4.4 对数函数-2024-2025学年高一数学暑假预习（人教A版2019必修第一册）

4.4 对数函数 知识点一 对数函数的概念及应用 【解题思路】判断一个函数是对数函数的方法 【例1-1】（23-24高一·全国·课堂例题）下列函数是对数函数的是（　　） A． B． C． D． 【例1-2】（24-25高一上·上海·随堂练习）设（且），若图象经过和，则 ． 【变式】 1．（2024高一·全国·专题练习）已知函数①；②；③；④；⑤；⑥.其中是对数函数的是（    ） A．①②③ B．③④⑤ C．③④ D．②④⑥ 2．（22-23高一上·全国·课后作业）（多选）下列函数为对数函数的是（    ） A．（，且） B． C． D． 3．（23-24高三上·上海静安·阶段练习）点，都在同一个对数函数上，则t= . 知识点二 对数函数有关的定义域 【解题思路】求与对数函数有关的函数的定义域时应遵循的原则 (1)分母不能为0. (2)根指数为偶数时，被开方数非负． (3)对数的真数大于0，底数大于0且不为1. 【例2-1】（23-24高二上·四川成都·期末）函数的定义域为 . 【例2-2】（2024高一·全国·专题练习）若函数的定义域为，则的范围为 . 【变式】 1．（23-24高一上·湖北荆门·期末）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·上海·课后作业）函数的定义域为 ． 3．（24-25高一上·上海·课后作业）求下列函数的定义域： (1)；(2)． 知识点三 对数函数模型的应用 【解题思路】　对数函数应用题的解题思路 (1)依题意，找出或建立数学模型． (2)依实际情况确定解析式中的参数． (3)依题设数据解决数学问题． (4)得出结论． 【例3】（23-24 贵州遵义·期末）年一位丹麦生物化学家提出溶液值，亦称氢离子浓度指数、酸碱值，是溶液中氢离子活度的一种标度，其中源自德语，意思是浓度，代表氢离子.的定义式为：，指的是溶液中氢离子活度.若溶液甲中氢离子活度为，溶液乙中氢离子活度为.则溶液甲的值与溶液乙的值的差约为（    ） A． B． C． D． 【变式】 1．（2024山东青岛 ）中国的技术世界领先，其数学原理之一便是著名的香农公式：.它表示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速率（单位：）取决于信道宽度（单位：）､信道内信号的平均功率（单位：）、信道内部的高斯噪声功率（单位：）的大小，其中叫做信噪比，按照香农公式，若信道宽度变为原来倍，而将信噪比从提升至，则大约增加了（    ）（附：） A． B． C． D． 2．（2024湖南衡阳·期末）2018年5月至2019年春，在阿拉伯半岛和伊朗西南部，沙漠蝗虫迅速繁衍量指数增长，引发了蝗灾，到2020年春季蝗灾已波及印度和巴基斯坦，假设蝗虫的日增长率为6%，最初有只，则大约经过（ ）天能达到最初的1600倍(参考数据：ln1.06≈0.0583，ln1.6≈0.4700，ln1600≈7.3778，ln6000≈8.6995. A．126 B．150 C．197 D．199 3．（2024北京海淀·期末）声音的等级（单位：）与声音强度（单位：）满足. 喷气式飞机起飞时，声音的等级约为；一般说话时，声音的等级约为，那么喷气式飞机起飞时声音强度约为一般说话时声音强度的（    ） A．105倍 B．108倍 C．1010倍 D．1012倍 知识点四 对数函数过定点 【例4-1】（24-25高一上·上海·随堂练习）函数（且）恒过定点 ． 【例4-2】（24-25高一上·上海·随堂练习）指数函数（且）过点，则经过点 . 【例4-3】（2024·陕西渭南 ）已知直线（，）过函数（，且）的定点T，则的最小值为 . 【变式】 1．（24-25高一上·上海·单元测试）函数（且）过定点 ． 2（24-25高一上·上海·课堂例题）设且，函数的图像恒过定点，则点的坐标是 ． 3．（2024·陕西西安 ）函数（且）的图象恒过定点，若且，，则的最小值为 ． 知识点五 对数函数的图象及应用 【解题思路】对数函数图象的变换方法 (1)作y＝f(|x|)的图象时，保留y＝f(x)(x≥0)图象不变，x<0时y＝f(|x|)的图象与y＝f(x)(x>0)的图象关于y轴对称． (2)作y＝|f(x)|的图象时，保留y＝f(x)的x轴及上方图象不变，把x轴下方图象以x轴为对称轴翻折上去即可． (3)有关对数函数平移也符合“左加右减，上加下减”的规律． (4)y＝f(－x)与y＝f(x)关于y轴对称，y＝－f(x)与y＝f(x)关于x轴对称，y＝－f(－x)与y＝f(x)关于原点对称． 【例5-1】（23-24高一上·云南昆明·期末）如图所示，函数图像①②③④⑤⑥⑦⑧中不属于函数：，的是（    ） A．①⑤ B．②⑥ C．③⑦ D．④⑧ 【例5-2】（2024·广东深圳 ）已知，且，则函数的图象一定经过（    ） A．一、二象限 B．一、三象限 C．二、四象限 D．三、四象限 【例5-3】（24-25高一上·上海·随堂练习）作出下列函数的图象： (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式】 1．（24-25高一上·全国·课后作业）当时，在同一平面直角坐标系中，函数与的图象是（    ）． A．   B．   C．   D．   2．