)他们购买门票一共需要多少钱？ 巩固训练 1．（23-24七年级上·河南郑州·开学考试）出租车司机小张某天下午的运营是在一条东西走向的大道上．如果规定向东为正，他这天下午的行程记录如下：（单位：千米） ，，，，，，， (1)将最后一名乘客送到目的地时，小张离下午出车点的距离是多少？ (2)离开下午出发点最远时是多少千米？ (3)若汽车的耗油量为0.06升/千米，油价为4.5元/升，这天下午共需支付多少油钱？ 2．（24-25七年级上·全国·随堂练习）某自行车厂一周计划生产1400辆自行车，平均每天生产200辆，由于各种原因实际每天生产量与计划量相比有出入．下表是某周的生产情况（超产为正、减产为负）： 星期 一 二 三 四 五 六 日 增减 (1)根据记录可知前三天共生产_______辆； (2)产量最多的一天比产量最少的一天多生产______辆； (3)该厂实行每周计件工资制，每生产一辆车可得60元，若超额完成任务，则超过部分每辆另奖15元；少生产一辆扣15元，那么该厂工人这一周的工资总额是多少？ 3．（23-24七年级上·江苏镇江·阶段练习）小艾同学的父亲是一名交警，假期某天早上，小艾随父亲乘交通巡逻车从恒隆出发，在红旗路上巡视，中午到达学校门口，如果规定向东行驶为正，向西行驶为负，行驶记录如下．单位：． 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 第六次 第七次 (1)巡逻车在巡逻过程中，第 次离恒隆最远． (2)学校在恒隆哪个方向，与恒隆相距多少千米？ (3)若每千米耗油升，每升汽油需元，问这半天交通巡逻车所需汽油费多少元？ 压轴题型三　有理数混合运算的应用 例3. （23-24七年级上·四川成都·开学考试）计算： 巩固训练 1．（23-24七年级上·广西南宁·开学考试）脱式简算： (1)； (2)； (3)； (4)． 2．（24-25七年级上·全国·假期作业）用灵活而合理的方法计算． (1) (2) (3) (4) 3．（24-25七年级上·全国·假期作业）阅读与思考 下面是小宇同学的数学小论文，请仔细阅读并完成相应的计算． 逆用乘法分配律解题 我们知道，乘法分配律是，反过来．这就是说，当中有相同的a时，我们可以逆用乘法分配律得到，进而可使运算简便．例如：计算，若利用先乘后减显然很繁琐，注意到两项都有，因此逆用乘法分配律可得，这样计算就简便得多 计算： (1)； (2)； (3)． (4) 压轴题型四　有理数新定义运算 例4. （23-24七年级下·重庆·期中）定义新运算：，例如：，若，，，则，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 巩固训练 1．（23-24七年级上·江苏南通·阶段练习）设表示不大于m的最大整数，如，，则（    ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级上·重庆九龙坡·开学考试）对于两个自然数定义新运算“※”和“＃”如果，例如：，那么 ( )． 3．（23-24七年级上·河南郑州·阶段练习）观察下列运算： (1)请你认真思考上述运算，归纳※运算的法则： 两数进行※运算，______ 特别地，0和任何数进行※运算，或任何数和0进行※运算，结果等于______． (2)计算：（括号的作用与它在有理数运算中的作用一致） 压轴题型五　与规律有关的计算 例5. （24-25七年级上·全国·随堂练习）观察下列运算过程： ，① ，得，② ，得，． 用上面的方法计算：． 巩固训练 1．（23-24七年级上·四川成都·期中）问题情境：数学活动课上，王老师出示了一个问题：，，，． (1)利用规律计算：； (2)问题拓展，求； (3)问题解决： 求的值． 2．（20-21七年级上·江苏宿迁·期中）从2开始，连续的偶数相加，它们的和的情况如下表： 加数m的个数 和S 1 2＝1×2 2 2+4＝6＝2×3 3 2+4+6＝12＝3×4 4 2+4+6+8＝20＝4×5 5 2+4+6+8+10＝30＝5×6 （1）按这个规律，当m＝6时，和S为　 　； （2）从2开始，m个连续偶数相加，它们的和S与m之间的关系，用公式表示出来为：S＝　 　． （3）应用上述公式计算： ①2+4+6+…+100 ②1002+1004+1006+…+1100 ③1+3+5+7+…+99 3．（22-23七年级上·湖南益阳·期中）定义新运算：，（右边的运算为平常的加、减、乘、除）． 例如:，． 若，则称有理数，为“隔一数对”． 例如：，，，所以2，3就是一对“隔一数对”． (1)下列各组数是“隔一数对”的是 （请填序号） ①，；②，；③，． (2)计算：． (3)已知两个连续的非零整数都是“隔一数对”． 计算：． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第一章 有理数易错训练与压轴训练 01 思维导图 目录 易错题型一　对正数、负数的意义理解不透 1 易错题型二　对有理数与数轴上点的关系易产生“一一对应”的错误认识 7 易错题型三　对相反数的定义理解不透彻 7 易错题型四　对绝对值的几何意义理解不透彻 7 易错题型五　有理数计算时考虑不全 7 易错题型六　混淆与 7 压轴题型一　利用绝对值的的意义求数轴上两点间的距离 13 压轴题型二　利用有理数解决实际问题 15 压轴题型三　有理数混合运算的应用 17 压轴题型四　有理数新定义运算 19 压轴题型五　与规律有关的计算 19 02 易错题型 易错题型一　对正数、负数的意义理解不透 例1． （23-24七年级上·四川眉山·期中）有下列说法，正确的个数是（   ）个 ①0是最小的整数；②一个有理数不是正数就是负数 ；③若是正数，则是负数； ④自然数一定是正数；⑤一个整数不是正整数就是负整数；⑥非负数就是指正数． