9.2023年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)（含答题卡）-【高考密码】2022-2024三年高考数学真题汇编试卷

2023年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷） 数学答题卡 姓 名： 准考证号： 贴条形码区 考生 缺考考生由监考员贴条形码，并用2B铅笔填涂下面的缺考标 (正面朝上，请勿贴出虚线方框) 禁填 记。□ $ 1.答题前，考生将自己的姓名、准考证号填写清楚，并认真核实对监考员所粘贴的条形码上的准考证号，姓名、考场 和座位号是否准确无误。 2.选择题必须使用2B铅笔将对应题目的答案标号涂黑，修改时用橡皮擦干净，再选择其它答案涂黑。非选择题必 注意事项 须使用0.5毫米黑色签字笔填写，字体工整，笔迹清楚。 3.请按题号顺序在各题的答题区域内答题，超出答题区域的答案无效，在草稿纸、试题纸上书写的答案无效。 4.保持卡面清洁、完整、严禁折叠，严禁使用涂改液、胶带纸和修正带。 5,正确填涂 ■ 补 选择题：本题共9小题，每小题5分，共45分 1.[A][B][C][D] 4.CA][B[C][D] 7.[A][B][C][D] 2.[A][B[C[D 5.[A][B][C[D] 8.[A][B][C][D] 3.[A][B][C][D] 6.[A][B[C][D] 9.[A]LB][C][D] 炉 二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分 10. 11. 12. 13. 14. 15. 三、解答题：本大题共5小题，共75分， 蜜 16.(14分) 请在各题目的答题区域内作答，超出边框的答案无效 数学答题卡第1页（共4页） ■ 请在各题目的答题区域内作答，超出边框的答案无效 17.(15分) N B 18.(15分) 请在各题目的答题区域内作答，短出边框的答案无效 数学答题卡第2页（共4页） ■ 请在各题目的答题区域内作答，超出边框的答案无效 19.(15分) 请在各题目的答题区域内作答，短出边框的答案无效 数学答题卡第3页（共4页） ■ 请在各题目的答题区域内作答，超出边框的答案无效 20.(16分) 请在各题目的答题区域内作答，短出边框的答案无效 数学答题卡第4页（共4页）绝密★启用前 2023年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷） 数 学 本试卷满分150分，考试时间120分钟. 一、选择题：本题共9小题，每小题5分，共45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的。 $ 1.已知集合U={1,2,3,4,5},A={1,3},B={1,2,4},则CBUA= A.{1,3,5} B.{1,3 C.{1,2,4} D.{1,2,4,5} 2.“a2=b2”是“a2+b=2ab”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分又不必要条件 册 3.若a=1.015,b=1.016,c=0.6.5,则a,b,c的大小关系为 A.c>a>b B.c>b>a C.a>b>c D.b>a>c 4.函数f(x)的图象如下图所示，则f(x)的解析式可能为 如 2 A.5(e'-e) B.5sin x2+2 x2+1 C.5(e+e) D.5cos x2+2 x2+1 留 5.已知函数f(x)的一条对称轴为直线x=2,一个周期为4，则f(x)的解析式可能为 A.in(登r） B.cos(登) C.sin() D.cos() 6.已知{an}为等比数列，S,为数列{an}的前n项和，a+1=2S。+2,则a,的值为 A.3 B.18 C.54 D.152 2023·天津卷第1页（共4页） 7.