专题01 三角形-2023-2024学年人教版八年级数学上册解答题必刷专题训练

专题01 三角形-2023-2024学年八年级数学上学期 解答题必刷专题训练（人教版）（原卷版） 1、如图，在6×10的网格中，每一小格均为正方形且边长是1，已知△ABC的每个顶点都在格点上． (1)画出△ABC中BC边上的高线AE； (2)在△ABC中AB边上取点D，连接CD，使； (3)直接写出△BCD的面积是__________． 2、如图，在中，、分别是的高和角平分线，． (1)若，求的度数； (2)试用、的代数式表示的度数_________． 3、如图，△ABC中，∠BAC＝60º，AD平分∠BAC，点E在AB上，EG∥AD， EF⊥AD，垂足为F． (1)求∠1和∠2的度数． (2)联结DE，若S△ADE＝S梯形EFDG，猜想线段EG的长和AF的长有什么关系？说明理由． 4、如图，AD是△ABC的边BC上的中线，已知AB=5，AC=3． （1）边BC的取值范围是 ； （2）△ABD与△ACD的周长之差为 ； （3）在△ABC中，若AB边上的高为2，求AC边上的高． 5、已知直线与互相垂直，垂足为O，点A在射线上运动，点B在射线上运动，点A，B均不与点O重合． （1）如图1，平分平分．若，则______． （2）如图2，平分交于点I，平分的反向延长线交的延长线于点D． ①若，则_______． ②在点A，B的运动过程中，的大小是否会发生变化？若不变，求出的度数；若变化，请说明理由． （3） 如图3，已知点E在的延长线上，的平分线的平分线与的平分线所在的直线分别相交于点D，F．在中，如果有一个角的度数是另一个角的3倍，请直接写出的度数． 6、问题1：现有一张△ABC纸片，点D、E分别是△ABC边上两点，若沿直线DE折叠． （1）探究1：如果折成图①的形状，使A点落在CE上，则∠1与∠A的数量关系是 ； （2）探究2：如果折成图②的形状，猜想∠1+∠2和∠A的数量关系是 ； （3）探究3：如果折成图③的形状，猜想∠1、∠2和∠A的数量关系，并说明理由． （4） 问题2：将问题1推广，如图④，将四边形ABCD纸片沿EF折叠，使点A、B落在四边形EFCD的内部时，∠1+∠2与∠A、∠B之间的数量关系是 . 7、已知：线段AB、CD相交于点O，连接AD、CB． （1）如图1，求证：∠A＋∠D＝∠B＋∠C； （2）如图2，∠ADC和∠ABC的平分线DE和BE相交于点E，并且与AB、CD分别相交于点M、N，∠A＝28°，∠C＝32°，求∠E的度数； （3）如图3，∠ADC和∠ABC的三等分线DE和BE相交于点E，并且与AB、CD分别相交于点M、N，，，试探究∠A、∠C、∠E三者之间存在的数量关系，并说明理由． 8、如图，∠O＝30°，任意裁剪的直角三角形纸板ABC的两条直角边所在直线与∠O的两边分别交于D，E两点． （1）如图1，若直角顶点C在∠O的边上，则∠ADO+∠OEB＝ 度； （2）如图2，若直角顶点C在∠O的内部，求∠ADO+∠OEB的度数； （3）如图3，若直角顶点C在∠O的外部，求∠ADO+∠OEB的度数． 9．如图所示，在△ABC中，BO，CO分别平分∠ABC和∠ACB；BD、CD分别平分∠ABC和∠ACB的外角． （1）若∠BAC＝70°，求∠BOC的度数； （2）探究∠BDC与∠A的数量关系．（直接写出结论，无需说明理由） 10．已知中，点是延长线上的一点，过点作，平分，平分，与交于点． （1）如图1，若，，求出的度数； （2）如图2，若，试判断与的数量关系，并证明你的结论； （3）如图3，若，求证：． 11、（1）如图1，AB∥CD，∠A=38°，∠C=50°，求∠APC的度数．（提示：作PE∥AB）． （2）如图2，AB∥DC，当点P在线段BD上运动时，∠BAP=∠α，∠DCP=∠β，求∠CPA与∠α，∠β之间的数量关系，并说明理由． （3）在（2）的条件下，如果点P在段线OB上运动，请你直接写出∠CPA与∠α，∠β之间的数量关系________． 试卷第1页，共3页 12、如图1，AB与CD相交于点O，若∠D=38°，∠B=28°，∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P，并且与CD、AB分别相交于M、N．试求： （1）∠P的度数； （2）设∠D=α，∠B=β，∠DAP= ∠DAB，∠DCP= ∠DCB，其他条件不变，如图2，试问∠P与∠D、∠B之间存在着怎样的数量关系（用α、β表示∠P），直接写出结论． 