专题1.1 二次函数与反比例函数全章知识典例详解（必考点分类集训）-2024-2025学年九年级数学上册必考点分类集训系列（沪科版）

专题1.1 二次函数与反比例函数全章知识典例详解 【沪科版】 知识点1 二次函数的定义 定义：一般地，形如（a，b，c是常数，）的函数，叫做二次函数．其中x是自变量，a，b，c分别是二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项． 注意：二次函数的二次项系数，而b、c可以为零． 【典例1】（2023秋•驻马店期末）下列函数：①y＝3；②y；③y＝x（3﹣5x）；④y＝（1+2x）（1﹣2x），是二次函数的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【典例2】（2023秋•太康县期末）如果函数是二次函数，那么m的值是 　 　． 【典例3】（2023秋•江津区校级月考）若y＝（a+1）x|a﹣1|+5x﹣3是关于x二次函数，则a＝　 　． 知识点2 二次函数的图象和性质 1．二次函数)的性质： （1）函数的图象与a的符号关系． ①当时抛物线开口向上顶点为其最低点； ②当时抛物线开口向下顶点为其最高点； ③决定抛物线的开口大小：越大，抛物线开口越小；越小，抛物线开口越大． （2）抛物线的顶点是坐标原点(0, 0)，对称轴是（y轴）． a的 符号 开口 方向 顶点 坐标 对称轴 增减性 向上 (0, 0) y轴 时，y随x的增大而增大；时，y随x的增大而减小；时，y有最小值0． 向下 (0, 0) y轴 时，y随x的增大而减小；时，y随x的增大而增大；时，y有最大值0． 2．二次函数)的性质： a的 符号 开口 方向 顶点 坐标 对称轴 增减性 向上 (0, c) y轴 时，y随x的增大而增大；时，y随x的增大而减小；时，y有最小值c． 向下 (0, c) y轴 时，y随x的增大而减小；时，y随x的增大而增大；时，y有最大值c． 3．二次函数)的性质： a的 符号 开口 方向 顶点 坐标 对称轴 增减性 向上 （h，k） x=h 时，y随x的增大而增大；时，y随x的增大而减小；时，y有最小值k． 向下 （h，k） x=h 时，y随x的增大而减小；时，y随x的增大而增大；时，y有最大值k． 4．二次函数)的性质： 配方：二次函数 a的 符号 开口 方向 顶点坐标 对称轴 增减性 向上 （，） 时，y随x的增大而增大； 时，y随x的增大而减小； 时，y有最小值． 向下 （，） 时，y随x的增大而减小； 时，y随x的增大而增大； 时，y有最大值． 注意：二次函数与坐标轴的交点： （1）与y轴的交点：； （2）与x轴的交点：使方程成立的x值． 【典例1】（2024春•肇东市校级月考）已知二次函数，则（　　） A．函数图象的对称轴为直线x＝3 B．函数的最大值为2 C．当x≤﹣3时，y随x的增大而增大 D．函数图象与y轴的交点坐标为（0，﹣2） 【典例2】（2024•陕西）已知一个二次函数y＝ax2+bx+c的自变量x与函数y的几组对应值如下表： x … ﹣4 ﹣2 0 3 5 … y … ﹣24 ﹣8 0 ﹣3 ﹣15 … 则下列关于这个二次函数的结论正确的是（　　） A．图象的开口向上 B．当x＞0时，y的值随x值的增大而减小 C．图象经过第二、三、四象限 D．图象的对称轴是直线x＝1 【典例3】（2024•碑林区校级模拟）关于x的二次函数y＝mx2﹣6mx+9m﹣2（m≠0）的图象，下列说法不正确的是（　　） A．对称轴为直线x＝3 B．当m＝5时，图象上的最低点为（3，﹣2） C．当x＞3时，y的值随x值的增大而增大 D．顶点一定在函数y的图象上 【典例4】（2024•管城区校级三模）已知点A（﹣1，y1），B（2，y2），C（5，y3）都在二次函数y＝﹣2（x﹣3）2+a的图象上，则y1，y2，y3的大小关系为（　　） A．y1＞y2＞y3 B．y2＞y1＞y3 C．y2＞y3＞y1 D．y3＞y2＞y1 【典例5】（2024•姜堰区二模）二次函数y＝a（x﹣h）2+k（a≠0，h，k为常数）图象开口向下，当x＝1时，y＝1；当x＝6时，y＝6．则h的值可能为（　　） A．2 B．3 C． D． 【典例6】（2024•阜阳二模）若抛物线y＝x2﹣2mx+m2+2m+1（m是常数）的顶点到x轴的距离为2，则m的值为（　　） A． B． C．或 D．或 知识点3 二次函数的解析式 1．一般式： 已知图象上三点、、，可用一般式求解二次函数解析式． 2．顶点式： 已知抛物线的顶点或对称轴，可用顶点式求解二次函数解析式． 3．交点式： 已知抛物线与轴的两个交点坐标，可用交点式求解二次函数解析式． 4．对称式： 已知抛物线经过点、时，可以用对称式来求二次函数的解析式． 注意： （1）二次函数的解析式求解，最后结果一般写成一般式或顶点式，不写成交点式； （2）任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x轴有交点，即时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化． 【典例1】（2024秋•西城区校级期中）如果二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点（﹣1，0），（3，0），（0，﹣6），求二次函数表达式． 【典例2】（2024秋•庐阳区校级月考）已知二次函数的图象以A（3，3）为顶点，且过点B（2，0），求该函数的关系式． 【典例3】（2024秋•长宁区校级期中）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点A（1，5），B（﹣1，9），C（0，8）．求这个二次函数的解析式，开口方向，对称轴和顶点坐标． 【典例4】（2024秋•通州区期中）已知函数y＝x2+bx+c在x＝0和x＝4时的函数值相等，且函数的最小值为﹣2，求函数的表达式． 【典例5】根据下列条件，求二次函数的解析式 （1）图象经过点（﹣1，3），（1，3），（2，6）； （2）抛物线顶点坐标为（﹣1，9），并且与y轴交于（0，﹣8）； （3）抛物线的对称轴是直线x＝1，与x轴的一个交点为（﹣2，0），与y轴交于点（0，12）； （4）图象顶点坐标是（2，﹣5），且过原点； （5）图象与x轴的交点坐标是（﹣1，0），（﹣3，0）且函数有最小值﹣5； （6）当x＝2时，函数的最大值是1，且图象与x轴两个交点之间的距离为2． 【典例6】已知二次函数y＝ax2﹣（b﹣1）x﹣3a的图象经过点（4，10），交x轴于A（x1，0），B（x2，0）两点．（x1＜x2），且3OA＝OB，求二次函数的解析式． 知识点4 二次函数的图象判断 1．二次函数图象与系数的关系 （1）a决定抛物线的开口方向 当时，抛物线开口向上；当时，抛物线开口向下．反之亦然． （2）b和a共同决定抛物线对称轴的位置：“左同右异” 当时，抛物线的对称轴为y轴；当a、b同号时，对称轴在y轴的左侧；当a、b异号时，对称轴在y轴的右侧． （3）的大小决定抛物线与y轴交点的位置 当时，抛物线与y轴的交点为原点；当时，交点在y轴的正半轴；当时，交点在y轴的负半轴． 2．二次函数的图象信息 （1）根据抛物线的开口方向判断a的正负性． （2）根据抛物线的对称轴判断b的正负性． （3）根据抛物线与y轴的交点，判断c的正负性． （4）根据抛物线与x轴有无交点，判断的正负性． （5）根据抛物线的对称轴可得与的大小关系，可得的正负性． （6）根据抛物线所经过的已知坐标的点，可得到关于a，b，c的等式． （7）根据抛物线的顶点，判断的大小． 【典例1】（2024秋•建水县期末）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象如图所示，现有下列结论：①b2﹣4ac＞0；②a＞0；③b＞0；④c＞0；⑤4a+2b+c＜0，则其中结论正确的个数是（　　） A．.2个 B．3个 C．