2.1 等式性质与不等式性质（第1课时）-【数学一起课件】高中数学必修第一册同步PPT课件（人教A版2019）

等式性质与 不等式性质 第二章 第 2.1 节 第 1 课时 授课：XXX 学习目标 能从情境中抽象出不等关系，理解不等式的概念. 会用不等式（组）表示简单的不等关系. 理解两个实数大小关系的基本事实，初步学会用作差法比较两个实数的大小. 03 02 ` 01 核心素养 数学抽象 在实际问题中发现不等关系，并表示出不等关系. 逻辑推理 会用不等式（组）表示简单的不等关系. 数学运算 用作差法比较两个实数的大小. 新课导入 现实生活中最简单的数量关系就是相等关系和不等关系，回顾初中等式、不等式的学习过程，你能否说一说我们研究了哪些内容，是按照怎样的路径去研究的？ 问题 现实背景 相等关系与等式 等式的性质 方程及其解法 应用 等式的研究路径： 相等关系与 01 不等关系 新知探究 在现实世界和日常生活中，大量存在着相等关系和不等关系，你能举出几个具有相等或不等关系的例子吗？ 问题 快与慢 轻与重 长与短 新知探究 常见的不等关系有哪些？你能用文字语言和符号语言表述吗？ 问题 文字语言 符号语言 小于 < 大于 > 小于或等于（不大于） 大于或等于（不小于） 不等于 新知探究 你能用不等式或不等式组表示下列问题中的不等关系吗？ 问题 （1）某路段限速 40 km/h； （2）某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量应不少于2.5%，蛋白质的含量应不少于2.3%； （3）三角形两边之和大于第三边、两边之差小于第三边； （4）连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短. （1）设在该路段行驶的汽车的速度为 km/h， “限速 40 km/h” 就是 的大小不能超过 40，于是 新知探究 你能用不等式或不等式组表示下列问题中的不等关系吗？ 问题 （1）某路段限速 40 km/h； （2）某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量应不少于2.5%，蛋白质的含量应不少于2.3%； （3）三角形两边之和大于第三边、两边之差小于第三边； （4）连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短. （2）由题意，得， 新知探究 你能用不等式或不等式组表示下列问题中的不等关系吗？ 问题 （1）某路段限速 40 km/h； （2）某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量应不少于2.5%，蛋白质的含量应不少于2.3%； （3）三角形两边之和大于第三边、两边之差小于第三边； （4）连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短. （3）设 的三条边为 ，则 你能写出其他的可能情况吗？ 新知探究 你能用不等式或不等式组表示下列问题中的不等关系吗？ 问题 （1）某路段限速 40 km/h； （2）某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量应不少于2.5%，蛋白质的含量应不少于2.3%； （3）三角形两边之和大于第三边、两边之差小于第三边； （4）连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短. 其他的可能情况： ； . 新知探究 你能用不等式或不等式组表示下列问题中的不等关系吗？ 问题 （1）某路段限速 40 km/h； （2）某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量应不少于2.5%，蛋白质的含量应不少于2.3%； （3）三角形两边之和大于第三边、两边之差小于第三边； （4）连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短. （4）如图所示，设是直线外的任意一点，垂直于，垂足为，是直线上不同于的任意一点，则 . 