（23-24高一下·青海西宁·开学考试）函数 的图象是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一上·上海·假期作业）作出下列函数的大致图像： (1)；(2)；(3)；(4). 知识点六 比较对数值的大小 【解题思路】比较对数值大小时常用的四种方法 (1)同底数的利用对数函数的单调性． (2)同真数的利用对数函数的图象或用换底公式转化． (3)底数和真数都不同，找中间量． (4)若底数为同一参数，则根据底数对对数函数单调性的影响，对底数进行分类讨论． 【例6-1】（23-24高一上·上海·假期作业）利用对数函数的性质，比较下列各题中两个值的大小. (1)和；(2)和；(3)和，其中且；(4)和. 【例6-2】（23-24高一下·内蒙古赤峰·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 【例6-3】（2024·天津南开）已知，，，则（    ）. A． B． C． D． 【变式】 1．（24-25高一上·全国·课后作业）比较下列各题中两个数的大小： (1)，； (2)，； (3)，； (4)，（，且）． 2 ．（23-24高二下·河北邢台·期末）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 3．（23-24 ·山东临沂·期末）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 知识点七 解对数不等式 【解题思路】对数不等式的三种考查类型及解法 (1)形如logax>logab的不等式，借助y＝logax的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a>1与0<a<1两种情况进行讨论． (2)形如logax>b的不等式，应将b化为以a为底数的对数式的形式(b＝logaab)，再借助y＝logax的单调性求解． (3)形如logf(x)a>logg(x)a(f(x)，g(x)>0且不等于1，a>0)的不等式，可利用换底公式化为同底的对数进行求解，或利用函数图象求解． 【例7-1】（24-25高一上·上海·单元测试）不等式的解集为 ． 【例7-2】（24-25高一上·全国·随堂练习）不等式的解集为 ． 【变式】 1．（24-25高一上·上海·随堂练习）设函数，其中，若，则实数x的取值范围是 ． 2（24-25高一上·上海·随堂练习）不等式的解集为 ． 3．（23-24 重庆·期末）已知函数 则不等式的解集为 考点八 反函数 【例8-1】（24-25高一上·上海·随堂练习）已知函数的反函数，则 ． 【变式】 1．（24-25高一上·上海·随堂练习）若函数的反函数为，则的解析式为 ． 2．（24-25高一上·上海·随堂练习）如果直线与直线关于直线对称，那么a、b的值分别是 、 ． 3．（24-25高一上·上海·课后作业）若点既在函数的图像上，又在的反函数的图像上，则的值为 ． 重难点一 对数型函数的单调性 【解题思路】形如f(x)＝logag(x)(a>0，且a≠1)的函数的单调区间的求法 (1)先求g(x)>0的解集(也就是函数f(x)的定义域)． (2)当底数a>1时，在g(x)>0这一前提下，g(x)的单调增区间是f(x)的单调增区间；g(x)的单调减区间是f(x)的单调减区间． (3)当底数0<a<1时，在g(x)>0这一前提下，g(x)的单调增区间是f(x)的单调减区间，g(x)的单调减区间是f(x)的单调增区间． 【例9-1】（23-24 浙江杭州·阶段练习）函数的单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 【例9-2】（23-24高一下·湖南长沙·期中）若函数在上单调递减，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【例9-3】（23-24高二下·黑龙江·期末）若函数在上单调，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式】 1．（23-24 四川·期中）函数的单调递减区间为（ ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·上海·随堂练习）函数的单调递增区间为 ． 3 ．（23-24 江西赣州·期末）“”是“函数在单调递增”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．（2024·黑龙江·模拟预测）设函数在区间上单调递减，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 重难点二 对数型函数的值域 【例10-1】（2024高三·全国·专题练习）函数的值域为 ． 【例10-2】（23-24高一上·江苏苏州·阶段练习）已知，则的值域是 ． 【例10-3】．（23-24 四川雅安·阶段练习）若函数的值域为R，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式】 1．（2024·湖南·模拟预测）函数在区间上的最大值为（    ） A．0 B．1 C．2 D．4 2．（23-24 江西南昌·期末）已知函数的定义域和值域都为，则（    ） A． B． C． D．不存在 3．