4.2 指数函数-2024-2025学年高一数学暑假预习（人教A版2019必修第一册）

4.2 指数函数 知识点一 指数函数的概念 【解题思路】1.判断一个函数是否为指数函数的方法 (1)底数的值是否符合要求． (2)ax前的系数是否为1. (3)指数是否符合要求． 2.求指数函数的解析式时，一般采用待定系数法，即先设出函数的解析式，然后利用已知条件，求出解析式中的参数，从而得到函数的解析式。 【例1-1】（24-25高一上·上海·随堂练习）下列函数中，指数函数是（    ） A． B． C． D． 【例1-2】（23-24高一上·青海西宁·期中）函数是指数函数，则有（    ） A．或 B． C． D．且 【例1-3】．（23-24高一上·陕西西安·阶段练习）若指数函数的图象过点，则的解析式为（    ） A． B． C． D． 【变式】 1．（23-24高一上·江西新余·期中）（多选）若函数是指数函数，则实数的值为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·上海·随堂练习）下列函数①；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧中，是幂函数的是 ；是指数函数的是 . 3．（23-24高一上·上海·假期作业）在下列函数中，是指数函数的有 . ①        ②        ③        ④ ⑤           ⑥            ⑦ 4．（24-25高一上·上海·课堂例题）若函数为指数函数，则 ． 知识点二 指数型函数的定点 【例2-1】（24-25高一上·上海·随堂练习）函数（且）的图象经过一定点，则该定点坐标为 ． 【例2-2】（23-24高二下·重庆·阶段练习）直线和函数的图象均恒过同一定点，则的最小值为（        ） A． B． C． D． 【变式】 1．（24-25高一上·上海·单元测试）若函数（且）经过的定点是P，则P点的坐标是 ． 2．（24-25高一上·上海·课后作业）函数（且）的图象必经过点 ． 3．（23-24高一上·江苏南京·阶段练习）已知函数的图像恒过定点，且点在直线上，则的最小值为（    ） A．4 B．1 C． D． 4．（2024高三·全国·专题练习）函数的图象过定点，且定点的坐标满足方程，其中，，则的最小值为（ ） A． B．9 C． D．8 知识点三 指数函数的图象及应用 【解题思路】处理函数图象问题的思路 (1)抓住特殊点：指数函数的图象过定点(0,1)，求指数型函数图象所过的定点时，只要令指数为0，求出对应的x，y的值，即可得函数图象所过的定点． (2)巧用图象变换：函数图象的平移变换(左右平移、上下平移)． (3)利用函数的性质：奇偶性与单调性． 【例3-1】（24-25高一上·上海·随堂练习）若函数（且）的图象在第二、三、四象限内，则（　　） A． B．且 C．且 D． 【例3-2】．（24-25高一上·上海·课堂例题）若函数（且）的图像不经过第二象限，则有（　　） A．且 B．且 C．且 D．且 【变式】 1．（24-25高一上·上海·随堂练习）在下图中，二次函数与指数函数的图像只可能是（    ） A．B．C． D． 2．（22-23高一上·广东·阶段练习）（多选）函数的图象如图所示，其中为常数，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 3 ．（23-24高一上·四川·期中）（多选）已知函数（且的图象如图所示，则函数的大致图象不可能为（    ） A．B．C． D． 重难点一 指数函数的定义域和值域 【解题思路】1.函数y＝af(x)定义域的求法 形如y＝af(x)形式的函数的定义域是使得f(x)有意义的x的取值集合． 2.函数y＝af(x)值域的求法 ①换元，令t＝f(x)； ②求t＝f(x)的定义域x∈D； ③求t＝f(x)的值域t∈M； ④利用y＝at的单调性求y＝at，t∈M的值域． 注意：(1)通过建立不等关系求定义域时，要注意解集为各不等关系解集的交集． (2)当指数型函数的底数含字母时，在求定义域、值域时要注意分类讨论． 【例4-1】（22-23高一·全国·随堂练习）求下列函数的定义域和值域： (1)；(2)；(3)；(4)(5)(6) 【例4-2】（2024广西）函数（且）的值域是，则实数（    ） A．3 B． C．3或 D．或 【例4-3】（2024·四川成都·二模）已知函数的值域为．若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式】 1．（2023高一·江苏·专题练习）求下列函数的定义域和值域： (1)；(2)；(3)；(4). 2．（23-24高三上·陕西咸阳·阶段练习）若函数（且）在区间上的值域为，则实数的值为（    ） A． B．