新知探究 你能归纳一下上述用不等式或不等式组表示实际问题或数学问题中不等关系的基本过程吗？ 问题 阅读实际问题 提取变量 获取量之间的关系 用符号语言翻译 写出不等式（组） 新知探究 某种杂志原以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本. 据市场调查，杂志的单价每提高0.1元，销售量就可能减少2000本. 如何定价才能使提价后的销售总收入不低于20万元？ 问题 设提价后每本杂志的定价为元， 则销售总收入为 万元. 于是，不等关系“销售总收入不低于20万元”可以用不等式表示为 ① 0.2 万 求出不等式①的解集，就能知道满足条件的杂志的定价范围. 新知探究 如何解这个不等式呢？ 问题 解方程 等式的性质 解不等式 不等式的性质 依据 依据 类比 新知探究 回顾一下在初中我们归纳出的一些不等式的性质，这些性质是正确的吗？ 问题 性质1 性质2 性质3 如果 ，，那 么 (或 ). 如果 ，，那 么 (或 ). 如果 ，那 么 . 新知探究 研究不等式性质，要从比较两个实数大小关系的基本事实出发. 如何比较两个实数的大小关系呢？ 问题 由于数轴上的点与实数一一对应，所以可以利用数轴上点的位置关系来规定实数的大小关系. 如图，设是两个实数，它们在数轴上所对应的点分别是. 当点在点的左边时，. 当点在点的右边时，. 两个实数大小关系的基本事实 关于实数 大小的比较，有以下基本事实： 如果 是正数，那么 ； 如果 等于，那么 ； 如果 是负数，那么 . 反过来也对 这个基本事实可以表示为 ； ； . 两个实数大小关系的基本事实 利用数轴上点的位置关系来确定实数的大小关系，如果是代数式的话，则在数轴上无法直接标出其具体的位置. 只有通过代数运算，才能将其转化成与之等价的、可直接看出大小的代数式. 从上述基本事实可知，要比较两个实数的大小，可以转化为比较它们的差与0的大小，这样就能通过减法运算和代数变形，实现问题的解决. 用基本事实作为理论工具去比较两个数的大小有什么优点？ 问题 作差法 例题解析 比较和的大小. 例1 分析： 如何比较这两个多项式的大小关系？ 通过考察这两个多项式的差与0的大小关系，可以得出它们的大小关系. 解： 因为 所以 . 0是正数与负数的分界点，它为实数比较大小提供了“标杆”. 新知探究 如图是在北京召开的第24届国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去像一个风车，代表中国人民热情好客. 你能在这个图中找出一些相等关系和不等关系吗？ 问题 「 赵爽弦图 」的构成： 由4个全等的直角三角形围成一个大正方形，中空的部分是一个小正方形. 新知探究 若用表示直角三角形的两条直角边，你能表示出图中四个直角三角形和大正方形的面积吗？ 问题 将图中的“风车”抽象成图1. 在正方形中有4个全等的直角三角形. 设直角三角形的两条直角边的长为， 那么正方形的边长为 . 这样，4个直角三角形的面积和为 ， 正方形的面积为 . 图1 新知探究 四个直角三角形的面积与大正方形面积之间存在的相等和不等关系，你能表示出来吗？ 问题 由于正方形的面积大于4个直角三角形的面积和， 我们就得到了一个不等式 . 新知探究 四个直角三角形的面积与大正方形面积之间存在的相等和不等关系，你能表示出来吗？ 问题 当直角三角形变为等腰直角三角形， 即 时，正方形 缩为一个点， 这时有 . 新知探究 四个直角三角形的面积与大正方形面积之间存在的相等和不等关系，你能表示出来吗？ 问题 于是就有 新知探究 从上述发现关系的过程来看为正数，对于 ， 这个不等式成立吗？为什么？ 问题 根据完全平方公式，得 所以 ， 当且仅当 时，等号成立. 不等式是否成立其实质就是比较两个数的大小， 其理论基础就是两个实数大小关系的基本事实. 一个重要不等式 一般地，，有 当且仅当 时，等号成立. 重要不等式： 跟踪训练 1. 用不等式或不等式组表示下面的不等关系： （1）某高速公路规定通过车辆的车货总高度 (单位：m)从地面算起不能超过 4 m； （2） 与 的和是非负实数； 解： （1） . （2） . 结合实际问题来考虑 非负数是“大于或等于0的数” 跟踪训练 1. 