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】本题考查了整数“整数包括正整数、0和负整数”、有理数的分类“有理数可分为正有理数、0和负有理数”、正数与负数，熟练掌握有理数的分类是解题关键．根据整数、有理数的分类、正数与负数逐个判断即可得． 【详解】解：①0不是最小的整数，如负整数，则原说法错误； ②有理数0既不是正数也不是负数，则原说法错误； ③若是正数，则是负数，则原说法正确； ④自然数0不是正数，则原说法错误； ⑤整数0既不是正整数也不是负整数，则原说法错误； ⑥非负数就是指不是负数，即正数和0，则原说法错误； 综上，正确的个数是1个, 故选：B． 巩固训练 1．（22-23七年级上·山东滨州·阶段练习）下列说法中，错误的有（　　） ①是负分数；②1.5不是整数；③非负有理数不包括0； ④正整数、负整数统称整数；⑤0是最小的有理数 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据小于0的分数是负分数，可判断①；根据分数的概念，可判断②；根据大于或等于零的有理数是非负有理数，可判断③；根据正整数、负整数和0统称整数，可判断④；根据有理数的大小比较，可判断⑤． 【详解】解：①是负分数，故①正确； ②1.5是分数，不是整数，故②正确； ③非负有理数是大于或等于零的有理数，故③错误； ④正整数、负整数和0统称整数，故④错误； ⑤没有最小的有理数，故⑤错误； 错误的有③④⑤，共3个． 故选C． 【点睛】本题考查了有理数相关概念和分类，掌握相关基础知识是解题的关键，注意没有最小的有理数． 2．（2024七年级上·江苏·专题练习）下列语句中错误的有（    ）个． ①不带“”号的数都是正数；②如果是正数，那么一定是负数；③不存在既不是正数，也不是负数的数；④表示没有温度． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据大于0的数是正数，小于0的数是负数，对各选项分析判断即可解答． 本题主要考查正数与负数的定义，熟练掌握大于0的数是正数、小于0的数是负数是解答本题的关键． 【详解】解：①0不带“”号但不是正数，故原说法错误； ②如果是正数，那么一定是负数，故正确； ③0既不是正数，也不是负数，故原说法错误； ④表示温度为0度，故原说法错误； 综上，错误的有3个． 故本题选：C． 3．（23-24七年级上·江苏南通·开学考试）下列说法中不正确的是（    ） A．既是负数，又是分数，也是有理数 B．既不是正数，也不是负数，但是整数 C．既是负数，也是整数，但不是有理数 D．是分数 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的分类，根据有理数的分类“整数、分数”，“正有理数，0，负有理数”，“正整数，正分数，0，负整数，负分数”等即可求解，掌握有理数的分类是解题的关键． 【详解】解：A、既是负数，又是分数，也是有理数，正确，不符合题意； B、0  既不是正数，也不是负数，但是整数，正确，不符合题意； C、既是负数，也是整数，也是有理数，故原选项错误，符合题意； D、是分数，正确，不符合题意； 故选：C ． 易错题型二　对有理数与数轴上点的关系易产生“一一对应”的错误认识 例2．（24-25七年级上·全国·随堂练习）下列说法中正确的是（    ） A．规定了原点、正方向的直线是数轴 B．数轴上原点及原点左边的点表示的数是非负数 C．数轴上单位长度可以不一致 D．任何一个有理数都可以在数轴上找到与它对应的点 【答案】D 【分析】此题主要考查了数轴，关键是掌握数轴的概念． 根据数轴的概念：规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴．所有的有理数都可以用数轴上的点表示，但数轴上的点不都表示有理数可得答案． 【详解】解：A、规定了原点、正方向和单位长度的直线是数轴，故不符合题意； B、数轴上原点及原点左边的点表示的数是非正数，故不符合题意； C、数轴上单位长度必须一致，故不符合题意； D、任何一个有理数都可以在数轴上找到与它对应的点，故符合题意． 故选：D． 巩固训练 1．（2024七年级上·江苏·专题练习）将一把刻度尺按如图所示的方式放在数轴上（数轴的单位长度是），刻度尺上的“”和“”分别对应数轴上的和，则的值为（    ） A．7 B．6 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了数轴的应用，根据数轴得出刻度尺上1对应的是，数轴的原点在处，刻度尺7对应数轴是． 【详解】解：刻度尺上的“”和对应数轴上的， 数轴上的原点对应刻度尺上的， 刻度尺上的“”对应数轴上的． 故本题选：D． 2．