精品解析：安徽省芜湖市无为仓头中心中学2022-2023学年八年级上学期期中数学试题

2022-2023学年安徽省芜湖市无为仓头中心中学学校 八年级（上）期中数学试卷 一、单选题（每小题3分，共42分） 1. 下列命题错误的是（ ） A. 等腰三角形两腰上的中线相等 B. 等腰三角形的中线与高重合 C. 等腰三角形两腰上的高相等 D. 等腰三角形两底角平分线相等 2. 已知点与点关于y轴对称，那么的值为（ ） A 1 B. 2 C. D. 3. 下列图案中是轴对称图形的是（ ） A. 中国移动 B. 中国联通 C. 中国网通 D. 中国电信 4. 如图，将三角形纸片剪掉一角得与四边形，设的外角和、四边形的外角和分别为、，则下列正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 若，，则（　　） A. 18 B. 8 C. 11 D. 6 6. 如图，用直尺和圆规作的平分线的原理是证明，那么证明的依据是（ ） A. B. C. D. 7. 下列中，是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 8. 学期末，班主任为获得“文明学生”和“劳动积极分子”称号的学生准备了A，B两种礼物．已知A，B两种礼物的总价分别为450元和420元．且A种礼物比B种礼物多10份，A，B两种礼物的单价分别是这一批礼物平均单价的和1.2倍，则这一批礼物的平均单价是（ ） A. 15元 B. 元 C. 10元 D. 元 9. 如图，在中，、分别是高、角平分线，为线段上的一个动点（不与、重合），与交于点，给出下列四个说法： ①若点为线段的中点，则； ②若等于，则等于； ③当时，； ④当时，，其中正确的说法的个数是（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 10. 如图，在第1个△中，，，在边上任取一点，延长到，使，得到第2个，在边上任取一点，延长到，使，得到第3个，…按此做法继续下去，则第2022个三角形中以为顶点的底角度数是（　　） A. B. C. D. 11. 如图，在中，点是边上一点，，且的面积为10，则的周长的最小值是（ ） A. 10 B. 12 C. 14 D. 16 12. 平面内，将长分别为1，5，1，1，d的线段，顺次首尾相接组成凸五边形（如图），则d可能是（ ） A. 1 B. 2 C. 7 D. 8 13. 如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，BC=4，以点C为圆心，CB长为半径作弧，交AB于点D；再分别以点B和点D为圆心，大于BD的长为半径作弧，两弧相交于点E，作射线CE交AB于点F，则AF的长为（　　） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 14. 如图，∠ABC、∠ACD的平分线BP、CP交于点P，PF⊥BD，PG⊥BE，垂足分别为F、G，下列结论：①：＝AB：BC；②∠APB＋∠ACP＝90°；③∠ABC＋2∠APC＝180°，其中正确的结论有（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 二、填空题（每小题4分，共16分） 15. 如图所示，人字梯中间一般会设计一“拉杆”，这样做的依据是______． 16. 若关于的一元一次不等式组有解且至多有五个整数解，且使关于的分式方程有整数解，则所有满足条件的整数的值之和是______． 17. 如图，一面镜子斜固定在地面上，且点为距离地面为的一个光源，光线射出经过镜面处反射到地面点，当光线经过的路径长最短为时，的长为___________． 18. 如图，在中，D是边中点，E、F分别是边上的三等分点，连接分别交于G、H点，若的面积为90，则四边形的面积为______． 三、解答题（本大题共62分） 19. 甲三角形的周长为，乙三角形的第一条边长为，第二条边长为，第三条边比第二条边短． （1）求乙三角形第三条边的长； （2）甲、乙两个三角形的周长哪个大？请说明理由； 20. 如图，中，的平分线交于点D，过点D作，交于点E．若，求． 21. 若 （1）化简A； （2）若 ，且 ，求A的最小值； （3）若a， b为正整数， 且 ，当A，B均为正整数时，求的值． 22. 