（2024·贵州黔东南 ）若函数的值域为.则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高一上·上海·随堂练习）函数的最小值为 ． 5．（24-25高一上·全国·假期作业）函数的值域是 ． 重难点三 对数型函数性质的综合应用 【例11】（23-24高一下·广西南宁·期末）已知函数（且）的图象经过点，函数的图象经过点． (1)求的值； (2)求函数的单调递增区间． 【变式】 1．（23-24高二下·山东临沂·期末）已知函数，且． (1)求的定义域； (2)求不等式的解集． 2．（23-24高一下·陕西咸阳·期末）已知函数且． (1)若，求的值； (2)若在上的最大值与最小值的差为1，求的值． 3．（24-25高一上·上海·随堂练习）已知函数，其中（且）的图象经过点和． (1)求函数的解析式； (2)令，求的最小值及取最小值时x的值． 1． 单选题 1．（23-24 浙江温州·期末）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一下·安徽阜阳·期末）如图，图象①②③④所对应的函数不属于中的一个是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 3．（2024·天津北辰 ）已知，，，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24 湖南长沙·期末）函数的单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 5．（2024·上海闵行 ）已知，为奇函数，当时，，则集合可表示为（      ） A． B． C． D． 6．（24-25高一上·上海·随堂练习）函数，的反函数的定义域是（    ）． A． B． C． D． 7．（23-24 山东聊城·期末）已知函数，若，则的值可以为（    ） A． B． C． D． 8．（2024·江苏南）已知函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2． 多选题 9．（2024高二下·浙江·学业考试）若函数，则下列选项正确的是（    ） A．定义域为 B．值域为 C．图象过定点 D．在定义域上单调递增 10．（2024高三·全国·专题练习）下列关于函数的说法中，不正确的是（    ） A．有最大值，在上为增函数 B．有最大值，在上为减函数 C．有最小值，在上为增函数 D．有最小值，在上为减函数 11．（23-24高一下·江西·期末）已知函数，则下列说法正确的是（   ） A．函数的定义域为 B．函数的值域为 C．函数是定义域上的奇函数 D．函数是定义域上的偶函数 3． 填空题 12．（23-24 广西玉林·期末）已知函数，则的定义域是 ；单调增区间为 . 13．（23-24高一上·陕西咸阳·期末）已知函数的图象与的图象关于直线对称，则的值域为 ． 14．（23-24 上海黄浦·期中）函数在区间上的最小值为 . 4． 解答题 15．（2023春·河北石家庄·高一校考期末）已知函数． （1）当时，求该函数的值域； （2）若对于恒成立，求的取值范围; 16．（2023·福建宁德 ）已知函数 (1)若时，求该函数的值域； (2)若对恒成立，求的取值范围. 17（2024·湖北随州）已知函数(，且). （1）求的定义域. （2）是否存在实数，使函数在区间上单调递减，并且最大值为2？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 18．（2024江苏 ）已知是定义在R上的奇函数，其中． （1）求的值； （2）判断在上的单调性，并证明； （3）若对于任意的都有成立，求实数的取值范围． 19．（23-24高一·山西吕梁·期末）已知函数，其中． (1)若，求函数的定义域； (2)当时，恒成立，求实数的取值范围． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 4.4 对数函数 知识点一 对数函数的概念及应用 【解题思路】判断一个函数是对数函数的方法 【例1-1】（23-24高一·全国·课堂例题）下列函数是对数函数的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】在对数函数的定义表达式（且）中，前面的系数必须是1，自变量在真数的位置上，否则不是对数函数，所以只有选项C满足定义.故选：C. 【例1-2】（24-25高一上·上海·随堂练习）设（且），若图象经过和，则 ． 【答案】/ 【解析】因为，所以．故答案为：. 【变式】 1．（2024高一·全国·专题练习）已知函数①；②；③；④；⑤；⑥.其中是对数函数的是（    ） A．①②③ B．③④⑤ C．③④ D．②④⑥ 【答案】C 【解析】根据对数函数的定义，只有符合（且）形式的函数才是对数函数， 其中x是自变量，a是常数， 易知，①是指数函数；②中的自变量在对数的底数的位置，不是对数函数； ③中，是对数函数；④中，是对数函数； ⑤⑥中函数显然不是对数函数，由此可知只有③④是对数函数. 故选：C. 2．（22-23高一上·全国·课后作业）（多选）下列函数为对数函数的是（    ） A．（，且） B． C． D． 