（23-24六年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）点为数轴上表示的点，将点在数轴上平移2个单位长度到点，则点所表示的数为（    ） A．3 B． C．或 D．或7 【答案】C 【分析】本题考查了数轴上点的平移规律，掌握规律是解题的关键．平移规律：向右加，向左减；据此即可求解． 【详解】解：∵点为数轴上表示的点， ∴将点在数轴上向右平移2个单位长度到，将点在数轴上向左平移2个单位长度到， ∴点所表示的数为或 故选：C． 3．（2024七年级上·江苏·专题练习）下列说法正确的是（    ） A．数轴上的一个点可以表示不同的有理数 B．数轴上有两个不同的点可以表示同一个有理数 C．任何有理数都可以在数轴上找到与它对应的唯一的点 D．有的有理数不能在数轴上表示出来 【答案】C 【分析】本题考查了数轴的应用，根据数轴上的点与有理数的对应关系进行解答． 【详解】解：A．数轴上一个点只能表示一个数，不能表示两个不同的数，故选项错误； B．数轴上两个不同的点表示两个不同的数，故选项错误； C．任何一个有理数都可以在数轴上找到和它对应的唯一的一个点，正确； D．所有的有理数都可以用数轴上的点表示，故选项错误． 故本题选：C． 易错题型三　对相反数的定义理解不透彻 例3. （22-23七年级·江苏·假期作业）下列说法中正确的有（　　） ①和互为相反数；②符号不同的两个数互为相反数；③互为相反数的两个数必定一个是正数，一个是负数；④的相反数是；⑤一个数和它的相反数不可能相等． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个或更多 【答案】B 【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数，一个数的相反数就是在这个数前面添上“”号；一个正数的相反数是负数，一个负数的相反数是正数，0的相反数是0进行解答即可． 【详解】解：和互为相反数，则①正确； 只有符号不同的两个数互为相反数，②错误； 0的相反数是0，所以互为相反数的两个数不一定一个是正数，一个是负数，③错误； 的相反数是，④错误； 0的相反数是0，一个数和它的相反数可能相等，⑤错误． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了相反数的概念，掌握只有符号不同的两个数互为相反数，一个数的相反数就是在这个数前面添上“”号；一个正数的相反数是负数，一个负数的相反数是正数，0的相反数是0是解题的关键． 巩固训练 1．（21-22七年级上·四川绵阳·期中）下列说法中，正确结论的序号是（      ） ①一个数的绝对值一定不是负数；②一个数的相反数一定是负数；③若，则或；④若，则． A．①② B．②④ C．③④ D．①③ 【答案】D 【分析】根据绝对值、相反数等知识逐项判断即可求解． 【详解】解：①一个数的绝对值一定不是负数，结论正确； ②一个数的相反数一定是负数，结论错误，例负数的相反数是正数； ③若，则或，结论正确； ④若若，则，结论错误，如时，结论错误． 故选：D 【点睛】本题考查了绝对值、相反数等知识，熟知相关知识并灵活应用是解题关键． 2．（22-23六年级上·上海·阶段练习）下列说法中正确的个数是（    ） ①当时， ②若a是有理数， ③若，，那么a、b为一正一负且正数的绝对值大于负数的绝对值 ④相反数等于本身的数只有一个，而绝对值等于本身的数有无数个 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】分别根据绝对值的定义，有理数的意义，乘法法则和加法法则，相反数的定义判断即可． 【详解】①当时，，故错误； ②若a是有理数，，故错误； ③若，，那么a、b为一正一负且正数的绝对值大于负数的绝对值，故正确； ④相反数等于本身的数只有，而绝对值等于本身的数有无数个，故正确； 只有③④正确， 故选B． 【点睛】本题考查了绝对值的定义，有理数的意义，乘法法则和加法法则，相反数的定义，熟练掌握各知识点是解题的关键． 3．（22-23七年级上·湖南永州·期中）下列说法正确个数的有（    ） ①若，互为相反数，则； ②在数轴上到原点距离为个单位长度的点有两个，表示的数分别为和； ③若，则． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】根据相反数的性质、数轴的定义以及绝对值的定义与性质分别验证即可得到答案． 【详解】解：①根据相反数的性质可知，若，互为相反数，则，故①正确，符合题意； ②根据数轴定义可知，在数轴上和到原点距离都为个单位长度，故②正确，符合题意； ③根据绝对值定义及性质可知，和的绝对值都为，若，则，故③错误，不符合题意； 综上所述，以上三个命题中①②正确，③错误， 故选：C． 【点睛】本题考查相反数性质、数轴定义和绝对值的定义与性质，熟练掌握相关知识点是解决问题的关键． 易错题型四　对绝对值的几何意义理解不透彻 例4. （2024七年级·全国·竞赛）如图，数轴上点、点、点分别对应数，则在中，正数共有（    ）． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查利用数轴确定代数式符号，涉及数轴定义与性质、去绝对值等知识，根据数轴上点的位置确定大小及符号，从而逐个判断出代数式符号，熟练掌握数轴性质得到大小及符号是解决问题的关键． 