第一章：空间向量与立体几何章末重点题型复习（12大题型，基础版）-【上好课】2024-2025学年高二数学同步精品课堂（人教A版2019选择性必修第一册）

第一章：空间向量与立体几何章末重点题型复习 题型一 空间向量的有关概念理解 【例1】（23-24高二下·甘肃庆阳·期中）下列命题是真命题的是（    ） A．空间向量就是空间中的一条有向线段 B．不相等的两个空间向量的模必不相等 C．任一向量与它的相反向量不相等 D．向量与向量的长度相等 【变式1-1】（23-24高二上·陕西西安·月考）下列关于空间向量的说法中错误的是（    ） A．零向量与任意向量平行 B．任意两个空间向量一定共面 C．零向量是任意向量的方向向量 D．方向相同且模相等的两个向量是相等向量 【变式1-2】（23-24高二上·黑龙江哈尔滨·期中）下列关于空间向量的说法中正确的是（    ） A．方向相反的两个向量是相反向量 B．空间中任意两个单位向量必相等 C．若向量满足，则 D．相等向量其方向必相同 【变式1-3】（23-24高二上·新疆·月考）下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，互为相反向量，则 C．空间中两平行向量相等 D．在四边形ABCD中， 题型二 空间向量的线性运算 【例2】（23-24高二上·浙江温州·期中）平行六面体中，化简（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】（23-24高二上·广东深圳·期中）已知正方体，则下列各式运算结果不是的为（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（23-24高二上·陕西西安·月考）若为空间不同的四点，则下列各式不一定为零向量的是（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】（23-24高二上·吉林·期中）在空间四边形ABCD中，G为的重心，E，F，H分别为边CD，AD和BC的中点，化简下列各表达式. (1)； (2). 题型三 空间向量的线性表示 【例3】（23-24高二上·浙江杭州·月考）已知三棱锥，点M，N分别为AB，OC的中点，且，，，用，，表示，则等于（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】（23-24高二上·广东佛山·期中）已知三棱锥分别是的中点，是的中点，设，则（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】（23-24高二上·福建泉州·月考）如图，在三棱柱中，E、F分别是BC、的中点，为的重心，则（    ） A． B． C． D． 【变式3-3】（23-24高二上·四川内江·期中）如图，在斜四棱柱中，底面是平行四边形，M为与的交点.若，，，则（    ） A． B． C． D． 题型四 空间向量基本定理及应用 【例4】（23-24高二上·重庆九龙坡·开学考试）已知向量在基底下的坐标是，则向量在基底下的坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】（23-24高二上·河南南阳·期末）如图，在三棱柱中，，若，则（    ） A．1 B． C． D． 【变式4-2】（23-24高二下·江苏连云港·月考）已知四棱柱的底面是平行四边形，点E在线段DC上，满足，，则（    ） A．- B． C． D． 【变式4-3】（23-24高二上·浙江金华·月考）我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马．如图，四棱锥为阳马，平面，且，若，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 题型五 空间向量的共线定理及应用 【例5】（23-24高二上·吉林延边·期中）已知点，，，若A，B，C三点共线，则a，b的值分别是（    ） A．，3 B．，2 C．1，3 D．，2 【变式5-1】（23-24高二上·甘肃武威·期中）已知点，，，若直线，则 ． 【变式5-2】（23-24高二上·湖北荆州·月考）设是空间两个不共线的非零向量，已知，，，且三点共线，则实数k的值为 ． 【变式5-3】（22-23高二上·安徽·期中）（多选）如图，在三棱柱中，P为空间一点，且满足，，则（    ） A．当时，点P在棱上 B．当时，点P在棱上 C．当时，点P在线段上 D．当时，点P在线段上 题型六 空间向量的共面定理及应用 【例6】（23-24高二上·湖南张家界·期末）已知向量若与、共面，则实数（    ） A． B． C． D． 【变式6-1】（23-24高二上·北京朝阳·期末）在空间直角坐标系中，已知点，若点在平面内，写出一个符合题意的点的坐标 . 