13、如图，在△ABC中，D为AB边上一点，E为BC边上一点，∠BCD＝∠BDC (1)若∠ACD＝15°，∠CAD＝40°，则∠B＝　 　度（直接写出答案）； (2)请说明：∠EAB+∠AEB＝2∠BDC的理由． 14．在四边形ABCD中，∠A＝100°，∠D＝140°． （1）如图①，若∠B＝∠C，则∠B＝　 　度； （2）如图②，作∠BCD的平分线CE交AB于点E．若CE∥AD，求∠B的大小． 15、直线MN与直线PQ垂直相交于O，点A在射线OP上运动，点B在射线OM上运动． (1)如图1，已知AE、BE分别是∠BAO和∠ABO角的平分线，点A、B在运动的过程中，∠AEB的大小是否会发生变化？若发生变化，请说明变化的情况；若不发生变化，试求出∠AEB的大小． (2)如图2，已知AB不平行CD，AD、BC分别是∠BAP和∠ABM的角平分线，又DE、CE分别是∠ADC和∠BCD的角平分线，点A、B在运动的过程中，∠CED的大小是否会发生变化？若发生变化，请说明理由；若不发生变化，试求出其值． (3)如图3，延长BA至G，已知∠BAO、∠OAG的角平分线与∠BOQ的角平分线及延长线相交于E、F，在△AEF中，如果有两个角度数的比是3：2，请直接写出∠ABO的度数 ． 16、（1）如图①，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数； （2）如图②，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H的度数； （3）如图③，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G的度数． 17、在一个三角形中，如果一个角是另一个角的2倍，这样的三角形我们称之为“倍角三角形”．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，点P是线段AB上一点（不与A、B重合），连接CP． （1）当∠B＝72°时； ①若∠CPB＝54°，则△ACP　是　“倍角三角形”（填“是”或“否”）； ②若△BPC是“倍角三角形”，求∠ACP的度数； （2）当△ABC、△BPC、△ACP都是“倍角三角形”时，求∠BCP的度数． 18、如图1所示，将一副三角板的直角顶点重合在点O处． （1）∠AOD　　∠BOC；（填“＞”“＜”“＝”） （2）若将三角尺按图2的位置摆放，∠AOC和∠BOD在数量上有何关系？说明理由； （3）在图2中，已知∠BOC与∠AOC的度数比为m：n，当a6mb11与an+1b2n﹣11是同类项时，求∠BOD的度数． 19、问题1 现有一张△ABC纸片，点D、E分别是△ABC边上两点，若沿直线DE折叠． 研究（1）：如果折成图①的形状，使A点落在CE上，则∠1与∠A的数量关系是　　 研究（2）：如果折成图②的形状，猜想∠1+∠2和∠A的数量关系是　　 研究（3）：如果折成图③的形状，猜想∠1、∠2和∠A的数量关系，并说明理由． 问题2 研究（4）：将问题1推广，如图④，将四边形ABCD纸片沿EF折叠，使点A、B落在四边形EFCD的内部时，∠1+∠2与∠A、∠B之间的数量关系是　　． 20、△ABC中，AD是∠BAC的角平分线，AE是△ABC的高． （1）如图1，若∠B＝40°，∠C＝60°，求∠DAE的度数； （2）如图2（∠B＜∠C），试说明∠DAE与∠B、∠C的数量关系； （3）拓展：如图3，四边形ABDC中，AE是∠BAC的角平分线，DA是∠BDC的角平分线，猜想：∠DAE与∠B、∠C的数量关系是否改变．说明理由． 试卷第2页，共2页 试卷第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 三角形-2023-2024学年八年级数学上学期 解答题必刷专题训练（人教版）（解析版） 1．如图，在6×10的网格中，每一小格均为正方形且边长是1，已知△ABC的每个顶点都在格点上． (1)画出△ABC中BC边上的高线AE； (2)在△ABC中AB边上取点D，连接CD，使； (3)直接写出△BCD的面积是__________． 【答案】(1)画图见解析(2)画图见解析(3) 【解析】【分析】 （1）利用网格线过A作BC的垂线即可； （2）利用网格线的特点，取格点D，满足，则D即为所求作的点； （3）利用三角形的面积公式直接计算即可． (1)解：如图，即为BC上的高． (2)如图，利用网格特点，可得， ∴D即为所求作的点，满足． (3)． 