【详解】解：如图所示： ，，， ，则；；；；； 综上所述，有3个代数式是正数， 故选：C． 巩固训练 1．（23-24七年级上·湖北武汉·期末）在数轴上表示有理数a，b，c的点如图所示，若a，c异号，为负数，则（    ） A．为负数 B．比小 C．比大 D．为负数 【答案】C 【分析】本题主要考查了数轴，以及绝对值的意义，熟练掌握数轴的性质是解题的关键．根据有理数a，b，c在数轴上的位置进行判断． 【详解】解：根据题意，a，c异号，为负数， 故，无法确定， 可能为负数也可能为正数，故选项A错误； 当为负数时，原点离点很近时，此时比大，故选项B错误； 当时，比大，当时，由于为负数，故比大，故选项C正确； 由于无法确定，故无法确定为负数，故选项D错误． 故选：C． 2．（23-24八年级上·北京通州·期末）如图所示，实数，，在数轴上对应的点分别是，，，如果，那么下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查数轴与实数对应关系，绝对值，有理数的加减法，乘除法知识，熟练掌握运算法则是解题的关键．根据图中的点的位置即可确定的正负，即可判断． 【详解】解：由数轴可知，， ， ，， ，故选项A错误； ，故选项B正确； ，故选项C错误； ，故选项D错误 故选：B． 3．（23-24七年级上·云南昭通·阶段练习）有理数在数轴上的位置如图所示，下列结论正确的是(   ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据数轴可知，且，然后逐项分析即可． 【详解】解：由数轴可知，，且， ∴，结论A正确，符合题意； ，故结论B错误，不符合题意； ，故结论C错误，不符合题意； ，故结论D错误，不符合题意． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了数轴、相反数、绝对值、利用数轴比较有理数大小等知识，解题的关键是理解数轴上左边的数小于右边的数以及绝对值的几何意义． 易错题型五　有理数计算时考虑不全 例5. （23-24七年级上·浙江宁波·开学考试）a、b、c都是质数，且满足，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了质数，奇数与偶数，绝对值，掌握所有的质数中只有2是偶数是解题关键．先假设a、b、c都是奇数，判断出与已知矛盾，得出a、b、c中必有两个偶数，从而令，求出的值，代入计算即可． 【详解】解：若a、b、c都是奇数，则也是奇数， 那么为偶数，与已知矛盾， a、b、c中必有一个偶数， a、b、c都是质数， 中必有一个偶数2， 令，则， 若b、c都是奇数，则也是奇数， 那么偶数，与已知矛盾， b、c中必有一个偶数2， 令，则， ， ， 故答案为： 巩固训练 1．（23-24七年级上·四川南充·阶段练习）若，求代数式 ． 【答案】 【分析】本题考查了绝对值的定义，代数式，解题的关键是掌握绝对值的定义．根据绝对值的定义求解即可． 【详解】解：， ，，， ，，， ， 故答案为：1 2．（2024六年级下·上海·专题练习）若， ；若， ； ①若，则 ； ②若，则 ． 【答案】 1 1 1 【分析】此题考查了分类讨论解决含字母参数绝对值的问题，关键是能确定含字母参数绝对值是它本身还是它的相反数． 根据实数绝对值的性质，根据的符号确定它的绝对值是它本身还是相反数即可． 【详解】解：， ， ； ， ， ， 故答案为：1，； ①， ， ， ， 故答案为：1； ②， 、、中有一个负数、两个正数和三个负数两种情况， 当、、中有一个负数、两个正数时， ， 当、、中有三个负数时， ， 故答案为：1或． 3．（23-24七年级上·吉林·阶段练习）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的四则运算； 先算乘除，再算加法即可． 【详解】解：原式 ． 易错题型六　混淆与 例6. （23-24七年级下·湖南郴州·期末）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的乘方和乘法，根据有理数的乘方和乘法运算法则进行计算即可求解，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解：原式 ， 故答案为：． 巩固训练 1．（24-25七年级上·全国·假期作业）计算： ， ， ． 【答案】 4 / 【分析】本题主要考查了去括号法则、有理数的乘方运算等知识点，熟记相关运算法则是解题的关键． 根据去括号法则、有理数的乘方运算进行计算即可． 【详解】解：；；． 故答案为：，4，． 2．（2022七年级上·全国·专题练习）判断下列各式计算结果的正负： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)正 (2)负 (3)负 (4)负 【分析】根据有理数乘方的符号规律解答即可． 【详解】（1）解： ∵的指数是12，为偶数，负数的偶次幂是正数， ∴的结果为正； （2）解：∵的指数是9，为奇数，负数的奇次幂是负数， ∴的结果为负； （3）解：∵表示的是的相反数，正数的任何次幂都是正数， 的结果为正，所以的结果为负； （4）解：∵的指数是11，为奇数，负数的奇次幂是负数， ∴的结果为负． 