【变式6-2】（23-24高二上·贵州贵阳·期末）若构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（    ） A． B．， C． D． 【变式6-3】（23-24高二上·陕西兴平·月考）已知A、B、C三点不共线，对平面外的任一点O，下列条件中能确定点M与点A、B、C一定共面的是（    ） A． B． C． D． 【变式6-4】（23-24高二上·浙江杭州·期末）设平面内不共线的三点A，B，C以及平面外一点P，若平面内存在一点D满足，则x的值为（    ） A．0 B． C． D． 题型七 空间向量的数量积问题 【例7】（23-24高二上·湖南益阳·期末）已知空间向量，则（    ） A．3 B． C． D．21 【变式7-1】（23-24高二下·甘肃·期末）在所有棱长均为2的平行六面体中，，则的长为（    ） A． B． C． D．6 【变式7-2】（23-24高二上·河南开封·期末）如图，在空间四边形ABCD中，，，，，. (1)求； (2)求CD的长. 【变式7-3】（23-24高二上·贵州铜仁·月考）已知向量，. (1)求的值； (2)求向量与夹角的余弦值. 题型八 空间中的点坐标对称问题 【例8】（23-24高二上·广东佛山·月考）在空间直角坐标系中，点B与点关于平面对称，则B的坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式8-1】（23-24高二上·安徽·月考）在空间直角坐标系中，点与点（    ） A．关于平面对称 B．关于轴对称 C．关于平面对称 D．关于轴对称 【变式8-2】（23-24高二上·河北邯郸·月考）在空间直角坐标系中，已知点，则下列说法错误的是（    ） A．点关于坐标原点对称点的坐标为 B．点关于平面对称点的坐标为 C．点在平面上的射影点的坐标为 D．点在轴上的射影点的坐标为 【变式8-3】（23-24高二上·宁夏银川·月考）（多选）在空间直角坐标系中，以下结论正确的是（    ） A．点关于原点O的对称点的坐标为 B．点关于x轴的对称点的坐标为 C．点关于平面对称的点的坐标是 D．两点间的距离为3 题型九 利用空间向量证明平行垂直 【例9】（23-24高二上·广东佛山·期中）如图，在长方体中，分别是的中点．求证： (1)四边形为平行四边形； (2)平面． 【变式9-1】如图，在直三棱柱中，，，，点E在线段上，且，分别为、、的中点.求证： (1)平面平面； (2)平面平面. 【变式9-2】（2024·山西·三模）如图，在正方体，中，E，F，G分别是棱AB，BC，CD的中点． (1)证明：∥平面； (2)证明： 【变式9-3】（23-24高二上·新疆昌吉·月考）如图，在四棱锥中，底面，，，，，点E为棱PC的中点．证明： (1)平面； (2)平面平面． 题型十 利用空间向量求空间角 【例10】（23-24高二上·河北石家庄·月考）已知向量，且平面平面，若平面与平面的夹角的余弦值为，则实数的值为（    ） A．或 B．或1 C．或2 D． 【变式10-1】（23-24高二下·河南漯河·期末）已知如图所示的几何体中，底面是边长为4的正三角形，侧面是长方形，，平面平面为棱上一点，，且，则与平面所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 【变式10-2】（23-24高二下·江苏淮安·期中）已知四面体，其中，，为的中点，则直线与所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【变式10-3】（23-24高二下·湖南邵阳·期末）如图所示，是的直径，点是上异于，平面ABC，、分别为，的中点， (1)求证：EF⊥平面PBC； (2)若，，二面角的正弦值为，求BC． 题型十一 利用空间向量计算空间距离 【例11】（23-24高二下·河南南阳·期末）在空间直角坐标系中，，三角形重心为，则点到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 【变式11-1】（23-24高二下·福建厦门·期末）在棱长为2的正方体中，E，F，G分别是棱，，的中点，过作平面，使得，则点到平面的距离是（    ） A． B． C． D． 【变式11-2】（23-24高二下·江苏徐州·期末）在棱长为4的正方体中，分别为棱的中点，点在棱上，且，则点到平面的距离为（    ） A． B． C． D． 【变式11-3】（23-24高三上·江苏·联考）如图1，在等腰直角三角形ABC中，，，D，E分别是AC，AB上的点，，O为BC的中点．将△ADE沿DE折起，得到如图2所示的四棱锥，其中． (1)求证：； (2)求点B到平面的距离． 