【点睛】 本题考查的是画三角形的高，三角形的面积的计算，熟悉等高的两个三角形的面积之间的关系是解本题的关键． 2、如图，在中，、分别是的高和角平分线，． (1)若，求的度数； (2)试用、的代数式表示的度数_________． 【答案】(1) (2)【解析】 【分析】 （1）根据三角形的内角和定理求出∠ACB的值，再由角平分线的性质以及直角三角形的性质求出∠DCE． （2）由（1）的解题思路即可得正确结果． (1)解：， ， 是的平分线，．是高线， ， ， ． (2) 解：， ， 是的平分线， ． 是高线，，， ． 【点睛】本题主要考查角平分线，高线以及角的转换，掌握角平分线，高线的性质是解题的关键． 3、如图，△ABC中，∠BAC＝60º，AD平分∠BAC，点E在AB上，EG∥AD， EF⊥AD，垂足为F． (1)求∠1和∠2的度数． (2)联结DE，若S△ADE＝S梯形EFDG，猜想线段EG的长和AF的长有什么关系？说明理由． 【答案】(1)30º；60º (2)相等，理由见解析 【解析】 【分析】 (1)利用角平分线的定义求得，然后在直角三角形中利用两锐角互余即可求得∠2，再利用平行线的性质即可求得∠1的度数． (2)根据S△ADE＝S梯形EFDG可得AD=DF+EG，结合图形即可求解． (1) ∵∠BAC＝60º，AD平分∠BAC， ∴， 又∵EF⊥AD， ∴， ∵EG∥AD， ∴． (2) 相等．　理由如下： ∵EF⊥AD， ∴S△ADE=，S梯形EFDG= ∵S△ADE= S梯形EFDG ∴= ∴AD=DF+EG， ∵AD=AF+DF， ∴DF+EG =AF+DF， 即AF=EG． 【点睛】 本题考查了平行线的性质，角平分线的定义以及三角形和梯形的面积公式，熟练掌握平行线的性质和角平分线的定义是解题的关键． 4、如图，AD是△ABC的边BC上的中线，已知AB=5，AC=3． （1）边BC的取值范围是 ； （2）△ABD与△ACD的周长之差为 ； （3）在△ABC中，若AB边上的高为2，求AC边上的高． 【答案】（1）；（2）；（3）． 【解析】 【分析】 （1）直接根据三角形三边关系进行解答即可； （2）根据三角形中线将△ABD与△ACD的周长之差转换为和的差即可得出答案； （3）设AC边上的高为，根据三角形面积公式列出方程求解即可． 【详解】 解：（1）∵△ABC中AB=5，AC=3，∴，即，故答案为：； （2）∵△ABD的周长为， △ACD的周长为，∵AD是△ABC的边BC上的中线，∴， ∴-()=，故答案为：； （3）设AC边上的高为， 根据题意得：, 即，解得． 【点睛】 本题考查了三角形三边关系，三角形的中线，三角形的高等知识点，熟练掌握基础知识是解本题的关键． 5、已知直线与互相垂直，垂足为O，点A在射线上运动，点B在射线上运动，点A，B均不与点O重合． （1）如图1，平分平分．若，则______． （2）如图2，平分交于点I，平分的反向延长线交的延长线于点D． ①若，则_______． ②在点A，B的运动过程中，的大小是否会发生变化？若不变，求出的度数；若变化，请说明理由． （3） 如图3，已知点E在的延长线上，的平分线的平分线与的平分线所在的直线分别相交于点D，F．在中，如果有一个角的度数是另一个角的3倍，请直接写出的度数． （1）135；（2）①45；②的大小不会发生变化，；（3）或． 【分析】 （1）先求出∠IBA、∠MAB，根据∠AIB=180°-（∠IBA+∠IAB）求解即可； （2）①由∠CBA=∠D+∠BAD求出∠CBA、∠BAD即可解答；②由点A、B在运动的过程中，∠ADB=45°，可得∠D=∠CBA-∠BAD=∠MBA-∠BAO=（∠MBA-∠BAO）=∠AOB进行计算即可； （3）先证明∠ABO=2∠D，∠DAF=90°，再分①当时，②当∠DAF=3∠F时，③当时，④当时四种情况分别解答即可． 【详解】 解：如图： （1）∵， ∴ ∵， ∴． ∵平分平分， ∴， ∴． （2）①∵，且平分平分， ∴． ∵， ∴． ②的大小不会发生变化． ∵ ． 故的大小不会发生变化，． （3）∵的平分线，的平分线与的平分线所在的直线分别相交于点D，F， ∴， ∴， ∴． ①当时，， ∴； ②当时，， ∴（舍去）； ③当时，， ∴； ④当时，， ∴（舍去）． 综上，当或时，在中，有一个角的度数是另一个角的3倍． 【点睛】 本题主要考查三角形综合题、三角形内角和定理、角平分线的定义、三角形的外角等知识点，掌握分类讨论的思想并灵活应用相关知识成为解答本题的关键． 