暑期成果验收卷（ 测试范围：勾股定理、实数、位置与坐标） -2024年新八年级数学暑假预习核心知识点与常见题型通关讲解练（北师大版）

2024年初中数学暑期成果验收卷 （考试时间：90分钟 试卷满分：100分） 测试范围：勾股定理、实数、位置与坐标 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一．选择题：（本大题共10题，每题3分，满分30分） 1．下列各数为无理数的是（   ） A． B．π C．0.618 D． 2．下列各组数据中不能构成直角三角形的是（　　） A． B．6、8、10 C．、、 D．、、1 3．在平面直角坐标系中，点在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 4．利用计算器求的值，正确的按键顺序为（    ） A． B． C． D． 5．下列式子中，属于最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 6．根据下列表述，能确定具体位置的是（    ） A．电影城1号厅6排 B．北京市海淀区 C．北纬，东经 D．南偏西 7．下列数中，3.14159，，0.121121112…，，，，无理数的个数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 8．在平面直角坐标系中，点，若轴，则线段最小及点C的坐标为（   ） A． B． C． D． 9．如图，正方体的棱长为，A是正方体的一个顶点，从点A爬到点B的最短路径是（　　） A．9 B． C． D．12 10．如图：把长方形纸片折叠，使其对角线顶点D和B重合，若长，宽，则的面积为（   ） A．15 B．20 C．10 D．25 第Ⅱ卷 二．填空题：（本大题共8题，每题2分，满分16分） 11．电影院的8排10号用表示，那么5排8号可用 表示． 12．在中，有两边的长分别是和，则第三边的长是 ． 13．若A、B两点关于x轴对称， 且点 A 坐标为， 点B坐标为 ． 14．比较大小： ；的平方根是 ． 15．的值等于 ；的算术平方根为 ． 16．（1）比较大小： 3．（选填“”、“”或“”） （2）平方根和立方根都等于本身的数是 ． 17．如图，正方体的棱长为，点B为一条棱的中点，蚂蚁在正方体表面爬行，从点A爬到点B的最短路程是 ． 18．图①中有一首古算诗，根据诗中的描述可以计算出红莲所在位置的湖水深度，其示意图如图②，其中，于点C，尺，尺．设的长度为x尺，可列方程为 ． 三． 解答题：（本大题共8题，19-23题每题6分，24-26题每题8分，满分54分） 19．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，点C与点A关于y轴对称． (1)直接写出点C的坐标______； (2)画出关于x轴对称的； (3)在y轴上存在一点D，使得．试求点D的坐标． 20．如图是城市中某区域的示意图．规定列号写在前面，行号写在后面． (1)用数对的方法表示学校、体育场和超市的位置． (2)数对，在图上表示什么地方？ 21．（1）计算：； （2）． 22．已知是49的算术平方根，的立方根是． (1)求x，y的值； (2)求的立方根． 23．计算： (1)； (2)． 24．一架云梯长，如图那样斜靠在一面墙上，云梯底端离墙． (1)这架云梯的顶端距地面有多高？ (2)如果云梯的顶端下滑了，那么它的底部在水平方向也滑动了吗？ 25．在中，点是平面内任意一点（不同于、、），若点与、、中的某两点的连线的夹角为直角时，则称点为的一个勾股点． (1)如图1，若点是内一点，，，，证明点是的一个勾股点． (2)如图2，在中，，，，点在上，且，点在射线上．若点是的勾股点，请求出的长． 26．数与形是数学中的两个最古老，也是最基本的研究对象．数与形也是有联系的，这种联系称为“数形结合”．利用“数形结合”思想可以直观地帮助我们解决一些数学验证或运算． (1)我国是最早了解勾股定理的国家之一，该定理阐明了直角三角形的三边关系．请你利用如图对勾股定理（即下列命题）进行验证，从中体会“数形结合”的思想： 已知：如图，在和中，，（点B，C，D在一条直线上），，，． 证明：； (2)请利用“数形结合”思想，画图推算出的结果． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024年初中数学暑期成果验收卷 （考试时间：90分钟 试卷满分：100分） 测试范围：勾股定理、实数、位置与坐标 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一．