2 C．3 D． 3．（23-24高一上·全国·期末）如果函数 且在区间上的最大值是，则的值为（   ） A．3 B． C． D．3或 重难点二 指数型函数的单调性 【解题思路】指数型函数的单调性的解题思路 (1)求复合函数的单调区间，首先求出函数的定义域，然后把函数分解成y＝f(u)，u＝φ(x)，通过考察f(u)和φ(x)的单调性，利用同增异减原则，求出y＝f(φ(x))的单调性． (2)关于指数型函数y＝af(x)(a>0，且a≠1)的单调性由两点决定，一是底数a>1还是0<a<1；二是f(x)的单调性，它由两个函数y＝au，u＝f(x)复合而成． 【例5-1】（23-24高二下·湖南衡阳·期中）的单调递减区间为 【例5-2】（24-25高一上·上海·随堂练习）已知指数函数在上是严格减函数，则实数a的取值范围是 ． 【例5-3】（23-24高二上·浙江·期末）函数在区间上单调递减，则a的取值范围是 ． 【变式】 1．（23-24高一下·四川成都·开学考试）函数的单调递减区间为 ． 2．（23-24高一上·江苏无锡·阶段练习）计算：函数的单调递减区间为 . 3．（24-25高一上·上海·随堂练习）已知指数函数在R上是严格增函数，则实数a的取值范围为 ． 4．（24-25高一上·上海·课后作业）已知函数在上是严格增函数，则实数的取值范围是 ． 5．（23-24高一上·江西·期中）若函数在上单调递增，则实数m的最小值为 ． 重难点三 比较大小 【解题思路】比较幂值大小的3种类型及处理方法 1.底数相同指数不同：利用指数函数的单调性判断 2.底数不同指数相同：利用幂函数的单调性判断 3.底数不同指数不同：通过中间量比较 【例6】（23-24高一上·上海·假期作业）比较下列各组数的大小: (1)和；(2)和；(3) 和；(4) 和； (5)和；(6)和. 【变式】 1．（23-24高二下·贵州毕节·期末）已知，，，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 2 ．（23-24高一上·四川乐山·期中）在，，，这四个数中，最大的数为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一下·安徽·阶段练习）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 4．（2024高一上·湖南邵阳 ）已知，，，则a，b，c的大小关系为（   ） A． B． C． D． 5．（23-24高一下·河北张家口·开学考试）已知，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 重难点四 简单的指数不等式的解法 【解题思路】简单的指数不等式的解法 (1)利用指数型函数的单调性解不等式，需将不等式两边都凑成底数相同的指数式． (2)解不等式af(x)>ag(x)(a>0，a≠1)的依据是指数型函数的单调性，要养成判断底数取值范围的习惯，若底数不确定，就需进行分类讨论，即af(x)>ag(x)⇒f(x)>g(x)(a>1)或f(x)<g(x)(0<a<1)． 【例7-1】（2024·江苏宿迁 ）已知函数，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【例7-2】（23-24 贵州六盘水·期中）已知定义在上的奇函数为单调递增函数，若恒成立，则t的取值范围是 ． 【变式】 1 ．（2023春·辽宁 ）已知函数（且），若，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 2．（2024陕西咸阳 ）已知函数若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（2024·黑龙江鹤岗 ）已知函数，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 重难点五 指数函数的综合运用 【例8】（23-24高一上·河北石家庄·期中）已知函数． (1)若函数是定义在上的奇函数，求函数的解析式； (2)在（1）的前提下，函数满足，若对任意且，不等式恒成立，求实数的最大值． 【变式】 1．（23-24高一上·天津滨海新·期中）已知函数，． (1)证明函数在上单调递减； (2)若，，使得，求实数a的取值范围； (3)若关于x的不等式：在上有解，求实数a的取值范围． 2．（23-24高一上·广东广州·期中）函数，． (1)若，求的最大值． (2)若时，图象恒在图象的上方，求实数的取值范围． 1． 单选题 1．（23-24高一上·安徽亳州·期末）函数，则的值域是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·甘肃定西·期末）函数的单调递减区间是（    ） A． B． C． D． 