6、问题1：现有一张△ABC纸片，点D、E分别是△ABC边上两点，若沿直线DE折叠． （1）探究1：如果折成图①的形状，使A点落在CE上，则∠1与∠A的数量关系是 ； （2）探究2：如果折成图②的形状，猜想∠1+∠2和∠A的数量关系是 ； （3）探究3：如果折成图③的形状，猜想∠1、∠2和∠A的数量关系，并说明理由． （4） 问题2：将问题1推广，如图④，将四边形ABCD纸片沿EF折叠，使点A、B落在四边形EFCD的内部时，∠1+∠2与∠A、∠B之间的数量关系是 . （1）;（2）;（3）见解析;（4） 【分析】 （1）根据三角形外角性质可得； （2）在四边形中，内角和为360°，∠BDA=∠CEA=180°，利用这两个条件，进行角度转化可得关系式； （3）如下图，根据（1）可得∠1=2∠，∠2=2∠，从而推导出关系式； （4）根据平角的定义以及四边形的内角和定理，与（2）类似思路探讨，可得关系式． 【详解】 （1）∵△是△EDA折叠得到 ∴∠A=∠ ∵∠1是△的外角 ∴∠1=∠A+∠ ∴； （2）∵在四边形中，内角和为360° ∴∠A++∠∠=360° 同理，∠A=∠ ∴2∠A+∠∠=360° ∵∠BDA=∠CEA=180 ∴∠1+∠∠+∠2=360° ∴ ； （3）数量关系： 理由：如下图，连接 由（1）可知：∠1=2∠，∠2=2∠ ∴； （4）由折叠性质知：∠2=180°－2∠AEF，∠1=180°－2∠BFE 相加得：． 【点睛】 本题考查角度之间的关系，（4）问的解题思路是相同的，主要运用三角形的内角和定理和四边形的内角和定理进行角度转换． 7、已知：线段AB、CD相交于点O，连接AD、CB． （1）如图1，求证：∠A＋∠D＝∠B＋∠C； （2）如图2，∠ADC和∠ABC的平分线DE和BE相交于点E，并且与AB、CD分别相交于点M、N，∠A＝28°，∠C＝32°，求∠E的度数； （3）如图3，∠ADC和∠ABC的三等分线DE和BE相交于点E，并且与AB、CD分别相交于点M、N，，，试探究∠A、∠C、∠E三者之间存在的数量关系，并说明理由． （1）见解析；（2）30°；（3），见解析 【分析】 （1）根据三角形的内角和定理，结合对顶角相等可求解； （2）由角平分线的定义可得∠ADE=∠CDE，∠ABE=∠CBE，结合（1）可得∠A+∠C=2∠E，再代入计算即可求解； （3）由，可得∠ADE=2∠CDE，∠ABE=2∠CBE，结合（1）可得∠A+2∠C+∠ADE+2∠CBE=3∠E+∠ABE+2∠CDE，进而可求解． 【详解】 （1）证明：∵ ∴， 同理，， 又∵， ∴； （2）如图， 由（1）得，； 同理，，， ∴ ∵DE、BE分别平分和， ∴，， ∴， ∵，， ∴； （3）如图： 由（2）得，，； ∵，， ∴，， ∴，； ∴，； ∴， ∴． 8、如图，∠O＝30°，任意裁剪的直角三角形纸板ABC的两条直角边所在直线与∠O的两边分别交于D，E两点． （1）如图1，若直角顶点C在∠O的边上，则∠ADO+∠OEB＝ 度； （2）如图2，若直角顶点C在∠O的内部，求∠ADO+∠OEB的度数； （3）如图3，若直角顶点C在∠O的外部，求∠ADO+∠OEB的度数． （1）120；（2）120°；（3）120° 【分析】 （1）由三角形外角性质可知，即可得出，即可求出答案； （2）连接OC，由三角形外角性质可知，，即可得出， 即得出答案； （3）连接OC，由三角形外角性质可知，即可得出，即得出答案． 【详解】 解：（1）∵， ∴． 故答案为：120． （2）如图，连接OC， ∵，， ∴ （3）如图，连接OC ∵ ∴ 【点睛】 本题主要考查三角形外角的性质，正确的连接辅助线并利用数形结合的思想是解答本题的关键． 9．如图所示，在△ABC中，BO，CO分别平分∠ABC和∠ACB；BD、CD分别平分∠ABC和∠ACB的外角． （1）若∠BAC＝70°，求∠BOC的度数； （2）探究∠BDC与∠A的数量关系．（直接写出结论，无需说明理由） 【分析】 （1）根据三角形的角平分线定义和三角形的内角和定理求出∠OBC+∠OCB的度数，再根据三角形的内角和定理即可求出∠BOC的度数； （2）根据三角形外角平分线的性质可得∠BCD＝（∠A+∠ABC）、∠DBC＝（∠A+∠ACB）；根据三角形内角和定理可得∠BDC＝90°﹣∠A． 【详解】 解：（1）∵OB、OC分别是∠ABC和∠ACB的角平分线， ∴∠OBC+∠OCB＝∠ABC+∠ACB＝（∠ABC+∠ACB）， ∵∠A＝70°， ∴∠OBC+∠OCB＝（180°﹣70°）＝55°， ∴∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB） ＝180°﹣55° ＝125°； （2）∠BDC＝90°﹣∠A． 