专题2.2 基本不等式（4类必考点）-2024-2025学年高一数学必考点分类集训系列（人教A版2019必修第一册）

专题2.2 基本不等式 【考点1：由基本不等式求最值或取值范围】 1 【考点2：由基本不等式证明不等式】 3 【考点3：利用基本不等式解决存在性或恒成立问题】 5 【考点4：利用基本不等式解决实际问题】 6 【考点1：由基本不等式求最值或取值范围】 【知识点：基本不等式】 一．基本不等式：≤ （1）基本不等式成立的条件：a>0，b>0. （2）等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号． 二．几个重要的不等式： （1），，当且仅当a＝b时取等号； （2），>0，当且仅当a＝b时取等号； （3），，当且仅当a＝b时取等号； （4），，当且仅当a＝b时取等号； 三. 利用基本不等式求最值问题： 已知x>0，y>0，则： （1）如果积xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值是2.（简记：积定和最小） （2）如果和x＋y是定值p，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值是.（简记：和定积最大） 【方法技巧1】 通过拼凑法利用基本不等式求最值的策略 拼凑法的实质在于代数式的灵活变形，拼系数、凑常数是关键，利用拼凑法求解最值应注意以下几个方面的问题： （1）拼凑的技巧，以整式为基础，注意利用系数的变化以及等式中常数的调整，做到等价变形； （2）代数式的变形以拼凑出和或积的定值为目标； （3）拆项、添项应注意检验利用基本不等式的前提．　　 【方法技巧2】 通过常数代换法利用基本不等式求最值的步骤 常数代换法适用于求解条件最值问题．通过此种方法利用基本不等式求最值的基本步骤为： （1）根据已知条件或其变形确定定值(常数)； （2）把确定的定值(常数)变形为1； （3）把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除，进而构造和或积的形式； （4）利用基本不等式求解最值．　　 1．（2024高一下·青海海东·阶段练习）已知，则的最小值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 2．（2024高一上·江苏镇江·阶段练习）已知，，，则的最大值是（    ） A． B． C． D．1 3．（24-25高三上·江西·开学考试）已知为正实数，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高二下·山东青岛·期末）已知，，，则的最小值为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 5．（多选）（23-24高二下·江西赣州·期末）已知正数满足，则下列结论正确的是（    ） A．的最大值为1 B．的最小值为4 C．的最小值为9 D．的最小值为 6．（多选）（23-24高一上·甘肃庆阳·期中）已知a，b为正实数，且，，，则（    ） A．的最大值为4 B．的最小值为 C．的最小值为 D．的最小值为2 7．（2024高一下·云南曲靖·阶段练习）已知，且，则的最小值为 ． 8．（2024高三·全国·专题练习）当时，的最小值为10，则 . 9．（2024高三·全国·专题练习）函数的最大值为 10．（23-24高二下·山东聊城·期末）已知正数，满足，则的最小值为 . 【考点2：由基本不等式证明不等式】 1．（23-24高一上·上海·期中）若实数、满足，下列不等式中恒成立的是（    ） A． B． C． D． 2．（多选）（23-24高一上·广东广州·期中）设a，b为正实数，则下列不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一上·四川雅安·期中）已知，，且，证明： (1)； (2)． 4．（24-25高一上·上海·期中）已知a、b、c、，证明下列不等式，并指出等号成立的条件： (1)； (2)． 5．（24-25高一上·上海·课后作业）（1）已知、都是正数，求证：； （2）已知，，，求证：． 6．（23-24高一上·陕西西安·期中）设，均为正实数． (1)求证： (2)若，证明：． 【考点3：利用基本不等式解决存在性或恒成立问题】 1．（23-24高一上·浙江杭州·期末）若正实数、满足，且恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·贵州安顺·期末）若不等式恒成立，则实数的最大值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．9 3．（多选）（23-24高一下·湖南株洲·开学考试）若对于任意，恒成立，则实数的取值可以是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高一上·上海·随堂练习）若命题“对任意实数，，且，不等式恒成立”为真命题，则m的取值范围为 ． 5．