4.3 对数-2024-2025学年高一数学暑假预习（人教A版2019必修第一册）

4.3 对数 知识点一 对数的概念 【解题思路】对数的概念 1. 底数大于0且不等于1 2. 真数大于0 【例1】（23-24高一上·贵州贵阳·阶段练习）使式子有意义的的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．， 【变式】 1．（2023高一·全国·专题练习）在中，实数的取值范围是（    ） A．或 B．或 C． D． 2．（24-25高一上·上海·随堂练习）若对数有意义，则的取值范围是 ． 3．（23-24高一上·上海徐汇·期中）若对于任意实数，代数式均有意义，则实数的取值范围是 ． 知识点二 指数式与对数式的互化 【解题思路】指数式与对数式互化的思路 (1)指数式化为对数式：将指数式的幂作为真数，指数作为对数，底数不变，写出对数式． (2)对数式化为指数式：将对数式的真数作为幂，对数作为指数，底数不变，写出指数式 【例2-1】（22-23高一·全国·随堂练习）将下列指数式改写为对数式： (1)；(2)；(3)；(4)． 【例2-2】（22-23高一·全国·随堂练习）将下列对数式改写为指数式： (1)；(2)；(3)；(4). 【变式】 1．（2023高一·全国·专题练习）将下列指数式与对数式互化． (1)；(2)；(3)；(4).(5)；(6)；(7)； (8)．(9)；(10)；(11)；(12)． 知识点三 对数的计算 【解题思路】1.对数求值 （1）将对数式化为指数式，构建方程转化为指数问题． （2）利用幂的运算性质和指数的性质计算． 2.利用对数的性质求值的方法 (1)求解此类问题时，应根据对数的两个结论loga1＝0和logaa＝1(a>0且a≠1)，进行变形求解，若已知对数值求真数，则可将其化为指数式运算． (2)已知多重对数式的值，求变量值，应从外到内求，逐步脱去“log ”后再求解． 【例3-1】（2024湖北）求值： (1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)；(7)；(8)． 【例3-2】（24-25高一上·上海·假期作业）求下列各式中的值： (1)；(2)；(3)；(4). 【例3-3】（23-24高一·江苏·假期作业）求下列各式中x的值． (1)；(2)；(3). 【变式】 1．（2024湖南·课后作业）求下列各式中的值： (1)；(2)；(3)；(4)． 2．（24-25高一上·上海·课堂例题）求下列各式中的值： (1)；(2)；(3)；(4)． 3．（23-24高一·江苏·假期作业）求下列各式中x的值． (1) (2) 重难点一 对数运算性质的应用 【解题思路】　对数式化简与求值的基本原则和方法 (1)基本原则：对数的化简求值一般是正用或逆用公式，对真数进行处理，选哪种策略化简，取决于问题的实际情况，一般本着便于真数化简的原则进行． (2)两种常用的方法：①“收”，将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数； ②“拆”，将积(商)的对数拆成同底的两对数的和(差)． 【例4】（24-25高一上·上海·随堂练习）计算下列各式的值： (1)； (2)． 【变式】 1.（24-25高一上·全国·课堂例题）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 2．（24-25高一上·全国·课堂例题）求下列各式的值： (1)； (2)； (3)； (4)． 重难点二 换底公式的应用 【解题思路】利用换底公式进行化简求值的原则和技巧 1.原则：化异底为同底 2.技巧 （1）先利用对数的运算性质进行部分运算，再换成同底 （2）借助换底公式一次性同一换成常用对数或自然对数，再化简通分求值 （3）借助对数恒等式或常用结论，提高解题效率 【例5】（24-25高一上·上海·随堂练习）已知，，求： (1)；(2)；(3)． 【变式】 1．（2024·四川·模拟预测）若实数，，满足且，则（    ） A． B．12 C． D． 2．（2024·广东佛山 ）已知，，，则（    ） A． B． C． D． E．均不是 3．（24-25高一上·上海·课堂例题）（1）设，求的值； （2）已知，且，求的值． 重难点三 对数运算性质的综合应用 【解题思路】利用对数式与指数式互化求值的方法 (1)在对数式、指数式的互化运算中，要注意灵活运用定义、性质和运算法则，尤其要注意条件和结论之间的关系，进行正确的相互转化． (2)对于连等式可令其等于k(k>0)，然后将指数式用对数式表示，再由换底公式可将指数的倒数化为同底的对数，从而使问题得解． 【例6】（2024山东）求下列各式的值． (1)． (2) (3)． (4) (5) (6)； 【变式】 （2024河北）计算化简： (1) (2) (3)； (4)． (5)． (6)； (7)； (8)； 1． 