理由如下： ∵BD、CD为△ABC两外角∠ABC、∠ACB的平分线， ∴∠BCD＝（∠A+∠ABC）、∠DBC＝（∠A+∠ACB）， 由三角形内角和定理得，∠BDC＝180°﹣∠BCD﹣∠DBC， ＝180°﹣[∠A+（∠A+∠ABC+∠ACB）]， ＝180°﹣（∠A+180°）， ＝90°﹣∠A； 【点睛】 本题考查的是三角形内角和定理，涉及到三角形内角与外角的关系，角平分线的定义，三角形内角和定理，结合图形，灵活运用基本知识解决问题． 10．已知中，点是延长线上的一点，过点作，平分，平分，与交于点． （1）如图1，若，，求出的度数； （2）如图2，若，试判断与的数量关系，并证明你的结论； （3）如图3，若，求证：． （1）∠G=25°；（2）∠A=2∠G，理由见解析；（3）见解析 【分析】 （1）先根据三角形的内角和得∠ABC=40°，分别根据角平分线的定义和三角形内角和定理得∠G的度数； （2）根据三角形内角和定理和角平分线定义，可得∠A和∠G的关系； （3）根据平行线的性质和角平分线定义可得结论． 【详解】 解：（1）如图1， ∵∠ACB=90°，∠A=50°， ∴∠ABC=40°， ∵BG平分∠ABC， ∴∠CBG=20°， ∵DE∥BC， ∴∠CDE=∠BCD=90°， ∵DG平分∠ADE， ∴∠CDF=45°， ∴∠CFD=45°， ∴∠BFD=180°-45°=135°， ∴∠G=180°-20°-135°=25°； （2）∠A=2∠G，理由是：如图2， 由（1）知：∠ABC=2∠FBG，∠CDF=∠CFD， 设∠ABG=x，∠CDF=y， ∵∠ACB=∠DCF， ∴∠A+∠ABC=∠CDF+∠CFD，即∠A+2x=2y， ∴y=∠A+x， 同理得∠A+∠ABG=∠G+∠CDF， ∴∠A+x=∠G+y，即∠A+x=∠G+∠A+x， ∴∠A=2∠G； （3）如图3， ∵EF∥AD， ∴∠DFE=∠CDF， 由（2）得：∠CFD=∠CDF， △FBG中，∠G+∠FBG+∠BFG=180°，∠BFG+∠DFC=180°， ∴∠DFC=∠G+∠FBG， ∴∠DFE=∠CFD=∠FBG+∠G=∠ABC+∠G． ∴ 学科网（北京）股份有限公司 11、 （1）如图1，AB∥CD，∠A=38°，∠C=50°，求∠APC的度数．（提示：作PE∥AB）． （2）如图2，AB∥DC，当点P在线段BD上运动时，∠BAP=∠α，∠DCP=∠β，求∠CPA与∠α，∠β之间的数量关系，并说明理由． （3）在（2）的条件下，如果点P在段线OB上运动，请你直接写出∠CPA与∠α，∠β之间的数量关系________． 【答案】 （1）解：如图1，过P作PE∥AB， ∵AB∥CD， ∴PE∥AB∥CD， ∴∠A＝∠APE，∠C＝∠CPE， ∵∠A=38°，∠C=50°， ∴∠APE＝38°，∠CPE＝50°， ∴∠APC＝∠APE＋∠CPE＝38°＋50°＝88°； （2）解：∠APC＝∠α＋∠β， 理由是：如图2，过P作PE∥AB，交AC于E， ∵AB∥CD， ∴AB∥PE∥CD， ∴∠APE＝∠PAB＝∠α，∠CPE＝∠PCD＝∠β， ∴∠APC＝∠APE＋∠CPE＝∠α＋∠β； （3）∠APC＝∠β-∠α 【考点】平行线的性质，三角形内角和定理，三角形的外角性质 【解析】【解答】解：（3）如图3，过P作PE∥AB，交AC于E， ∵AB∥CD， ∴AB∥PE∥CD， ∴∠PAB＝∠APE＝∠α，∠PCD＝∠CPE＝∠β， ∵∠APC＝∠CPE-∠APE， ∴∠APC＝∠β-∠α． 故答案为：∠APC＝∠β-∠α． 【分析】（1）过点P作PE∥AB，通过平行线性质来求∠APC．（2）过P作PE∥AD交AC于E，推出AB∥PE∥DC，根据平行线的性质得出∠α＝∠APE，∠β＝∠CPE，即可得出答案；（3）若P在段线OB上，画出图形，根据平行线的性质得出∠α＝∠APE，∠β＝∠CPE，依据角的和差关系即可得出答案． 12、 如图1，AB与CD相交于点O，若∠D=38°，∠B=28°，∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P，并且与CD、AB分别相交于M、N．试求： （1）∠P的度数； （2）设∠D=α，∠B=β，∠DAP= ∠DAB，∠DCP= ∠DCB，其他条件不变，如图2，试问∠P与∠D、∠B之间存在着怎样的数量关系（用α、β表示∠P），直接写出结论． 