2.1 等式性质与不等式性质（第2课时）-【数学一起课件】高中数学必修第一册同步PPT课件（人教A版2019）

等式性质与 不等式性质 第二章 第 2.1 节 第 2 课时 授课：XXX 学习目标 能类比等式基本性质的研究方法，研究不等式的基本性质，体会等式基本性质与不等式基本性质的共性与差异性. 掌握不等式的基本性质及其成立的条件，能利用不等式的基本性质比较大小或证明简单的不等式. 02 ` 01 核心素养 数学抽象 类比等式基本性质的研究方法，猜想不等式的基本性质. 逻辑推理 利用不等式的基本性质进行相关证明. 知识回顾 ； ； . 等式性质与 不等式的性质 相等关系与 不等关系 基本事实 重要不等式 ，有 当且仅当 时，等号成立. 等式性质与 01 不等式的性质 新知探究 上节课我们学习了利用等式和不等式描述现实问题中的相等关系和不等关系，掌握了两个实数大小关系的基本事实，并且知道与解方程要用等式的性质一样，解不等式要用不等式的性质. 那么该如何研究不等式的性质？ 问题 因为不等式与等式一样，都是对大小关系的刻画， 所以我们可以从等式的性质及其研究方法出发，通过类比研究不等式性质. 新知探究 等式有哪些性质？你能分别用文字语言和符号语言表示吗？ 问题 性质1 如果 ，那么 . 性质2 如果 ，，那么 . 等式具有对称性. 等式具有传递性. 新知探究 等式有哪些性质？你能分别用文字语言和符号语言表示吗？ 问题 性质3 如果 ，那么 . 性质4 如果 ，那么 . 性质5 如果 ，那么 . 等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等. 等式两边乘同一个数，结果仍相等. 等式两边除以同一个不为0的数，结果仍相等. 新知探究 以上五条性质有什么共同特点？ 问题 可以发现： 性质1，2反映了相等关系自身的特性， 性质3，4，5是从运算的角度提出的，反映了等式在运算中保持的不变性. 而这两个方面反映了“式的大小关系”的本质属性，这些基本属性为探究不等式的基本性质指明了方向. 新知探究 你能类比“相等关系自身的特性”猜想出“不等关系自身的特性”，并加以证明吗？ 问题 类比等式的性质1，2，可以猜想不等式有如下性质： 性质1 如果，那么；如果，那么. 性质2 如果，，那么. 不等式的性质 1 要证明“如果，那么”，其本质是比较两个数的大小. 性质1 如果，那么；如果，那么. 作差法 由 可得 ， 于是 ， 即 ， 于是 . 两个实数大小关系的基本事实 正数的相反数是负数 不等式的性质 1 要证明“如果，那么”，其本质是比较两个数的大小. 性质1 如果，那么；如果，那么. 作差法 由 可得 ， 于是 ， 即 ， 于是 . 两个实数大小关系的基本事实 负数的相反数是正数 对称性 即 不等式的性质 2 由两个实数大小关系的基本事实知 性质2 如果 ，，那么 . 两个正数的和仍为正数 要证明“”， 只需要证明 . 传递性 新知探究 你能类比“运算中保持的不变性”猜想不等式的性质吗？ 问题 类比等式的性质3，4，5，猜测不等式有如下性质： 如果 ，那么； 如果 ，那么； 如果 ，那么； 如果 ， ，那么 . 新知探究 你能证明猜想“如果 ，那么”吗？ 问题 由 ，得 ， 所以 即 ， 所以 . 因为减去一个数等于加上这个数的相反数，所以在实数范围内，减法可以化归为加法 如果 ，那么 可看作 要证明“”，只需证明 . 不等式的性质 3 从不同角度表述不等式的性质，可以加深理解. 你能用文字语言描述该性质吗？ 问题 不等式的两边都加上同一个实数，所得不等式与原不等式同向. 