如图，在平面直角坐标系中，线段AB的两个端点为A、B分别在y轴正半轴、x轴负半轴上，直线CD分别交x轴正半轴、y轴负半轴于点C、D，且AB∥CD． （1）如图1，若点A（0，a）和点B（b，0）的坐标满足 ⅰ）直接写出a、b值，a＝_____，b＝_____； ⅱ）把线段AB平移，使B点的对应点E到x轴距离为1，A点的对应点F到y轴的距离为2，且EF与两坐标轴没有交点，则F点的坐标为_____； （2）若G是CD延长线上一点DP平分∠ADG，BH平分∠ABO，BH的反向延长线交DP于P（如图2），求∠HPD的度数； （3）若∠BAO＝30°，点Q在x轴（不含点B、C）上运动，AM平分∠BAQ，QN平分∠AQC，（如图3）直接出∠BAM与∠NQC满足的数量关系． 23. 数学课上，张老师举了下面的例题： 例1 等腰三角形中，，求度数.（答案：） 例2 等腰三角形中，，求的度数.（答案：或或） 张老师启发同学们进行变式，小敏编了如下一题： 变式 等腰三角形中，，求的度数. （1）请你解答以上的变式题. （2）解（1）后，小敏发现，的度数不同，得到的度数的个数也可能不同.如果在等腰三角形中，设，当有三个不同的度数时，请你探索的取值范围. 24. 定义：在一个三角形中，如果有一个角是另一个角的，我们称这两个角互为“和谐角”，这个三角形叫做“和谐三角形”．例如：在中，如果，那么与互为“和谐角”，为“和谐三角形”．问题1：如图1，中，，点D是线段上一点（不与A、B重合），连接． （1）如图1，是“和谐三角形”吗？为什么？ （2）①问题1：如图1，若，则是“和谐三角形”吗？为什么？ ②问题2：如图2，中，，点D是线段上一点（不与A、B重合），连接，若是“和谐三角形”，求的度数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2022-2023学年安徽省芜湖市无为仓头中心中学学校 八年级（上）期中数学试卷 一、单选题（每小题3分，共42分） 1. 下列命题错误的是（ ） A. 等腰三角形两腰上的中线相等 B. 等腰三角形的中线与高重合 C. 等腰三角形两腰上的高相等 D. 等腰三角形两底角平分线相等 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质及全等三角形的判定，掌握等腰三角形两腰、两底角相等，底边上的高、中线和顶角的角平分线相互重合是解题的关键． 【详解】解：如图1，在中，，、分别是、边上的中线， 则可知，且， 在和中 ， ， 所以等腰三角形两腰上的中线相等， 故A正确，不符合题意； 等腰三角形有底边上的中线、高和顶角的角平分线互相重合，故B错误，符合题意； 如图2，在中，，、分别是边上的高， 可得， 、分别是边上的高， ， 在和中 ， ， 所以等腰三角形两腰上的高相等， 故C正确，不符合题意； 如图3，在中，，、分别平分和， 则可知， 在和中 ， ， 所以等腰三角形两底角平分线相等， 故D正确，不符合题意； 故选：B 2. 已知点与点关于y轴对称，那么的值为（ ） A. 1 B. 2 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查关于y轴对称点的性质，解题的关键是根据“关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数”求出x、y的值，然后相加计算即可得解． 【详解】解：∵点与点关于y轴对称， ∴， ∴， 故选A． 3. 下列图案中是轴对称图形的是（ ） A. 中国移动 B. 中国联通 C. 中国网通 D. 中国电信 【答案】B 【解析】 【分析】直接利用轴对称图形的定义解答即可． 【详解】A．不是轴对称图形，故不合题意； B．是轴对称图形，故符合题意； C．不是轴对称图形，故不合题意； D．不是轴对称图形，故不合题意． 故选B． 【点睛】本题考查了轴对称图形的定义，正确把握定义是解答本题的关键． 4. 如图，将三角形纸片剪掉一角得与四边形，设的外角和、四边形的外角和分别为、，则下列正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据多边形的外角和都是可得答案． 【详解】解：根据多边形的外角和都是得， 故选：A． 【点睛】本题考查多边形的外角和，熟知多边形的外角和都是是解答的关键． 5. 若，，则（　　） A. 18 B. 8 C. 11 D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】根据同底数的乘法，幂的乘方运算进行计算即可求解． 【详解】解：∵，， ∴． 故选A． 【点睛】本题考查了同底数的乘法，幂的乘方运算，掌握其运算法则是解题的关键． 6. 如图，用直尺和圆规作的平分线的原理是证明，那么证明的依据是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先根据作图可知，OP=OQ、PC=CQ、OC是公共边，即可判定两三角形全等． 