【答案】 （1）解：根据三角形的内角和定理，∠DAP+∠D=∠DCP+∠P， ∴∠DAP-∠DCP=∠P-∠D， ∠DAO+∠D=∠BCO+∠B， ∴∠DAO-∠BCO=∠B-∠D， ∵AP、CP分别为∠DAB和∠BCD的平分线， ∴∠DAO=2∠DAP，∠BCO=2∠DCP， ∴∠DAO-∠BCO=2（∠DAP-∠DCP）， ∴∠B-∠D=2（∠P-∠D）， 整理得，∠P= （∠B+∠D）， ∵∠D=38°，∠B=28°， ∴∠P= （38°+28°）=33° （2）解：根据三角形的内角和定理，∠DAP+∠D=∠DCP+∠P， ∴∠DAP-∠DCP=∠P-∠D， ∠DAO+∠D=∠BCO+∠B， ∴∠DAO-∠BCO=∠B-∠D， ∵∠DAP= ∠DAB，∠DCP= ∠DCB， ∴∠DAO-∠BCO=3（∠DAP-∠DCP）， ∴∠B-∠D=3（∠P-∠D）， 整理得，∠P= （∠B+2∠D）， ∵∠D=α，∠B=β， ∴∠P= （β+2α） 【考点】三角形的角平分线、中线和高，三角形内角和定理 【解析】【分析】（1）先根据三角形的内角和可得∠DAP+∠D=∠DCP+∠P，从而推导得出∠DAO-∠BCO=∠B-∠D，然后根据角的关系进行整理可得∠P的度数； （2）由（1）可得∠DAO-∠BCO=∠B-∠D，利用已知角的关系整理可得∠P与α、β的关系. 13．如图，在△ABC中，D为AB边上一点，E为BC边上一点，∠BCD＝∠BDC (1)若∠ACD＝15°，∠CAD＝40°，则∠B＝　 　度（直接写出答案）； (2)请说明：∠EAB+∠AEB＝2∠BDC的理由． 【解析】 (1)解：∵∠ACD＝15°，∠CAD＝40°， ∴∠BDC＝∠ACD+∠CAD＝55°， ∴∠BCD＝∠BDC＝55°． 在△BCD中，∠BDC+∠BCD+∠B＝180°， ∴∠B＝180°﹣55°﹣55°＝70°． 故答案为：70； (2)解：在△ABE中，∠EAB+∠AEB+∠B＝180°， ∴∠EAB+∠AEB＝180°﹣∠B． 在△BCD中，∠BDC+∠BCD+∠B＝180°，∠BCD＝∠BDC， ∴2∠BDC＝180°﹣∠B， ∴∠EAB+∠AEB＝2∠BDC． 【点睛】 本题考查了三角形内角和定理以及三角形的外角性质，解题的关键是：（1）利用三角形的外角性质，求出∠BDC的度数；（2）利用三角形内角和定理，找出∠EAB+∠AEB＝180°﹣∠B及2∠BDC＝180°﹣∠B． 14．在四边形ABCD中，∠A＝100°，∠D＝140°． （1）如图①，若∠B＝∠C，则∠B＝　 　度； （2）如图②，作∠BCD的平分线CE交AB于点E．若CE∥AD，求∠B的大小． 【解析】 （1）∵∠A＝100°，∠D＝140°， ∴∠B＝∠C＝＝60°， 故答案为60； （2）∵CE//AD， ∴∠DCE+∠D＝180°， ∴∠DCE＝40°， ∵CE平分∠BCD， ∴∠BCD＝80°， ∴∠B＝360°﹣（100°+140°+80°）＝40°． 【点睛】 本题考查了多边形内角与外角以及平行线的性质，熟练运用多边形内角性质和平行线的性质是解题的关键． 15、直线MN与直线PQ垂直相交于O，点A在射线OP上运动，点B在射线OM上运动． (1)如图1，已知AE、BE分别是∠BAO和∠ABO角的平分线，点A、B在运动的过程中，∠AEB的大小是否会发生变化？若发生变化，请说明变化的情况；若不发生变化，试求出∠AEB的大小． (2)如图2，已知AB不平行CD，AD、BC分别是∠BAP和∠ABM的角平分线，又DE、CE分别是∠ADC和∠BCD的角平分线，点A、B在运动的过程中，∠CED的大小是否会发生变化？若发生变化，请说明理由；若不发生变化，试求出其值． (3)如图3，延长BA至G，已知∠BAO、∠OAG的角平分线与∠BOQ的角平分线及延长线相交于E、F，在△AEF中，如果有两个角度数的比是3：2，请直接写出∠ABO的度数 ． 【解析】 (1)∠AEB的大小不变， ∵直线MN与直线PQ垂直相交于O， ∴∠AOB＝90°， ∴∠OAB+∠OBA＝90°， ∵AE、BE分别是∠BAO和∠ABO角的平分线， ∴∠BAE=∠OAB，∠ABE=∠ABO， ∴∠BAE+∠ABE= (∠OAB+∠ABO)＝45°， ∴∠AEB＝135°； (2)∠CED的大小不变． 