4个 D．.5个 【典例2】（2024•松山区三模）在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，现给以下结论：①abc＜0；②c+2a＜0；③9a﹣3b+c＝0；④4ac﹣b2＜0．其中正确结论的个数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【典例3】（2023秋•城关区校级期末）如图为二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象，对称轴是直线x＝1，则下列说法：①b＞0；②2a+b＝0；③4a﹣2b+c＞0；④3a+c＞0；⑤m（ma+b）＜a+b（常数m≠1）．其中正确的个数为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【典例4】（2024•合江县二模）如图是二次函数y＝ax2+bx+c图象的一部分，与x轴的交点A在点（2，0）和（3，0）之间，对称轴是直线x＝1．对于下列说法：①abc＜0；②2a﹣b＝0；③4a﹣2b+c＜0；④b2＜4ac；⑤3b＜2c；⑥若两点（﹣2，y1）（3，y2）在二次函数图象上，则y1＞y2，其中正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 知识点5 二次函数的几何变换 1．二次函数图象的平移 平移规律：在原有函数的基础上“左加右减”，“上加下减”． 2．二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达． （1）关于x轴对称 关于x轴对称后，得到的解析式是． 关于x轴对称后，得到的解析式是． （2）关于轴对称 关于y轴对称后，得到的解析式是． 关于y轴对称后，得到的解析式是． （3）关于原点对称 关于原点对称后，得到的解析式是． 关于原点对称后，得到的解析式是． （4）关于顶点对称 关于顶点对称后，得到的解析式是． 关于顶点对称后，得到的解析式是 （5）关于点对称 关于点对称后，得到的解析式是 3．二次函数图象的翻折 函数的图象可以由函数通过关于x轴的翻折变换得到． 具体规则为函数图象在x轴上方的部分不变，在x轴下方的部分翻折到x轴上方． 【典例1】（2024•平房区三模）已知二次函数y＝x2向左平移h个单位，再向下平移k个单位，得到二次函数y＝（x+2）2﹣3；则h和k的值分别为（　　） A．﹣2，3 B．﹣2，﹣3 C．2，﹣3 D．2，3 【典例2】（2024春•登封市校级月考）将抛物线y＝﹣3x2平移，得到抛物线y＝﹣3（x﹣1）2﹣2，下列平移方式中，正确的是（　　） A．先向左平移1个单位，再向上平移2个单位 B．先向左平移1个单位，再向下平移2个单位 C．先向右平移1个单位，再向上平移2个单位 D．先向右平移1个单位，再向下平移2个单位 【典例3】（2024•榆次区一模）抛物线y＝x2﹣2x经过平移后的表达式为y＝（x﹣2）2+3，则平移的方式可以是（　　） A．先沿x轴向右平移1个单位长度，再沿y轴向上平移4个单位长度 B．先沿x轴向右平移1个单位长度，再沿y轴向下平移4个单位长度 C．先沿x轴向左平移1个单位长度，再沿y轴向上平移4个单位长度 D．先沿x轴向左平移1个单位长度，再沿y轴向下平移4个单位长度 【典例4】（2024•西安校级模拟）在平面直角坐标系中，若抛物线y＝x2+（n﹣2m）x+m﹣n与抛物线y＝x2+（4m﹣6）x+2m﹣3关于y轴对称，则符合条件的m，n的值为（　　） A．m，n B．m，n C．m＝0，n＝3 D．m＝3，n＝0 【典例5】（2024秋•金东区期末）将抛物线y＝x2﹣4x+3绕原点O顺时针旋转180°，则旋转后的函数表达式为（　　） A．y＝x2+4x﹣3 B．y＝﹣x2+4x+3 C．y＝﹣x2﹣4x﹣3 D．y＝﹣x2+4x﹣3 知识点6 二次函数与一元二次方程 （1）一般地,从二次函数y=a+bx+c(a≠0)的图象可知:如果抛物线y=a+bx+c(a≠0)与x轴有公共点,公共点的横坐标是,那么当x=,时,函数的值是0,因此x=是方程a+bx+c=0(a≠0)的一个根. （2）一元二次方程a+bx+c=0(a≠0)与二次函数y=a+bx+c(a≠0)二者之间的联系与区别，列表如下： 根的判别式 二次函数的图象 二次函数与x轴的交点坐标 一元二次方程根的情况 △＞0 抛物线与x轴交于，两点，且， 此时称抛物线与x轴相交 一元二次方程 有两个不相等的实数根 △＝0 抛物线与x轴交切于这一点，此时称抛物线与x轴相切 一元二次方程 有两个相等的实数根 △＜0 抛物线与x轴无交点，此时称抛物线与x轴相离 一元二次方程 在实数范围内无解（或称无实数根） 【典例1】（2023秋•剑阁县期末）如图，以（1，﹣4）为顶点的二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴负半轴交于A点，则一元二次方程ax2+bx+c＝0的正数解的范围是（　　） A．2＜x＜3 B．3＜x＜4 C．4＜x＜5 D．5＜x＜6 【典例2】（2023•曲江区校级三模）函数y＝ax2+2ax+m（a＜0）的图象过点（2，0），则使函数值y＜0成立的x的取值范围是（　　） A．x＜﹣4或x＞2 B．﹣4＜x＜2 C．x＜0或x＞2 D．0＜x＜2 【典例3】（2023秋•临沭县期末）如图，点A（2.18，﹣0.51），B（2.68，0.54），在二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象上，则方程ax2+bx+c＝0的一个近似值可能是（　　） A．2.18 B．2.68 C．﹣0.51 D．2.45 【典例4】已知二次函数y＝﹣x2+（m﹣2）x+m+1． （1）试说明：不论m取任何实数，这个二次函数的图象必与x轴有两个交点． （2）当m为何值时，这两个交点都在原点的左侧？ （3）当m为何值时，这个二次函数的图象的对称轴是y轴？ 知识点7 二次函数的实际应用 1．常见应用题类型按照考频从高到低可以分为： （1）经济利润类问题； （2）方案选择类问题； （3）行程问题； （4）数学建模类问题； （5）工程问题。 2．解应用题的关键在于审题，理解题意，尤其是一些条件范围的限制。然后再列出相应的方程、不等式、一次函数、二次函数关系式求解。其中二次函数求最值是最常见的考点，在求最值的过程中一定要注意自变量的取值范围。 【典例1】（2024•犍为县模拟）在“母亲节”期间，某校部分团员参加社会公益活动，准备购进一批许愿瓶进行销售，并将所得利润捐给慈善机构．根据市场调查，这种许愿瓶一段时间内的销售量y（个）与销售单价x（元/个）之间的对应关系如图所示： （1）试判断y与x之间的函数关系，并求出函数关系式； （2）若许愿瓶的进价为6元/个，按照上述市场调查的销售规律，求销售利润w（元）与销售单价x（元/个）之间的函数关系式； （3）在（2）的前提下，若许愿瓶的进货成本不超过900元，要想获得最大的利润，试确定这种许愿瓶的销售单价，并求出此时的最大利润． 【典例2】（2024•邹平市校级模拟）某游乐园有一个直径为16米的圆形喷水池，喷水池的周边有一圈喷水头，喷出的水柱为抛物线，在距水池中心3米处达到最高，高度为5米，且各方向喷出的水柱恰好在喷水池中心的装饰物处汇合．如图所示，以水平方向为x轴，喷水池中心为原点建立直角坐标系． （1）求水柱所在抛物线（第二象限部分）的函数表达式； （2）主师傅在喷水池内维修设备期间，喷水管意外喷水，为了不被淋湿，身高1.8米的王师傅站立时必须在离水池中心多少米以内？ （3）经检修评估，游乐园决定对喷水设施做如下设计改进：在喷出水柱的形状不变的前提下，把水池的直径扩大到24米，各方向喷出的水柱仍在喷水池中心保留的原装饰物（高度不变）处汇合，请探究扩建改造后喷水池水柱的最大高度． 【典例3】（2024•大庆模拟）某家禽养殖场，用总长为200m的围栏靠墙（墙长为65m）围成如图所示的三块矩形区域，矩形EAGH与矩形HGBF面积相等，矩形EAGH面积等于矩形DEFC面积的二分之一，设AD长为x m，矩形区域ABCD的面积为y m2． （1）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； （2）当x为何值时，y有最大值？