用不等式或不等式组表示下面的不等关系： （3）如图，在一个面积小于 350 m2 的矩形地基的中心位置上建造一个仓库，仓库的四周建成绿地，仓库的长 (单位：m)大于宽 (单位：m)的4倍. 解： （3） 仓库 绿地 5m 5m 5m 5m 跟踪训练 2. 比较和的大小. 解： 因为 所以 . 跟踪训练 3. 已知 ，证明 . 证明： 因为 ，所以 ， 所以 所以 . 因为 所以 . 综上可知，当 ，. 小结及随堂练习 02 课堂小结 ； ； . 等式性质与 不等式的性质 相等关系与 不等关系 基本事实 重要不等式 ，有 当且仅当 时，等号成立. 随堂练习 1、完成一项装修工程，请木工需付工资每人500元，请瓦工需付工资每人400元，现有工人工资预算20000元，设木工人，瓦工人，则请工人需满足的关系式是（ ） 【解析】 由题意 满足的不等式关系为 即 . A. B. C. D. 随堂练习 2、某同学拿50元钱买纪念邮票，票面8角的每套5张，票面2元的每套4张，如果每种邮票至少买两套，那么买票面8角的套与票面2元的套用不等式表示为（ ） A. B. C. D. 随堂练习 3、设 ，，则与的大小关系是（ ） 【解析】 ∵ ， ∴ . A. B. C. D. 与 有关 随堂练习 4、若 ，，且，，则 从小到大的排列顺序是（ ） 【解析】 ∵ ，∴ 中一个大于 ，一个小于 . ∵ ，∴ . ∵ ，∴ 中一个大于 ，一个小于. ∵ ，∴ . ∵ ，∴ . A. B. C. D. 随堂练习 5、已知为不全相等的实数，，，那么与的大小关系是（ ） 【解析】 ∵ 又∵ 为不全相等的实数， ∴ 等号取不到， ∴ . A. B. C. D. 随堂练习 6、已知 均为正实数，试利用作差法比较 与 的大小. 【解析】 ∵ 随堂练习 6、已知 均为正实数，试利用作差法比较 与 的大小. 【解析】 又 均为正实数， 当时，，； 当时， ，， 则 . 综上所述， . 随堂练习 7、已知 ，，证明： 【解析】 随堂练习 7、已知 ，，证明： 【解析】 随堂练习 7、已知 ，，证明： 【解析】 因为 ，， 所以，，， 所以 ， 故 ， 所以 . 谢谢观看 第二章 第 2.1 节 第 1 课时 授课：XXX $$ 等式性质与 不等式性质 第二章 第 2.1 节 第 1 课时 授课：XXX 学习目标 能从情境中抽象出不等关系，理解不等式的概念. 会用不等式（组）表示简单的不等关系. 理解两个实数大小关系的基本事实，初步学会用作差法比较两个实数的大小. 03 02 ` 01 核心素养 数学抽象 在实际问题中发现不等关系，并表示出不等关系. 逻辑推理 会用不等式（组）表示简单的不等关系. 数学运算 用作差法比较两个实数的大小. 新课导入 现实生活中最简单的数量关系就是相等关系和不等关系，回顾初中等式、不等式的学习过程，你能否说一说我们研究了哪些内容，是按照怎样的路径去研究的？ 问题 现实背景 相等关系与等式 等式的性质 方程及其解法 应用 等式的研究路径： 相等关系与 01 不等关系 新知探究 在现实世界和日常生活中，大量存在着相等关系和不等关系，你能举出几个具有相等或不等关系的例子吗？ 问题 快与慢 轻与重 长与短 新知探究 常见的不等关系有哪些？你能用文字语言和符号语言表述吗？ 问题 文字语言 符号语言 小于 < 大于 > 小于或等于（不大于） 大于或等于（不小于） 不等于 新知探究 你能用不等式或不等式组表示下列问题中的不等关系吗？ 问题 （1）某路段限速 40 km/h； （2）某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量应不少于2.5%，蛋白质的含量应不少于2.3%； （3）三角形两边之和大于第三边、两边之差小于第三边； （4）连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短. （1）设在该路段行驶的汽车的速度为 km/h， “限速 40 km/h” 就是 的大小不能超过 40，于是 新知探究 你能用不等式或不等式组表示下列问题中的不等关系吗？ 