【详解】由作图知：OP=OQ、PC=CQ、OC是公共边， 即三边分别对应相等（SSS），， 故选D． 【点睛】此题主要考查全等三角形的判定,熟练掌握全等三角形的判定方法是解题关键． 7. 下列中，是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形，正确掌握轴对称图形的定义是解题关键．根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重台，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线（成轴）对称，进而判断得出答案． 【详解】解：A，B，D选项中的图形都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形， C选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形． 故选：C． 8. 学期末，班主任为获得“文明学生”和“劳动积极分子”称号的学生准备了A，B两种礼物．已知A，B两种礼物的总价分别为450元和420元．且A种礼物比B种礼物多10份，A，B两种礼物的单价分别是这一批礼物平均单价的和1.2倍，则这一批礼物的平均单价是（ ） A. 15元 B. 元 C. 10元 D. 元 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用，设这一批礼物平均单价是x元，则A礼物的单价是元，B礼物的单价是元，利用数量=总价÷单价，结合A种礼物比B种礼物多10份，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论． 【详解】解：设这一批礼物平均单价是x元，则A礼物的单价是元，B礼物的单价是元， 依题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意． 所以，这一批礼物平均单价是15元． 故选：A． 9. 如图，在中，、分别是高、角平分线，为线段上的一个动点（不与、重合），与交于点，给出下列四个说法： ①若点为线段的中点，则； ②若等于，则等于； ③当时，； ④当时，，其中正确的说法的个数是（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 【答案】B 【解析】 【分析】由中线可知，进而可判断①的正误；由、分别是高、角平分线，可得，，当时，，由，可知此时无法求解，进而可判断②的正误；由题意知，，，由，可得，即是的平分线，由题意知，，进而可判断③的正误；如图，记的交点为，则，即，由是角平分线，可证是等腰三角形，则，，进而可判断④的正误． 【详解】解：由题意知，当点为线段的中点，，①正确，故符合要求； ∵、分别是高、角平分线， ∴，， 当时，， ∴，此时无法求解，②错误，故不符合要求； 由题意知，，， ∵， ∴，即， ∴是的平分线， 由题意知，， ∴，③正确，故符合要求； 如图，记的交点为， ∵，，， ∴，即， ∵是角平分线， ∴是等腰三角形， ∴， ∴，④正确，故符合要求； 故选：B． 【点睛】本题考查了中线与面积，角平分线，三角形内角和定理，三角形外角的性质，等腰三角形的判定与性质等知识．熟练掌握中线与面积，角平分线，三角形内角和定理，三角形外角的性质，等腰三角形的判定与性质是解题的关键． 10. 如图，在第1个△中，，，在边上任取一点，延长到，使，得到第2个，在边上任取一点，延长到，使，得到第3个，…按此做法继续下去，则第2022个三角形中以为顶点的底角度数是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了图形和数式规律探究，等腰三角形的性质、三角形内角和以及三角形外角的性质等知识，找出规律是解题的关键． 根据等腰三角形的性质及三角形内角和定理求得的度数，再由三角形外角的性质及等腰三角形的性质分别求出，，的度数，找出规律即可求解． 【详解】解：，， ； ， ； 同理得：，，， 一般地，第个等腰三角形的底角的度数是， 第2022个等腰三角形的底角度数是， 故选：D． 11. 如图，在中，点是边上的一点，，且的面积为10，则的周长的最小值是（ ） A. 10 B. 12 C. 14 D. 16 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了轴对称的性质、勾股定理，作，作点关于直线对称点，交于，连接，交于，由已知得出，由三角形面积得出，从而得出，表示出的周长，得出要使周长最小，则需点与重合，即点、、共线，由勾股定理得出，即可得解． 