（24-25高一上·上海·课后作业）若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是 . 6．（2024高一上·吉林延边·阶段练习）若，关于的不等式恒成立，则实数a的取值范围是 . 7．（23-24高一下·江苏镇江·开学考试）设，若恒成立，则的取值范围为 . 8．（23-24高一上·云南昆明·期中）两个正实数满足，若不等式恒成立，则实数的取值范围是 . 9．（23-24高一上·山西运城·期末）已知正实数a，b满足，且不等式恒成立，则实数m的取值范围是 ． 10．（24-25高一上·上海·课后作业）设，且恒成立，求的取值范围． 【考点4：利用基本不等式解决实际问题】 【知识点：利用基本不等式解决实际问题】 (1)此类型的题目往往较长，解题时需认真阅读，从中提炼出有用信息，建立数学模型，转化为数学问题求解； (2)当运用基本不等式求最值时，若等号成立的自变量不在定义域内时，就不能使用基本不等式求解，此时可根据变量的范围用对应函数的单调性求解. 1．（24-25高一·上海·课堂例题）一家商店使用一架两臂不等长的天平称黄金．一位顾客到店里购买10g黄金，售货员先将5g的砝码放在天平左盘中，取出一些黄金放在天平右盘中使天平平衡；再将5g的砝码放在天平右盘中，再取出一些黄金放在天平左盘中使天平平衡；最后将两次称得的黄金交给顾客．顾客实际购买的黄金（    ） A．大于10g； B．小于10g； C．等于10g； D．不能判断大小． 2．（多选）（2024高三上·江苏无锡·阶段练习）十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“”和“”符号，并逐步被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远．若，则下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 3．（24-25高一上·上海·随堂练习）有一批材料，可以建成长为的围墙，如图，如果用材料在一面靠墙的地方围成一块矩形的场地，中间用同样材料隔成三个相等面积的矩形，怎样围法才可以取得最大面积？    4．（24-25高一上·上海·随堂练习）某造纸厂拟造一座占地面积为的矩形二级污水处理池，池的深度一定，池的外周墙壁建造单价400元/m，中间一条隔离壁建造单价为100元/m，池底建造单价为60元/m（墙壁厚忽略不计）．污水处理池的长为多少时可使总造价最低？总造价最低为多少？ 5．（24-25高一上·上海·随堂练习）甲、乙两名司机的加油习惯有所不同，甲每次加油都说“师傅，给我加300元的油”，而乙则说“师傅帮我把油箱加满”，假设①甲、乙各加同一种汽油两次；②两人第一次加油的油价均为x，第二次加油的油价均为y且；③乙每次加满油箱加入的油量都为a升．就加油两次来说，甲、乙谁更合算？ 6．（23-24高二下·江西·期末）某公园为了美化游园环境，计划修建一个如图所示的总面积为750的矩形花园.图中阴影部分是宽度为的小路，中间三个矩形区域将种植牡丹､郁金香､月季（其中区域的形状､大小完全相同）.设矩形花园的一条边长为，鲜花种植的总面积为. (1)用含有的代数式表示，并写出的取值范围； (2)当的值为多少时，才能使鲜花种植的总面积最大？ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题2.2 基本不等式 【考点1：由基本不等式求最值或取值范围】 1 【考点2：由基本不等式证明不等式】 6 【考点3：利用基本不等式解决存在性或恒成立问题】 9 【考点4：利用基本不等式解决实际问题】 14 【考点1：由基本不等式求最值或取值范围】 【知识点：基本不等式】 一．基本不等式：≤ （1）基本不等式成立的条件：a>0，b>0. （2）等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号． 二．几个重要的不等式： （1），，当且仅当a＝b时取等号； （2），>0，当且仅当a＝b时取等号； （3），，当且仅当a＝b时取等号； （4），，当且仅当a＝b时取等号； 三. 利用基本不等式求最值问题： 已知x>0，y>0，则： （1）如果积xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值是2.（简记：积定和最小） （2）如果和x＋y是定值p，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值是.（简记：和定积最大） 【方法技巧1】 通过拼凑法利用基本不等式求最值的策略 拼凑法的实质在于代数式的灵活变形，拼系数、凑常数是关键，利用拼凑法求解最值应注意以下几个方面的问题： （1）拼凑的技巧，以整式为基础，注意利用系数的变化以及等式中常数的调整，做到等价变形； （2）代数式的变形以拼凑出和或积的定值为目标； （3）拆项、添项应注意检验利用基本不等式的前提．　　 【方法技巧2】 通过常数代换法利用基本不等式求最值的步骤 常数代换法适用于求解条件最值问题．