最大值是多少？ （3）现需要在矩形EAGH和矩形DEFC区域分别安装不同种类的养殖设备，单价分别为40元/平方米和20元/平方米，若要使安装成本不超过30000元，请直接写出x的取值范围． 知识点8 反比例函数的定义、图象和性质 1、定义： 一般地，形如（k为常数，）的函数叫做反比例函数，其中k叫做比例系数． 反比例函数常见三种表示形式：（1）；（2）；（3）．其中k为常数，且． 2、解析式：一个点确定反比例函数过，则． 3、图象：双曲线 （1）当时，图象在一、三象限； （2）当时，图象在二、四象限． （3）越大，与坐标轴的距离越远． 4、性质： （1）对称性： ①对称中心：，反比例函数的图象关于原点对称． ②对称轴：（一、三象限的角平分线）或（二、四象限的角平分线）． （2）增减性： ①当时，在每个象限内，y随x的增大而减小； ②当时，在每个象限内，y随x的增大而增大． 注意：（1）图象是断开的两条曲线，画图象时，不要把两个分支连接起来． （2）叙述反比例函数的性质时，一定要加上“在每一个象限内”． （3）反比例函数与()的图象关于x轴对称，也关于y轴对称． 【典例1】（2023秋•永年区期末）如果函数y＝（m﹣1）x|m|﹣2是反比例函数，那么m的值是（　　） A．2 B．﹣1 C．1 D．0 【典例2】（2023秋•利津县月考）下列函数：①y＝x﹣2，②，③y＝x﹣1，④，⑤xy＝11，⑥，⑦，⑧．其中y是x的反比例函数的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【典例3】（2024•玉环市模拟）如图所示，满足函数y＝k（x﹣1）和y（k≠0）的大致图象是（　　） A．①② B．②③ C．②④ D．①④ 【典例4】（2024•汝南县一模）如图，双曲线y与直线y＝mx相交于A、B两点，B点坐标为（﹣2，﹣3），则A点坐标为（　　） A．（﹣2，﹣3） B．（2，3） C．（﹣2，3） D．（2，﹣3） 【典例5】（2023•汉南区校级模拟）在反比例函数y的图象上有三点（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3），若x1＞x2＞0＞x3，则下列各式中正确的是（　　） A．y3＞y1＞y2 B．y3＞y2＞y1 C．y1＞y2＞y3 D．y1＞y3＞y2 【典例6】（2024春•肥城市期末）若反比例函数的图象在第二、四象限，则a的值可以为（　　） A．﹣2 B．﹣3 C．﹣4 D．﹣5 【典例7】（2023•乾安县二模）已知y是x的反比例函数，并且当x＝﹣3时，y＝4． （1）求y关于x的函数解析式； （2）当x＝2时，求y的值． 【典例8】（2023秋•舒城县期末）已知y＝y1﹣y2，y1与x成正比例，y2与x+3成反比例，当x＝0时，y＝﹣2；当x＝3时，y＝2；求y与x的函数关系式，并指出自变量的取值范围． 知识点9 k的几何意义和常用的面积模型 反比例函数图象上的任意一点的横纵坐标之积等于比例系数k． ∵ ∴． 由图得， ， 又∵， ∴． 【典例1】（2023秋•邹平市期末）若图中的双曲线解析式均为，则阴影面积为12的是（　　） A． B． C． D． 【典例2】（2024•萨迦县一模）如图，点A是反比例函数y（x＜0）的图象上的一点，过点A作平行四边形ABCD，使点B、C在x轴上，点D在y轴上．已知平行四边形ABCD的面积为6，则k的值为（　　） A．6 B．﹣6 C．3 D．﹣3 【典例3】（2024•合江县二模）如图，已知函数y（k＜0）的图象经过直角三角形OAB的斜边OA的中点D，且与直角边AB相交于点C．若A的坐标为（﹣8，6），则△BOC的面积为（　　） A．20 B．6 C．16 D．12 【典例4】（2024•古浪县三模）如图，在以O为原点的直角坐标系中，矩形OABC的两边OC、OA分别在x轴、y轴的正半轴上，反比例函数y（x＞0）与AB相交于点D，与BC相交于点E，若BD＝3AD，且△ODE的面积是9，则k＝（　　） A． B． C． D．12 【典例5】（2024•金昌三模）双曲线C1：和C2：如图所示，设点P在C1上，PC⊥x轴于点C，交于C2点A，PD⊥y轴于点D，交C2于点B，则四边形PAOB的面积为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题1.1 二次函数与反比例函数全章知识典例详解 【沪科版】 知识点1 二次函数的定义 定义：一般地，形如（a，b，c是常数，）的函数，叫做二次函数．其中x是自变量，a，b，c分别是二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项． 注意：二次函数的二次项系数，而b、c可以为零． 【典例1】（2023秋•驻马店期末）下列函数：①y＝3；②y；③y＝x（3﹣5x）；④y＝（1+2x）（1﹣2x），是二次函数的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】利用二次函数定义进行分析即可． 【解答】解：①y＝3；③y＝x（3﹣5x）；④y＝（1+2x）（1﹣2x），是二次函数，共3个， 故选：C． 【典例2】（2023秋•太康县期末）如果函数是二次函数，那么m的值是 　 　． 【分析】根据二次函数的定义求出m的值即可． 【解答】解：∵函数是二次函数， ∴m+1≠0，m2﹣2m﹣1＝2， 解得m＝3． 故答案为：3． 【典例3】（2023秋•江津区校级月考）若y＝（a+1）x|a﹣1|+5x﹣3是关于x二次函数，则a＝　 　． 【分析】根据二次函数的定义：形如y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数且a≠0），可得|a+3|＝2且a+1≠0，然后进行计算即可解答． 【解答】解：由题意得： |a﹣1|＝2且a+1≠0， 解得a＝3． 故答案为：3． 知识点2 二次函数的图象和性质 1．二次函数)的性质： （1）函数的图象与a的符号关系． ①当时抛物线开口向上顶点为其最低点； ②当时抛物线开口向下顶点为其最高点； ③决定抛物线的开口大小：越大，抛物线开口越小；越小，抛物线开口越大． （2）抛物线的顶点是坐标原点(0, 0)，对称轴是（y轴）． a的 符号 开口 方向 顶点 坐标 对称轴 增减性 向上 (0, 0) y轴 时，y随x的增大而增大；时，y随x的增大而减小；时，y有最小值0． 向下 (0, 0) y轴 时，y随x的增大而减小；时，y随x的增大而增大；时，y有最大值0． 2．二次函数)的性质： a的 符号 开口 方向 顶点 坐标 对称轴 增减性 向上 (0, c) y轴 时，y随x的增大而增大；时，y随x的增大而减小；时，y有最小值c． 向下 (0, c) y轴 时，y随x的增大而减小；时，y随x的增大而增大；时，y有最大值c． 3．二次函数)的性质： a的 符号 开口 方向 顶点 坐标 对称轴 增减性 向上 （h，k） x=h 时，y随x的增大而增大；时，y随x的增大而减小；时，y有最小值k． 向下 （h，k） x=h 时，y随x的增大而减小；时，y随x的增大而增大；时，y有最大值k． 4．二次函数)的性质： 配方：二次函数 a的 符号 开口 方向 顶点坐标 对称轴 增减性 向上 （，） 时，y随x的增大而增大； 时，y随x的增大而减小； 时，y有最小值． 向下 （，） 时，y随x的增大而减小； 时，y随x的增大而增大； 时，y有最大值． 注意：二次函数与坐标轴的交点： （1）与y轴的交点：； （2）与x轴的交点：使方程成立的x值． 【典例1】（2024春•肇东市校级月考）已知二次函数，则（　　） A．函数图象的对称轴为直线x＝3 B．函数的最大值为2 C．当x≤﹣3时，y随x的增大而增大 D．函数图象与y轴的交点坐标为（0，﹣2） 【分析】依照二次函数的性质对比四个选项即可得出结论． 