选择题：（本大题共10题，每题3分，满分30分） 1．下列各数为无理数的是（   ） A． B．π C．0.618 D． 【答案】B 【分析】本题考查无理数的识别．熟练掌握无理数的定义，是解题的关键．根据无理数的定义：无限不循环小数，进行判断即可． 【详解】解：，，，是无理数的是； 故选B． 2．下列各组数据中不能构成直角三角形的是（　　） A． B．6、8、10 C．、、 D．、、1 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键． 根据勾股定理的逆定理，进行计算即可解答． 【详解】解：A．，， ， ∴以，，为边能组成直角三角形，故本选项不符合题意； B．，， ， ∴以6，8，10为边能组成直角三角形，故本选项不符合题意； C．∵，， ∴， ∴以，，为边不能组成直角三角形，故本选项符合题意； D．∵，， ∴， ∴以，，1为边能组成直角三角形，故本选项不符合题意； 故选：C． 3．在平面直角坐标系中，点在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【分析】本题考查了点的坐标，根据平面直角坐标系中点的坐标特征：第一象限，即可得出答案，熟练掌握平面直角坐标系中点的坐标特征是解此题的关键． 【详解】解：在平面直角坐标系中，点在第一象限， 故选：A． 4．利用计算器求的值，正确的按键顺序为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据用计算器算算术平方根的方法：先按键“”，再输入被开方数，按键“＝”即可得到结果． 【详解】解：采用的科学计算器计算，按键顺序正确的是D选项中的顺序． 故选：D． 【点睛】此题主要考查了计算器的使用方法．由于计算器的类型很多，可根据计算器的说明书使用． 5．下列式子中，属于最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了最简二次根式的判断，掌握最简二次根式满足的条件：①被开方数的因数是整数，字母因式是整式；②被开方数不含能开得尽方的因数或因式是解题关键． 【详解】解：A、被开方数的因数不是整数，不是最简二次根式，不符合题意； B、是最简二次根式，符合题意； C、被开方数的因数不是整数，不是最简二次根式，不符合题意； D、被开方数含能开得尽方的因数，不是最简二次根式，不符合题意； 故选：B． 6．根据下列表述，能确定具体位置的是（    ） A．电影城1号厅6排 B．北京市海淀区 C．北纬，东经 D．南偏西 【答案】C 【分析】本题考查了平面内的点与有序实数对一一对应，根据平面内的点与有序实数对一一对应分别对每个选项判断． 【详解】A、电影城1号厅6排不能确定具体位置．故本选项不合题意； B、北京市海淀区不能确定具体位置．故本选项不合题意； C、北纬，东经能确定具体位置．故本选项符合题意； D、南偏西不能确定具体位置．故本选项不合题意． 故选：C 7．下列数中，3.14159，，0.121121112…，，，，无理数的个数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：，等；开方开不尽的数；以及像，等有这样规律的数．无理数就是无限不循环小数，注意带根号且开不尽的为无理数． 【详解】解：，， 无理数有0.121121112…，，，共3个， 故选：C． 8．在平面直角坐标系中，点，若轴，则线段最小及点C的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查已知点求坐标及如何根据坐标描点，正确画图即可求解． 根据坐标的定义可求得y值，根据线段最小，确定，垂足为点C，进一步求得的最小值和点C的坐标． 【详解】解：依题意可得： ∵轴，， ∴， 根据垂线段最短，当于点C时， 点B到的距离最短，即的最小值， 此时点C的坐标为， 故选：D． 9．如图，正方体的棱长为，A是正方体的一个顶点，从点A爬到点B的最短路径是（　　） A．9 B． C． D．12 【答案】C 【分析】本题考查了最短路径问题，勾股定理，二次根式的化简，解题的关键是将正方体的左侧面与前面展开，构成一个长方形，用勾股定理求出距离即可． 【详解】如图， ， 故选:C. 10．如图：把长方形纸片折叠，使其对角线顶点D和B重合，若长，宽，则的面积为（   ） A．15 B．20 C．10 D．25 【答案】C 【分析】本题考查了折叠的性质及勾股定理，利用勾股定理求得的长是解决问题的关键． 设，根据题意可得，，由折叠的性质可得，，，，在中，利用勾股定理可列方程求出x的值，利用三角形面积公式即可得答案． 