通过此种方法利用基本不等式求最值的基本步骤为： （1）根据已知条件或其变形确定定值(常数)； （2）把确定的定值(常数)变形为1； （3）把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除，进而构造和或积的形式； （4）利用基本不等式求解最值．　　 1．（2024高一下·青海海东·阶段练习）已知，则的最小值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】利用基本不等式计算可得. 【详解】因为，所以（当且仅当，即时取等号）. 所以的最小值为. 故选：C 2．（2024高一上·江苏镇江·阶段练习）已知，，，则的最大值是（    ） A． B． C． D．1 【答案】A 【分析】根据题意可得，，，利用基本不等式求最值. 【详解】因为，，，则，， 可得，当且仅当，即时，等号成立， 所以的最大值是. 故选：A. 3．（24-25高三上·江西·开学考试）已知为正实数，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】把化简为为，然后利用基本不等式即可求出最小值 【详解】因为，则， 由于， 当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值为， 故选：C 4．（23-24高二下·山东青岛·期末）已知，，，则的最小值为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】C 【分析】根据基本不等式即可求解. 【详解】因为，，所以，所以， 当且仅当，即 时，取等号，所以的最小值为， 故选：C 5．（多选）（23-24高二下·江西赣州·期末）已知正数满足，则下列结论正确的是（    ） A．的最大值为1 B．的最小值为4 C．的最小值为9 D．的最小值为 【答案】ABD 【分析】根据均值不等式分别建立不等式解不等式可判断AB，先变形为关于的二次函数求最值判断C，利用条件变形可得，转化为关于的式子由均值不等式判断D. 【详解】由正数满足，可得，解得，即， 当且仅当，即时等号成立，故A正确； 由正数满足，可得， 解得或（舍去），当且仅当，即时等号成立，故B正确； ，由A知， 由二次函数的单调性知，即时，的最小值为8，故C错误； 由可得，即，所以， 所以，当且仅当，即，时等号成立，故D正确. 故选：ABD 6．（多选）（23-24高一上·甘肃庆阳·期中）已知a，b为正实数，且，，，则（    ） A．的最大值为4 B．的最小值为 C．的最小值为 D．的最小值为2 【答案】BD 【分析】A.利用基本不等式判断；B.利用基本不等式结合“1”的代换判断；C.利用基本不等式结合“1”的代换判断；D.利用基本不等式判断. 【详解】对于A，因为，则，， 当且仅当时取“＝”，所以ab的最小值为4，A错误； 对于B，由，得，， 当且仅当，时取“＝”，B正确； 对于C，， 当且仅当时，取“＝”，C错误； 对于D，因为，所以， 则，当且仅当时，取“＝”，D正确. 故选：BD. 7．（2024高一下·云南曲靖·阶段练习）已知，且，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】根据分母特点，将化为，将化为.然后用基本不等式即可. 【详解】由于，因此， 则， 当且仅当时取等号． 故答案为：. 8．（2024高三·全国·专题练习）当时，的最小值为10，则 . 【答案】1 【分析】化为积为定值的形式后，利用基本不等式可求得结果. 【详解】当时，， 当时 “等号”成立，即，可得. 故答案为：1 9．（2024高三·全国·专题练习）函数的最大值为 【答案】/ 【分析】变形后运用基本不等式求解即可． 【详解】． 因为，所以，， 当且仅当，即 时，等号成立． 所以． 故答案为：． 10．（23-24高二下·山东聊城·期末）已知正数，满足，则的最小值为 . 【答案】 【分析】利用“1”的灵活运用，结合基本不等式即得. 【详解】因为，则 因为，，所以， 则原式，当即时，取等号. 所以的最小值为. 故答案为：. 【考点2：由基本不等式证明不等式】 1．（23-24高一上·上海·期中）若实数、满足，下列不等式中恒成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】直接由基本不等式验证即可，注意取等条件. 【详解】由题意，所以直接由基本不等式可得， 等号成立当且仅当，即，此时满足题意. 故选：A. 2．（多选）（23-24高一上·广东广州·期中）设a，b为正实数，则下列不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】利用基本不等式以及其变形与不等式性质一一判断各选项，即可得答案. 【详解】对于A，因为，为正实数，，故， 故，即，故A正确； 对于B，由于，当且仅当即时取等号， ，当且仅当即时取等号， 故，故B正确； 对于C，，为正实数，则，故， 即，故，故C错误； 对于D，因为，为正实数，则， 当且仅当时，等号成立， 故，即，故D正确. 故选：ABD. 3．（23-24高一上·四川雅安·期中）已知，，且，证明： (1)； (2)． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）由，利用基本不等式可得答案； （2），利用基本不等式可得答案. 