【答案】AC 【解析】形如（，且）的函数为对数函数， 对于A，由，且，可知，且，故A符合题意； 对于B，不符合题意； 对于C，符合题意； 对于D，不符合题意； 故选：AC. 3．（23-24高三上·上海静安·阶段练习）点，都在同一个对数函数上，则t= . 【答案】9 【解析】设对数函数为，因为在函数上，所以，解得； 因为也在函数上，所以，解得.故答案为：9 知识点二 对数函数有关的定义域 【解题思路】求与对数函数有关的函数的定义域时应遵循的原则 (1)分母不能为0. (2)根指数为偶数时，被开方数非负． (3)对数的真数大于0，底数大于0且不为1. 【例2-1】（23-24高二上·四川成都·期末）函数的定义域为 . 【答案】 【解析】由题意或，解得或， 所以函数的定义域为. 故答案为： 【例2-2】（2024高一·全国·专题练习）若函数的定义域为，则的范围为 . 【答案】 【解析】由于函数的定义域是， 故条件即为，这等价于对任意实数成立. 若对任意实数成立，取知，即； 若，则对任意实数都有， 故对任意实数成立. 综上，的取值范围是.故答案为：. 【变式】 1．（23-24高一上·湖北荆门·期末）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由.所以函数的定义域为故选：B 2．（24-25高一上·上海·课后作业）函数的定义域为 ． 【答案】 【解析】函数的定义域需满足不等式，得或，所以函数的定义域是.故答案为： 3．（24-25高一上·上海·课后作业）求下列函数的定义域： (1)；(2)． 【答案】(1)(2) 【解析】（1）要使函数有意义，需满足，解得或． 故所求函数的定义域为． （2）要使函数有意义，需，且，即，且， 所以，解得，故所求函数的定义域为 知识点三 对数函数模型的应用 【解题思路】　对数函数应用题的解题思路 (1)依题意，找出或建立数学模型． (2)依实际情况确定解析式中的参数． (3)依题设数据解决数学问题． (4)得出结论． 【例3】（23-24 贵州遵义·期末）年一位丹麦生物化学家提出溶液值，亦称氢离子浓度指数、酸碱值，是溶液中氢离子活度的一种标度，其中源自德语，意思是浓度，代表氢离子.的定义式为：，指的是溶液中氢离子活度.若溶液甲中氢离子活度为，溶液乙中氢离子活度为.则溶液甲的值与溶液乙的值的差约为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意可知，溶液甲的值与溶液乙的值的差为. 故选：C. 【变式】 1．（2024山东青岛 ）中国的技术世界领先，其数学原理之一便是著名的香农公式：.它表示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速率（单位：）取决于信道宽度（单位：）､信道内信号的平均功率（单位：）、信道内部的高斯噪声功率（单位：）的大小，其中叫做信噪比，按照香农公式，若信道宽度变为原来倍，而将信噪比从提升至，则大约增加了（    ）（附：） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】当时，； 当时，信道宽度变为原来倍，. 因为. 故选：D. 2．（2024湖南衡阳·期末）2018年5月至2019年春，在阿拉伯半岛和伊朗西南部，沙漠蝗虫迅速繁衍量指数增长，引发了蝗灾，到2020年春季蝗灾已波及印度和巴基斯坦，假设蝗虫的日增长率为6%，最初有只，则大约经过（ ）天能达到最初的1600倍(参考数据：ln1.06≈0.0583，ln1.6≈0.4700，ln1600≈7.3778，ln6000≈8.6995. A．126 B．150 C．197 D．199 【答案】A 【解析】设经过天能达到最初的1600倍故故 故选：A 3．（2024北京海淀·期末）声音的等级（单位：）与声音强度（单位：）满足. 喷气式飞机起飞时，声音的等级约为；一般说话时，声音的等级约为，那么喷气式飞机起飞时声音强度约为一般说话时声音强度的（    ） A．105倍 B．108倍 C．1010倍 D．1012倍 【答案】B 【解析】 设喷气式飞机起飞时声音强度和一般说话时声音强度分别为， ，， ，，所以， 因此，喷气式飞机起飞时声音强度约为一般说话时声音强度的倍.故选：B 知识点四 对数函数过定点 【例4-1】（24-25高一上·上海·随堂练习）函数（且）恒过定点 ． 【答案】 【解析】令，得，此时，所以函数（且）恒过定点. 故答案为：. 【例4-2】（24-25高一上·上海·随堂练习）指数函数（且）过点，则经过点 . 【答案】 【解析】由（且）可知，时，，则点为， 由可得，两边取对数得，，交换可得，， 即与是一对反函数，图象关于轴对称， 故经过点. 故答案为： 【例4-3】（2024·陕西渭南 ）已知直线（，）过函数（，且）的定点T，则的最小值为 . 【答案】 【解析】令时，可得， 可知函数，且的图象恒过定点， 因为定点在直线上，可得，且， 则， 当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值为.故答案为：. 【变式】 1．（24-25高一上·上海·单元测试）函数（且）过定点 ． 【答案】 【解析】令且可得，将代入可得， 故定点为，故答案为： 2（24-25高一上·上海·课堂例题）设且，函数的图像恒过定点，则点的坐标是 ． 【答案】 【解析】因为的图象恒过定点,所以函数的图象恒过定点. 故答案为：. 3．（2024·陕西西安 ）函数（且）的图象恒过定点，若且，，则的最小值为 ． 