如图，延长AD、BC交于点F． ∵直线MN与直线PQ垂直相交于O， ∴∠AOB＝90°， ∴∠OAB+∠OBA＝90°， ∴∠PAB+∠MBA＝270°， ∵AD、BC分别是∠BAP和∠ABM的角平分线， ∴∠BAD=∠BAP，∠ABC=∠ABM， ∴∠BAD+∠ABC= (∠PAB+∠ABM)＝135°， ∴∠F＝45°， ∴∠FDC+∠FCD＝135°， ∴∠CDA+∠DCB＝225°， ∵DE、CE分别是∠ADC和∠BCD的角平分线， ∴∠CDE+∠DCE＝112.5°， ∴∠CED＝67.5°； (3)∵∠BAO与∠BOQ的角平分线相交于E， ∴∠EAO=∠BAO，∠EOQ=∠BOQ， ∴∠E＝∠EOQ−∠EAO= (∠BOQ−∠BAO)= ∠ABO， ∵AE、AF分别是∠BAO和∠OAG的角平分线， ∴∠EAF＝90°． 在△AEF中， ∵有两个角度数的比是3：2，故有： ∠EAF：∠E=3：2，∠E＝60°，∠ABO＝120°（舍去）； ∠EAF：∠F=3：2，∠E＝30°，∠ABO＝60°； ∠F：∠E=3：2，∠E＝36°，∠ABO＝72°； ∠E：∠F=3：2，∠E＝54°，∠ABO＝108°（舍去）． ∴∠ABO为60°或72°． 故答案为：60°或72°． 【点睛】 本题考查三角形内角和与角平分线的综合应用，熟练掌握三角形内角和定理、平角的意义、角平分线的意义和比例的性质是解题关键． 16、（1）如图①，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数； （2）如图②，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H的度数； （3）如图③，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G的度数． 【解答】解：（1）如图①，连接AD， 由三角形的内角和定理得，∠B+∠C＝∠BAD+∠CDA， ∴∠BAF+∠B+∠C+∠CDE+∠E+∠F＝∠BAF+∠BAD+∠CDA+∠D+∠E+∠F 即四边形ADEF的内角和，四边形的内角和为360°， ∴∠BAF+∠B+∠C+∠CDE+∠E+∠F＝360°， （2）如图②，由（1）方法可得： ∠BAH+∠B+∠C+∠D+∠E+∠EFG+∠G+∠H的度数等于六边形ABCDEF的内角和， ∴∠BAH+∠B+∠C+∠D+∠E+∠EFG+∠G+∠H＝（6﹣2）×180°＝720°， （3）如图③，根据（1）的方法得，∠F+∠G＝∠GAE+∠FEA， ∠BAG+∠B+∠C+∠D+∠DEF+∠F+∠G的度数等于五边形ABCDE的内角和， ∴∠BAG+∠B+∠C+∠D+∠DEF+∠F+∠G＝（5﹣2）×180°＝540°， 17、在一个三角形中，如果一个角是另一个角的2倍，这样的三角形我们称之为“倍角三角形”．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，点P是线段AB上一点（不与A、B重合），连接CP． （1）当∠B＝72°时； ①若∠CPB＝54°，则△ACP　是　“倍角三角形”（填“是”或“否”）； ②若△BPC是“倍角三角形”，求∠ACP的度数； （2）当△ABC、△BPC、△ACP都是“倍角三角形”时，求∠BCP的度数． 【解答】解：（1）①∵∠ACB＝90°，∠B＝72°， ∴∠C＝90°﹣72°＝18°， ∵∠CPB＝54°， ∴∠A+∠ACP＝54°， ∴∠ACP＝36°， ∴∠ACP＝2∠A， ∴△ACP是“倍角三角形”， 故答案为：是． ②∵∠B＝72°，△BPC是“倍角三角形”， ∴△BCP内角的度数分别是72°，72°，36°， ∴∠BCP＝36°或72°， ∴∠ACP＝54°或18°． （2）如图2﹣1中，当△ABC是等腰直角三角形，CP⊥AB时，满足条件，此时∠BCP＝45°． 如图2﹣2中，当∠A＝60°，CP⊥AB时，满足条件，此时∠BCP＝60°． 如图2﹣3中，当∠A＝60°，∠BPC＝100°时，满足条件，此时∠BCP＝50°． 如图2﹣4中，当∠B＝60°，∠APC＝100°时，满足条件，此时∠BCP＝40°． 如图2﹣5中，当∠B＝60°，∠APC＝90°时，满足条件，此时∠BCP＝30°． 综上所述，满足条件的∠BC的值为30°或40°或45°或50°或60°． 18、如图1所示，将一副三角板的直角顶点重合在点O处． （1）∠AOD　　∠BOC；（填“＞”“＜”“＝”） （2）若将三角尺按图2的位置摆放，∠AOC和∠BOD在数量上有何关系？