【详解】（1）因为，所以， 因为，，所以，当且仅当时，等号成立， 所以，即，故； （2）因为，所以， 因为，，所以，， 所以，当且仅当，即时，等号成立， 则，即． 4．（24-25高一上·上海·期中）已知a、b、c、，证明下列不等式，并指出等号成立的条件： (1)； (2)． 【答案】(1)证明见解析，当且仅当 (2)证明见解析，当且仅当 【分析】（1）利用作差法证明； （2）利用基本不等式证明； 【详解】（1）因为， ， ， 所以成立； 当且仅当时，等号成立； （2）， ． 所以． 当且仅当时，等号成立． 5．（24-25高一上·上海·课后作业）（1）已知、都是正数，求证：； （2）已知，，，求证：． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析 【分析】（1）对，，分别利用基本不等式，然后将得到的式子相乘可得结论； （2）对，，分别利用基本不等式，然后将得到的式子相加化简可得结论. 【详解】证明：（1）∵、都是正数， ∴，，， ∴， 当且仅当时，等号成立． （2）∵，，， ∴，，， ∴， 故，当且仅当， 即时等号成立． 6．（23-24高一上·陕西西安·期中）设，均为正实数． (1)求证： (2)若，证明：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）依题意只需证明，再利用作差法证明即可； （2）由（1）得，则，即可得解. 【详解】（1），，，． 要证，即证． ， ，即，当且仅当时等号成立． （2）因为，，且， 所以，且，则，， 由（1）得， ， 当且仅当，即时等号成立． 【考点3：利用基本不等式解决存在性或恒成立问题】 1．（23-24高一上·浙江杭州·期末）若正实数、满足，且恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】依题意可得，利用乘“1”法及基本不等式求出的最小值，即可得到，解得即可. 【详解】因为正实数、满足， 即，所以， 所以， 当且仅当，即，时取等号， 因为正实数、满足，且恒成立， 所以，解得，即实数的取值范围是. 故选：B． 2．（23-24高一上·贵州安顺·期末）若不等式恒成立，则实数的最大值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．9 【答案】D 【分析】化简可得恒成立，再根据基本不等式求解的最小值即可. 【详解】由题意恒成立，即恒成立. 又，当且仅当时取等号. 故实数的最大值为9. 故选：D 3．（多选）（23-24高一下·湖南株洲·开学考试）若对于任意，恒成立，则实数的取值可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】利用基本不等式求出的最大值，结合选项可得 【详解】因为，所以， 当且仅当，即时等号成立， 由任意，恒成立，  所以， 符合条件有，，，故A、C、D对；，故B错； 故选：ACD 4．（24-25高一上·上海·随堂练习）若命题“对任意实数，，且，不等式恒成立”为真命题，则m的取值范围为 ． 【答案】 【分析】将不等式整理得到，再利用基本不等式求解． 【详解】， 当且仅当，且， 即，时等号成立， 所以， 故答案为：． 5．（24-25高一上·上海·课后作业）若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】先把恒成立问题转化为最值问题，再应用基本不等式求最小值即可. 【详解】因为不等式恒成立，则, 因为,所以，当且仅当取等号， 所以. 故答案为：. 6．（2024高一上·吉林延边·阶段练习）若，关于的不等式恒成立，则实数a的取值范围是 . 【答案】. 【分析】合理构造目标式，利用基本不等式求出最值，得到，再求解参数范围即可. 【详解】若关于的不等式恒成立，则， 因为，故， 当且仅当时取等，故得，解得. 故答案为：. 7．（23-24高一下·江苏镇江·开学考试）设，若恒成立，则的取值范围为 . 【答案】 【分析】因为，所以将转化为然后与相乘然后运用基本不等式求解. 【详解】因为,所以 . 当且仅当时，即时等号成立, 所以. 故答案为：. 8．（23-24高一上·云南昆明·期中）两个正实数满足，若不等式恒成立，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】将问题化为，利用基本不等式“1”的代换求左侧最小值，然后解一元二次不等式求参数范围. 【详解】由不等式恒成立，只需， 又，则， 当且仅当时等号成立，故， 所以， 故答案为：. 9．（23-24高一上·山西运城·期末）已知正实数a，b满足，且不等式恒成立，则实数m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】分离参数得恒成立，即，然后结合基本不等式求解即可. 【详解】因为正实数a，b满足，， 所以， 因为， 当且仅当，即时取等号， 所以， 所以不等式恒成立，只需即可. 故答案为：. 10．（24-25高一上·上海·课后作业）设，且恒成立，求的取值范围． 