单选题 1．（2023高一·上海·专题练习）在对数式中，实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（2023·湖南 ） 下列指数式与对数式互化不正确的一组是（       ） A．与 B．与 C．与 D．与 3．（23-24高一下·江苏盐城·期末）若，，则用，表示（    ） A． B． C． D． 4．（2024广东）化简的值为（       ） A． B． C． D．-1 5．（2023秋·浙江 ）已知，，且，则的最小值是（    ） A．18 B．16 C．10 D．4 6．（2024云南）已知，则下列能化简为的是（       ） A． B． C． D． 7（2023·全国·高一专题练习）17世纪，法国数学家马林·梅森在欧几里得､费马等人研究的基础上，对（为素数）型的数作了大量的研算，他在著作《物理数学随感》中断言：在的素数中，当，3，5，7，13，17，19，31，67，127，257时，是素数，其它都是合数.除了和两个数被后人证明不是素数外，其余都已被证实.人们为了纪念梅森在型素数研究中所做的开创性工作，就把型的素数称为“梅森素数”，记为.几个年来，人类仅发现51个梅森素数，由于这种素数珍奇而迷人，因此被人们答为“数海明珠”.已知第7个梅森素数，第8个梅森素数，则约等于（参考数据：）（    ） A．17.1 B．8.4 C．6.6 D．3.6 8．（23-24高一上·浙江宁波·期末）若，则说法错误的是（    ） A．的最小值是 B．的最小值是 C．的最大值是0 D．的最大值是 2． 多选题 9．（23-24高一上·全国·课后作业）下列指数式与对数式的互化，正确的一组是（　　） A．与 B．与 C．与 D．与 10．（23-24高三上·河南焦作·阶段练习）下列等式成立的是（　　） A． B． C． D． 11．（23-24高一上·山东枣庄·期末）以下运算中正确的有（   ） A．若，则 B． C． D． 3． 填空题 12．（24-25高一上·上海·课后作业）求下列各式中的值： （1）若，则 ； （2）若，则 ； （3）若，则 ； （4）若，则 ． 13．（24-25高一上·上海·随堂练习）下列式子中正确的是 ．（填序号） ①；②；③；④． 14．（2024四川省 ）已知，若，则的最大值为 ． 4． 解答题 15．（2023高一·全国·专题练习）将下列指数式与对数式进行互化． (1)(2)(3).(4)；(5)；(6)；(7). 16．（24-25高一上·上海·随堂练习）（1）利用关系式证明换底公式：； （2）利用（1）中的换底公式求值：； （3）利用（1）中的换底公式证明：． 17．（22-23高一·全国·随堂练习）求值： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)； (7)； (8)． 18．（23-24高一上·上海静安·期中）（1）已知，用a、b表示; （2）已知求b的值； （3）已知，试用表示； （4）已知，试用表示求. 19.（2024广东潮州）求下列各式子的 值： (1)； (2)； (3)； (4). (5)2log32－log3＋log38－； (6)(log2125＋log425＋log85)·(log52＋log254＋log1258). (7)lg25＋lg2＋lg＋lg(0.01)－1； (8)(lg2)2＋lg2·lg50＋lg25； (9)(log32＋log92)·(log43＋log83)； (10)2log32－log3＋log38－3log55； 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 4.3 对数 知识点一 对数的概念 【解题思路】对数的概念 1. 底数大于0且不等于1 2. 真数大于0 【例1】（23-24高一上·贵州贵阳·阶段练习）使式子有意义的的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．， 【答案】C 【解析】由式子有意义，则满足，解得且.故选：C. 【变式】 1．（2023高一·全国·专题练习）在中，实数的取值范围是（    ） A．或 B．或 C． D． 【答案】B 【解析】由对数的定义可知，解得，且，故选：B． 2．（24-25高一上·上海·随堂练习）若对数有意义，则的取值范围是 ． 【答案】 【解析】依题意，，解得且，所以的取值范围是.故答案为： 3．（23-24高一上·上海徐汇·期中）若对于任意实数，代数式均有意义，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【解析】对任意的，代数式有意义， 则对任意的，且， 当时，则且，解得且，不合乎题意； 当时，由题意可知，必有，由二次函数的基本性质可知， 对任意的，，则，所以，，解得. 