性质3 如果 ，那么. 不等式对加法运算保持不变性 可加性 不等式的性质 3 两个实数大小关系可以借助数轴上的点进行直观描述，那么你能利用数轴解释性质3吗？ 问题 如图， 把数轴上的两个点与同时沿相同方向移动相等的距离， 得到另两个点与，与和与的左右位置关系不会改变. 不等式的性质 3 你能从性质3中得到什么结论吗？ 问题 由性质3可得， 这表明，不等式中任何一项可以改变符号后移到不等号的另一边 移项法则 不等式的性质 4 猜想“如果 ，那么”正确吗？为什么？如果不正确，应该怎样修正？ 问题 要判断与的大小关系， 即要判断 与的大小关系. 由于， 的正负由的正负决定， 因此需要分类讨论. 不等式的性质 4 猜想“如果 ，那么”正确吗？为什么？如果不正确，应该怎样修正？ 问题 性质4 如果 ，，那么； 如果 ，，那么. ① ，， 证明： 同号相乘得正 不等式的性质 4 猜想“如果 ，那么”正确吗？为什么？如果不正确，应该怎样修正？ 问题 性质4 如果 ，，那么； 如果 ，，那么. ② ，， 证明： 异号相乘得负 不等式的性质 4 你能用文字语言描述该性质吗？ 问题 性质4 如果 ，，那么； 如果 ，，那么. 不等式两边同乘一个正数，所得不等式与原不等式同向； 不等式两边同乘一个负数，所得不等式与原不等式反向. 可乘性 不等式的性质 5 利用这些基本性质，我们还可以推导出其他一些常用的不等式的性质. 如：在不等式性质3中，不等式两边所加的数是相等的. 如果两边分别加上不相等的两个数，你能得出什么结论？ 问题 如果 ，那么 . 性质2 如果，，那么 . 性质3 如果 ，那么. 猜想 不等式的性质 5 由 ，得. 性质5 如果 ，那么 . 由 ，得. 性质3 性质3 所以 . 性质2 同向不等式相加，不等式方向不变. 同向可加性 不等式的性质 6 类比性质5的发现过程和思考方法，你能对性质4进行变形，得出新的结论吗？ 问题 性质4 如果 ，，那么； 如果 ，，那么. 如果 ，那么 . 猜想 如果 ，那么 . 修正 不等号具有方向性 不等式的性质 6 由 ，，得. 性质6 如果 ，那么 . 由 ，得. 性质4 所以 . 性质4 性质2 同向同正可乘性 不等式的性质 7 如果性质6中 ，，你会获得什么结论？ 问题 如果 ，那么. 性质7 如果 那么 . 推广 实数大小关系的基本事实和不等式的性质是解决不等式问题的基本依据 正数的可乘方性 例题解析 已知 ，，求证 . 例2 分析： 要证明 ，因为 ， 所以可以先证明 . 利用已知和性质4，即可证明 . 证明： 因为 ，所以 ， . 于是 ， 即 . 由，得 . 跟踪训练 用不等号“>”或“<”填空： （1）如果 ，，那么 ； （2）如果 ，，那么 ； （1）因为 ，所以 . 因为 ，所以 ， 即 > （3）如果 ，那么 ； （4）如果 ，那么 . 解析： 跟踪训练 用不等号“>”或“<”填空： （1）如果 ，，那么 ； （2）如果 ，，那么 ； （2）因为 ，所以 . 因为 ，所以 ， 即 > （3）如果 ，那么 ； （4）如果 ，那么 . < 解析： 跟踪训练 用不等号“>”或“<”填空： （1）如果 ，，那么 ； （2）如果 ，，那么 ； 解析： （3）因为 ，所以 ，， 所以 ，所以 ， 由性质7知 ，即 . > （3）如果 ，那么 ； （4）如果 ，那么 . < < 跟踪训练 用不等号“>”或“<”填空： （1）如果 ，，那么 ； （2）如果 ，，那么 ； 解析： （4）因为 ，所以 ，， 于是 ，即 ，所以 . 