【点睛】本题主要考查了有理数乘方的符号规律，掌握负数的偶次幂为正、奇次幂为负成为解答本题的关键． 3．（23-24六年级下·上海·期末）计算：． 【答案】55 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，掌握需要的运算法则是解答本题的关键．根据有理数的混合运算法则先计算乘方，绝对值，利用乘法分配律去掉括号，再计算加减即可． 【详解】解：原式 ． 03 压轴题型 压轴题型一　利用绝对值的的意义求数轴上两点间的距离 例1. （23-24七年级上·吉林·阶段练习）同学们知道，表示8与3的差的绝对值，也可理解为数轴上表示数8与3两点间的距离．试探索： (1)表示数轴上数8与数______两点间的距离； (2)表示数轴上数与数______两点间的距离； (3)表示数轴上数与数______的距离和数与数______的距离的和； (4)满足的所有整数的值是______． 【答案】(1) (2) (3)，2 (4)，，，0，1，2 【分析】此题主要考查了绝对值的含义和应用，解答此题的关键是要明确：既可以理解为与的差的绝对值，也可理解为与两数在数轴上所对应的两点之间的距离． （1）根据绝对值的几何意义即可解答； （2）根据绝对值的几何意义即可解答； （3）根据绝对值的几何意义即可解答； （4）根据与两数在数轴上所对应的两点之间的距离是5，使得成立的整数可以是和2之间的任意一个整数（包括和2），由此可解． 【详解】（1）解：由题意可知，表示8与5两数在数轴上所对应的两点之间的距离， 故答案为：5； （2）解：由题意可知，，表示x与两数在数轴上所对应的两点之间的距离， 故答案为：； （3）解：由题意可知，表示x与两数在数轴上所对应的两点之间的距离， 表示x与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离， 表示数轴上数与数的距离和数与数2的距离的和， 故答案为：，2； （4）解：由题意知，表示数轴上有理数x所对应的点到和数与数2的距离之和为5， ， ， 满足等式成立的所有整数x的值为：，，，0，1，2， 故答案为：，，，0，1，2． 巩固训练 1．（24-25七年级上·全国·随堂练习）如图，数轴上有三点A，B，C． (1)将点A向右移动4个单位长度后，A，B，C三个点所表示的数中最小的数是多少？ (2)点B向左移动2个单位长度，点C向左移动8个单位长度，A，B，C三个点所表示的数中最大的数是多少？ (3)怎样移动A，B，C三点中的两点，才能使三个点表示的数相同？有几种移动的方法？ 【答案】(1) (2) (3)见解析，三种 【分析】本题考查了数轴，牢记数轴上点的移动规律：向左移动减，向右移动加是解题关键． （1）根据向右移动加，求出点A表示的数，然后作出判断即可； （2）根据向左移动减，求出点B、C表示的数，然后作出判断即可； （3）根据要使三个点表示的数相同，由向左移动减，向右移动加，在三个点中任取两点，使得三点中的两个点到另外一点，由此写出所有移动的方法即可． 【详解】（1）点A向右移动4个单位长度后，表示的数是0， 由A、B、C三点所表示的数可知，此时点B表示的数最小，是； （2）点B向左移动2个单位长度后，表示的数是，C点向左移动8个单位后，表示的数是， 由A、B、C三点所表示的数可知，此时点B表示的数最大，是； （3）有三种移动方法： ①点A向右移动6个单位长度，点B向右移动3个单位长度； ②点A向右移动3个单位长度，点C向左移动3个单位长度； ③点B向左移动3个单位长度，点C向左移动6个单位长度． 2．（23-24七年级·全国·假期作业）阅读下列材料，回答问题． 经过有理数运算的学习，我们知道可以表示5与3之差的绝对值，同时也可以理解为5与3两个数在数轴上所对应的两点之间的距离，我们可以把这称之为绝对值的几何意义．同理，可以表示5与之差的绝对值，也可以表示5与两个数在数轴上所对应的两点之间的距离．试探究： (1)表示数轴上 与 所对应的两点之间的距离． (2)表示数轴上有理数x所对应的点到 所对应的点之间的距离；表示数轴上有理数x所对应的点到 所对应的点之间的距离． (3)利用绝对值的几何意义，请找出所有符合条件的整数x，使得．这样的整数x有 ． 【答案】(1)4，1 (2)5， (3)，，0，1，2 【分析】本题考查数轴上两点间的距离，绝对值的意义等知识， （1）根据两点间的距离公式，进行作答即可； （2）根据两点间的距离公式，进行作答即可； （3）根据两点间的距离，得到x在到2之间，，即可得出结论． 掌握两点间的距离公式，是解题的关键． 【详解】（1）解：表示数轴上与所对应的两点之间的距离； （2）表示数轴上有理数x所对应的点到5所对应的点之间的距离； 表示数轴上有理数x所对应的点到所对应的点之间的距离； （3）表示x到之间的距离与x到2之间的距离的和为4， ∵到2之间的距离为4， ∴x在到2之间， ∴这样的整数x有，，0，1，2． 3．（23-24七年级上·江苏连云港·阶段练习）在学习了数轴后，小亮决定对数轴进行变化应用： 应用一：点A、B在数轴上分别表示有理数a，b，A、B两点之间的距离表示为AB，在数轴上A、B两点之间的距离． 