【答案】8 【解析】因为，（且），所以函数（且）的图象恒过定点， 所以，所以， ，，当且仅当，即等号成立，即的最小值为. 故答案为：. 知识点五 对数函数的图象及应用 【解题思路】对数函数图象的变换方法 (1)作y＝f(|x|)的图象时，保留y＝f(x)(x≥0)图象不变，x<0时y＝f(|x|)的图象与y＝f(x)(x>0)的图象关于y轴对称． (2)作y＝|f(x)|的图象时，保留y＝f(x)的x轴及上方图象不变，把x轴下方图象以x轴为对称轴翻折上去即可． (3)有关对数函数平移也符合“左加右减，上加下减”的规律． (4)y＝f(－x)与y＝f(x)关于y轴对称，y＝－f(x)与y＝f(x)关于x轴对称，y＝－f(－x)与y＝f(x)关于原点对称． 【例5-1】（23-24高一上·云南昆明·期末）如图所示，函数图像①②③④⑤⑥⑦⑧中不属于函数：，的是（    ） A．①⑤ B．②⑥ C．③⑦ D．④⑧ 【答案】B 【解析】由指数函数的图像性质可知，①②③④为指数函数图像， 且③④为单调递增的指数函数，取可知，③④分别对应， 又①④图像关于轴对称，则①对应，即②不属于； 由对数函数的图像性质可知，⑤⑥⑦⑧为对数函数图像， 其中⑦⑧为单调递减的对数函数， 由“底大图低”可知⑧对应，⑦对应， 且⑤⑧图像关于轴对称，则⑤对应，即⑥不属于； 故选：B 【例5-2】（2024·广东深圳 ）已知，且，则函数的图象一定经过（    ） A．一、二象限 B．一、三象限 C．二、四象限 D．三、四象限 【答案】D 【解析】当时，， 则当时，函数图象过二、三、四象限； 则当时，函数图象过一、三、四象限； 所以函数的图象一定经过三、四象限. 故选：D 【例5-3】（24-25高一上·上海·随堂练习）作出下列函数的图象： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】 答案见解析； 【解析】（1）作出关于轴对称的图像，可得的图像，如图（1）． （2）作出关于轴对称的图像，可得的图像，如图（2）． （3）作出，将轴下方的图像翻折到轴上方，可得的图像，如图（3）． （4）作出的图像，再作出关于轴对称的图像，即得到另外一半图像，可得的图像，如图（4）． 【变式】 1．（24-25高一上·全国·课后作业）当时，在同一平面直角坐标系中，函数与的图象是（    ）． A．   B．   C．   D．   【答案】A 【解析】当时，函数与分别在各自的定义域内单调递减、单调递增， 故可排除BCD，且函数与图象分别过定点，经检验，A符合题意. 故选：A. 2．（23-24高一下·青海西宁·开学考试）函数 的图象是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为，故排除D；当时，，故排除BC； 结合对数函数的性质可知A正确.故选：A. 3．（23-24高一上·上海·假期作业）作出下列函数的大致图像： (1)；(2)；(3)；(4). 【答案】(1)(2)(3)(4) 【解析】（1）的图象可由的图象向左平移个单位得到， （2）的图象可由的图象先根据轴对称，再向右平移个单位得到， （3）的图象可由的图象先根据轴对称，再向右平移个单位得到， （4）的图象由组成，其中的图象可由的图象根据轴对称得到， 知识点六 比较对数值的大小 【解题思路】比较对数值大小时常用的四种方法 (1)同底数的利用对数函数的单调性． (2)同真数的利用对数函数的图象或用换底公式转化． (3)底数和真数都不同，找中间量． (4)若底数为同一参数，则根据底数对对数函数单调性的影响，对底数进行分类讨论． 【例6-1】（23-24高一上·上海·假期作业）利用对数函数的性质，比较下列各题中两个值的大小. (1)和；(2)和；(3)和，其中且；(4)和. 【答案】(1)(2)(3)答案见解析(4) 【解析】（1）因为函数在上单调递增，且，所以. （2）因为函数在上单调递减，且，所以. （3）令， 当时，在上单调递减，当时，在上单调递增， 又，所以当时，，当时，. （4）因为，，所以. 【例6-2】（23-24高一下·内蒙古赤峰·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】当时，，所以在上单调递增， 又， 所以，即. 故选：D 【例6-3】（2024·天津南开）已知，，，则（    ）. A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为，，， 故.故选：C. 【变式】 1．（24-25高一上·全国·课后作业）比较下列各题中两个数的大小： (1)，； (2)，； (3)，； (4)，（，且）． 【答案】(1) (2) (3) (4)当时，；当时， 【解析】（1）因为，所以函数在定义域上是增函数． 由，得． （2）因为，所以函数在定义域上是减函数． 由，得． （3）因为，所以函数在定义域上是增函数． 由，得． 同理可得． 因此． （4）当时，函数在定义域上是增函数，此时由，得； 当时，函数在定义域上是减函数，此时由，得． 2 ．（23-24高二下·河北邢台·期末）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】,因为在上递增，且，所以，所以，即， 因为在上递增，且，所以，即， 因为在上递减，且，所以，即所以．故选：D 3．