【解答】解：由可知，抛物线的对称轴为直线x＝﹣3，故A错误； 函数的最大值为﹣2，故B错误； 因为，则抛物线开口向下所以当x≤﹣3时，y随x的增大而增大，故C正确； 令x＝0，则，所以函数图象与y轴的交点坐标为，故D错误． 故选：C． 【典例2】（2024•陕西）已知一个二次函数y＝ax2+bx+c的自变量x与函数y的几组对应值如下表： x … ﹣4 ﹣2 0 3 5 … y … ﹣24 ﹣8 0 ﹣3 ﹣15 … 则下列关于这个二次函数的结论正确的是（　　） A．图象的开口向上 B．当x＞0时，y的值随x值的增大而减小 C．图象经过第二、三、四象限 D．图象的对称轴是直线x＝1 【分析】根据表格中所给数据，可求出抛物线的解析式，再对所给选项依次进行判断即可解决问题． 【解答】解：由题知， ， 解得， 所以二次函数的解析式为y＝﹣x2+2x． 因为a＝﹣1＜0， 所以抛物线的开口向下． 故A选项不符合题意． 因为y＝﹣x2+2x＝﹣（x﹣1）2+1， 所以当x＞1时，y随x的增大而减小． 故B选项不符合题意． 令y＝0得， ﹣x2+2x＝0， 解得x1＝0，x2＝2， 所以抛物线与x轴的交点坐标为（0，0）和（2，0）． 又因为抛物线的顶点坐标为（1，1）， 所以抛物线经过第一、三、四象限． 故C选项不符合题意． 因为二次函数解析式为y＝﹣（x﹣1）2+1， 所以抛物线的对称轴为直线x＝1． 故D选项符合题意． 故选：D． 【典例3】（2024•碑林区校级模拟）关于x的二次函数y＝mx2﹣6mx+9m﹣2（m≠0）的图象，下列说法不正确的是（　　） A．对称轴为直线x＝3 B．当m＝5时，图象上的最低点为（3，﹣2） C．当x＞3时，y的值随x值的增大而增大 D．顶点一定在函数y的图象上 【分析】根据二次函数，反比例函数的图形与性质逐项分析解答即可． 【解答】解：A、抛物线对称轴为直线x3，故原说法正确，不符合题意； B、当m＝5时，抛物线解析式为y＝5x2﹣30x+43，顶点的坐标（3，﹣2），故原说法正确，不符合题意； C、当x＞3时，开口方向不确定，y的增减性也不确定，故原说法错误，符合题意； D、y＝mx2﹣6mx+9m﹣2图象的顶点为（3，﹣2），故顶点一定在函数y的图象上，故原说法正确，不符合题意． 故选：C． 【典例4】（2024•管城区校级三模）已知点A（﹣1，y1），B（2，y2），C（5，y3）都在二次函数y＝﹣2（x﹣3）2+a的图象上，则y1，y2，y3的大小关系为（　　） A．y1＞y2＞y3 B．y2＞y1＞y3 C．y2＞y3＞y1 D．y3＞y2＞y1 【分析】由题意可知，二次函数y＝﹣2（x﹣3）2+a的图象的对称轴为直线x＝3，开口方向向下，再根据离着对称轴越远的点的纵坐标越小即可得出答案． 【解答】解：由题意可知， 二次函数y＝﹣2（x﹣3）2+a的图象的对称轴为直线x＝3，开口方向向下， 则离着对称轴越远的点的纵坐标越小， 点A离着对称轴最远，点B离着对称轴最近， 所以y2＞y3＞y1． 故选：C． 【典例5】（2024•姜堰区二模）二次函数y＝a（x﹣h）2+k（a≠0，h，k为常数）图象开口向下，当x＝1时，y＝1；当x＝6时，y＝6．则h的值可能为（　　） A．2 B．3 C． D． 【分析】根据图象开口向下，得出a＜0，再将x＝1，y＝1；x＝6，y＝6代入函数解析式，得出可能的h的值． 【解答】解：∵图象开口向下， ∴a＜0， 将x＝1，y＝1；x＝6，y＝6代入， 得：， ∴5＝a（6﹣h）2﹣a（1﹣h）2 a[（6﹣h）2﹣（1﹣h）2]＝5 a[（6﹣h+1﹣h）（6﹣h﹣1+h）]＝5 a（7﹣2h）•5＝5 a ∵a＜0， ∴7﹣2h＜0， ∴h＞3.5， ∴h可能的值为， 故答案为：D． 【典例6】（2024•阜阳二模）若抛物线y＝x2﹣2mx+m2+2m+1（m是常数）的顶点到x轴的距离为2，则m的值为（　　） A． B． C．或 D．或 【分析】把二次函数解析式化为顶点式，再根据顶点到x轴的距离为2，得出顶点纵坐标的绝对值＝2，解方程求出m的值即可． 【解答】解：y＝x2﹣2mx+m2+2m+1＝（x﹣m）2+2m+1， ∴抛物线y＝x2﹣2mx+m2+2m+1（m是常数）的顶点坐标为（m，2m+1）， ∵顶点到x轴的距离为2， ∴|2m+1|＝2， 即2m+1＝2或2m+1＝﹣2， 解得m或， 故选：D． 知识点3 二次函数的解析式 1．一般式： 已知图象上三点、、，可用一般式求解二次函数解析式． 2．顶点式： 已知抛物线的顶点或对称轴，可用顶点式求解二次函数解析式． 3．交点式： 已知抛物线与轴的两个交点坐标，可用交点式求解二次函数解析式． 4．对称式： 已知抛物线经过点、时，可以用对称式来求二次函数的解析式． 注意： （1）二次函数的解析式求解，最后结果一般写成一般式或顶点式，不写成交点式； （2）任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x轴有交点，即时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化． 【典例1】（2024秋•西城区校级期中）如果二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点（﹣1，0），（3，0），（0，﹣6），求二次函数表达式． 【分析】设交点式y＝a（x﹣3）（x+1），然后把（0，﹣6）代入求出a即可． 【解答】解：设抛物线的解析式为y＝a（x﹣3）（x+1） 把（0，﹣6）代入得﹣3a＝﹣6，解得a＝2， 所以此函数的解析式为y＝2（x﹣3）（x+1）， 即y＝2x2﹣4x﹣6． 【典例2】（2024秋•庐阳区校级月考）已知二次函数的图象以A（3，3）为顶点，且过点B（2，0），求该函数的关系式． 【分析】已知抛物线的顶点坐标，设顶点式，将点B（2，0）代入求a，确定函数关系式． 【解答】解：由A（3，3）为抛物线顶点，设抛物线解析式为y＝a（x﹣3）2+3， 将点B（2，0）代入，得a+3＝0，解得a＝﹣3， ∴该函数的关系式为y＝﹣3（x﹣3）2+3． 【典例3】（2024秋•长宁区校级期中）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点A（1，5），B（﹣1，9），C（0，8）．求这个二次函数的解析式，开口方向，对称轴和顶点坐标． 【分析】设二次函数解析式为y＝ax2+bx+c，然后利用待定系数法列式求出a、b、c的值，然后整理求出抛物线对称轴解析式顶点坐标． 【解答】解：设二次函数解析式为y＝ax2+bx+c， 根据题意得，， 解得， ∴二次函数解析式为y＝﹣x2﹣2x+8， ∵y＝﹣x2﹣2x+8＝﹣（x+1）2+9 ∴抛物线开口向下，对称轴为x＝﹣1，顶点坐标为（﹣1，9）． 【典例4】（2024秋•通州区期中）已知函数y＝x2+bx+c在x＝0和x＝4时的函数值相等，且函数的最小值为﹣2，求函数的表达式． 【分析】根据题意求得对称轴，即可得到顶点坐标，求得顶点式，然后化成一般式即可． 【解答】解：∵函数y＝ax2+bx+c在x＝0和x＝4时的函数值相等，且函数的最小值为﹣2， ∴对称轴为直线x2， ∴顶点为（2，﹣2）， ∴函数为y＝（x﹣2）2﹣2，即y＝x2﹣4x+2． 【典例5】根据下列条件，求二次函数的解析式 （1）图象经过点（﹣1，3），（1，3），（2，6）； （2）抛物线顶点坐标为（﹣1，9），并且与y轴交于（0，﹣8）； （3）抛物线的对称轴是直线x＝1，与x轴的一个交点为（﹣2，0），与y轴交于点（0，12）； （4）图象顶点坐标是（2，﹣5），且过原点； （5）图象与x轴的交点坐标是（﹣1，0），（﹣3，0）且函数有最小值﹣5； （6）当x＝2时，函数的最大值是1，且图象与x轴两个交点之间的距离为2． 【分析】（1）设y＝ax2+bx+c；（2）、（4）设y＝a（x+1）2+9；（3）、（5）、（6）设y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）．