问题 （1）某路段限速 40 km/h； （2）某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量应不少于2.5%，蛋白质的含量应不少于2.3%； （3）三角形两边之和大于第三边、两边之差小于第三边； （4）连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短. （2）由题意，得， 新知探究 你能用不等式或不等式组表示下列问题中的不等关系吗？ 问题 （1）某路段限速 40 km/h； （2）某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量应不少于2.5%，蛋白质的含量应不少于2.3%； （3）三角形两边之和大于第三边、两边之差小于第三边； （4）连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短. （3）设 的三条边为 ，则 你能写出其他的可能情况吗？ 新知探究 你能用不等式或不等式组表示下列问题中的不等关系吗？ 问题 （1）某路段限速 40 km/h； （2）某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量应不少于2.5%，蛋白质的含量应不少于2.3%； （3）三角形两边之和大于第三边、两边之差小于第三边； （4）连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短. 其他的可能情况： ； . 新知探究 你能用不等式或不等式组表示下列问题中的不等关系吗？ 问题 （1）某路段限速 40 km/h； （2）某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量应不少于2.5%，蛋白质的含量应不少于2.3%； （3）三角形两边之和大于第三边、两边之差小于第三边； （4）连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短. （4）如图所示，设是直线外的任意一点，垂直于，垂足为，是直线上不同于的任意一点，则 . 新知探究 你能归纳一下上述用不等式或不等式组表示实际问题或数学问题中不等关系的基本过程吗？ 问题 阅读实际问题 提取变量 获取量之间的关系 用符号语言翻译 写出不等式（组） 新知探究 某种杂志原以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本. 据市场调查，杂志的单价每提高0.1元，销售量就可能减少2000本. 如何定价才能使提价后的销售总收入不低于20万元？ 问题 设提价后每本杂志的定价为元， 则销售总收入为 万元. 于是，不等关系“销售总收入不低于20万元”可以用不等式表示为 ① 0.2 万 求出不等式①的解集，就能知道满足条件的杂志的定价范围. 新知探究 如何解这个不等式呢？ 问题 解方程 等式的性质 解不等式 不等式的性质 依据 依据 类比 新知探究 回顾一下在初中我们归纳出的一些不等式的性质，这些性质是正确的吗？ 问题 性质1 性质2 性质3 如果 ，，那 么 (或 ). 如果 ，，那 么 (或 ). 如果 ，那 么 . 新知探究 研究不等式性质，要从比较两个实数大小关系的基本事实出发. 如何比较两个实数的大小关系呢？ 问题 由于数轴上的点与实数一一对应，所以可以利用数轴上点的位置关系来规定实数的大小关系. 如图，设是两个实数，它们在数轴上所对应的点分别是. 当点在点的左边时，. 当点在点的右边时，. 两个实数大小关系的基本事实 关于实数 大小的比较，有以下基本事实： 如果 是正数，那么 ； 如果 等于，那么 ； 如果 是负数，那么 . 反过来也对 这个基本事实可以表示为 ； ； . 两个实数大小关系的基本事实 利用数轴上点的位置关系来确定实数的大小关系，如果是代数式的话，则在数轴上无法直接标出其具体的位置. 只有通过代数运算，才能将其转化成与之等价的、可直接看出大小的代数式. 从上述基本事实可知，要比较两个实数的大小，可以转化为比较它们的差与0的大小，这样就能通过减法运算和代数变形，实现问题的解决. 用基本事实作为理论工具去比较两个数的大小有什么优点？ 问题 作差法 例题解析 比较和的大小. 例1 分析： 如何比较这两个多项式的大小关系？ 通过考察这两个多项式的差与0的大小关系，可以得出它们的大小关系. 