调查某种群花萼长度和花瓣长度，所得数据如图所示，其中相关系数r=0.8245,下列说法正确 的是 ( 花源长度 ·华“a 花萼长度 A.花瓣长度和花萼长度没有相关性 B.花瓣长度和花萼长度呈现负相关 C.花瓣长度和花萼长度呈现正相关 D.若从样本中抽取一部分，则这部分的相关系数一定是0.8245 8.在三棱锥P-ABC中，线段PC上的点M满足PM=子PC,线段PB上的点N满足PV= 3 PB,则三棱锥P一AMN和三棱锥P一ABC的体积之比为 A号 B号 c 9,双曲线号一(a>0,>0)的左、右焦点分别为F、F过F,作其中一条渐近线的垂线，垂园 a 为P.已知PF,=2,直线PR,的斜率为，则双曲线的方程为 A若-￥-1 c-苦-1 n号-￥- 二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分.试题中包含两个空的，答对1个的给3分，全部 答对的给5分. 10.已知i是虚数单位，化简的结果为 11.在(2x3-1)的展开式中，x2项的系数为 12.过原点的一条直线与圆C:(x+2)2+y2=3相切，交曲线y2=2px(p>0)于点P,若|OP= 8,则力的值为 13.甲乙丙三个盒子中装有一定数量的黑球和白球，其总数之比为5：4：6.这三个盒子中黑球占 总数的比例分别为40%，25%，50%.现从三个盒子中各取一个球，取到的三个球都是黑球的 概率为 :将三个盒子混合后任取一个球，是白球的概率为 2023·天津卷第2页（共4页） 14.在△ABC中，∠A=60°，BC=1,点D为AB的中点，点E为CD的中点，若设AB=a,AC=b, 则AE可用a,b表示为 ;若B=BC,则A正.AF的最大值为 15.若函数f(x)=a.x2-2x-x2-a.x十1有且仅有两个零点，则a的取值范围为 三、解答题：本大题共5小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.， 16.(14分)在△ABC中，角A,B,C所对的边分别是a,b,c.已知a=√39，b=2,∠A=120° (1)求sinB的值； (2)求c的值： (3)求sin(B-C). 17.(15分)三棱台ABC-ABC中，若A1A⊥面ABC,AB⊥AC,AB=AC=AA1=2,AC=1, M,N分别是BC,BA中点. (1)求证：AV∥平面CMA: By (2)求平面C,MA与平面ACC1A,所成夹角的余弦值： (3)求点C到平面C,MA的距离. 2023·天津卷第3页（共4页） 18.（15分)设椭圆+=1(@>b>0)的左右顶点分别为A,A,右焦点为F,已知A,F3 A2F|=1. (1)求椭圆方程及其离心率： (2)已知点P是椭圆上一动点（不与端点重合），直线A,P交y轴于点Q,若三角形APQ的 面积是三角形A2FP面积的二倍，求直线A2P的方程. 19.(15分)已知{an}是等差数列，a2十a5=16,as一a3=4. (1)求{a,)的通项公式和∑a (2)已知{b,}为等比数列，对于任意k∈N“,若2-1≤n≤2一1，则b<a.<b+1, (I)当k≥2时，求证：2一1<b<2十1： (Ⅱ)求{bn}的通项公式及其前n项和. 20.16分)已知函数fx)=(+号n(x+1). (1)求曲线y=f(x)在x=2处切线的斜率； (2)当x>0时，证明：f(x)>1: (3)证明：<ln(n)-(n+2）ln(n)+n≤l. 2023·天津卷第4页（共4页）则AkK-B,x≥m,AK-B,,<0,可得rx,=B,k1-B,x6.C因为am+1=2S。+2①，所以a2=2a1十2.当n≥2时， =(AK-B,)-(AK-B)>m, am=2Sa-1十2②，①-②得am+1-am=2Sm一2Sm-1,解 这与brx∈{1,2，，m}相矛盾，故对任意1≤n≤m,n∈ 得a+1=30m,所以数列{an}的公比g=3,脚2=2a1十2 N,均有Sn≤m一1. ①若存在正整数N,使得SN=AN一B,、=0,即AN 3.