3．（2024·湖南邵阳·三模）“”是“函数（且）在上单调递减”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．（2023春·湖南长沙 ）已知的值域为，则x的取值范围可以为（    ） A． B． C． D． 5．（2024北京）函数（）的图象可能是（    ） A． B． C． D． 6．（2024·江西·模拟预测）函数的一个单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 7．（23-24 江西鹰潭·阶段练习）若函数在区间上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．（2024·全国·模拟预测）已知函数，则满足的的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2． 多选题 9．（23-24高一上·广东茂名·阶段练习）函数且，当时，值域为，则的值可能是（    ） A． B． C． D．2 10．（23-24高一上·湖北宜昌·期中）已知函数是常数，且在区间上有最大值3，最小值，则的可能取值是（    ） A． B． C． D． 11（2024高三·全国·专题练习）已知函数，则（    ） A．函数的定义域为R B．函数的值域为 C．函数在上单调递增 D． 3． 填空题 12．（22-23高一下·青海西宁·开学考试）若函数的值域为，则a的取值范围是 . 13．（24-25高一上·上海·单元测试）已知，，，则、、三者的大小关系是 ． 14．（24-25高一上·上海·课后作业）若函数的图像不经过第二象限，则的取值范围是 ． 4． 解答题 15．（23-24高二下·山东青岛·期末）已知函数为奇函数． (1)求实数k的值； (2)若对，不等式恒成立，求实数m的取值范围． 16．（23-24高一上·广东湛江·期末）已知函数是定义在上的偶函数，当时，，且． (1)求的值，并求出的解析式； (2)若在上恒成立，求的取值范围． 17．（2023·湖南）已知函数 (1)解关于的不等式； (2)已知，当时，若对任意的，总存在，使成立，求实数的取值范围． 18．（2024四川泸州 ）已知定义域为的函数是奇函数且为减函数. (1)求实数的值； (2)若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围. 19．（2024福建福州·阶段练习）设函数，. (1)求函数的值域； (2)设函数，若对，，，求实数a取值范围. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 4.2 指数函数 知识点一 指数函数的概念 【解题思路】1.判断一个函数是否为指数函数的方法 (1)底数的值是否符合要求． (2)ax前的系数是否为1. (3)指数是否符合要求． 2.求指数函数的解析式时，一般采用待定系数法，即先设出函数的解析式，然后利用已知条件，求出解析式中的参数，从而得到函数的解析式。 【例1-1】（24-25高一上·上海·随堂练习）下列函数中，指数函数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】指数函数的概念：函数且叫做指数函数，其中指数是自变量，定义域是R. 对A,选项不满足形式；对B，符合定义；对C,系数为,不满足定义；对D，指数为,不满足定义.故选：B. 【例1-2】（23-24高一上·青海西宁·期中）函数是指数函数，则有（    ） A．或 B． C． D．且 【答案】C 【解析】由已知得，即得.故选：C 【例1-3】．（23-24高一上·陕西西安·阶段练习）若指数函数的图象过点，则的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设，因的图象过点，则，得，所以， 故选：C. 【变式】 1．（23-24高一上·江西新余·期中）（多选）若函数是指数函数，则实数的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】AB 【解析】因为函数是指数函数，所以，解得或.故选：AB 2．（24-25高一上·上海·随堂练习）下列函数①；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧中，是幂函数的是 ；是指数函数的是 . 【答案】 幂函数② 指数函数①⑤ 【解析】因为指数函数为（且），故①⑤是指数函数； 由幂函数定义知，是幂函数，故②是幂函数； 由指数函数的定义知，③④⑥⑦均不是幂函数，也不是指数函数； 对于⑧，当时，，不是幂函数，也不是指数函数. 