（23-24 ·山东临沂·期末）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】，， 因为在上单调递增，则， 则，显然，则， 则，即，结合知.故选：B. 知识点七 解对数不等式 【解题思路】对数不等式的三种考查类型及解法 (1)形如logax>logab的不等式，借助y＝logax的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a>1与0<a<1两种情况进行讨论． (2)形如logax>b的不等式，应将b化为以a为底数的对数式的形式(b＝logaab)，再借助y＝logax的单调性求解． (3)形如logf(x)a>logg(x)a(f(x)，g(x)>0且不等于1，a>0)的不等式，可利用换底公式化为同底的对数进行求解，或利用函数图象求解． 【例7-1】（24-25高一上·上海·单元测试）不等式的解集为 ． 【答案】 【解析】由可得，解得，故答案为： 【例7-2】（24-25高一上·全国·随堂练习）不等式的解集为 ． 【答案】 【解析】由于函数在上递减，所以解得， 所以原不等式的解集为，故答案为： . 【变式】 1．（24-25高一上·上海·随堂练习）设函数，其中，若，则实数x的取值范围是 ． 【答案】（0,1） 【解析】函数在是严格增函数，所以，得．故答案为： 2（24-25高一上·上海·随堂练习）不等式的解集为 ． 【答案】 【解析】由，可得， 又在上单调递增，所以，解不等式组可得， 所以不等式的解集为. 3．（23-24 重庆·期末）已知函数 则不等式的解集为 【答案】 【解析】或,或,或, 或所以不等式解集为.故答案为: 考点八 反函数 【例8-1】（24-25高一上·上海·随堂练习）已知函数的反函数，则 ． 【答案】 【解析】因为，,所以，,所以，故答案为：. 【变式】 1．（24-25高一上·上海·随堂练习）若函数的反函数为，则的解析式为 ． 【答案】 【解析】由，得，将互换得，，且函数的值域为R， 因此，函数，故答案为：． 2．（24-25高一上·上海·随堂练习）如果直线与直线关于直线对称，那么a、b的值分别是 、 ． 【答案】 －9 【解析】因为直线与直线关于直线对称，所以函数与互为反函数， 又的反函数为，所以，．故答案为：；. 3．（24-25高一上·上海·课后作业）若点既在函数的图像上，又在的反函数的图像上，则的值为 ． 【答案】 【解析】因为既在函数的图象上，又在的反函数的图象上， 所以点在函数的图象上，所以，即，解得， 所以．故答案为：． 重难点一 对数型函数的单调性 【解题思路】形如f(x)＝logag(x)(a>0，且a≠1)的函数的单调区间的求法 (1)先求g(x)>0的解集(也就是函数f(x)的定义域)． (2)当底数a>1时，在g(x)>0这一前提下，g(x)的单调增区间是f(x)的单调增区间；g(x)的单调减区间是f(x)的单调减区间． (3)当底数0<a<1时，在g(x)>0这一前提下，g(x)的单调增区间是f(x)的单调减区间，g(x)的单调减区间是f(x)的单调增区间． 【例9-1】（23-24 浙江杭州·阶段练习）函数的单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】令得，故的定义域为， 在上单调递增，由复合函数单调性满足同增异减可得， 只需求出在上的单调递减区间，在上单调递减， 故数的单调递减区间为.故选：C 【例9-2】（23-24高一下·湖南长沙·期中）若函数在上单调递减，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】易知函数在上单调递增，又函数在上单调递减， 所以且，解得．即实数a的取值范围为选：B 【例9-3】（23-24高二下·黑龙江·期末）若函数在上单调，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】当时，当在上单调递增时，有，解得； 当时，当在上单调递减时，有，解得. 综上，a的取值范围是.故选：D. 【变式】 1．（23-24 四川·期中）函数的单调递减区间为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由，则，解得或， 所以函数的定义域为，令，则是增函数，又在上单调递减，所以的单调递减区间是. 故选：A. 2．（24-25高一上·上海·随堂练习）函数的单调递增区间为 ． 【答案】 【解析】由函数可得函数的图像如图所示．所以函数的单调增区间为． 故答案为： 3 ．（23-24 江西赣州·期末）“”是“函数在单调递增”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】由二次函数、对数函数的单调性及复合函数的单调性可知： 要满足函数在单调递增，需要， 因为，所以“”是“函数在单调递增”的必要不充分条件． 故选：B． 4．（2024·黑龙江·模拟预测）设函数在区间上单调递减，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设，易知函数是增函数， 因为在区间上单调递减， 所以由复合函数单调性可知，在上单调递减. 因为函数在上单调递减， 所以，即. 故选：D. 重难点二 对数型函数的值域 【例10-1】（2024高三·全国·专题练习）函数的值域为 ． 