利用数形结合思想回答下列问题： (1)数轴上表示和6的两点之间的距离表示为__________；数轴上表示和的两点之间的距离表示为__________． (2)若表示一个有理数，则的最小值__________，满足条件的所有整数的和为__________． (3)请写出当__________时，有最小值为__________． (4)规律应用 工厂加工车间工作流水线上依次间隔2米排着9个工作台A、B、C、D、E、F、G、H、I，一只配件相应该放在工作__________处，能使工作台上的工作人员取配件所走的路程最短，最短路程是__________米． 【答案】(1)； (2)5， (3)，8 (4)E，40 【分析】本题考查有理数在数轴上对应的点、绝对值： （1）根据数轴上A、B两点之间的距离计算便可； （2）当x在表示数与1的两点及两点之间时，的值最小，求出此时的值便可； （3）根据绝对值的几何意义可知，当时，有最小值8； （4）以E点为原点，2米为一个单位长度，A、B、C、D、E、F、G、H、I依次在数轴上排列，根据绝对值的意义，几何数轴上点的特点可知当时，有最小值40； 【详解】（1）解：数轴上表示和6的两点之间的距离表示为； 数轴上表示和的两点之间的距离表示为， 故答案为：； （2）解：当时，取最小值， 其最小值为：， 满足条件的整数x的和为 故答案为：5，； （3）解：表示数轴上有理数x所对应的点到所对应的点的距离之和， ∴当时，有最小值，最小值为8， 故答案为：，8； （4）以E点为原点，2米为一个单位长度，A、B、C、D、E、F、G、H、I依次在数轴上排列， 则A点表示的数为，B点表示的数为，C点表示的数为，D点表示的数为，F点表示的数为2，G点表示的数为4，H点表示的数为6，I点表示数为8， 设配件箱应该放在数轴上表示x的数的位置， 当有最小值时，工作台上的工作人员取配件所走的路程最短， ∴当时，有最小值40， ∴配件箱应该放在工作台E处，最短路程为40米， 故答案为：E，40； 压轴题型二　利用有理数解决实际问题 例2. （23-24七年级上·江苏南通·开学考试）吴老师（身高1.68米）带领学生参观花卉博物馆，全价门票是40元/人．请根据以上信息解决问题： 购买须知： （1）1.5米以上，买全价票． （2）米，买半价票． （3）1.2米以下，免票． 学生身高 1.2米以下 米 1.5米以上 人数 2 7 11 (1)一共有多少人需要购买门票？ (2)他们购买门票一共需要多少钱？ 【答案】(1)19人 (2)620元 【分析】本题考查有理数的实际应用，（1）根据题意可得身高在1.2米以上的学生和老师都需要买门票，即可求解； （2）根据表格可得需要购买全票的人数有人，需要购买半票的人数有7人，即可求解． 【详解】（1）解：由题意得，（人）， 答：一共有19人需要购买门票． （2）解： （元）， 答：他们购买门票一共需要620元． 巩固训练 1．（23-24七年级上·河南郑州·开学考试）出租车司机小张某天下午的运营是在一条东西走向的大道上．如果规定向东为正，他这天下午的行程记录如下：（单位：千米） ，，，，，，， (1)将最后一名乘客送到目的地时，小张离下午出车点的距离是多少？ (2)离开下午出发点最远时是多少千米？ (3)若汽车的耗油量为0.06升/千米，油价为4.5元/升，这天下午共需支付多少油钱？ 【答案】(1)将最后一名乘客送到目的地时，小张距下午出车时的出发点21千米 (2)离开下午出发点最远时是26千米 (3)这天下午共需支付22.95元油钱 【分析】本题考查有理数的运算在实际中的应用，解答此类题目时要注意总路程为所走路程的绝对值的和． （1）把所有的行程数据相加即可求出小张离下午出车点的距离，若数据为正则在出发点的东边，反之在西边； （2）分别计算出小张每一次行程离出发点的距离，再比较出各数据的大小即可； （3）耗油量每千米的耗油量总路程，总路程为所走路程的绝对值的和，再结合油价求解即可解题． 【详解】（1）解：小张离下午出车点的距离 （千米）． 答：将最后一名乘客送到目的地时，小张距下午出车时的出发点21千米； （2）解：当行程为千米时离开下午出发点15千米； 当行程为千米时离开下午出发点千米； 当行程为千米时离开下午出发点千米； 当行程为千米时离开下午出发点千米； 当行程为千米时离开下午出发点千米； 当行程为千米时离开下午出发点千米； 当行程为千米时离开下午出发点千米； 26最大， 离开下午出发点最远时是26千米， 答：离开下午出发点最远时是26千米； （3）解：∵这天下午小张所走路程 （千米）， 这天下午共需付钱（元）， 答：这天下午共需支付22.95元油钱． 2．（24-25七年级上·全国·随堂练习）某自行车厂一周计划生产1400辆自行车，平均每天生产200辆，由于各种原因实际每天生产量与计划量相比有出入．下表是某周的生产情况（超产为正、减产为负）： 星期 一 二 三 四 五 六 日 增减 (1)根据记录可知前三天共生产_______辆； (2)产量最多的一天比产量最少的一天多生产______辆； (3)该厂实行每周计件工资制，每生产一辆车可得60元，若超额完成任务，则超过部分每辆另奖15元；少生产一辆扣15元，那么该厂工人这一周的工资总额是多少？ 【答案】(1)599 (2)26 (3)84675 【分析】本题考查了正数和负数，有理数混合运算的应用，熟练掌握相关运算法则是解题关键． （1）根据表格中的数据可以解答本题； （2）根据表格中的数据可知周六生产的最多，周五生产的最少，从而可以解答本题； （3）根据题意和表格中的数据可以解答本题． 