故答案为：②；①⑤. 3．（23-24高一上·上海·假期作业）在下列函数中，是指数函数的有 . ①        ②        ③        ④ ⑤           ⑥            ⑦ 【答案】①⑥ 【解析】指数函数：且函数定义域为，的系数为1； ①是指数函数；②的指数不是，故不是指数函数； ③指数式的系数不为1，故不是指数函数； ④的定义域不是； ⑤不是指数函数；⑥是指数函数； ⑦的底数不是常数，不是指数函数； 故答案为：①⑥ 4．（24-25高一上·上海·课堂例题）若函数为指数函数，则 ． 【答案】 【解析】因为函数为指数函数，所以且且，解得. 故答案为： 知识点二 指数型函数的定点 【例2-1】（24-25高一上·上海·随堂练习）函数（且）的图象经过一定点，则该定点坐标为 ． 【答案】 【解析】当，即时，，所以的图象经过定点.故答案为： 【例2-2】（23-24高二下·重庆·阶段练习）直线和函数的图象均恒过同一定点，则的最小值为（        ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】令，解得， 由题意可知：点在直线上， 可得，即， 则， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为.故选：B. 【变式】 1．（24-25高一上·上海·单元测试）若函数（且）经过的定点是P，则P点的坐标是 ． 【答案】 【解析】的图象过点，图象由的图象右移3个单位、上移7个单位得到， 故过定点．故答案为：． 2．（24-25高一上·上海·课后作业）函数（且）的图象必经过点 ． 【答案】 【解析】因为函数（且）的图象必经过点，所以函数的图象必经过点.故答案为：. 3．（23-24高一上·江苏南京·阶段练习）已知函数的图像恒过定点，且点在直线上，则的最小值为（    ） A．4 B．1 C． D． 【答案】C 【解析】由函数的图像恒过定点， 再由点在直线上，则， 而， 取等号条件是,此时， 故选：C. 4．（2024高三·全国·专题练习）函数的图象过定点，且定点的坐标满足方程，其中，，则的最小值为（ ） A． B．9 C． D．8 【答案】B 【解析】对于函数，令，得，， 所以函数的图象恒过定点， 又定点的坐标满足方程，所以，即， 又，，所以， 当且仅当，即，时取等号，的最小值为.故选：B. 知识点三 指数函数的图象及应用 【解题思路】处理函数图象问题的思路 (1)抓住特殊点：指数函数的图象过定点(0,1)，求指数型函数图象所过的定点时，只要令指数为0，求出对应的x，y的值，即可得函数图象所过的定点． (2)巧用图象变换：函数图象的平移变换(左右平移、上下平移)． (3)利用函数的性质：奇偶性与单调性． 【例3-1】（24-25高一上·上海·随堂练习）若函数（且）的图象在第二、三、四象限内，则（　　） A． B．且 C．且 D． 【答案】C 【解析】如图所示，图象与y轴的交点在y轴的负半轴上（纵截距小于零），即，且， ，且． 故选：． 【例3-2】．（24-25高一上·上海·课堂例题）若函数（且）的图像不经过第二象限，则有（　　） A．且 B．且 C．且 D．且 【答案】D 【解析】由指数函数图像的特征可知当时，函数（且）的图像必经过第二象限，故排除选项B、C．又函数（且）的图像不经过第二象限， 则其图像与轴的交点不在轴上方，所以当时，，即， 故选：D． 【变式】 1．（24-25高一上·上海·随堂练习）在下图中，二次函数与指数函数的图像只可能是（    ） A．B．C． D． 【答案】A 【解析】因为为指数函数，所以，且，所以， 因为二次函数的对称轴为直线，所以排除BD， 由指数函数的图象可知，所以， 所以二次函数图象顶点的横坐标在内，所以C错误， 故选：A 2．（22-23高一上·广东·阶段练习）（多选）函数的图象如图所示，其中为常数，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【解析】由的图象可以观察出函数在定义域上单调递减，所以， 函数的图象是在的图象的基础上向左平移得到的，所以. 故选：AC 3 ．（23-24高一上·四川·期中）（多选）已知函数（且的图象如图所示，则函数的大致图象不可能为（    ） A．B．C． D． 【答案】AD 【解析】根据题意可得， 的图象是向上平移a个单位得到的， 结合幂函数的性质可知在上为单调递增函数， 当a为奇数时，图象如C选项所示；当a为偶数时，图象如B选项所示， 选项A，D不符合题意．故选：AD. 重难点一 指数函数的定义域和值域 【解题思路】1.函数y＝af(x)定义域的求法 形如y＝af(x)形式的函数的定义域是使得f(x)有意义的x的取值集合． 2.