因此，实数的取值范围是.故答案为：. 知识点二 指数式与对数式的互化 【解题思路】指数式与对数式互化的思路 (1)指数式化为对数式：将指数式的幂作为真数，指数作为对数，底数不变，写出对数式． (2)对数式化为指数式：将对数式的真数作为幂，对数作为指数，底数不变，写出指数式 【例2-1】（22-23高一·全国·随堂练习）将下列指数式改写为对数式： (1)；(2)；(3)；(4)． 【答案】(1)(2)(3)(4) 【解析】（1）（且）化为对数式是， 所以化为对数式是； （2），对数式是； （3），对数式是； （4），对数式是. 【例2-2】（22-23高一·全国·随堂练习）将下列对数式改写为指数式： (1)；(2)；(3)；(4). 【答案】(1)(2)(3)(4) 【解析】（1）由得. （2）由得. （3）由得. （4）由得. 【变式】 1．（2023高一·全国·专题练习）将下列指数式与对数式互化． (1)；(2)；(3)；(4).(5)；(6)；(7)； (8)．(9)；(10)；(11)；(12)． 【答案】(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7) (8)(9)(10)(11)(12) 【解析】（1）因为，所以； （2）因为，所以； （3）因为，所以； （4）因为，所以. （5），可得. （6），可得. （7），可得. （8），可得. （9） （10） （11） （12） 知识点三 对数的计算 【解题思路】1.对数求值 （1）将对数式化为指数式，构建方程转化为指数问题． （2）利用幂的运算性质和指数的性质计算． 2.利用对数的性质求值的方法 (1)求解此类问题时，应根据对数的两个结论loga1＝0和logaa＝1(a>0且a≠1)，进行变形求解，若已知对数值求真数，则可将其化为指数式运算． (2)已知多重对数式的值，求变量值，应从外到内求，逐步脱去“log ”后再求解． 【例3-1】（2024湖北）求值： (1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)；(7)；(8)． 【答案】(1)2(2)(3)(4)4(5)2(6)(7)(8) 【解析】（1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）； （7）； （8） 【例3-2】（24-25高一上·上海·假期作业）求下列各式中的值： (1)；(2)；(3)；(4). 【答案】(1)(2)(3)(4) 【解析】（1）. （2）. （3）. （4）. 【例3-3】（23-24高一·江苏·假期作业）求下列各式中x的值． (1)；(2)；(3). 【答案】(1)；(2)；(3). 【解析】（1）∵，∴，∴； （2）∵，∴，∴； （3）由可得，，故，所以. 【变式】 1．（2024湖南·课后作业）求下列各式中的值： (1)；(2)；(3)；(4)． 【答案】(1)125(2)(3)(4) 【解析】（1）解：因为，所以； （2）解：因为，所以，解得 （3）解：因为，所以，所以； （4）解：因为，所以，所以. 2．（24-25高一上·上海·课堂例题）求下列各式中的值： (1)；(2)；(3)；(4)． 【答案】(1)；(2)；(3)；(4)1000. 【解析】（1）∵，∴，即，∴，解得． （2）∵，∴，∴． （3）∵，∴，∴． （4）∵，∴，∴． 3．（23-24高一·江苏·假期作业）求下列各式中x的值． (1) (2) 【答案】(1)；(2). 【解析】（1）由可得，，则，所以. （2）由可得，，故，所以. 重难点一 对数运算性质的应用 【解题思路】　对数式化简与求值的基本原则和方法 (1)基本原则：对数的化简求值一般是正用或逆用公式，对真数进行处理，选哪种策略化简，取决于问题的实际情况，一般本着便于真数化简的原则进行． (2)两种常用的方法：①“收”，将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数； ②“拆”，将积(商)的对数拆成同底的两对数的和(差)． 【例4】（24-25高一上·上海·随堂练习）计算下列各式的值： (1)； (2)． 【答案】(1)2(2)1 【解析】（1）原式 ． （2）原式 ． 【变式】 1.（24-25高一上·全国·课堂例题）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)2；(2)；(3)；(4)-4. 【解析】（1）原式 ． （2）（方法一） 原式 ． （方法二） 原式． （3）分子； 分母． 原式． （4）原式． 2．（24-25高一上·全国·课堂例题）求下列各式的值： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)0；(2)2；(3)2；(4)4. 【解析】（1）原式． （2）原式． （3）原式． （4）原式． 