解得a1=2,所以a4=a1g3=54,故选C 乙.C从散点图可知，散点的分布集中在一条直线附近，所以 =Br、' 花瓣长度和花萼长度具有相关性.又相关系数r=0.8245, 可取r=p=0,g=N,s=rN,使得Ap十B.=A十B,: 所以呈正相关，排除A,B:从样本中抽取一部分，这部分的 ②若不存在正整敏N,使得SN=0, 相关系数不一定是0.8245，排除D,故选C. 因为S∈(1,2m…,m-1},且1≤n≤n, 8.B设点M到平面PAB的距离为hM,点C到平面PAB 所以必存在1≤X<Y≤m,使得Sx=Sy, 即Ax-B,、=Ay-B,可得Ax十B,=Ay+Bx 的E高为hC,则由已知得能专又因为PN=号P阴，所 可取p=X,8=y,q=Y,r=rx,使得A十B,=A,十B,: (i)若Am<Bm,构建Su=Bm一Au,1≤n≤m,由题意可 S△PAN=2故Vp-AN_VM-PAN 吉SaN·h 得：Sn≤0，且Sn为整数， 以AB了，故pAe VC-PAB 合SAPB·hC 反证，假设存在正整数K,使得SK≤一m, 则Bx一AK≤-m,B1一AK>0,可得brK,=BK Br=(B-Ak)-(B-Ak)>m. 9.D由PF2=2知b=2,则可设双曲线的一条渐近线方程 这与br∈(1,2，，m}相矛盾，故对任意1≤n≤m,n∈ N,均有Sm≥1-m. 为y=名，直线PF2的方程为y=一号（红-），联立 ①若存在正整教N,使得SN=B,、一AN=0,即AN 2 =Br、' 得点P坐标为P(产·行)则 可取r=p=0,q=N,s=rN,使得AD十B,=Ag十B,: y=一 a(z-c). ②若不存在正整效N,使得SN=O, 2ac 因为Sw∈{-1，-2，…，1-n},且1≤n≤m, 4+a2 所以必存在1≤X<Y≤m,使得Sx=Sy, ac十c 怎解得a一反，所以双向线的方程为号 即B,-Ax=B,-Ay,可得Ax+B=Ay+B, 4+a 可取p=X,s=Yq=Y,r=rx,使得Ab十B,=Ag十Br: =1,故选D 4 综上所述：存在0≤p<q≤m,0≤r<s≤m使得A◆十B, A+B,. 10.4+i 5+14i_(5+14i0(2-31-52+13i=4+i. 2+31(2+3)(2-3i)4+9 答案：(1)r%=0,n=1,r4=1,r3=2 11.60 (2)rm=n,n∈N (2x-)展开或的通项为T+1=C5·(2x) (3)证明见详解 2023年普通高等学校招生全国统一考试 (-）'=(-1y2C5r8-",令18-4r=2,解得r= (天津卷) 4,所以x2项的系数为（一1）26-C=60. 12.6由已知得圆C的圆心为（一2,0），半径为3，设切线方 1.A由题可得CuB=(3,5},所以CoBUA={1,3,5},故 程为y=红，则2L=3,解得k=士尽，又曲线y2 选A. √2+1 2.B由a2=b2得a=士b,由a2+=2ab得(a-b)2=0,即 2x(p>0)的对称性，不妨设k=√3，则切线方程为y a=b,所以“a2=2”是“a2十b2=2ab”的必要不充分条件， 故选B. ,联立得点P坐标为P(学，2） y2=2px 3.D因为y=1.01在R上单调递增，所以1.0106>1. 0105,图为y=x5在(0，十c∞)上单调运增，所以1.0105 1OP√+号-专=8，解得=6 >0.6.5,所以b>a>c,故选D. 1 3 4.D由题图知，函数图象关于y轴对称，所以函数f(x)为 13.20 :取到的三个球都是黑球的概率为40%×25%× 钙函数，所以排除选项A,B:对于y=52>0恒 50%=0将三个金子混合后任意取一个球，是自球的概 成立，与函数图象不符，所以排除选项C,故选D. 