【答案】． 【分析】恒成立问题转化为求最值问题，通过等价变形与配凑，可以使用基本不等式求最值即可求解 【详解】由知，，，． 要使不等式恒成立， 只需的最小值不小于即可． ∵ ． 当且仅当，即时，等号成立． ∴． 【考点4：利用基本不等式解决实际问题】 【知识点：利用基本不等式解决实际问题】 (1)此类型的题目往往较长，解题时需认真阅读，从中提炼出有用信息，建立数学模型，转化为数学问题求解； (2)当运用基本不等式求最值时，若等号成立的自变量不在定义域内时，就不能使用基本不等式求解，此时可根据变量的范围用对应函数的单调性求解. 1．（24-25高一·上海·课堂例题）一家商店使用一架两臂不等长的天平称黄金．一位顾客到店里购买10g黄金，售货员先将5g的砝码放在天平左盘中，取出一些黄金放在天平右盘中使天平平衡；再将5g的砝码放在天平右盘中，再取出一些黄金放在天平左盘中使天平平衡；最后将两次称得的黄金交给顾客．顾客实际购买的黄金（    ） A．大于10g； B．小于10g； C．等于10g； D．不能判断大小． 【答案】A 【分析】设出天平的左右臂及两次称得的黄金质量，利用杠杆原理和基本不等式的性质即可得出结论. 【详解】设天平左臂长为，右臂长为，，设第一次称得黄金为，第二次称得黄金为， 则，，即，，而， 因此， 当且仅当，即时等号成立，但，即等号不成立，则， 所以顾客购得的黄金大于. 故选：A. 2．（多选）（2024高三上·江苏无锡·阶段练习）十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“”和“”符号，并逐步被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远．若，则下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】BCD 【分析】取，可判断A；作差法比较数的大小可判断B；利用基本不等式可判断CD. 【详解】对于A选项，若，则，故A选项错误； 对于B选项，， 由于，故，，故， 即，故B选项正确； 对于C选项，∵，∴， ∴， 当且仅当时等号成立，故C选项正确； 对于D选项，因为，，根据基本不等式， ， 当且，即时取得等号， 此时，故D选项正确． 故选：BCD． 3．（24-25高一上·上海·随堂练习）有一批材料，可以建成长为的围墙，如图，如果用材料在一面靠墙的地方围成一块矩形的场地，中间用同样材料隔成三个相等面积的矩形，怎样围法才可以取得最大面积？    【答案】当面积相等的小矩形的长为时，矩形面积最大，最大为. 【分析】设每个小矩形的长为，宽为，依题意可知，代入矩形的面积公式，根据基本不等式即可求得矩形面积的最大值. 【详解】如图，设每个小矩形的长为，宽为，由题可知， 所以． 当且仅当时，等号成立， 所以，.    4．（24-25高一上·上海·随堂练习）某造纸厂拟造一座占地面积为的矩形二级污水处理池，池的深度一定，池的外周墙壁建造单价400元/m，中间一条隔离壁建造单价为100元/m，池底建造单价为60元/m（墙壁厚忽略不计）．污水处理池的长为多少时可使总造价最低？总造价最低为多少？ 【答案】15米，总造价最低为36000元 【分析】设污水处理池的宽为米，长为米，从而得到总造价，再利用基本不等式，即可求出结果. 【详解】设污水处理池的宽为米，则长为米． 则总造价 ， 当且仅当，即时，取等号． 此时，所以当长为15米时，总造价最低为36000元． 5．（24-25高一上·上海·随堂练习）甲、乙两名司机的加油习惯有所不同，甲每次加油都说“师傅，给我加300元的油”，而乙则说“师傅帮我把油箱加满”，假设①甲、乙各加同一种汽油两次；②两人第一次加油的油价均为x，第二次加油的油价均为y且；③乙每次加满油箱加入的油量都为a升．就加油两次来说，甲、乙谁更合算？ 【答案】甲更合算 【分析】根据已知分别求甲乙油的平均单价比较即可. 【详解】两次加油的油价分别是元/升且， 甲加两次油的平均单价为元/升, 乙每次加油a升，加两次油的平均单价为元/升， 即甲的平均单价低，甲更合算． 6．（23-24高二下·江西·期末）某公园为了美化游园环境，计划修建一个如图所示的总面积为750的矩形花园.图中阴影部分是宽度为的小路，中间三个矩形区域将种植牡丹､郁金香､月季（其中区域的形状､大小完全相同）.设矩形花园的一条边长为，鲜花种植的总面积为. (1)用含有的代数式表示，并写出的取值范围； (2)当的值为多少时，才能使鲜花种植的总面积最大？ 【答案】(1) (2)当时，才能使鲜花种植的总面积最大 【分析】（1）根据题意，设矩形花园的长为，由条件可得，即可得到结果； （2）由（1）中的结论可得鲜花种植的总面积为与矩形花园的一条边长的函数关系式，再由基本不等式代入计算，即可得到结果. 【详解】（1）设矩形花园的长为， 矩形花园的总面积为， ，可得， 又阴影部分是宽度为的小路， 可得，可得， 即关于的关系式为. （2）由（1）知，， 则 ， 当且仅当时，即时，等号成立， 当时，才能使鲜花种植的总面积最大，最大面积为. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$