【详解】（1）解：（辆）， 故答案为：599； （2）（辆）， 故答案为：26； （3）， （元）． 答：该厂工人这一周的工资总额是84675元． 3．（23-24七年级上·江苏镇江·阶段练习）小艾同学的父亲是一名交警，假期某天早上，小艾随父亲乘交通巡逻车从恒隆出发，在红旗路上巡视，中午到达学校门口，如果规定向东行驶为正，向西行驶为负，行驶记录如下．单位：． 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 第六次 第七次 (1)巡逻车在巡逻过程中，第 次离恒隆最远． (2)学校在恒隆哪个方向，与恒隆相距多少千米？ (3)若每千米耗油升，每升汽油需元，问这半天交通巡逻车所需汽油费多少元？ 【答案】(1)六； (2)学校在恒隆东面，与恒隆相距千米； (3)交通巡逻车所需汽油费为元． 【分析】（）求出每次记录时恒隆的距离，数值最大的为最远的距离： （）把次记录相加，根据和的情况判断学校与恒隆的关系即可； （）求出所有记录的绝对值的和，再乘以计算即可得解； 本题考查了正负数的意义，有理数的加法和乘法的实际应用，理解正负数的意义是解题的关键． 【详解】（1）解：，，，，，，， ∵最大， ∴第六次离恒隆最远， 故答案为：六； （2）解：∵， ∴学校在恒隆东面，与恒隆相距千米； （3）解：小艾和父亲巡逻所走路程： 千米， 巡逻车所需汽油费：元， 答：交通巡逻车所需汽油费为元． 压轴题型三　有理数混合运算的应用 例3. （23-24七年级上·四川成都·开学考试）计算： 【答案】 【分析】此题考查了有理数的混合运算，原式变形后，把看作整体进行运算展开后，利用加法交换律即可得到答案． 【详解】解： 巩固训练 1．（23-24七年级上·广西南宁·开学考试）脱式简算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2)123 (3) (4) 【分析】本题考查有理数的混合运算，正确使用运算律进行计算是解题的关键． （1）运用乘法分配律进行计算即可． （2）将带分数化为假分数后，可进行简便计算． （3）根据所给算式的特点，将其分母转化为两个连续整数积的形式即可简便计算． （4）观察各式得出，即可进行简便计算． 【详解】（1）解∶原式 ； （2）解∶原式 ； （3）解∶原式 ； （4）解∶原式 ． 2．（24-25七年级上·全国·假期作业）用灵活而合理的方法计算． (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2)100 (3)1 (4)5050 【分析】本题考查了乘法公式的有理数混合运算，含乘方有理数混合运算，熟练掌握运算法则是解题关键． （1）先根据带分数化为假分数的方法，将算式变为，再将算式变为，根据乘法分配律，将算式变为，然后计算出括号里面的加法，再将除法化为乘法，约分可得，然后将2003拆分为2002＋1，根据乘法分配律，将算式变为，约分可得，再根据带符号搬家，得，然后计算出结果即可； （2）先把带分数化为假分数，除法化为乘法，然后根据积不变性质，将算式变为，然后将化为假分数，再根据乘法分配律，将算式变为进行简算即可； （3）先把382拆分为，然后根据乘法分配律，将算式变为，，加上括号，变为，然后计算出括号里面的减法，最后可得分子和分母都是相同的算式，约分可得结果为1； （4）两个相邻的数的平方差等于这两个数的和，也就是（n为自然数），将算式变为，然后首尾依次相加，将算式变为进行简算即可． 【详解】（1）解： ； （2） ； （3） ； （4） ． 3．（24-25七年级上·全国·假期作业）阅读与思考 下面是小宇同学的数学小论文，请仔细阅读并完成相应的计算． 逆用乘法分配律解题 我们知道，乘法分配律是，反过来．这就是说，当中有相同的a时，我们可以逆用乘法分配律得到，进而可使运算简便．例如：计算，若利用先乘后减显然很繁琐，注意到两项都有，因此逆用乘法分配律可得，这样计算就简便得多 计算： (1)； (2)； (3)． (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了有理数的混合运算，逆用分配律简便计算是关键； （1）逆用分配律把原式化为，再计算即可； （2）逆用分配律把原式化为，再计算即可； （3）逆用乘法分配律计算即可； （4）先计算乘方，再计算乘除，最后进行加减计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： = = =． 压轴题型四　有理数新定义运算 例4. （23-24七年级下·重庆·期中）定义新运算：，例如：，若，，，则，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了整式的混合运算，解答的关键是熟练掌握相应的运算法则．先根据新定义的运算求出的值，再比较即可． 【详解】解： ， 故选：C． 巩固训练 1．（23-24七年级上·江苏南通·阶段练习）设表示不大于m的最大整数，如，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查新定义运算，有理数的减法运算，根据的定义求出和，再计算减法即可． 