率为5X60%+4X75%+6×50%_3 5 5,B由函数f(x)的一个周期为4可知y=sin(年)与y 15 cs(于不符合题意，故排除选项C.D:对于y=sim(受 14a+b2是如图，A-2A+2AC-a+b, A=A店+号BC=A店+号(AC-A)=号a+,所以 x小当x=2时y=0,则直线x=2不是y=sim(受)的对 称抽，故排除选项A,故选B. a.A-(a+b)(号a+b)=ga2+6+ 数学答案-35 员a1b.在△ABC中，由余孩定理的推论得号=16.解：(I):在△ABC中，∠A-120smA- 2 司，al=+2-1产所以+心 由正孩定理品Bb=2。 b ≤2.所以正.正=言0+言+员a1b<0a2+ 6)<费当且仅当6-a时等号成立，所以正·产的 得sinB-bsin A_ /3913 (Ⅱ)根据余孩定理，得a2=b2+c2-2 bccos A, 最大值为品 .39=4+c2+2c,.e2+2c-35=0, 解得=5或c=一7（金负）， .c=5. ('sin B=13 13 ,B为锐角， .cos B-1-sin B=239 13 15.(-o∞，0)U(0,1)U(1,十∞)令f(x)=0,可将已知条 件转化为a.x2-2x=x2-ax十11（※）有两个根.对于 sin 2B-2sin Beos B43 13 x2-ax+1.①若△≤0，即a2-4≤0，a∈[-2,2]，x2-ax 十1>0恒成立，所以等价为(1-a)x2+(2-a)x十1=0， os 2B=1-2sin 解得x=一1或(a一1)r=1,欲使※式有两解，只需a一1 又sin(B-C)=sin[B-(180°-B-A)]=sin(2B-60°)， ≠0且a-1≠-1，解得a∈[-2,0)U(0,1)U(1,2]: .sin(B-C)=sin(2B-60) ②若△>0，即a>2或a<-2,令x2-a.x十1=0的两根分 =sin 2Bcos 60-cos 2Bsin 60" 别为x1,x2,1,当4>2时，当x∈(-o∞，x1]U[x2, _73 +o)时，同①，※式可以等价为(1一a)x2+(2-a)x+1 26 =0,解得x=-1或=。铁判断-1。是否属于 17.解：(I)证明：连接MN. (-∞，x1]U[x2,十o),只需判断x2-ax+1是否为正 由题易知AC1∥AC且A1C1= 2AC,MN∥AC且MN 数.当x=-1时，x2-ax+1=a+2>0,所以-1∈ （一四U[,十∞).满足条件：当=。时2 AC. ∴.AC1LMN, a+1=名<0，所以。(-，U[ .四边形A1VMC1为平行四边形， ∴.AN∥C1M. 十∞)，舍去：当x∈(，x2)时，※式可以等价为(1十a)x2 A1Nt平面CMA,C1MC平面CMA, -(2+a+1=0,解得x=1我=欲到断1， 1 .AN∥平面C1MA. 2 是否属于(x1,x2),只需判断x2-ax十1是否为负数.当x =1时，x2-ax+1=-a十2<0，所以1∈(x1,x2),满足 条件：有=时2-a+1=品>0，所以 a+l 任(x1,x2),舍去，所以当a>2时，※有两根士1，即f(x) C y 有两个零，点，分别为1和一1.ⅱ，当<一2时，同理可得， B M 当x∈(-∞，x1]U[x2,十o∞)时，由※式可解得x=一1 或=。当=-1时产-4r中1=a十2<0，所以 (Ⅱ)以A为坐标原，点，AB,AC,AA1所在直线分别为x, y,之轴建立空间直角坐标系， a时，2 -1E(-0∞m]U[x2,十∞)，含去：当r= 则A(0,0,0),M(1,1,0),C1(0,1,2), a+1=名品>0，降以∈(-，们U[: 则AM=(1,1,0).AC1=(0,1,2). 