函数y＝af(x)值域的求法 ①换元，令t＝f(x)； ②求t＝f(x)的定义域x∈D； ③求t＝f(x)的值域t∈M； ④利用y＝at的单调性求y＝at，t∈M的值域． 注意：(1)通过建立不等关系求定义域时，要注意解集为各不等关系解集的交集． (2)当指数型函数的底数含字母时，在求定义域、值域时要注意分类讨论． 【例4-1】（22-23高一·全国·随堂练习）求下列函数的定义域和值域： (1)；(2)；(3)；(4)(5)(6) 【答案】(1)定义域为R，值域为 (2)定义域为R，值域为 (3)定义域为R，值域为 (4)定义域为，值域为 (5)定义域为，值域为 (6)定义域为，值域为 【解析】（1）的定义域为R，值域为； （2）的定义域为R，值域为； （3）的定义域为R，值域为； （4）中分母不等于0，故的定义域为， 由于，故，又，故值域为； （5）中分母不等于0，故， 的定义域为， 由于，故，又， 的值域为 （6）中中分母不等式0，故， 的定义域为， 由于，故，又， 故的值域为. 【例4-2】（2024广西）函数（且）的值域是，则实数（    ） A．3 B． C．3或 D．或 【答案】C 【解析】函数（且）的值域为， 又由指数函数的单调性可知， 当时，函数在上单调递减，值域是 所以有，即 ，解得； 当时，函数在上单调递增，值域是 所以有，即 ，解得. 综上所述，或. 故选：C. 【例4-3】（2024·四川成都·二模）已知函数的值域为．若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】当时，，符合题意； 当时，因为函数的值域为满足， 由指数函数的单调性可知，即二次函数的最小值小于或等于零； 若时，依题意有的最小值，即， 若时，不符合题意； 综上：， 故选：B. 【变式】 1．（2023高一·江苏·专题练习）求下列函数的定义域和值域： (1)；(2)；(3)；(4). 【答案】(1)定义域，值域为且 (2)定义域为，值域为 (3)定义域为R，值域为 (4)定义域为R，值域为 【解析】（1）要使函数式有意义，则，解得. 所以函数的定义域为. 因为，所以，即函数的值域为且. （2）由题意知，所以，所以， 所以函数的定义域为. 因为，所以，所以，即， 所以函数的值域为. （3）由题意知函数的定义域为R. 因为，所以， 又，所以函数的值域为. （4）由题意易知函数的定义域为R， 因为， 又，所以，故函数的值域为. 2．（23-24高三上·陕西咸阳·阶段练习）若函数（且）在区间上的值域为，则实数的值为（    ） A． B．2 C．3 D． 【答案】B 【解析】①当时，单调递增，故，解得； ②当时，单调递减，，无解， 综上可知.故选：B 3．（23-24高一上·全国·期末）如果函数 且在区间上的最大值是，则的值为（   ） A．3 B． C． D．3或 【答案】D 【解析】令，则． 当时，因为，所以， 又因为函数在上单调递增， 所以，解得（舍去）． 当时，因为，所以， 又函数在上单调递增， 则， 解得（舍去）． 综上知或． 故选：D. 重难点二 指数型函数的单调性 【解题思路】指数型函数的单调性的解题思路 (1)求复合函数的单调区间，首先求出函数的定义域，然后把函数分解成y＝f(u)，u＝φ(x)，通过考察f(u)和φ(x)的单调性，利用同增异减原则，求出y＝f(φ(x))的单调性． (2)关于指数型函数y＝af(x)(a>0，且a≠1)的单调性由两点决定，一是底数a>1还是0<a<1；二是f(x)的单调性，它由两个函数y＝au，u＝f(x)复合而成． 【例5-1】（23-24高二下·湖南衡阳·期中）的单调递减区间为 【答案】/ 【解析】复合函数可以分为：外部函数与内部函数, 因为外部函数在公共定义域内单调递减，根据复合函数单调性“同增异减”的性质，所以求的减区间，等价于求内部函数的增区间， 易知的增区间为，故的减区间为，由于端点不影响函数的单调性，所以的减区间也可以为， 故答案为：. 【例5-2】（24-25高一上·上海·随堂练习）已知指数函数在上是严格减函数，则实数a的取值范围是 ． 【答案】 【解析】由指数函数在上是严格减函数，则，得.故答案为： 【例5-3】（23-24高二上·浙江·期末）函数在区间上单调递减，则a的取值范围是 ． 【答案】 【解析】函数由和复合而成， 由于是单调递增，函数在区间上单调递减， 所以在区间上单调递减. 当时，不符合题意； 当时，单调递减，满足题意； 当时，开口向下，对称轴为， 故需要满足，显然成立，满足题意， 综上：. 故答案为：. 【变式】 1．（23-24高一下·四川成都·开学考试）函数的单调递减区间为 ． 【答案】 【解析】函数的定义域为， 又二次函数，开口向下，对称轴为， 所以在上单调递增，在上单调递减， 又在定义域上单调递减， 所以的单调递增区间为. 故答案为： 2．（23-24高一上·江苏无锡·阶段练习）计算：函数的单调递减区间为 . 