因为 ，所以 . > （3）如果 ，那么 ； （4）如果 ，那么 . < < < 小结及随堂练习 02 课堂小结 不等式的性质： 性质1 如果，那么；如果，那么. 性质2 如果，，那么. 性质3 如果 ，那么. 性质4 如果 ，，那么； 如果 ，，那么. 基本性质 课堂小结 不等式的性质： 性质5 如果 ，那么 . 性质6 如果 ，那么 . 性质7 如果 那么 . 常用性质 随堂练习 1、下列命题正确的是（ ） 【解析】 A、若，则 ，取 不成立 B、若，则 ，取 不成立 C、若，则，正确 D、若，则，取，，，不成立. A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 随堂练习 2、若，则一定有（ ） 【解析】 ∵ ，∴ ， ∴ . 又 ∴ 所以 . A. B. C. D. 随堂练习 3、已知，，则 的大小关系是（ ） 【解析】 ∵ ，∴ . 又 ，所以，，易得 ， 因此，. A. B. C. D. 随堂练习 4、有外表一样，重量不同的四个小球，它们的重量分别是，已知，，，则这四个小球由重到轻的排列顺序是（ ） 【解析】 ∵ ，， ∴ ，即 ，∴ . 又 ，∴ . 综上可得，. A. B. C. D. 随堂练习 5、若，则下列四个数中最小的数是（ ） 【解析】 ∵ ， ∴ ， ，， ， 所以四个数中最小的数是 . A. B. C. D. 随堂练习 6、已知实数满足，，则 的取值范围是（ ） 【解析】 令 ，， A. B. C. D. 则 . 随堂练习 6、已知实数满足，，则 的取值范围是（ ） 【解析】 A. B. C. D. 又∵ ，∴ ， 因此 . ∵ ，∴ ， 随堂练习 7、若，，，求证： . 【解析】 ∵ ，∴ 又 ，∴ ， 则 ，即 . 又 ，∴ . 谢谢观看 第二章 第 2.1 节 第 2 课时 授课：XXX $$ 等式性质与 不等式性质 第二章 第 2.1 节 第 2 课时 授课：XXX 学习目标 能类比等式基本性质的研究方法，研究不等式的基本性质，体会等式基本性质与不等式基本性质的共性与差异性. 掌握不等式的基本性质及其成立的条件，能利用不等式的基本性质比较大小或证明简单的不等式. 02 ` 01 核心素养 数学抽象 类比等式基本性质的研究方法，猜想不等式的基本性质. 逻辑推理 利用不等式的基本性质进行相关证明. 知识回顾 ； ； . 等式性质与 不等式的性质 相等关系与 不等关系 基本事实 重要不等式 ，有 当且仅当 时，等号成立. 等式性质与 01 不等式的性质 新知探究 上节课我们学习了利用等式和不等式描述现实问题中的相等关系和不等关系，掌握了两个实数大小关系的基本事实，并且知道与解方程要用等式的性质一样，解不等式要用不等式的性质. 那么该如何研究不等式的性质？ 问题 因为不等式与等式一样，都是对大小关系的刻画， 所以我们可以从等式的性质及其研究方法出发，通过类比研究不等式性质. 新知探究 等式有哪些性质？你能分别用文字语言和符号语言表示吗？ 问题 性质1 如果 ，那么 . 性质2 如果 ，，那么 . 等式具有对称性. 等式具有传递性. 新知探究 等式有哪些性质？你能分别用文字语言和符号语言表示吗？ 问题 性质3 如果 ，那么 . 性质4 如果 ，那么 . 性质5 如果 ，那么 . 等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等. 等式两边乘同一个数，结果仍相等. 等式两边除以同一个不为0的数，结果仍相等. 新知探究 以上五条性质有什么共同特点？ 