设平面C1MA的法向量为m=(x,y,z), 十o),满足条件：当x∈(x1,x2)时，由※式可解得x=1 AM·m=0,x十y=0, 或x=1 一a十有当x=1时，2-ax十1=-a+2>0,所以 即 AC·m=0,y+2x=0, 1En,合去：当中时-ar+1=品 令x=2,则y=-2,2=1, (a+1)2 .m=(2,2,1), 0,所以1 干∈（xx2),满足条件，所以当a<-2时， 易知平面ACC1A1的一个法向量为n=(1,0.0), 设平面C1MA与平面ACC1A,所成角为0， 意有两银品即f有两个李点，分别为十 则cos0=m·n 2 2 mn4+4+3' 综上所述，满足条件的a的取值范围为（一∞，0）U(0,1) U(1,+∞). :单面CMA与平雨ACCA1所成角的金孩值为号 数学答案-36 (Ⅲ)结合（Ⅱ）知AC=(0,2,0), 20.解：(I)f(x)定义域为(-1,0)U(0,十o∞)， 设点C到平面C1MA的距离为d, f)=nx+1)+(+)h 则d= AC·m4 m 3 f2)=3-n3 18.解：(I)依题意得a十c=3,a一c=1. 所以a=2,c=1. “南线y=()在=2处切线的斜率为号-n3. 又2=a2-e2=4-1=3, (l)证明：当x>0时，欲证明f(x)>1, 所以搭国方程为听+号-1，高心率一之 只客运明1ar+I）千2>0 (Ⅱ)不妨设点P在第一象限， 因为S△A,Q=2S△A,FP· 令ad)=lia(c+1D-千2>0 又S△AFP=3S△A,FP,所以S△AAP=2S△AQ, 则r)-c+1Dz+2>0: 所以AP=2PQ,故P号.2) ∴.u(x)在(0，十o∞)上单调递增， u(.x)>u(0)=0,即f(x)>1成立。 从而，直线A2P的方程为y= 5(x-2),即y=- 6 (Ⅲ)证明：设g(m)=ln(n)-(n+2）n(m)+, 十√6，若点P在第四象限， 由()知（分）>1. 由精圆的对称性可知P(号。一)。 ∴gm)-gm+1)-(n+号)ln(1+）-1>0, 从而直线P的方程为y=一2》 即g()是一个单调遁减的数列， 中-v Vn∈N,g()≤g(I)=1. 欲证明g(m)>后， 5 上，重载A:P的方程为y=-停+或y-号一低 需用到不等式(+）lc中D-1<>0. 19,解：(I)设{am}公差为d, 则a5-a3=2d=4,故d=2. 中()+D<+1-, 12 由a2十a5=2a1十5d=16,解得a1=3, ∴.需证明ln(.x十1) (2+12)x<0. 所以{am}的通项公式为am=a1十(n一1)d=2n十1， 6(.x+2) [sa=ag+ag+i+…+ag与 ◆)=l+1)-2器>0 则h'(x)= x3(x+4) =(2×2m-1+1)+[2×(2-1+1)+1]+…+[2×(2m- 3(x+10(x+2)<0, 1)+1] .h(.x)在(0，十o∞)上单调递减，即h(x)<h(0)=0, =2×21+2”2D×2+2-1×1 不等式成立。 2 =3·4-1 当心2时.(a+号)(1+)-1<证<是 (Ⅱ)(1)证明：因为2-1≤m≤2-1， 所以2+1≤am≤2+1-L. 高 因为2t-1≤n≤2*一1是b<n<b+1的充分条件， g-g2)=2n2-1 故之a,即e+1>≥21-1 bk<(an）mim b4<2*+1, g2)-83)=(2+2)(1+)-1<(1-2）): 所以当k>≥2时，2-1<b<2+1. (f)由(1)得，2+1-1<b+1<2+1+1, 剥2t11=2++1 gm-D-g(m)=(n-专）ln(1+）-1<b× 2"+1bn2"-1 即2<2+ 3 2m-1' 以上各式相加可得， 当+时2-一22+232 3 g1)-m)<2n2-1+(1-合+名-言+…+ 所以完=2，易得2， 2)n2-1+ 故{bn}的通项公式为bn=2"(n∈N*), 又g1=18m>吾 所以6，}的前n项和5，=2二2)=2+1-2. 1-2 综上所这，8<n(m)-(a+)）n(m)+≤1(aEN 数学答案一37