然后把已知点的坐标代入解方程，求出未知系数，最后确定解析式． 【解答】解：（1）设抛物线的解析式为y＝ax2+bx+c， 把（﹣1，3），（1，3），（2，6）代入解析式得， 3＝a﹣b+c①， 3＝a+b+c②， 6＝4a+2b+c③， 解由①②③组成的方程组得，a＝1，b＝0，c＝2． 所以二次函数的解析式为y＝x2+2． （2）设y＝a（x+1）2+9， 把（0，﹣8）代入解析式得，a＝﹣17， ∴y＝﹣17（x+1）2+9＝﹣17x2﹣34x﹣8， 所以二次函数的解析式为y＝﹣17x2﹣34x﹣8． （3）∵对称轴是直线x＝1，与x轴的一个交点为（﹣2，0）， ∴与x轴的另一个交点为（4，0）， 设y＝a（x+2）（x﹣4）， 把（0，12）代入解析式得，a， ∴y（x+2）（x﹣4）x2+3x+12， 所以二次函数的解析式为yx2+3x+12． （4）设y＝a（x﹣2）2﹣5， 把（0，0）代入解析式得，a， ∴y（x﹣2）2﹣5x2﹣5x， 所以二次函数的解析式为yx2﹣5x． （5）设y＝a（x+1）（x+3）， 根据题意可得对称轴为直线x＝﹣2，又函数有最小值﹣5， ∴顶点坐标为（﹣2，﹣5），代入解析式得，a＝5． ∴y＝5（x+1）（x+3）＝5x2+20x+15， 所以二次函数的解析式为y＝5x2+20x+15． （6）∵当x＝2时，函数的最大值是1，即顶点坐标为（2，1）， ∴抛物线的对称轴为直线x＝2，而图象与x轴两个交点之间的距离为2，则交点坐标分别为（1，0），（3，0）， 设y＝a（x﹣1）（x﹣3）， 把（2，1）代入解析式得，a＝﹣1， ∴y＝﹣（x﹣1）（x﹣3）＝﹣x2+4x﹣3， 所以二次函数的解析式为y＝﹣x2+4x﹣3． 【典例6】已知二次函数y＝ax2﹣（b﹣1）x﹣3a的图象经过点（4，10），交x轴于A（x1，0），B（x2，0）两点．（x1＜x2），且3OA＝OB，求二次函数的解析式． 【分析】利用根系数的关系求出x1，从而得到点A的坐标，再利用待定系数法求二次函数解析式解答． 【解答】解：∵令y＝0，则ax2﹣（b﹣1）x﹣3a＝0， ∴x1•x23， ∵x1＜x2，30A＝OB， ∴x1＝﹣1， ∴点A（﹣1，0）， ∵函数图象经过点（4，10），（﹣1，0）， ∴， 解得． 所以二次函数的解析式y＝2x2﹣4x﹣6． 知识点4 二次函数的图象判断 1．二次函数图象与系数的关系 （1）a决定抛物线的开口方向 当时，抛物线开口向上；当时，抛物线开口向下．反之亦然． （2）b和a共同决定抛物线对称轴的位置：“左同右异” 当时，抛物线的对称轴为y轴；当a、b同号时，对称轴在y轴的左侧；当a、b异号时，对称轴在y轴的右侧． （3）的大小决定抛物线与y轴交点的位置 当时，抛物线与y轴的交点为原点；当时，交点在y轴的正半轴；当时，交点在y轴的负半轴． 2．二次函数的图象信息 （1）根据抛物线的开口方向判断a的正负性． （2）根据抛物线的对称轴判断b的正负性． （3）根据抛物线与y轴的交点，判断c的正负性． （4）根据抛物线与x轴有无交点，判断的正负性． （5）根据抛物线的对称轴可得与的大小关系，可得的正负性． （6）根据抛物线所经过的已知坐标的点，可得到关于a，b，c的等式． （7）根据抛物线的顶点，判断的大小． 【典例1】（2024秋•建水县期末）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象如图所示，现有下列结论：①b2﹣4ac＞0；②a＞0；③b＞0；④c＞0；⑤4a+2b+c＜0，则其中结论正确的个数是（　　） A．.2个 B．3个 C．4个 D．.5个 【分析】根据抛物线与x轴有两个交点可对①进行判断； 根据抛物线开口方向得a＜0，再根据对称轴得b＞0，根据抛物线与y轴的交点在x轴上方得c＞0，所以可对②③④进行判断； 根据抛物线的对称轴为直线x＝1，则b＝﹣2a，抛物线与x轴正半轴另一交点坐标大于2，所以当x＝2时，y＞0，即4a+2b+c＞0，于是可对⑤进行判断． 【解答】解：∵抛物线与x轴有两个交点， ∴所以①正确； ∵抛物线开口相下， ∴a＜0，所以②错误； ∵抛物线对称轴为直线x0， ∴b＞0，所以③正确； ∵抛物线与y轴的交点在x轴上方， ∴c＞0，所以④正确； ∵对称轴为直线x＝1， ∴抛物线与x轴正半轴的交点坐标大于2， ∴当x＝2时，y＞0，即4a+2b+c＞0，所以⑤错误． 所以正确的有①③④共3个． 故选：B． 【典例2】（2024•松山区三模）在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，现给以下结论：①abc＜0；②c+2a＜0；③9a﹣3b+c＝0；④4ac﹣b2＜0．其中正确结论的个数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】利用对称轴的范围求2a与b的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用．由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断． 【解答】解：①由抛物线可知：a＞0，c＜0，0， ∴b＞0， ∴abc＜0，故①正确； ②由对称轴可知：1， ∴b＝2a， ∵x＝1时，y＝a+b+c＝0， ∴c+3a＝0， ∴c+2a＝﹣3a+2a＝﹣a＜0，故②正确； ③（1，0）关于x＝﹣1的对称点为（﹣3，0）， ∴x＝﹣3时，y＝9a﹣3b+c＝0，故③正确； ④抛物线与x轴有两个交点， ∴Δ＞0， 即b2﹣4ac＞0， ∴4ac﹣b2＜0，故④正确； 故选：D． 【典例3】（2023秋•城关区校级期末）如图为二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象，对称轴是直线x＝1，则下列说法：①b＞0；②2a+b＝0；③4a﹣2b+c＞0；④3a+c＞0；⑤m（ma+b）＜a+b（常数m≠1）．其中正确的个数为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴x＝1计算2a+b与0的关系；再由根的判别式与根的关系，进而对所得结论进行判断． 【解答】解：①由抛物线的开口向下知a＜0，对称轴为直线x0，则b＞0，故本选项正确； ②由对称轴为直线x＝1， ∴1，∴b＝﹣2a，则2a+b＝0，故本选项正确； ③由图象可知，当x＝﹣2时，y＜0，则4a﹣2b+c＜0，故本选项错误； ④从图象知，当x＝﹣1时，y＝0，则a﹣b+c＝0， ∵b＝﹣2a， ∴a+2a+c＝0，即3a+c＝0，故本选项错误； ⑤∵对称轴为直线x＝1， ∴当x＝1时，抛物线有最大值， ∴a+b+c＞m2a+mb+c， ∴m（ma+b）＜a+b（常数m≠1），故本选项正确； 故选：B． 【典例4】（2024•合江县二模）如图是二次函数y＝ax2+bx+c图象的一部分，与x轴的交点A在点（2，0）和（3，0）之间，对称轴是直线x＝1．对于下列说法：①abc＜0；②2a﹣b＝0；③4a﹣2b+c＜0；④b2＜4ac；⑤3b＜2c；⑥若两点（﹣2，y1）（3，y2）在二次函数图象上，则y1＞y2，其中正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】根据二次函数的图象与性质即可求出答案． 【解答】解：①由二次函数的图象可知：a＜0，c＞0， 由对称轴可知：x0， ∴b＞0， ∴abc＜0，故①正确； ②由对称轴可知：1， ∴2a+b＝0，故②错误； ③由图象可知，x＝3时，y＜0， 而（3，0）关于直线x＝1的对称点为（﹣1，0）， 当x≤1时，随x的增大而增大， ∴当x＝﹣2时，y＜0， ∴4a﹣2b+c＜0，故③正确； ④由图象可知抛物线与x轴有两个交点， 故Δ＝b2﹣4ac＞0， ∴b2＞4ac，故④错误； ⑤∵1， ∴a， ∵（3，0）关于直线x＝1的对称点为（﹣1，0），且x＝3时，y＜0， ∴x＝﹣1时，y＜0， ∴a﹣b+c＜0， ∴， ∴3b＞2c，故⑤错误； ⑥∵抛物线开口向下，且点（﹣2，y1）到直线x＝1的距离大于点（3，y2）到直线x＝1的距离， ∴y1＜y2，故⑥错误； 故选：B． 