【答案】 【解析】函数为增函数，故其值域为.故答案为： 【例10-2】（23-24高一上·江苏苏州·阶段练习）已知，则的值域是 ． 【答案】 【解析】因为， 所以的定义域满足，解得， 因为在上单调递增，所以令， 又， 则， 易知在上单调递增， 则当时，；当时，， 所以的值域为. 故答案为：. 【例10-3】．（23-24 四川雅安·阶段练习）若函数的值域为R，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】依题意，取遍所有正数，则，而，解得， 所以.故选：B 【变式】 1．（2024·湖南·模拟预测）函数在区间上的最大值为（    ） A．0 B．1 C．2 D．4 【答案】B 【解析】因为，所以，所以，最大值为1，故选：B. 2．（23-24 江西南昌·期末）已知函数的定义域和值域都为，则（    ） A． B． C． D．不存在 【答案】B 【解析】因为函数的定义域为，则恒成立，且，可得； 又因为函数的定义域和值域都为，则取到所有正数，且，可得； 综上所述：.故选：B. 3．（2024·贵州黔东南 ）若函数的值域为.则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】依题意可得要取遍所有正数，则需要求，因为，解得； 故.故选：C 4．（24-25高一上·上海·随堂练习）函数的最小值为 ． 【答案】0 【解析】设，则， 的定义域为， 所以函数，在上单调递减，在上单调递增， 由复合函数的同增异减可得：在区间上单调递减，在上单调递增， ，最小值是0． 故答案为：0． 5．（24-25高一上·全国·假期作业）函数的值域是 ． 【答案】 【解析】令，则，因为， 则，且的对称轴为，可知，所以的值域是．故答案为：． 重难点三 对数型函数性质的综合应用 【例11】（23-24高一下·广西南宁·期末）已知函数（且）的图象经过点，函数的图象经过点． (1)求的值； (2)求函数的单调递增区间． 【答案】(1) (2)． 【解析】（1）由函数的图象经过点，得，① 由函数的图象经过点，得， 即，② 解①②得（舍去）． （2）由（1）知， 因为， 所以函数的定义域为R，再根据复合函数单调性知其在上单调递增， 所以函数的单调递增区间为． 【变式】 1．（23-24高二下·山东临沂·期末）已知函数，且． (1)求的定义域； (2)求不等式的解集． 【答案】(1) (2) 【解析】（1）， ，解得， ， 由解得， 故的定义域为. （2）由（1）知，， 在上单调递增，且其恒大于0，则函数在上单调递减， 在上单调递减， 又，不等式可化为， ，即， 不等式的解集为. 2．（23-24高一下·陕西咸阳·期末）已知函数且． (1)若，求的值； (2)若在上的最大值与最小值的差为1，求的值． 【答案】(1) (2)或． 【解析】（1）， ，即， 解得或（舍）． （2）当时，在上单调递增， 则， 由题意得，，解得． 当时，在上单调递减， 则， 由题意得，，解得． 综上，或． 3．（24-25高一上·上海·随堂练习）已知函数，其中（且）的图象经过点和． (1)求函数的解析式； (2)令，求的最小值及取最小值时x的值． 【答案】(1) (2)时，取得最小值1． 【解析】（1）由已知，得，解得，故； （2）由于 ， ， 故． 于是，当时，取得最小值1． 1． 单选题 1．（23-24 浙江温州·期末）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由，解得，即函数的定义域为.故选：A 2．（23-24高一下·安徽阜阳·期末）如图，图象①②③④所对应的函数不属于中的一个是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】D 【解析】依题意，函数的图象分别过定点， 它们分别对应图③②①，因此④不属于给定的三个函数之一. 故选：D 3．（2024·天津北辰 ）已知，，，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为在上单调递减，则，即； 又因为在上单调递减，则，即； 可得，且在上单调递增， 则，即； 综上所述：. 故选：D. 4．（23-24 湖南长沙·期末）函数的单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由得或， 设，函数在为增函数， 此时为增函数， 所以为增函数， 即的单调增区间为. 故选：C. 5．（2024·上海闵行 ）已知，为奇函数，当时，，则集合可表示为（      ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为为奇函数，所以等价于，即； 当时，，即，解得； 当时，，可得，所以， 解不等式，可得， 综上可得集合可表示为. 故选：D 6．（24-25高一上·上海·随堂练习）函数，的反函数的定义域是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为函数在单调递增， 所以， 即， 因为反函数的定义域是原函数的值域， 所以反函数的定义域为， 故选：C． 7．（23-24 山东聊城·期末）已知函数，若，则的值可以为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】， 当时，， 当时，，因为， 所以， 故选：A 8．