【详解】解：如图，作，作点关于直线对称点，交于，连接，交于， ， ∵， ∴，， ∵的面积为10， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵的周长， ∴要使周长最小，则需点与重合，即点、、共线，如图所示， ， 由勾股定理得：， ∴周长最小值为， 故选：D． 12. 平面内，将长分别为1，5，1，1，d的线段，顺次首尾相接组成凸五边形（如图），则d可能是（ ） A. 1 B. 2 C. 7 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】如图（见解析），设这个凸五边形为，连接，并设，先在和中，根据三角形的三边关系定理可得，，从而可得，，再在中，根据三角形的三边关系定理可得，从而可得，由此即可得出答案． 【详解】解：如图，设这个凸五边形为，连接，并设， 在中，，即， 在中，，即， 所以，， 在中，， 所以， 观察四个选项可知，只有选项C符合， 故选：C． 【点睛】本题考查了三角形的三边关系定理，通过作辅助线，构造三个三角形是解题关键． 13. 如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，BC=4，以点C为圆心，CB长为半径作弧，交AB于点D；再分别以点B和点D为圆心，大于BD的长为半径作弧，两弧相交于点E，作射线CE交AB于点F，则AF的长为（　　） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】B 【解析】 【详解】试题分析：连接CD，∵在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，BC=4，∴AB=2BC=8． ∵作法可知BC=CD=4，CE是线段BD的垂直平分线，∴CD是斜边AB的中线，∴BD=AD=4，∴BF=DF=2，∴AF=AD+DF=4+2=6．故选B． 考点：作图—基本作图；含30度角的直角三角形． 14. 如图，∠ABC、∠ACD平分线BP、CP交于点P，PF⊥BD，PG⊥BE，垂足分别为F、G，下列结论：①：＝AB：BC；②∠APB＋∠ACP＝90°；③∠ABC＋2∠APC＝180°，其中正确的结论有（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 【答案】D 【解析】 【分析】根据角平分线的性质，得到PG=PF，结合面积公式，可以判断结论①；过点P作PM⊥AC，垂足为M，则PF=PM=PG，得到PA平分∠EAC，利用角的平分线定义，∠1=∠2+∠3，∠1+∠2=∠3+∠4+∠5，∠4=∠5，得证∠2=∠4，从而判断结论②，利用四边形内角和定理结合角的平分线判断最后结论． 【详解】∵∠ABC、∠ACD的平分线BP、CP交于点P，PF⊥BD，PG⊥BE， ∴PG=PF， ∴：＝=AB：BC， ∴结论①正确； 过点P作PM⊥AC，垂足为M，根据题意，得PF=PM=PG， ∴PA平分∠EAC， ∴∠PAG=∠PAM， ∵PA=PA，∠PGA=∠PMA=90° ∴△PAG≌△PAM，同理可证，△PCM≌△PCF，△PBG≌△PBF， ∴∠1=∠2+∠3，∠1+∠2=∠3+∠4+∠5，∠4=∠5， ∴∠2=∠4， ∵∠4＋∠ACP＝90°， ∴∠2＋∠ACP＝90°， ∴∠APB＋∠ACP＝90°， ∴结论②正确， ∵∠ABC＋∠BGP+ ∠GPF+∠PFB＝360°，∠BGP=∠BFP＝90°， ∴∠ABC＋∠GPF＝180°， ∵∠1=∠2+∠3，∠1+∠2=∠3+∠4+∠5，∠4=∠5， ∴∠GPF=2∠APC， ∴∠ABC＋2∠APC＝180°， ∴结论③正确， 故选D． 【点睛】本题考查了角平分线的性质和判定，四边形的内角定理，三角形面积公式，熟练掌握角的平分线的性质和判定是解题的关键． 二、填空题（每小题4分，共16分） 15. 如图所示，人字梯中间一般会设计一“拉杆”，这样做的依据是______． 【答案】三角形具有稳定性 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形的稳定性，理解三角形的稳定性是解题关键．根据“三角形具有稳定性”，即可获得答案． 【详解】解：人字梯中间一般会设计一“拉杆”，这样做的依据是三角形具有稳定性． 故答案为：三角形具有稳定性． 16. 若关于的一元一次不等式组有解且至多有五个整数解，且使关于的分式方程有整数解，则所有满足条件的整数的值之和是______． 