知识点5 二次函数的几何变换 1．二次函数图象的平移 平移规律：在原有函数的基础上“左加右减”，“上加下减”． 2．二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达． （1）关于x轴对称 关于x轴对称后，得到的解析式是． 关于x轴对称后，得到的解析式是． （2）关于轴对称 关于y轴对称后，得到的解析式是． 关于y轴对称后，得到的解析式是． （3）关于原点对称 关于原点对称后，得到的解析式是． 关于原点对称后，得到的解析式是． （4）关于顶点对称 关于顶点对称后，得到的解析式是． 关于顶点对称后，得到的解析式是 （5）关于点对称 关于点对称后，得到的解析式是 3．二次函数图象的翻折 函数的图象可以由函数通过关于x轴的翻折变换得到． 具体规则为函数图象在x轴上方的部分不变，在x轴下方的部分翻折到x轴上方． 【典例1】（2024•平房区三模）已知二次函数y＝x2向左平移h个单位，再向下平移k个单位，得到二次函数y＝（x+2）2﹣3；则h和k的值分别为（　　） A．﹣2，3 B．﹣2，﹣3 C．2，﹣3 D．2，3 【分析】根据“左加右减，上加下减”的规律进行解答即可． 【解答】解：二次函数y＝x2向左平移h个单位，再向下平移k个单位，得到的函数解析式为y＝（x+h）2﹣k． 又∵平移后抛物线的解析式为y＝（x+2）2﹣3， ∴h＝2，k＝3， 故选：D． 【典例2】（2024春•登封市校级月考）将抛物线y＝﹣3x2平移，得到抛物线y＝﹣3（x﹣1）2﹣2，下列平移方式中，正确的是（　　） A．先向左平移1个单位，再向上平移2个单位 B．先向左平移1个单位，再向下平移2个单位 C．先向右平移1个单位，再向上平移2个单位 D．先向右平移1个单位，再向下平移2个单位 【分析】找到两个抛物线的顶点，根据抛物线的顶点即可判断是如何平移得到． 【解答】解：∵y＝﹣3x2的顶点坐标为（0，0），y＝﹣3（x﹣1）2﹣2的顶点坐标为（1，﹣2）， ∴将抛物线y＝﹣3x2向右平移1个单位，再向下平移2个单位，可得到抛物线y＝﹣3（x﹣1）2﹣2． 故选：D． 【典例3】（2024•榆次区一模）抛物线y＝x2﹣2x经过平移后的表达式为y＝（x﹣2）2+3，则平移的方式可以是（　　） A．先沿x轴向右平移1个单位长度，再沿y轴向上平移4个单位长度 B．先沿x轴向右平移1个单位长度，再沿y轴向下平移4个单位长度 C．先沿x轴向左平移1个单位长度，再沿y轴向上平移4个单位长度 D．先沿x轴向左平移1个单位长度，再沿y轴向下平移4个单位长度 【分析】根据平移前后的抛物线的顶点坐标确定平移方法即可得解． 【解答】解：∵抛物线y＝x2﹣2x＝（x﹣1）2﹣1的顶点坐标为（1，﹣1），抛物线y＝（x﹣2）2+3的顶点坐标为（2，3）， ∴顶点由（1，﹣1）到（2，3）需要先沿x轴向右平移1个单位长度，再沿y轴向上平移4个单位长度． 故选：A． 【典例4】（2024•西安校级模拟）在平面直角坐标系中，若抛物线y＝x2+（n﹣2m）x+m﹣n与抛物线y＝x2+（4m﹣6）x+2m﹣3关于y轴对称，则符合条件的m，n的值为（　　） A．m，n B．m，n C．m＝0，n＝3 D．m＝3，n＝0 【分析】根据关于y轴对称，a，c不变，b变为相反数列出方程组，解方程组即可求得． 【解答】解：∵抛物线y＝x2+（n﹣2m）x+m﹣n与抛物线y＝x2+（4m﹣6）x+2m﹣3关于y轴对称， ∴， 解得， 故选：D． 【典例5】（2024秋•金东区期末）将抛物线y＝x2﹣4x+3绕原点O顺时针旋转180°，则旋转后的函数表达式为（　　） A．y＝x2+4x﹣3 B．y＝﹣x2+4x+3 C．y＝﹣x2﹣4x﹣3 D．y＝﹣x2+4x﹣3 【分析】根据关于原点对称的两点的横坐标纵坐标都互为相反数求则可． 【解答】解：旋转后的函数表达式为：﹣y＝（﹣x）2+4x+3，化简为y＝﹣x2﹣4x﹣3． 故选：C． 知识点6 二次函数与一元二次方程 （1）一般地,从二次函数y=a+bx+c(a≠0)的图象可知:如果抛物线y=a+bx+c(a≠0)与x轴有公共点,公共点的横坐标是,那么当x=,时,函数的值是0,因此x=是方程a+bx+c=0(a≠0)的一个根. （2）一元二次方程a+bx+c=0(a≠0)与二次函数y=a+bx+c(a≠0)二者之间的联系与区别，列表如下： 根的判别式 二次函数的图象 二次函数与x轴的交点坐标 一元二次方程根的情况 △＞0 抛物线与x轴交于，两点，且， 此时称抛物线与x轴相交 一元二次方程 有两个不相等的实数根 △＝0 抛物线与x轴交切于这一点，此时称抛物线与x轴相切 一元二次方程 有两个相等的实数根 △＜0 抛物线与x轴无交点，此时称抛物线与x轴相离 一元二次方程 在实数范围内无解（或称无实数根） 【典例1】（2023秋•剑阁县期末）如图，以（1，﹣4）为顶点的二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴负半轴交于A点，则一元二次方程ax2+bx+c＝0的正数解的范围是（　　） A．2＜x＜3 B．3＜x＜4 C．4＜x＜5 D．5＜x＜6 【分析】先根据图象得出对称轴左侧图象与x轴交点横坐标的取值范围，再利用对称轴x＝1，可以算出右侧交点横坐标的取值范围． 【解答】解：∵二次函数y＝ax2+bx+c的顶点为（1，﹣4）， ∴对称轴为x＝1， 而对称轴左侧图象与x轴交点横坐标的取值范围是﹣3＜x＜﹣2， ∴右侧交点横坐标的取值范围是4＜x＜5． 故选：C． 【典例2】（2023•曲江区校级三模）函数y＝ax2+2ax+m（a＜0）的图象过点（2，0），则使函数值y＜0成立的x的取值范围是（　　） A．x＜﹣4或x＞2 B．﹣4＜x＜2 C．x＜0或x＞2 D．0＜x＜2 【分析】首先求出抛物线的对称轴方程，进而利用抛物线的对称性得到抛物线与x轴的另一个交点坐标为（﹣4，0），然后利用函数图象写出抛物线在x轴下方所对应的自变量的范围即可． 【解答】解：抛物线y＝ax2+2ax+m的对称轴为直线： x ＝﹣1． 抛物线与x轴的一个交点坐标为：（2，0）， 由二次函数图象性质可知，x轴的另一个交点与（2，0）关于x＝﹣1对称， 所以另外一个交点的坐标为：（﹣4，0）， ∵a＜0， ∴抛物线开口向下， ∴当x＜﹣4或x＞2时，y＜0． 故选：A． 【典例3】（2023秋•临沭县期末）如图，点A（2.18，﹣0.51），B（2.68，0.54），在二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象上，则方程ax2+bx+c＝0的一个近似值可能是（　　） A．2.18 B．2.68 C．﹣0.51 D．2.45 【分析】根据自变量两个取值所对应的函数值是﹣0.51和0.54，可得当函数值为0时，x的取值应在所给的自变量两个值之间． 【解答】解：∵图象上有两点分别为A（2.18，﹣0.51）、B（2.68，0.54）， ∴当x＝2.18时，y＝﹣0.51；x＝2.68时，y＝0.54， ∴当y＝0时，2.18＜x＜2.68， 只有选项D符合， 故选：D． 【典例4】已知二次函数y＝﹣x2+（m﹣2）x+m+1． （1）试说明：不论m取任何实数，这个二次函数的图象必与x轴有两个交点． （2）当m为何值时，这两个交点都在原点的左侧？ （3）当m为何值时，这个二次函数的图象的对称轴是y轴？ 【分析】（1）先计算方程﹣x2+（m﹣2）x+m+1＝0的判别式得到△＝m2+8，根据非负数的性质有Δ＞0，然后根据抛物线与x轴的交点问题即可得到结论； （2）设二次函数的图象与x轴有两个交点坐标为（x1，0），（x2，0），根据抛物线与x轴的交点问题得到x1和x2为关于x的方程﹣x2+（m﹣2）x+m+1＝0的两不等实数根，且x1＜0，x2＜0，然后利用根与系数的关系得到x1+x2＝m﹣2＜0，x1•x2＝﹣（m+1）＞0，再求出两个不等式的公共部分即可； （3）根据二次函数的性质得到0，然后解方程即可． 