说明理由； （3）在图2中，已知∠BOC与∠AOC的度数比为m：n，当a6mb11与an+1b2n﹣11是同类项时，求∠BOD的度数． 【解答】解：（1）∵∠AOB＝∠COD＝90°， ∴∠AOB+∠BOD＝∠COD+∠BOD，即∠AOD＝∠BOC． 故答案为：＝； （2）∵∠AOB＝∠COD＝90°，∴∠AOC+∠BOD＝180°． 故∠AOC和∠BOD在数量上的关系为：∠AOC+∠BOD＝180°； （3）∵a6mb11与an+1b2n﹣11是同类项， ∴，解得， ∵∠BOC与∠AOC的度数比为m：n，11﹣2＝9， ∴∠BOC＝90°20°， ∴∠BOD＝90°﹣20°＝70°． 故∠BOD的度数是70°． 19、问题1 现有一张△ABC纸片，点D、E分别是△ABC边上两点，若沿直线DE折叠． 研究（1）：如果折成图①的形状，使A点落在CE上，则∠1与∠A的数量关系是　∠1＝2∠A　 研究（2）：如果折成图②的形状，猜想∠1+∠2和∠A的数量关系是　∠1+∠2＝2∠A　 研究（3）：如果折成图③的形状，猜想∠1、∠2和∠A的数量关系，并说明理由． 问题2 研究（4）：将问题1推广，如图④，将四边形ABCD纸片沿EF折叠，使点A、B落在四边形EFCD的内部时，∠1+∠2与∠A、∠B之间的数量关系是　∠1+∠2＝2（∠A+∠B）﹣360°　． 【解答】解：（1）如图1，∠1＝2∠A，理由是： 由折叠得：∠A＝∠DA′A， ∵∠1＝∠A+∠DA′A， ∴∠1＝2∠A； 故答案为：∠1＝2∠A； （2）如图2，猜想：∠1+∠2＝2∠A，理由是： 由折叠得：∠ADE＝∠A′DE，∠AED＝∠A′ED， ∵∠ADB+∠AEC＝360°， ∴∠1+∠2＝360°﹣∠ADE﹣∠A′DE﹣∠AED﹣∠A′ED＝360°﹣2∠ADE﹣2∠AED， ∴∠1+∠2＝2（180°﹣∠ADE﹣∠AED）＝2∠A； 故答案为：∠1+∠2＝2∠A； （3）如图3，∠2﹣∠1＝2∠A，理由是： ∵∠2＝∠AFE+∠A，∠AFE＝∠A′+∠1， ∴∠2＝∠A′+∠A+∠1， ∵∠A＝∠A′， ∴∠2＝2∠A+∠1，∴∠2﹣∠1＝2∠A； （4）如图4，由折叠得：∠BMN＝∠B′MN，∠ANM＝∠A′NM，∵∠DNA+∠BMC＝360°， ∴∠1+∠2＝360°﹣2∠BMN﹣2∠ANM，∵∠BMN+∠ANM＝360°﹣∠A﹣∠B， ∴∠1+∠2＝360°﹣2（360°﹣∠A﹣∠B）＝2（∠A+∠B）﹣360°，故答案为：∠1+∠2＝2（∠A+∠B）﹣360°． 20、△ABC中，AD是∠BAC的角平分线，AE是△ABC的高． （1）如图1，若∠B＝40°，∠C＝60°，求∠DAE的度数； （2）如图2（∠B＜∠C），试说明∠DAE与∠B、∠C的数量关系； （3）拓展：如图3，四边形ABDC中，AE是∠BAC的角平分线，DA是∠BDC的角平分线，猜想：∠DAE与∠B、∠C的数量关系是否改变．说明理由． 【解答】解：（1）∵∠B＝40°，∠C＝60°，∠BAC+∠B+∠C＝180°， ∴∠BAC＝80°， ∵AD是∠BAC的角平分线， ∴∠CAD＝∠BAD∠BAC＝40°， ∵AE是△ABC的高， ∴∠AEC＝90°， ∵∠C＝60°， ∴∠CAE＝90°﹣60°＝30°， ∴∠DAE＝∠CAD﹣∠CAE＝10°； （2）∵∠BAC+∠B+∠C＝180°， ∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C， ∵AD是∠BAC的角平分线， ∴∠CAD＝∠BAD∠BAC， ∵AE是△ABC的高， ∴∠AEC＝90°， ∴∠CAE＝90°﹣∠C， ∴∠DAE＝∠CAD﹣∠CAE∠BAC﹣（90°﹣∠C）（180°﹣∠B﹣∠C）﹣90°+∠C∠C∠B， 即∠DAE∠C∠B； （3）不变， 理由：连接BC交AD于F， 过点A作AM⊥BC于M，过点D作DN⊥BC于N， ∵AE是∠BAC的角平分线，AM是高， ∴∠EAM（∠ACB﹣∠ABC）， 同理，∠ADN（∠BCD﹣∠CBD）， ∵∠AFM＝∠DFN，∠AMF＝∠DNF＝90°， ∴∠MAD＝∠ADN， ∴∠DAE＝∠EAM+∠MAD＝∠EAM+∠ADN（∠ACB﹣∠ABC）（∠BCD﹣∠CBD）（∠ACD﹣∠ABD）． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布 试卷第2页，共2页 试卷第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$