【答案】17 【解析】 【分析】本题主要考查了根据分式方程解的情况求参数，根据不等式组的解集情况求参数，先解不等式组，然后根据不等式组有解且至多有五个整数解求出；再解分式方程得到是整数，据此求出符合题意的a的值即可得到答案． 【详解】解： 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∵不等式组有解且至多有五个整数解， ∴， ∴； 去分母得：， ∴， ∵分式方程有整数解， ∴，即， ∴是整数， ∴或或， 解得或或或或， ∴符合题意的a的值有10、7， ∴所有满足条件的整数的值之和是， 故答案为：17． 17. 如图，一面镜子斜固定在地面上，且点为距离地面为的一个光源，光线射出经过镜面处反射到地面点，当光线经过的路径长最短为时，的长为___________． 【答案】 【解析】 【分析】作出PD关于直线OA对称的线段，所以最短路线为三点共线且时最短，过P作好垂线构建矩形，再利用等腰三角形的性质可得答案． 【详解】解：作点关于的对称点，当时，光线经过的路径长最短， ∴，作于F，∴，∴，∵， ∴，∴，∴，， ∴为等边三角形，∴，∴． 故答案为4． 18. 如图，在中，D是边的中点，E、F分别是边上的三等分点，连接分别交于G、H点，若的面积为90，则四边形的面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】如图: 连接，设，，根据“等底同高的三角形面积相等”可得、、、、，进而列出二元一次方程组求解可得；同理：连接，设，，可得，最后根据即可解答． 【详解】解： 如图: 连接，设，， E、F分别是边上的三等分点，的面积为90， ∴，，， ∵D是边的中点， ∴， ∵,即，，即 ∴，解得：，即； 如图: 连接，设，， ∴， ∵,即，，即 ∴，解得：； ∴, . ． 故答案． 【点睛】本题主要考查了三角形中线、三角形的等分点、解二元一次方程组等知识点，通过做辅助线、明确各三角形之间的面积关系是解答本题的关键． 三、解答题（本大题共62分） 19. 甲三角形的周长为，乙三角形的第一条边长为，第二条边长为，第三条边比第二条边短． （1）求乙三角形第三条边的长； （2）甲、乙两个三角形的周长哪个大？请说明理由； 【答案】（1） （2）甲三角形的周长，理由 【解析】 【分析】（1）根据题意可得，即可求解； （2）先求出乙三角形的周长，再用甲三角形的周长减去乙三角形的周长，即可求解． 【小问1详解】 解：根据题意得：乙三角形第三条边的长为 ； 【小问2详解】 解：甲三角形的周长，理由如下： 根据题意得：乙三角形的周长为 ， ， ∴甲三角形的周长． 【点睛】本题主要考查了整式加减的应用，熟练掌握整式加减混合运算法则是解题的关键． 20. 如图，中，的平分线交于点D，过点D作，交于点E．若，求． 【答案】 【解析】 【分析】根据角平分线的定义以及平行线的性质证明可得结果． 【详解】解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了角平分线的定义，平行线的性质，等腰三角形等角对等边等知识点，根据以上知识点得出即可得出答案． 21. 若 （1）化简A； （2）若 ，且 ，求A的最小值； （3）若a， b为正整数， 且 ，当A，B均为正整数时，求的值． 【答案】（1） （2）A的最小值为； （3） 【解析】 【分析】（1）原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，约分即可得到结果； （2）把代入A，得到，再根据得到，然后即可求解； （3）由题意可得，根据A，B均为正整数，可得a，b的值，再根据A，B均为正整数即可求解． 【小问1详解】 解：原式 【小问2详解】 解：由（1）得： 把代入得： ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴A的最小值为； 【小问3详解】 ∵A，B均为正整数 ∴ 当时， ，解得： 当时 或，解得：或 经检验，是原方程的解 ∵a， b正整数， ∴ ∴ 【点睛】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 22. 如图，在平面直角坐标系中，线段AB的两个端点为A、B分别在y轴正半轴、x轴负半轴上，直线CD分别交x轴正半轴、y轴负半轴于点C、D，且AB∥CD． （1）如图1，若点A（0，a）和点B（b，0）的坐标满足 ⅰ）直接写出a、b的值，a＝_____，b＝_____； ⅱ）把线段AB平移，使B点的对应点E到x轴距离为1，A点的对应点F到y轴的距离为2，且EF与两坐标轴没有交点，则F点的坐标为_____； （2）若G是CD延长线上一点DP平分∠ADG，BH平分∠ABO，BH的反向延长线交DP于P（如图2），求∠HPD的度数； （3）若∠BAO＝30°，点Q在x轴（不含点B、C）上运动，AM平分∠BAQ，QN平分∠AQC，（如图3）直接出∠BAM与∠NQC满足的数量关系． 