【详解】解：由题意知，， ， 故选B． 2．（23-24七年级上·重庆九龙坡·开学考试）对于两个自然数定义新运算“※”和“＃”如果，例如：，那么 ( )． 【答案】2 【分析】此题考查了新定义运算，根据定义的运算顺序和运算法则计算即可． 【详解】∵， ∴， 故答案为：2 3．（23-24七年级上·河南郑州·阶段练习）观察下列运算： (1)请你认真思考上述运算，归纳※运算的法则： 两数进行※运算，______ 特别地，0和任何数进行※运算，或任何数和0进行※运算，结果等于______． (2)计算：（括号的作用与它在有理数运算中的作用一致） 【答案】(1)同号两数运算取正号，再把绝对值相加；异号两数运算取负号，再把绝对值相加；等于这个数的绝对值 (2)23． 【分析】本题考查有理数的混合运算，涉及新定义，解答本题的关键是明确有理数混合运算的计算方法． （1）根据题目中的例子可以将题目中的空填写完整； （2）根据（1）中的结论可以解答本题． 【详解】（1）解：根据题目中的例子观察，可知：两数进行运算时， 同号两数运算取正号，再把绝对值相加， 异号两数运算取负号，再把绝对值相加， 特别地，0和任何数进行运算，或任何数和0进行运算，等于这个数的绝对值， 故答案为：同号两数运算取正号，再把绝对值相加；异号两数运算取负号，再把绝对值相加； 等于这个数的绝对值； （2）解：． 压轴题型五　与规律有关的计算 例5. （24-25七年级上·全国·随堂练习）观察下列运算过程： ，① ，得，② ，得，． 用上面的方法计算：． 【答案】 【分析】本题考查有理数的混合运算，仿照题目中所给的方法计算即可得出答案，解答本题的关键是明确有理数混合运算的计算方法． 【详解】解：设，则， 得，即， 则． 巩固训练 1．（23-24七年级上·四川成都·期中）问题情境：数学活动课上，王老师出示了一个问题：，，，． (1)利用规律计算：； (2)问题拓展，求； (3)问题解决： 求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了数字的变化类，有理数的混合运算，解题关键观察已知条件，找出解题的方法和技巧． （1）把各个加数拆成两个分子是1，分母是原数分母的两个分数相减，然后相邻的两个互为相反数相加即可； （2）把各个算式写成乘以分母中的两个数为分母，分子是1的两个分数的差的形式，然后提取公因数，进行简便计算即可； （3）把各个加数的分母计算后都乘以，再乘以2，然后把每个分数写成两个分数差的形式，再进行计算即可． 【详解】（1）解：依题意， ∵，，，， ∴ ； （2）解： ； （3）解：∵，； ，； ，； …… ， 所以原式 ． 2．（20-21七年级上·江苏宿迁·期中）从2开始，连续的偶数相加，它们的和的情况如下表： 加数m的个数 和S 1 2＝1×2 2 2+4＝6＝2×3 3 2+4+6＝12＝3×4 4 2+4+6+8＝20＝4×5 5 2+4+6+8+10＝30＝5×6 （1）按这个规律，当m＝6时，和S为　 　； （2）从2开始，m个连续偶数相加，它们的和S与m之间的关系，用公式表示出来为：S＝　 　． （3）应用上述公式计算： ①2+4+6+…+100 ②1002+1004+1006+…+1100 ③1+3+5+7+…+99 【答案】（1）；（2）；（3）①；②；③． 【分析】（1）根据规律列出运算式子，计算有理数的乘法即可得； （2）根据表格归纳类推出一般规律即可得； （3）①根据（2）的结论列出运算式子，计算有理数的乘法即可得； ②利用的值减去的值即可得； ③将运算中的每个加数都加上1可变成（3）①的运算式子，再减去50即可得． 【详解】（1）根据规律得：当时，和， 故答案为：42； （2）由表可知，当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 归纳类推得：， 故答案为：； （3）①， ， ； ②， ， ， ， ， ； ③， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了有理数加减法与乘法的规律型问题，正确归纳类推出一般规律是解题关键． 3．（22-23七年级上·湖南益阳·期中）定义新运算：，（右边的运算为平常的加、减、乘、除）． 例如:，． 若，则称有理数，为“隔一数对”． 例如：，，，所以2，3就是一对“隔一数对”． (1)下列各组数是“隔一数对”的是 （请填序号） ①，；②，；③，． (2)计算：． (3)已知两个连续的非零整数都是“隔一数对”． 计算：． 【答案】(1)①② (2) (3) 【分析】本题考查有理数的定义新运算，仔细审题，理解题干中的新定义，熟练掌握有理数的混合运算法则是解题关键． （1）按照题干定义进行计算，判断是否满足条件即可； （2）直接根据题目定义分别计算各项，然后再合并求解即可； （3）根据定义进行变形和拆项，然后根据规律求解即可． 【详解】（1）解：①； ∵，， ∴，则①是“隔一数对”； ②； ∵，， ∴，则②是“隔一数对”； ③； ∵，， ∴，则③不是“隔一数对”； 故答案为：①②； （2）解：根据定义， ； （3）解：根据定义， ． 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