【答案】 【解析】，的定义域为， 根据“同增异减”法则：求函数的单调递减区间，即求的单调递减区间， 而要求函数的单调递减区间，即要求函数的单调递增区间， 的对称轴为，的单调递增区间为， 故的单调递减区间为. 故答案为：. 3．（24-25高一上·上海·随堂练习）已知指数函数在R上是严格增函数，则实数a的取值范围为 ． 【答案】 【解析】因为指数函数在R上是严格增函数， 所以，即，解得或， 即实数a的取值范围为. 故答案为： 4．（24-25高一上·上海·课后作业）已知函数在上是严格增函数，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【解析】在上是严格增函数， ,解得． 故答案为： 5．（23-24高一上·江西·期中）若函数在上单调递增，则实数m的最小值为 ． 【答案】3 【解析】因为， 作函数函数的图象如下， 结合图象可知，函数在单调递增， 所以，则实数m的最小值为3， 故答案为:3. 重难点三 比较大小 【解题思路】比较幂值大小的3种类型及处理方法 1.底数相同指数不同：利用指数函数的单调性判断 2.底数不同指数相同：利用幂函数的单调性判断 3.底数不同指数不同：通过中间量比较 【例6】（23-24高一上·上海·假期作业）比较下列各组数的大小: (1)和；(2)和；(3) 和；(4) 和； (5)和；(6)和. 【答案】(1)>(2)(3)>(4)答案见解析(5)>(6)< 【解析】（1）由于单调递减，所以； （2）由于单调递减，所以； （3），， 故 （4）当时，，故， 当时，，故， （5）由于函数为单调递增函数，所以 （6）由于为单调递减函数，所以 【变式】 1．（23-24高二下·贵州毕节·期末）已知，，，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】依题意，结合对应幂指数函数单调性，知，所以. 故选：A 2 ．（23-24高一上·四川乐山·期中）在，，，这四个数中，最大的数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由函数与在上单调递减，可知，， 只需比较与的大小，由于幂函数在上单调递增， 所以，所以这四个数中，最大的数为. 故选：C. 3．（23-24高一下·安徽·阶段练习）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为在第一象限为增函数，，所以， 因为在第一象限为增函数，，所以， 所以， 故选：B. 4．（2024高一上·湖南邵阳 ）已知，，，则a，b，c的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为在定义域上是增函数，所以， 因为在定义域上是减函数，所以， 所以,即. 故选：A. 5．（23-24高一下·河北张家口·开学考试）已知，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】依题意，，，又， 所以的大小关系是.故选：B 重难点四 简单的指数不等式的解法 【解题思路】简单的指数不等式的解法 (1)利用指数型函数的单调性解不等式，需将不等式两边都凑成底数相同的指数式． (2)解不等式af(x)>ag(x)(a>0，a≠1)的依据是指数型函数的单调性，要养成判断底数取值范围的习惯，若底数不确定，就需进行分类讨论，即af(x)>ag(x)⇒f(x)>g(x)(a>1)或f(x)<g(x)(0<a<1)． 【例7-1】（2024·江苏宿迁 ）已知函数，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】解法一：函数的定义域为R，函数分别是R上的增函数和减函数， 因此函数是R上的增函数，由，得，解得， 所以原不等式的解集是. 故选：A 解法二：特值当时，，排除B，D，当时，，排除C， 对A：当时，，因为函数是R上的增函数，所以，故A成立. 故选A． 【例7-2】（23-24 贵州六盘水·期中）已知定义在上的奇函数为单调递增函数，若恒成立，则t的取值范围是 ． 【答案】 【解析】由得， 因为为上的奇函数，所以， 故， 又因在上单调递增， 所以即， 设，则恒成立， 则， 因，当且仅当即，时等号成立, 故.故答案为： 【变式】 1 ．（2023春·辽宁 ）已知函数（且），若，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为函数定义域为，且， 所以函数为偶函数，则， 因为，则，即，所以， 所以可以转化为，则，所以，故选：B. 2．（2024陕西咸阳 ）已知函数若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】得， 当以及时，均为单调递增函数，且当时，当时，因此为上的单调递增函数，由得， 故选：D 3．