（2024·江苏南）已知函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】令，则， 因为函数在区间上单调递减， 且在定义域内递增， 所以，解得， 故选：B 2． 多选题 9．（2024高二下·浙江·学业考试）若函数，则下列选项正确的是（    ） A．定义域为 B．值域为 C．图象过定点 D．在定义域上单调递增 【答案】ABC 【解析】由题意，，则， 所以函数的定义域为，故A正确； 根据对数函数的值域可得函数的值域为，故B正确； 令，则，， 所以函数的图象过定点，故C正确； 当时，函数在定义域上单调递减，故D错误. 故选：ABC. 10．（2024高三·全国·专题练习）下列关于函数的说法中，不正确的是（    ） A．有最大值，在上为增函数 B．有最大值，在上为减函数 C．有最小值，在上为增函数 D．有最小值，在上为减函数 【答案】BCD 【解析】令，则， 所以， 所以有最大值，所以CD错误， 因为在上递减，在上递增，而在定义域内递减， 所以在上递增，在上递减， 所以A正确，B错误， 故选：BCD 11．（23-24高一下·江西·期末）已知函数，则下列说法正确的是（   ） A．函数的定义域为 B．函数的值域为 C．函数是定义域上的奇函数 D．函数是定义域上的偶函数 【答案】AC 【解析】对于函数， 令，解得， 函数的定义域为，故A正确； 因为在上单调递减，在定义域上单调递增， 所以在上单调递减， 所以在上单调递增， 同理可得在上单调递增， 所以为上的增函数， 又， 其中， 因为，所以，所以，所以， 则，所以，即，又的值域为， 函数的值域为，故B错误； 又， 函数是定义域上的奇函数，C正确，D错误． 故选：AC． 3． 填空题 12．（23-24 广西玉林·期末）已知函数，则的定义域是 ；单调增区间为 . 【答案】 . 【解析】由，解得，则定义域是， 令，其对称轴方程为，图象是开口向下的抛物线， 则在上为增函数， 又为定义域内的增函数，则的单调增区间为. 故答案为：；. 13．（23-24高一上·陕西咸阳·期末）已知函数的图象与的图象关于直线对称，则的值域为 ． 【答案】 【解析】因为函数的图象与的图象关于直线对称， 所以，因此， 因为，所以， 因此的值域为， 故答案为： 14．（23-24 上海黄浦·期中）函数在区间上的最小值为 . 【答案】 【解析】， 因为，所以，故， 故， 当且仅当，即时，等号成立. 故答案为：. 4． 解答题 15．（2023春·河北石家庄·高一校考期末）已知函数． （1）当时，求该函数的值域； （2）若对于恒成立，求的取值范围; 【答案】（1）（2）m≤0 【解析】（1）因为，令，因为，所以， 此时，．，∵∴ 所以函数的值域为； （2）对于对于x∈[4，16]恒成立，令， 即2t2﹣3t+1≥mt对t∈[1，2]恒成立，∴对恒成立． 由对勾函数的单调性可知，在上单调递增， ∴g（t）min＝g（1）＝0，∴m≤0． 16．（2023·福建宁德 ）已知函数 (1)若时，求该函数的值域； (2)若对恒成立，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【解析】（1）由题知，，， 令， ， ， ， 所以该函数的值域为. （2）同（1）令， ，即恒成立， ， ，易知其在上单调递增， ， ， 的取值范围为. 17（2024·湖北随州）已知函数(，且). （1）求的定义域. （2）是否存在实数，使函数在区间上单调递减，并且最大值为2？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）；（2）存在，. 【解析】（1）根据对数型函数定义的求法简单计算即可. （1）由题意可得，即， 因为，所以解得. 故的定义域为. （2）假设存在实数，使函数在区间上单调递减，并且最大值为2. 设函数，由，得， 所以在区间上为减函数且恒成立， 因为在区间上单调递减， 所以且，即. 又因为在区间上的最大值为2， 所以， 整理得，解得. 因为，所以， 所以存在实数，使函数在区间上单调递减，并且最大值为2. 18．（2024江苏 ）已知是定义在R上的奇函数，其中． （1）求的值； （2）判断在上的单调性，并证明； （3）若对于任意的都有成立，求实数的取值范围． 【答案】（1）；（2）函数单调递增，证明见解析；（3）. 【解析】（1） ， 得，，； （2）， 设，设， ， 单调递增，根据复合函数的单调性可知单调递增； （3）， ，由（1）（2）可知函数是奇函数，并且在单调递增，所以函数在上单调递增， ， 当时，恒成立，即， 因为，则， 当时，恒成立，即，因为 ，则， 当时，， 综上可知，对恒成立，即. 19．（23-24高一·山西吕梁·期末）已知函数，其中． (1)若，求函数的定义域； (2)当时，恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【解析】（1）当时，， 由得， 故或， 得或， 故函数的定义域为； （2）由得， 得， 即， 设， 因，故， 所以当时，恒成立， 即为在上最小值大于0， 函数的对称轴为， 当即时，函数在上单调递增， 此时，得， 即满足题意； 当，即时，函数在对称轴取得最小值， 此时，得， 即满足题意； 故的取值范围为. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$