【详解】∵在长方形的长，宽， ∴，， ∵把一张长方形纸片折叠起来，使其对角顶点D和B重合，设， ∴，，， 在中，， ∴， 解得：，即， ∴， 故选：C． 第Ⅱ卷 二．填空题：（本大题共8题，每题2分，满分16分） 11．电影院的8排10号用表示，那么5排8号可用 表示． 【答案】 【分析】根据第一个数表示排数，第二个数表示号数，然后写出即可． 【详解】解：∵8排10号用表示， ∴5排8号可用表示． 故答案为：． 【点睛】本题考查了坐标确定位置，理解有序数对的两个数的实际意义是解题的关键． 12．在中，有两边的长分别是和，则第三边的长是 ． 【答案】1或 【分析】本题考查了勾股定理，熟悉勾股定理内容是关键．分两种情况：是斜边；所求的边是斜边；根据两种情况利用勾股定理求解即可． 【详解】解：当是斜边时，则第三边为； 当所求的边是斜边时，则； 故答案为：1或． 13．若A、B两点关于x轴对称， 且点 A 坐标为， 点B坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查关于x轴对称的点的坐标，利用关于x轴对称的点的横坐标相等，纵坐标互为相反数是解题的关键．根据关于x轴对称的点的横坐标相等，纵坐标互为相反数，可得答案． 【详解】解：点A与点B关于x轴对称，点A的坐标为，则点B的坐标是． 故答案为：． 14．比较大小： ；的平方根是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了实数大小比较，求一个数的平方根和算术平方根，根据实数大小的比较方法和平方根，算术平方根定义进行解答即可． 【详解】解：∵，， 又∵，，， ∴； ∵，的平方根为， ∴的平方根是． 故答案为：；． 15．的值等于 ；的算术平方根为 ． 【答案】 3 【分析】此题考查算术平方根，利用算术平方根的定义求解即可． 【详解】解：，的算术平方根为3； 故答案为，3． 16．（1）比较大小： 3．（选填“”、“”或“”） （2）平方根和立方根都等于本身的数是 ． 【答案】 0 【分析】本题考查了无理数的估算，平方根，立方根等知识，解题的关键是∶ （1）利用夹逼法求解即可； （2）任意一个数都有立方根，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0．根据平方根和立方根的性质解答即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，即， ∴， 故答案为： （2）解：∵0的平方根是它本身0，0的立方根是它本身0， ∴一个数的平方根和立方根都等于它本身，这个数是0． 故答案为：0． 17．如图，正方体的棱长为，点B为一条棱的中点，蚂蚁在正方体表面爬行，从点A爬到点B的最短路程是 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理求最短路径的应用；将正方体表面展开，最短路径为线段，由勾股定理求得最短路径． 【详解】解：将正方体表面展开，如图， 则，， 由勾股定理得：， 故答案为：． 18．图①中有一首古算诗，根据诗中的描述可以计算出红莲所在位置的湖水深度，其示意图如图②，其中，于点C，尺，尺．设的长度为x尺，可列方程为 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的实际应用，正确理解题意，运用勾股定理建立方程是解题的关键． 设的长度为x尺，则，在中，由勾股定理即可建立方程． 【详解】解：设的长度为x尺，则， ∵， 由勾股定理得：， ∴， 故答案为：． 三． 解答题：（本大题共8题，19-23题每题6分，24-26题每题8分，满分54分） 19．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，点C与点A关于y轴对称． (1)直接写出点C的坐标______； (2)画出关于x轴对称的； (3)在y轴上存在一点D，使得．试求点D的坐标． 【答案】(1) (2)见解析 (3)或 【分析】本题考查的是画轴对称图形，坐标与图形面积，熟练的画图是解本题的关键． （1）根据关于y轴对称得到C的坐标，即可； （2）分别确定各点关于x轴对称的对称点，再连接即可； （3）设，再利用三角形的面积公式列方程即可． 【详解】（1）解：∵点A的坐标为，点C与点A关于y轴对称． 点C的坐标为； 故答案为： （2）解：如图所示：即为所求； （3）解：设， ∵， ∴， 解得：或3， ∴或． 20．如图是城市中某区域的示意图．规定列号写在前面，行号写在后面． (1)用数对的方法表示学校、体育场和超市的位置． (2)数对，在图上表示什么地方？ 