【解答】（1）证明：△＝（m﹣2）2﹣4×（﹣1）×（m+1） ＝m2+8， ∵m2≥0， ∴m2+8＞0，即Δ＞0， ∴不论m取任何实数，这个二次函数的图象必与x轴有两个交点； （2）解：设二次函数的图象与x轴有两个交点坐标为（x1，0），（x2，0），则x1和x2为关于x的方程﹣x2+（m﹣2）x+m+1＝0的两不等实数根，且x1＜0，x2＜0， ∴x1+x2＝m﹣2＜0，x1•x2＝﹣（m+1）＞0， ∴m＜﹣1； 即m＜﹣1时，这两个交点都在原点的左侧； （3）根据题意得x0， 解得m＝2， 即m＝2时，这个二次函数的图象的对称轴是y轴． 知识点7 二次函数的实际应用 1．常见应用题类型按照考频从高到低可以分为： （1）经济利润类问题； （2）方案选择类问题； （3）行程问题； （4）数学建模类问题； （5）工程问题。 2．解应用题的关键在于审题，理解题意，尤其是一些条件范围的限制。然后再列出相应的方程、不等式、一次函数、二次函数关系式求解。其中二次函数求最值是最常见的考点，在求最值的过程中一定要注意自变量的取值范围。 【典例1】（2024•犍为县模拟）在“母亲节”期间，某校部分团员参加社会公益活动，准备购进一批许愿瓶进行销售，并将所得利润捐给慈善机构．根据市场调查，这种许愿瓶一段时间内的销售量y（个）与销售单价x（元/个）之间的对应关系如图所示： （1）试判断y与x之间的函数关系，并求出函数关系式； （2）若许愿瓶的进价为6元/个，按照上述市场调查的销售规律，求销售利润w（元）与销售单价x（元/个）之间的函数关系式； （3）在（2）的前提下，若许愿瓶的进货成本不超过900元，要想获得最大的利润，试确定这种许愿瓶的销售单价，并求出此时的最大利润． 【分析】（1）观察可得该函数图象是一次函数，设出一次函数解析式，把其中两点代入即可求得该函数解析式，进而把其余两点的横坐标代入看纵坐标是否与点的纵坐标相同； （2）销售利润＝每个许愿瓶的利润×销售量； （3）根据进货成本可得自变量的取值，结合二次函数的关系式即可求得相应的最大利润． 【解答】解：（1）y是x的一次函数，设y＝kx+b图象过点（10，300），（12，240）， ， 解得． 故y与x 之间的函数关系为：y＝﹣30x+600， 当x＝14时，y＝180；当x＝16时，y＝120， 即点（14，180），（16，120）均在函数y＝﹣30x+600的图象上． ∴y与x之间的函数关系式为y＝﹣30x+600； （2）w＝（x﹣6）（﹣30x+600）＝﹣30x2+780x﹣3600 即w与x之间的函数关系式为w＝﹣30x2+780x﹣3600； （3）由题意得6（﹣30x+600）≤900，解得x≥15． w＝﹣30x2+780x﹣3600图象对称轴为x13， ∵a＝﹣30＜0， ∴抛物线开口向下，当x≥15时，w随x增大而减小， ∴当x＝15时，w最大＝1350． 即以15元/个的价格销售这批许愿瓶可获得最大利润1350元． 【典例2】（2024•邹平市校级模拟）某游乐园有一个直径为16米的圆形喷水池，喷水池的周边有一圈喷水头，喷出的水柱为抛物线，在距水池中心3米处达到最高，高度为5米，且各方向喷出的水柱恰好在喷水池中心的装饰物处汇合．如图所示，以水平方向为x轴，喷水池中心为原点建立直角坐标系． （1）求水柱所在抛物线（第二象限部分）的函数表达式； （2）主师傅在喷水池内维修设备期间，喷水管意外喷水，为了不被淋湿，身高1.8米的王师傅站立时必须在离水池中心多少米以内？ （3）经检修评估，游乐园决定对喷水设施做如下设计改进：在喷出水柱的形状不变的前提下，把水池的直径扩大到24米，各方向喷出的水柱仍在喷水池中心保留的原装饰物（高度不变）处汇合，请探究扩建改造后喷水池水柱的最大高度． 【分析】（1）根据顶点坐标可设二次函数的顶点式，代入点（﹣8，0），求出a值，此题得解； （2）利用二次函数图象上点的坐标特征，求出当y＝1.8时x的值，由此即可得出结论； （3）利用二次函数图象上点的坐标特征可求出抛物线与y轴的交点坐标，由抛物线的形状不变可设改造后水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式为yx2+bx，代入点（12，0）可求出b值，再利用配方法将二次函数表达式变形为顶点式，即可得出结论． 【解答】解：（1）∵关于y轴对称， ∴第二象限抛物线的顶点坐标为（﹣3，5）， 设水柱所在抛物线（第二象限部分）的函数表达式为y＝a（x+3）2+5（a≠0）， 将（﹣8，0）代入y＝a（x+3）2+5，得：25a+5＝0， 解得：a， ∴水柱所在抛物线（第二象限部分）的函数表达式为y（x+3）2+5（﹣8＜x＜0）； （2）当y＝1.8时，有（x+3）2+5＝1.8， 解得：x1＝﹣7，x2＝1， ∴为了不被淋湿，身高1.8米的王师傅站立时必须在离水池中心7米以内； （3）当x＝0时，y（x+3）2+5， 设改造后水柱所在抛物线（第二象限部分）的函数表达式为yx2+bx， ∵该函数图象过点（﹣12，0）， ∴0（﹣12）2+（﹣12）b， 解得：b， ∴改造后水柱所在抛物线（第二象限部分）的函数表达式为yx2x（x）2， ∴扩建改造后喷水池水柱的最大高度为 米． 【典例3】（2024•大庆模拟）某家禽养殖场，用总长为200m的围栏靠墙（墙长为65m）围成如图所示的三块矩形区域，矩形EAGH与矩形HGBF面积相等，矩形EAGH面积等于矩形DEFC面积的二分之一，设AD长为x m，矩形区域ABCD的面积为y m2． （1）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； （2）当x为何值时，y有最大值？最大值是多少？ （3）现需要在矩形EAGH和矩形DEFC区域分别安装不同种类的养殖设备，单价分别为40元/平方米和20元/平方米，若要使安装成本不超过30000元，请直接写出x的取值范围． 【分析】（1）根据题意表示出矩形的长与宽，进而得出答案； （2）把二次函数关系式化为顶点式，根据二次函数的性质即可得到结论； （3）设安装成本为w元，则w＝﹣25x2+2000x，再根据二次函数的性质结合（1）中x的最值范围可得答案． 【解答】解：（1）由题意得，AE＝HGADx m， DC＝AB（200x）＝（100x）m， 故y＝x（100x）x2+100x， 自变量x的取值范围为：28≤x＜80； （2）由题意可得： ∵yx2+100x（ x2﹣80x）（ x﹣40）2+2000， 又∵28≤x＜80， ∴当x＝40时，y有最大值，最大值为2000平方米； （3）由题意得，S矩形EAGH＝AG•AE（100x）xx2+25x，S矩形DEFC＝DC•DE＝（100x）•xx2+50x， 设安装成本为w元，则w＝40（x2+25x）+20（x2+50x）＝﹣25x2+2000x， 令w＝30000，则﹣25x2+2000x＝30000， 解得x＝60或20， ∵28≤x＜80， ∴60≤x＜80时，安装成本不超过30000元． 知识点8 反比例函数的定义、图象和性质 1、定义： 一般地，形如（k为常数，）的函数叫做反比例函数，其中k叫做比例系数． 反比例函数常见三种表示形式：（1）；（2）；（3）．其中k为常数，且． 2、解析式：一个点确定反比例函数过，则． 3、图象：双曲线 （1）当时，图象在一、三象限； （2）当时，图象在二、四象限． （3）越大，与坐标轴的距离越远． 4、性质： （1）对称性： ①对称中心：，反比例函数的图象关于原点对称． ②对称轴：（一、三象限的角平分线）或（二、四象限的角平分线）． （2）增减性： ①当时，在每个象限内，y随x的增大而减小； ②当时，在每个象限内，y随x的增大而增大． 注意：（1）图象是断开的两条曲线，画图象时，不要把两个分支连接起来． （2）叙述反比例函数的性质时，一定要加上“在每一个象限内”． （3）反比例函数与()的图象关于x轴对称，也关于y轴对称． 