（2024·黑龙江鹤岗 ）已知函数，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】令，， 所以为奇函数，不等式，等价于， 即，因为为奇函数，所以， 因为均为减函数，根据单调性的性质可知，为减函数， 则，解得： 故选：B 重难点五 指数函数的综合运用 【例8】（23-24高一上·河北石家庄·期中）已知函数． (1)若函数是定义在上的奇函数，求函数的解析式； (2)在（1）的前提下，函数满足，若对任意且，不等式恒成立，求实数的最大值． 【答案】(1) (2) 【解析】（1）函数是定义在上的奇函数， 所以，即恒成立. 所以，，解得，或. 当时，，无意义，不满足定义域为，舍去. 当时，，满足题意. 故. （2），所以. 所以， 因为任意且，不等式恒成立， ，当且仅当时，等号成立. 令，得到恒成立，即恒成立. 因为，当且仅当时，等号成立，故， 所以的最大值为. 【变式】 1．（23-24高一上·天津滨海新·期中）已知函数，． (1)证明函数在上单调递减； (2)若，，使得，求实数a的取值范围； (3)若关于x的不等式：在上有解，求实数a的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【解析】（1）证明：任取， ，,, 即函数在上单调递减. （2）由（1）的结论知在上单调递减，则， 因为在上单调递增，所以 若，使得，则 即，解得. （3）由题意得在上有解， 即在上有解，所以， 设， 因为在单调递减，在单调递减， 所以在上单调递减， 所以，所以. 2．（23-24高一上·广东广州·期中）函数，． (1)若，求的最大值． (2)若时，图象恒在图象的上方，求实数的取值范围． 【答案】(1)答案见解析 (2) 【解析】（1），设，，， 故，函数对称轴为， 当，即时，最大值为； 当，即时，最大值为； 综上所述： 当时，函数最大值为； 当时，函数最大值为. （2）图象恒在图象的上方，即恒成立， 即，设，，则. ，即恒成立， ，当且仅当时等号成立 故，即. 1． 单选题 1．（23-24高一上·安徽亳州·期末）函数，则的值域是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为在上单调递减，所以在上的值域为. 故选：C 2．（23-24高一上·甘肃定西·期末）函数的单调递减区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】内函数，其在上单调递增， 而外函数在上单调递减， 则根据复合函数单调性“同增异减”的原则知的单调递减区间为， 故选：B. 3．（2024·湖南邵阳·三模）“”是“函数（且）在上单调递减”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】若，则的图象为： 可知在上单调递增； 若，则的图象为： 可知在上单调递减； 综上所述：“”是“函数（且）在上单调递减”的充要条件. 故选：C． 4．（2023春·湖南长沙 ）已知的值域为，则x的取值范围可以为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】令，则， 由题知，，解得或， 即或，解得或. 故选：D 5．（2024北京）函数（）的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】当时，，因此，且函数在上单调递增，故A、B均不符合； 当 时，，因此，且函数在上单调递减，故C符合，D不符合． 故选：C． 6．（2024·江西·模拟预测）函数的一个单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】令，则， 由复合函数的单调性可知： 的单调递减区间为函数的单调递减区间， 又函数， 即函数为偶函数， 结合图象，如图所示， 可知函数的单调递减区间为和， 即的单调递减区间为和． 故选：C． 7．（23-24 江西鹰潭·阶段练习）若函数在区间上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】令， 因为在定义域上单调递减， 要使函数在区间上单调递增， 则在区间上单调递减， 所以，解得， 所以的取值范围为. 故选：C 8．（2024·全国·模拟预测）已知函数，则满足的的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设，，则，所以为奇函数． 又， 则的图象是由的图象向右平移个单位长度得到的， 所以图象的对称中心为，所以． 