【答案】(1)学校，体育场，超市； (2)数对表示电影院，表示医院． 【分析】（1）先看地点所在的列，再看所在的行，即可表示各地点的位置； （2）根据数对的表示方法找到对应的位置，即可得到数对表示的地点． 【详解】（1）解：学校，体育场，超市； （2）解：由图可得数对表示电影院，表示医院． 【点睛】本题考查用有序数对表示点的位置，理解题意是解题关键． 21．（1）计算：； （2）． 【答案】（）；（） 【分析】（）先计算算术平方根和立方根，再计算乘方和绝对值以及乘除法，最后计算加减法即可； （）先计算单项式乘以多项式，然后合并同类项即可； 本题主要考查了实数的运算和整式的运算，掌握相关的运算法则是解题的关键． 【详解】解：（）原式 ； （）原式 ． 22．已知是49的算术平方根，的立方根是． (1)求x，y的值； (2)求的立方根． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查立方根，平方根以及算术平方根的定义，熟记概念并求出、的值是解题的关键． （1）根据算术平方根的定义求出x，再根据立方根的定义求出y，即可解答； （2）将，代入求出的值，再根据立方根的定义解答． 【详解】（1）解：∵是49的算术平方根， ， 解得， 的立方根是， ， 解得：． （2）解：，， ， ∴的立方根是． 23．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，实数的混合运算，负整数指数幂及绝对值等知识，掌握运算法则并正确计算是关键； （1）化简二次根式、计算出二次根式的乘法，最后合并同类二次根式即可； （2）分别计算乘方、绝对值及负整数指数幂，最后即可完成计算． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 24．一架云梯长，如图那样斜靠在一面墙上，云梯底端离墙． (1)这架云梯的顶端距地面有多高？ (2)如果云梯的顶端下滑了，那么它的底部在水平方向也滑动了吗？ 【答案】(1) (2)不是，理由见解析 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键． （1）根据勾股定理即可得到答案； （2）由（1）的结论可求得顶端下滑后距离地面的高度，再利用勾股定理求得此时底部离墙的距离，即可判断． 【详解】（1）解：如图， 根据题意，，， 则 答：这架云梯的顶端距地面． （2）解：如（1）图， 根据题意，，， ，， 云梯的底部在水平方向不是滑动了 答：如果云梯的顶端下滑了，它的底部在水平方向不是滑动了． 25．在中，点是平面内任意一点（不同于、、），若点与、、中的某两点的连线的夹角为直角时，则称点为的一个勾股点． (1)如图1，若点是内一点，，，，证明点是的一个勾股点． (2)如图2，在中，，，，点在上，且，点在射线上．若点是的勾股点，请求出的长． 【答案】(1)见解析 (2)点是的勾股点时，的长为或或 【分析】本题考查了三角形的外角，勾股点的定义，勾股定理， （1）延长交于，根据三角形的外角得，即可得，即可得； （2）在中，根据勾股定理求出的长度，分情况讨论：①，②，③，进行计算即可得． 【详解】（1）证明：如图1所示，延长交于， 是的外角， ∴， ∴， ∴点是的一个勾股点； （2）解：在中，，，， 则， ∴； ①如图，当时，设，， 在和中，， ， 解得：； ②如图，当时，设，， 在和中，， ， 解得：； ③如图，当时，点为的中点， ， ， 综上所述，点是的勾股点时，的长为或或． 26．数与形是数学中的两个最古老，也是最基本的研究对象．数与形也是有联系的，这种联系称为“数形结合”．利用“数形结合”思想可以直观地帮助我们解决一些数学验证或运算． (1)我国是最早了解勾股定理的国家之一，该定理阐明了直角三角形的三边关系．请你利用如图对勾股定理（即下列命题）进行验证，从中体会“数形结合”的思想： 已知：如图，在和中，，（点B，C，D在一条直线上），，，． 证明：； (2)请利用“数形结合”思想，画图推算出的结果． 【答案】(1)见解析 (2)画图见解析， 【分析】本题考查了勾股定理的证明及完全平方公式，熟练掌握数形相结合的思想是解题的关键． （）先证明，得出，然后利用面积法证明即可； （）利用面积法计算即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 又， ∴， ∴，， ∴梯形的面积， 梯形的面积， ∴， 化简可得：； ； （2）解：如图所示： 大正方形的面积； 大正方形的面积， ∴． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$