解： 因为 所以 . 0是正数与负数的分界点，它为实数比较大小提供了“标杆”. 新知探究 如图是在北京召开的第24届国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去像一个风车，代表中国人民热情好客. 你能在这个图中找出一些相等关系和不等关系吗？ 问题 「 赵爽弦图 」的构成： 由4个全等的直角三角形围成一个大正方形，中空的部分是一个小正方形. 新知探究 若用表示直角三角形的两条直角边，你能表示出图中四个直角三角形和大正方形的面积吗？ 问题 将图中的“风车”抽象成图1. 在正方形中有4个全等的直角三角形. 设直角三角形的两条直角边的长为， 那么正方形的边长为 . 这样，4个直角三角形的面积和为 ， 正方形的面积为 . 图1 新知探究 四个直角三角形的面积与大正方形面积之间存在的相等和不等关系，你能表示出来吗？ 问题 由于正方形的面积大于4个直角三角形的面积和， 我们就得到了一个不等式 . 新知探究 四个直角三角形的面积与大正方形面积之间存在的相等和不等关系，你能表示出来吗？ 问题 当直角三角形变为等腰直角三角形， 即 时，正方形 缩为一个点， 这时有 . 新知探究 四个直角三角形的面积与大正方形面积之间存在的相等和不等关系，你能表示出来吗？ 问题 于是就有 新知探究 从上述发现关系的过程来看为正数，对于 ， 这个不等式成立吗？为什么？ 问题 根据完全平方公式，得 所以 ， 当且仅当 时，等号成立. 不等式是否成立其实质就是比较两个数的大小， 其理论基础就是两个实数大小关系的基本事实. 一个重要不等式 一般地，，有 当且仅当 时，等号成立. 重要不等式： 跟踪训练 1. 用不等式或不等式组表示下面的不等关系： （1）某高速公路规定通过车辆的车货总高度 (单位：m)从地面算起不能超过 4 m； （2） 与 的和是非负实数； 解： （1） . （2） . 结合实际问题来考虑 非负数是“大于或等于0的数” 跟踪训练 1. 用不等式或不等式组表示下面的不等关系： （3）如图，在一个面积小于 350 m2 的矩形地基的中心位置上建造一个仓库，仓库的四周建成绿地，仓库的长 (单位：m)大于宽 (单位：m)的4倍. 解： （3） 仓库 绿地 5m 5m 5m 5m 跟踪训练 2. 比较和的大小. 解： 因为 所以 . 跟踪训练 3. 已知 ，证明 . 证明： 因为 ，所以 ， 所以 所以 . 因为 所以 . 综上可知，当 ，. 小结及随堂练习 02 课堂小结 ； ； . 等式性质与 不等式的性质 相等关系与 不等关系 基本事实 重要不等式 ，有 当且仅当 时，等号成立. 随堂练习 1、完成一项装修工程，请木工需付工资每人500元，请瓦工需付工资每人400元，现有工人工资预算20000元，设木工人，瓦工人，则请工人需满足的关系式是（ ） 【解析】 由题意 满足的不等式关系为 即 . A. B. C. D. 随堂练习 2、某同学拿50元钱买纪念邮票，票面8角的每套5张，票面2元的每套4张，如果每种邮票至少买两套，那么买票面8角的套与票面2元的套用不等式表示为（ ） A. B. C. D. 随堂练习 3、设 ，，则与的大小关系是（ ） 【解析】 ∵ ， ∴ . A. B. C. D. 与 有关 随堂练习 4、若 ，，且，，则 从小到大的排列顺序是（ ） 【解析】 ∵ ，∴ 中一个大于 ，一个小于 . ∵ ，∴ . ∵ ，∴ 中一个大于 ，一个小于. ∵ ，∴ . ∵ ，∴ . A. B. C. D. 随堂练习 5、已知为不全相等的实数，，，那么与的大小关系是（ ） 【解析】 ∵ 又∵ 为不全相等的实数， ∴ 等号取不到， ∴ . A. B. C. D. 随堂练习 6、已知 均为正实数，试利用作差法比较 与 的大小. 【解析】 ∵ 随堂练习 6、已知 均为正实数，试利用作差法比较 与 的大小. 【解析】 又 均为正实数， 当时，，； 当时， ，， 则 . 综上所述， . 随堂练习 7、已知 ，，证明： 【解析】 随堂练习 7、已知 ，，证明： 【解析】 随堂练习 7、已知 ，，证明： 【解析】 因为 ，， 所以，，， 所以 ， 故 ， 所以 . 谢谢观看 第二章 第 2.1 节 第 1 课时 授课：XXX $$