问题 可以发现： 性质1，2反映了相等关系自身的特性， 性质3，4，5是从运算的角度提出的，反映了等式在运算中保持的不变性. 而这两个方面反映了“式的大小关系”的本质属性，这些基本属性为探究不等式的基本性质指明了方向. 新知探究 你能类比“相等关系自身的特性”猜想出“不等关系自身的特性”，并加以证明吗？ 问题 类比等式的性质1，2，可以猜想不等式有如下性质： 性质1 如果，那么；如果，那么. 性质2 如果，，那么. 不等式的性质 1 要证明“如果，那么”，其本质是比较两个数的大小. 性质1 如果，那么；如果，那么. 作差法 由 可得 ， 于是 ， 即 ， 于是 . 两个实数大小关系的基本事实 正数的相反数是负数 不等式的性质 1 要证明“如果，那么”，其本质是比较两个数的大小. 性质1 如果，那么；如果，那么. 作差法 由 可得 ， 于是 ， 即 ， 于是 . 两个实数大小关系的基本事实 负数的相反数是正数 对称性 即 不等式的性质 2 由两个实数大小关系的基本事实知 性质2 如果 ，，那么 . 两个正数的和仍为正数 要证明“”， 只需要证明 . 传递性 新知探究 你能类比“运算中保持的不变性”猜想不等式的性质吗？ 问题 类比等式的性质3，4，5，猜测不等式有如下性质： 如果 ，那么； 如果 ，那么； 如果 ，那么； 如果 ， ，那么 . 新知探究 你能证明猜想“如果 ，那么”吗？ 问题 由 ，得 ， 所以 即 ， 所以 . 因为减去一个数等于加上这个数的相反数，所以在实数范围内，减法可以化归为加法 如果 ，那么 可看作 要证明“”，只需证明 . 不等式的性质 3 从不同角度表述不等式的性质，可以加深理解. 你能用文字语言描述该性质吗？ 问题 不等式的两边都加上同一个实数，所得不等式与原不等式同向. 性质3 如果 ，那么. 不等式对加法运算保持不变性 可加性 不等式的性质 3 两个实数大小关系可以借助数轴上的点进行直观描述，那么你能利用数轴解释性质3吗？ 问题 如图， 把数轴上的两个点与同时沿相同方向移动相等的距离， 得到另两个点与，与和与的左右位置关系不会改变. 不等式的性质 3 你能从性质3中得到什么结论吗？ 问题 由性质3可得， 这表明，不等式中任何一项可以改变符号后移到不等号的另一边 移项法则 不等式的性质 4 猜想“如果 ，那么”正确吗？为什么？如果不正确，应该怎样修正？ 问题 要判断与的大小关系， 即要判断 与的大小关系. 由于， 的正负由的正负决定， 因此需要分类讨论. 不等式的性质 4 猜想“如果 ，那么”正确吗？为什么？如果不正确，应该怎样修正？ 问题 性质4 如果 ，，那么； 如果 ，，那么. ① ，， 证明： 同号相乘得正 不等式的性质 4 猜想“如果 ，那么”正确吗？为什么？如果不正确，应该怎样修正？ 问题 性质4 如果 ，，那么； 如果 ，，那么. ② ，， 证明： 异号相乘得负 不等式的性质 4 你能用文字语言描述该性质吗？ 问题 性质4 如果 ，，那么； 如果 ，，那么. 不等式两边同乘一个正数，所得不等式与原不等式同向； 不等式两边同乘一个负数，所得不等式与原不等式反向. 可乘性 不等式的性质 5 利用这些基本性质，我们还可以推导出其他一些常用的不等式的性质. 如：在不等式性质3中，不等式两边所加的数是相等的. 如果两边分别加上不相等的两个数，你能得出什么结论？ 问题 如果 ，那么 . 性质2 如果，，那么 . 性质3 如果 ，那么. 猜想 不等式的性质 5 由 ，得. 性质5 如果 ，那么 . 由 ，得. 性质3 性质3 所以 . 性质2 同向不等式相加，不等式方向不变. 