【典例1】（2023秋•永年区期末）如果函数y＝（m﹣1）x|m|﹣2是反比例函数，那么m的值是（　　） A．2 B．﹣1 C．1 D．0 【分析】根据反比例函数的定义，让x的指数为﹣1，系数不为0列式求值即可． 【解答】解：根据题意得： |m|﹣2＝﹣1且m﹣1≠0， 解得：m＝±1且m≠1， ∴m＝﹣1． 故选：B． 【典例2】（2023秋•利津县月考）下列函数：①y＝x﹣2，②，③y＝x﹣1，④，⑤xy＝11，⑥，⑦，⑧．其中y是x的反比例函数的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】根据反比例函数的定义（形如y（k为常数，k≠0）的函数称为反比例函数）逐一判断即可得答案． 【解答】解：①y＝x﹣2，不符合反比例函数的定义，不是反比例函数； ②y，符合反比例函数的定义，是反比例函数； ③y＝x﹣1，符合反比例函数的定义，是反比例函数； ④y，不符合反比例函数的定义，不是反比例函数； ⑤xy＝11，符合反比例函数的定义，是反比例函数； ⑥y，若k＝0时，不符合反比例函数的定义，不是反比例函数； ⑦，不符合反比例函数的定义，不是反比例函数； ⑧，不符合反比例函数的定义，不是反比例函数． 故选：C． 【典例3】（2024•玉环市模拟）如图所示，满足函数y＝k（x﹣1）和y（k≠0）的大致图象是（　　） A．①② B．②③ C．②④ D．①④ 【分析】分别根据一次函数与反比例函数图象的特点解答即可． 【解答】解：∵y＝k（x﹣1）， ∴函数y＝k（x﹣1）过点（1，0）， 故①④不合题意； 当k＞0时，函数y＝k（x﹣1）过第一、三、四象限，函数y（k≠0）在一、三象限； 当k＜0时，函数y＝k（x﹣1）过第一、二、四象限，函数y（k≠0）在二、四象限； 故②③符合题意； 故选：B． 【典例4】（2024•汝南县一模）如图，双曲线y与直线y＝mx相交于A、B两点，B点坐标为（﹣2，﹣3），则A点坐标为（　　） A．（﹣2，﹣3） B．（2，3） C．（﹣2，3） D．（2，﹣3） 【分析】反比例函数的图象是中心对称图形，则经过原点的直线的两个交点一定关于原点对称． 【解答】解：∵点A与B关于原点对称， ∴A点的坐标为（2，3）． 故选：B． 【典例5】（2023•汉南区校级模拟）在反比例函数y的图象上有三点（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3），若x1＞x2＞0＞x3，则下列各式中正确的是（　　） A．y3＞y1＞y2 B．y3＞y2＞y1 C．y1＞y2＞y3 D．y1＞y3＞y2 【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征和反比例函数图象的增减性即可判断． 【解答】解：∵﹣（a2+1）＜0， ∴反比例函数y的图象在第二、四象限， ∵x1＞x2＞0＞x3， ∴y3＞y1＞y2， 故选：A． 【典例6】（2024春•肥城市期末）若反比例函数的图象在第二、四象限，则a的值可以为（　　） A．﹣2 B．﹣3 C．﹣4 D．﹣5 【分析】根据图象在第二、四象限可得﹣2a﹣6＜0，求出a的取值范围再结合选项即可判断求解 【解答】解：∵反比例函数的图象在第二、四象限， ∴﹣2a﹣6＜0， ∴a＞﹣3， ∴a的值可以为﹣2， 故选：A． 【典例7】（2023•乾安县二模）已知y是x的反比例函数，并且当x＝﹣3时，y＝4． （1）求y关于x的函数解析式； （2）当x＝2时，求y的值． 【分析】（1）设y，结合“当x＝﹣3时，y＝4”求k，得到函数解析式； （2）将x＝﹣2代入函数解析式求y． 【解答】解：（1）设反比例函数的解析式为y（k≠0）， ∵当x＝﹣3时，y＝4， ∴k＝（﹣3）×4＝﹣12， ∴y关于x的函数解析式为y； （2）当x＝2时，y6． 【典例8】（2023秋•舒城县期末）已知y＝y1﹣y2，y1与x成正比例，y2与x+3成反比例，当x＝0时，y＝﹣2；当x＝3时，y＝2；求y与x的函数关系式，并指出自变量的取值范围． 【分析】根据题意分别设出y1，y2，代入y＝y1﹣y2，表示出y与x的解析式，将已知两对值代入求出k与b的值，确定出解析式． 【解答】解：根据题意设y1＝kx，y2，即y＝y1﹣y2＝kx， 将x＝0时，y＝﹣2；当x＝3时，y＝2分别代入得：， 解得：k＝1，b＝6， 则y＝x，x≠﹣3． 知识点9 k的几何意义和常用的面积模型 反比例函数图象上的任意一点的横纵坐标之积等于比例系数k． ∵ ∴． 由图得， ， 又∵， ∴． 【典例1】（2023秋•邹平市期末）若图中的双曲线解析式均为，则阴影面积为12的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据反比例函数系数k的几何意义解答即可． 【解答】解：∵在反比例函数y图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|， ∴A、C中阴影部分的面积为6，不符合题意； B中阴影部分的面积为3，不符合题意； D中两个小三角形的面积和为6，正方形的面积为6，故阴影部分的和为12，符合题意． 故选：D． 【典例2】（2024•萨迦县一模）如图，点A是反比例函数y（x＜0）的图象上的一点，过点A作平行四边形ABCD，使点B、C在x轴上，点D在y轴上．已知平行四边形ABCD的面积为6，则k的值为（　　） A．6 B．﹣6 C．3 D．﹣3 【分析】作AE⊥BC于E，由四边形ABCD为平行四边形得AD∥x轴，则可判断四边形ADOE为矩形，所以S平行四边形ABCD＝S矩形ADOE，根据反比例函数k的几何意义得到S矩形ADOE＝|﹣k|，利用反比例函数图象得到． 【解答】解：作AE⊥BC于E，如图， ∵四边形ABCD为平行四边形， ∴AD∥x轴， ∴四边形ADOE为矩形， ∴S平行四边形ABCD＝S矩形ADOE， 而S矩形ADOE＝|﹣k|， ∴|﹣k|＝6， 而k＜0，即k＜0， ∴k＝﹣6． 故选：B． 【典例3】（2024•合江县二模）如图，已知函数y（k＜0）的图象经过直角三角形OAB的斜边OA的中点D，且与直角边AB相交于点C．若A的坐标为（﹣8，6），则△BOC的面积为（　　） A．20 B．6 C．16 D．12 【分析】根据中点求出点D坐标，得到反比例函数解析式，根据k值的几何意义解答即可． 【解答】解：∵D是OA的中点，且A（﹣8，6）， ∴D（﹣4，3）， ∵点D在反比例函数图象上， ∴k＝﹣12， ∴反比例函数解析式为y， ∴S△BOC6． 故选：B． 【典例4】（2024•古浪县三模）如图，在以O为原点的直角坐标系中，矩形OABC的两边OC、OA分别在x轴、y轴的正半轴上，反比例函数y（x＞0）与AB相交于点D，与BC相交于点E，若BD＝3AD，且△ODE的面积是9，则k＝（　　） A． B． C． D．12 【分析】所给的三角形面积等于长方形面积减去三个直角三角形的面积，然后即可求出B的横纵坐标的积即是反比例函数的比例系数． 【解答】解：∵四边形OCBA是矩形， ∴AB＝OC，OA＝BC， 设B点的坐标为（a，b）， ∵BD＝3AD， ∴D（，b）， ∵点D，E在反比例函数的图象上， ∴k，∴E（a，）， ∵S△ODE＝S矩形OCBA﹣S△AOD﹣S△OCE﹣S△BDE＝abk•（b）＝9， ∴k， 故选：C． 【典例5】（2024•金昌三模）双曲线C1：和C2：如图所示，设点P在C1上，PC⊥x轴于点C，交于C2点A，PD⊥y轴于点D，交C2于点B，则四边形PAOB的面积为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】根据反比函数比例系数k的几何意义得到，S矩形PCOD＝|4|＝4，然后利用矩形面积分别减去两个三角形的面积即可得到四边形PAOB的面积． 【解答】解：∵PC⊥x轴，PD⊥y轴， ∴，S矩形PCOD＝|4|＝4， ∴四边形PAOB的面积＝4﹣2×1＝2． 故选：B． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$