【答案】（1）ⅰ），﹣1；ⅱ）（﹣2，+1）或（2，+1）；（2）45°；（3）当点Q在点B左侧时，∠BAM+∠NQC＝30°，当点Q在B、C之间时，∠NQC﹣∠BAM＝30°，当点Q在点C右侧时，∠BAM+∠NQC＝60°． 【解析】 【分析】（1）ⅰ）利用非负数的性质即可求解； ⅱ）有两种情形，画出图象即可解决问题； （2）设BH交y轴于K．∠ABK＝∠OBK＝α．利用三角形内角和定理，只要求出∠PKD，∠PDK即可解决问题； （3）分三种情形画出图形分别求解即可解决问题； 【详解】解：（1）ⅰ）∵ ， 又|﹣a|≥0， ≥0， ∴a＝，b＝﹣1， 故答案为，﹣1． ⅱ）如图1中，有两种情形，点F坐标为：（﹣2， +1）或（2， +1）． 故答案为（﹣2， +1）或（2， +1）． （2）如图2中，设BH交y轴于K．∠ABK＝∠OBK＝α． ∵AB∥CD， ∴∠ABO＝∠OCD＝2α， ∴∠ODP＝ （90°+2α）＝45°+α． ∵∠BKO＝90°﹣α， ∴∠HPD＝180°﹣（90°﹣α）﹣（45°+α）＝45°． （3）如图3﹣1中，当点Q在点B左侧时，∠BAM+∠NQC＝30° 如图3﹣2中，当点Q在B、C之间时，∠NQC﹣∠BAM＝30°． 如图3﹣3中，当点Q在点C右侧时，∠BAM+∠NQC＝60°． 故答案为（1）ⅰ），﹣1；ⅱ）（﹣2，+1）或（2，+1）；（2）45°；（3）当点Q在点B左侧时，∠BAM+∠NQC＝30°，当点Q在B、C之间时，∠NQC﹣∠BAM＝30°，当点Q在点C右侧时，∠BAM+∠NQC＝60°． 【点睛】本题考查三角形综合题、三角形内角和定理、三角形的外角的性质、平行线的性质、角平分线的定义等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题． 23. 数学课上，张老师举了下面的例题： 例1 等腰三角形中，，求的度数.（答案：） 例2 等腰三角形中，，求的度数.（答案：或或） 张老师启发同学们进行变式，小敏编了如下一题： 变式 等腰三角形中，，求度数. （1）请你解答以上的变式题. （2）解（1）后，小敏发现，的度数不同，得到的度数的个数也可能不同.如果在等腰三角形中，设，当有三个不同的度数时，请你探索的取值范围. 【答案】（1）或或；（2）当且，有三个不同的度数. 【解析】 【分析】（1）分为顶角和为底角，两种情况进行讨论. （2）分①当时，②当时，两种情况进行讨论. 【详解】（1）当为顶角，则， 当为底角，若为顶角，则， 若为底角，则， ∴或或. （2）分两种情况： ①当时，只能为顶角， ∴的度数只有一个. ②当时， 若为顶角，则， 若为底角，则或， 当且且，即时， 有三个不同的度数. 综上①②，当且，有三个不同的度数. 【点睛】考查了等腰三角形的性质，注意分类讨论思想在数学中的应用. 24. 定义：在一个三角形中，如果有一个角是另一个角，我们称这两个角互为“和谐角”，这个三角形叫做“和谐三角形”．例如：在中，如果，那么与互为“和谐角”，为“和谐三角形”．问题1：如图1，中，，点D是线段上一点（不与A、B重合），连接． （1）如图1，是“和谐三角形”吗？为什么？ （2）①问题1：如图1，若，则是“和谐三角形”吗？为什么？ ②问题2：如图2，中，，点D是线段上一点（不与A、B重合），连接，若是“和谐三角形”，求的度数． 【答案】（1）是“和谐三角形”，见解析 （2）①是“和谐三角形”，见解析；②或 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，本题是新定义题型，理解新定义，并熟练运用是解题的关键． （1）利用三角形内角和定理求得，再利用“和谐三角形”的定义解答即可； （2）①利用三角形内角和定理求得，再利用“和谐三角形”的定义解答即可；②利用分类讨论的方法，根据“和谐三角形”的定义解答即可． 【小问1详解】 解：是“和谐三角形”，理由如下： ∵， ∴， ∴， ∴是“和谐三角形”； 【小问2详解】 解：①是“和谐三角形”，理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴． 在中， ∵， ∴， ∴为和谐三角形”； 在中， ∵， ∴， ∴为和谐三角形”； ②∵是“和谐三角形”， 点D是线段上一点， ∴或． 当时，； 当时， ∵， ∴， ∴； 综上，的度数为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$