同向可加性 不等式的性质 6 类比性质5的发现过程和思考方法，你能对性质4进行变形，得出新的结论吗？ 问题 性质4 如果 ，，那么； 如果 ，，那么. 如果 ，那么 . 猜想 如果 ，那么 . 修正 不等号具有方向性 不等式的性质 6 由 ，，得. 性质6 如果 ，那么 . 由 ，得. 性质4 所以 . 性质4 性质2 同向同正可乘性 不等式的性质 7 如果性质6中 ，，你会获得什么结论？ 问题 如果 ，那么. 性质7 如果 那么 . 推广 实数大小关系的基本事实和不等式的性质是解决不等式问题的基本依据 正数的可乘方性 例题解析 已知 ，，求证 . 例2 分析： 要证明 ，因为 ， 所以可以先证明 . 利用已知和性质4，即可证明 . 证明： 因为 ，所以 ， . 于是 ， 即 . 由，得 . 跟踪训练 用不等号“>”或“<”填空： （1）如果 ，，那么 ； （2）如果 ，，那么 ； （1）因为 ，所以 . 因为 ，所以 ， 即 > （3）如果 ，那么 ； （4）如果 ，那么 . 解析： 跟踪训练 用不等号“>”或“<”填空： （1）如果 ，，那么 ； （2）如果 ，，那么 ； （2）因为 ，所以 . 因为 ，所以 ， 即 > （3）如果 ，那么 ； （4）如果 ，那么 . < 解析： 跟踪训练 用不等号“>”或“<”填空： （1）如果 ，，那么 ； （2）如果 ，，那么 ； 解析： （3）因为 ，所以 ，， 所以 ，所以 ， 由性质7知 ，即 . > （3）如果 ，那么 ； （4）如果 ，那么 . < < 跟踪训练 用不等号“>”或“<”填空： （1）如果 ，，那么 ； （2）如果 ，，那么 ； 解析： （4）因为 ，所以 ，， 于是 ，即 ，所以 . 因为 ，所以 . > （3）如果 ，那么 ； （4）如果 ，那么 . < < < 小结及随堂练习 02 课堂小结 不等式的性质： 性质1 如果，那么；如果，那么. 性质2 如果，，那么. 性质3 如果 ，那么. 性质4 如果 ，，那么； 如果 ，，那么. 基本性质 课堂小结 不等式的性质： 性质5 如果 ，那么 . 性质6 如果 ，那么 . 性质7 如果 那么 . 常用性质 随堂练习 1、下列命题正确的是（ ） 【解析】 A、若，则 ，取 不成立 B、若，则 ，取 不成立 C、若，则，正确 D、若，则，取，，，不成立. A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 随堂练习 2、若，则一定有（ ） 【解析】 ∵ ，∴ ， ∴ . 又 ∴ 所以 . A. B. C. D. 随堂练习 3、已知，，则 的大小关系是（ ） 【解析】 ∵ ，∴ . 又 ，所以，，易得 ， 因此，. A. B. C. D. 随堂练习 4、有外表一样，重量不同的四个小球，它们的重量分别是，已知，，，则这四个小球由重到轻的排列顺序是（ ） 【解析】 ∵ ，， ∴ ，即 ，∴ . 又 ，∴ . 综上可得，. A. B. C. D. 随堂练习 5、若，则下列四个数中最小的数是（ ） 【解析】 ∵ ， ∴ ， ，， ， 所以四个数中最小的数是 . A. B. C. D. 随堂练习 6、已知实数满足，，则 的取值范围是（ ） 【解析】 令 ，， A. B. C. D. 则 . 随堂练习 6、已知实数满足，，则 的取值范围是（ ） 【解析】 A. B. C. D. 又∵ ，∴ ， 因此 . ∵ ，∴ ， 随堂练习 7、若，，，求证： . 【解析】 ∵ ，∴ 又 ，∴ ， 则 ，即 . 又 ，∴ . 谢谢观看 第二章 第 2.1 节 第 2 课时 授课：XXX $$