重难点二 换底公式的应用 【解题思路】利用换底公式进行化简求值的原则和技巧 1.原则：化异底为同底 2.技巧 （1）先利用对数的运算性质进行部分运算，再换成同底 （2）借助换底公式一次性同一换成常用对数或自然对数，再化简通分求值 （3）借助对数恒等式或常用结论，提高解题效率 【例5】（24-25高一上·上海·随堂练习）已知，，求： (1)；(2)；(3)． 【答案】(1)；(2)；(3). 【解析】（1）因为，．所以． （2）． （3）． 【变式】 1．（2024·四川·模拟预测）若实数，，满足且，则（    ） A． B．12 C． D． 【答案】D 【解析】因为且，易知且， 所以，， 所以，， 所以，则. 故选：D． 2．（2024·广东佛山 ）已知，，，则（    ） A． B． C． D． E．均不是 【答案】D 【解析】由题意知，，，， 因为，，所以由换底公式可得，， 又因为（），所以，所以由换底公式可得.故选：D. 3．（24-25高一上·上海·课堂例题）（1）设，求的值； （2）已知，且，求的值． 【答案】（1）1；（2） 【解析】（1）因为，则， 则 所以； （2）因为，则，， 可得，，则． 由题意可得，则，且，所以． 重难点三 对数运算性质的综合应用 【解题思路】利用对数式与指数式互化求值的方法 (1)在对数式、指数式的互化运算中，要注意灵活运用定义、性质和运算法则，尤其要注意条件和结论之间的关系，进行正确的相互转化． (2)对于连等式可令其等于k(k>0)，然后将指数式用对数式表示，再由换底公式可将指数的倒数化为同底的对数，从而使问题得解． 【例6】（2024山东）求下列各式的值． (1)． (2) (3)． (4) (5) (6)； 【答案】(1)(2)(3)1(4)1(5)(6)2 【解析】（1） （2） （3） （4） （5） （6） 【变式】 （2024河北）计算化简： (1) (2) (3)； (4)． (5)． (6)； (7)； (8)； 【答案】(1)(2)8(3)0(4)2(5)(6)(7)0(8)1 【解析】（1） （2） （3） （4） （5） （6） （7） （8） 1． 单选题 1．（2023高一·上海·专题练习）在对数式中，实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】要使对数式有意义，需满足，解得或， 所以实数的取值范围是．故选:D. 2．（2023·湖南 ） 下列指数式与对数式互化不正确的一组是（       ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】B 【解析】由对数的概念可知：可转化为，故A正确； 由对数的概念可知：可转化为，故B错误； 由对数的概念可知：可转化为，故C正确； 由对数的概念可知：可转化为，故D正确； 故选：B 3．（23-24高一下·江苏盐城·期末）若，，则用，表示（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由对数运算性质可得， 故选：D. 4．（2024广东）化简的值为（       ） A． B． C． D．-1 【答案】A 【解析】 故选：A. 5．（2023秋·浙江 ）已知，，且，则的最小值是（    ） A．18 B．16 C．10 D．4 【答案】B 【解析】因为，，且，所以， 所以，所以， 当且仅当即时，等号成立，所以的最小值是16. 故选：B 6．（2024云南）已知，则下列能化简为的是（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】对于A，，A错误； 对于B，，B正确； 对于C，，C错误； 对于D，，D错误. 故选：B. 7（2023·全国·高一专题练习）17世纪，法国数学家马林·梅森在欧几里得､费马等人研究的基础上，对（为素数）型的数作了大量的研算，他在著作《物理数学随感》中断言：在的素数中，当，3，5，7，13，17，19，31，67，127，257时，是素数，其它都是合数.除了和两个数被后人证明不是素数外，其余都已被证实.人们为了纪念梅森在型素数研究中所做的开创性工作，就把型的素数称为“梅森素数”，记为.几个年来，人类仅发现51个梅森素数，由于这种素数珍奇而迷人，因此被人们答为“数海明珠”.已知第7个梅森素数，第8个梅森素数，则约等于（参考数据：）（    ） A．17.1 B．8.4 C．6.6 D．3.6 【答案】D 【解析】由已知可得. 故选：D 8．（23-24高一上·浙江宁波·期末）若，则说法错误的是（    ） A．的最小值是 B．的最小值是 C．的最大值是0 D．的最大值是 【答案】A 【解析】若，则，，，即. 对于A，，当且仅当， 即，时，等号成立，可得，故A错误； 对于B，由，可得， 所以， 当且仅当，即，时，等号成立，故B正确； 对于C，由，可得， 所以， 当且仅当，时，等号成立，故C正确； 对于D，由，可得，可知， 故， 令，可知，， 故， 当且仅当，即，时，等号成立，故的最大值是，故D正确. 