因为在上单调递增，在上单调递减， 所以在上单调递增，则在上单调递增， 因为， 所以，所以，解得， 故满足的的取值范围为． 故选：B 2． 多选题 9．（23-24高一上·广东茂名·阶段练习）函数且，当时，值域为，则的值可能是（    ） A． B． C． D．2 【答案】BC 【解析】当时，函数单调递减，，解得 当时，函数单调递增，，解得． 故选：BC． 10．（23-24高一上·湖北宜昌·期中）已知函数是常数，且在区间上有最大值3，最小值，则的可能取值是（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【解析】令，因为，可得， 当时，可得，所以， 因为函数在区间上有最大值，最小值， 可得，解得； 当时，可得，所以， 因为函数在区间上有最大值，最小值， 可得，解得， 综上可得，或. 故选:AD. 11（2024高三·全国·专题练习）已知函数，则（    ） A．函数的定义域为R B．函数的值域为 C．函数在上单调递增 D． 【答案】ABD 【解析】令，则． 对于选项A，的定义域为，故A正确； 对于选项B，因为，的值域为，所以函数的值域为,故B正确； 对于选项C，因为在上单调递增， 且在上单调递减， 所以根据复合函数单调性法则，得函数在上单调递减，故C不正确； 对于选项D，由于函数在上单调递减，则，故 D正确． 故选:ABD． 3． 填空题 12．（22-23高一下·青海西宁·开学考试）若函数的值域为，则a的取值范围是 . 【答案】 【解析】若，则，不满足题意； 若，则， 当，即时，的值域为，满足题意. 故答案为：. 13．（24-25高一上·上海·单元测试）已知，，，则、、三者的大小关系是 ． 【答案】 【解析】因为，所以； 因为，所以； 所以， 故答案为：. 14．（24-25高一上·上海·课后作业）若函数的图像不经过第二象限，则的取值范围是 ． 【答案】 【解析】指数函数过点，则函数过点， 若图像不经过第二象限，则， 即． 故答案为：． 4． 解答题 15．（23-24高二下·山东青岛·期末）已知函数为奇函数． (1)求实数k的值； (2)若对，不等式恒成立，求实数m的取值范围． 【答案】(1) (2) 【解析】（1）因为是奇函数， 所以，解得，此时符合题意． （2）原问题即为，即恒成立， 则， 设， 则， ，∴当时，y取得最小值26， 要使不等式在上恒成立，则， 16．（23-24高一上·广东湛江·期末）已知函数是定义在上的偶函数，当时，，且． (1)求的值，并求出的解析式； (2)若在上恒成立，求的取值范围． 【答案】(1)， (2)． 【解析】（1）解：因为是偶函数，所以，解得， 当时，可得，可得， 所以函数的解析式为. （2）解：由（1）知，当时，， 因为在上恒成立， 即， 又因为， 当且仅当时，即时等号成立， 所以，即的取值范围是． 17．（2023·湖南）已知函数 (1)解关于的不等式； (2)已知，当时，若对任意的，总存在，使成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)当时，不等式的解集为，当时，不等式的解集为 (2) 【解析】（1）由题意， 在中，， ∴， ∴， 当时，解得， 当时，解得， 当时，解得， 综上，当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为 （2）在中， 当时，， ∵， ∴函数的值域是， 在中， ∵对任意的，总存在，使成立， ∴的值域是的值域的子集， 当时，，则，解得 当时，，则，解得， 当时，，不成立； 综上，实数m的取值范围. 18．（2024四川泸州 ）已知定义域为的函数是奇函数且为减函数. (1)求实数的值； (2)若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【解析】（1）因为为奇函数且定义域为，所以，所以， 当时，， 满足条件为奇函数，故. （2） 为奇函数， ， 又因为函数在上为减函数， 所以对恒成立， 则对恒成立， 令，其图象对称轴为，开口向上， 所以在上单调递增，故， 故要使对恒成立，则，即. 19．（2024福建福州·阶段练习）设函数，. (1)求函数的值域； (2)设函数，若对，，，求实数a取值范围. 【答案】(1) (2) 【解析】（1）∵，又∵，， ∴，当且仅当，即时取等号， 所以， 即函数的值域为. （2）∵， 设，因为，所以，函数在上单调递增， ∴，即， 设时，函数的值域为A.由题意知， ∵函数 ①当，即时，函数在上递增， 则，即 ，∴ ②当时，即时，函数在上的最大值为，中的较大者， 而且，不合题意， ③当，即时，函数在上递减， 则，即 ，满足条件的不存在， 综上所述，实数a取值范围为. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$