故选：A 2． 多选题 9．（23-24高一上·全国·课后作业）下列指数式与对数式的互化，正确的一组是（　　） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】ABD 【解析】根据指数式与对数式的互化公式且可知，ABD正确； 对于C，，故C错误. 故选：ABD 10．（23-24高三上·河南焦作·阶段练习）下列等式成立的是（　　） A． B． C． D． 【答案】AC 【解析】，A成立； ，B不成立； ，C成立； ，D不成立. 故选：AC 11．（23-24高一上·山东枣庄·期末）以下运算中正确的有（   ） A．若，则 B． C． D． 【答案】AC 【解析】对于A：，故A正确； 对于B： ，故B错误； 对于C：，故C正确； 对于D：，故D错误， 故选：AC． 3． 填空题 12．（24-25高一上·上海·课后作业）求下列各式中的值： （1）若，则 ； （2）若，则 ； （3）若，则 ； （4）若，则 ． 【答案】 998 4或 【解析】（1）； （2）； （3）； （4）. 故答案为：；998；4或；. 13．（24-25高一上·上海·随堂练习）下列式子中正确的是 ．（填序号） ①；②；③；④． 【答案】④ 【解析】对于①，当为负数时没有意义，不成立，错误； 对于②，时，左边等于1，右边等于2，等式不成立，错误； 对于③，当为负数时没有意义，不成立，错误； 对于④，时，成立，正确. 故答案为：④. 14．（2024四川省 ）已知，若，则的最大值为 ． 【答案】/ 【解析】因为，所以， 所以，， 解得或， 因为，所以， 所以，所以， 所以， 当且仅当，即时取等号， 所以的最大值为. 故答案为： 4． 解答题 15．（2023高一·全国·专题练习）将下列指数式与对数式进行互化． (1)(2)(3).(4)；(5)；(6)；(7). 【答案】(1)(2)(3)(4)；(5)；(6)；(7). 【解析】（1）由可得. （2）由，可得. （3）由，可得. （4）由，可得； （5）由，可得； （6）由，可得； （7）由，可得. 16．（24-25高一上·上海·随堂练习）（1）利用关系式证明换底公式：； （2）利用（1）中的换底公式求值：； （3）利用（1）中的换底公式证明：． 【答案】（1）证明见解析；（2）8；（3）证明见解析； 【解析】（1）证明： 设，则，化为， 又，所以； （2）解：； （3）证明： ． 所以． 17．（22-23高一·全国·随堂练习）求值： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)； (7)； (8)． 【答案】(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8) 【解析】（1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）； （7） ； （8） . 18．（23-24高一上·上海静安·期中）（1）已知，用a、b表示; （2）已知求b的值； （3）已知，试用表示； （4）已知，试用表示求. 【答案】（1）；（2）或；（3）（4） 【解析】（1）因为，则， 所以； （2） ， 设则 则即或 即或 或. （3），则. ，， 则 （4）， 19.（2024广东潮州）求下列各式子的 值： (1)； (2)； (3)； (4). (5)2log32－log3＋log38－； (6)(log2125＋log425＋log85)·(log52＋log254＋log1258). (7)lg25＋lg2＋lg＋lg(0.01)－1； (8)(lg2)2＋lg2·lg50＋lg25； (9)(log32＋log92)·(log43＋log83)； (10)2log32－log3＋log38－3log55； 【答案】(1)(2)-1(3)1(4)2(5)－1(6)13(7)(8)2(9)(10)－1 【解析】(1)原式. (2) (3)原式=. (4)原式==. (5)原式＝2log32－5log32＋2＋3log32－3＝－1. (6)原式 . (7)原式＝ (8)原式＝(lg2)2＋(1＋lg5)lg2＋lg52＝(lg2＋lg5＋1)lg2＋2lg5＝(1＋1)lg2＋2lg5＝2(lg2＋lg5)＝2. (9)(log32＋log92)·(log43＋log83)＝·＝· ＝·＝. (10)2log32－log3＋log38－3log55＝log322＋log3(32×2－5)＋log323－3＝log3(22×32×2－5×23)－3 ＝log332－3＝2－3＝－1. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$