题型十二 利用空间向量研究动点问题 【例12】（23-24高二下·云南曲靖·期末）（多选）在棱长为2的正方体中，点满足，其中，，则（    ） A．当时， B．当时，三棱锥的体积为 C．当时，平面 D．当时，到平面的距离为 【变式12-1】（23-24高二下·重庆·月考）（多选）如图，在正方体中，点P满足，，则下列结论正确的是（    ） A．对于任意的，都有平面 B．对于任意的，都有 C．若，则 D．存在，使与平面所成的角为 【变式12-2】（23-24高二下·四川凉山·期末）如图，在多面体中，四边形是菱形，平面，，，． (1)求证：平面； (2)线段上是否存在点，使得∥平面？若存在，指出点的位置并证明；若不存在，请说明理由． 【变式12-3】（2024·江西新余·二模）如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，，，且，.    (1)若为的中点，证明：平面平面； (2)若，，线段上的点满足，且平面与平面夹角的余弦值为，求实数的值. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第一章：空间向量与立体几何章末重点题型复习 题型一 空间向量的有关概念理解 【例1】（23-24高二下·甘肃庆阳·期中）下列命题是真命题的是（    ） A．空间向量就是空间中的一条有向线段 B．不相等的两个空间向量的模必不相等 C．任一向量与它的相反向量不相等 D．向量与向量的长度相等 【答案】D 【解析】对于A，有向线段是空间向量的一种表示形式，但不能把二者完全等同起来，故A错误； 对于B，不相等的两个空间向量的模也可以相等，只要它们的方向不相同即可，故B错误； 对于C，零向量的相反向量仍是零向量，但零向量与零向量是相等的，故C错误； 对于D，与仅是方向相反，它们的长度是相等的，故D正确，故选：D 【变式1-1】（23-24高二上·陕西西安·月考）下列关于空间向量的说法中错误的是（    ） A．零向量与任意向量平行 B．任意两个空间向量一定共面 C．零向量是任意向量的方向向量 D．方向相同且模相等的两个向量是相等向量 【答案】C 【解析】选项A，零向量方向是任意的，所以零向量任意向量平行，该选项正确； 选项B，平面由两个不平行的向量确定，任意两个向量可通过平移形成相交， 故一定可以确定一个平面，该选项正确； 选项C，在直线上取非零向量，把与向量平行的非零向量称为直线的方向向量，该选项错误； 选项D，方向相同且模相等的两个向量是相等向量，该选项正确.故选：C. 【变式1-2】（23-24高二上·黑龙江哈尔滨·期中）下列关于空间向量的说法中正确的是（    ） A．方向相反的两个向量是相反向量 B．空间中任意两个单位向量必相等 C．若向量满足，则 D．相等向量其方向必相同 【答案】D 【解析】相反向量指的是长度相等，方向相反的向量，故A错误； 单位向量指的是模为1的向量，方向未定，故B错误； 向量不能比较大小，故C错误； 相等向量其方向必相同，故D正确；故选：D. 【变式1-3】（23-24高二上·新疆·月考）下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，互为相反向量，则 C．空间中两平行向量相等 D．在四边形ABCD中， 【答案】D 【解析】对于A，向量不可以比较大小，所以A错误； 对于B, 若，互为相反向量，则，故B错误； 对于C，两向量相等需要向量的方向相同，且长度相同，故C错误； 对于D，四边形ABCD中，，故D正确.故选：D 题型二 空间向量的线性运算 【例2】（23-24高二上·浙江温州·期中）平行六面体中，化简（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 如图所示，.故选：B. 【变式2-1】（23-24高二上·广东深圳·期中）已知正方体，则下列各式运算结果不是的为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】选项A中，； 选项B中，； 选项C中，； 选项D中，.故选：B. 【变式2-2】（23-24高二上·陕西西安·月考）若为空间不同的四点，则下列各式不一定为零向量的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】对于A，； 对于B，； 对于C，； 对于D，.故选：A. 【变式2-3】（23-24高二上·吉林·期中）在空间四边形ABCD中，G为的重心，E，F，H分别为边CD，AD和BC的中点，化简下列各表达式. (1)； (2). 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）根据空间向量的运算法则，可得 . （2）分别取AB，AC的中点P，Q，连接PH，QH， 则四边形APHQ为平行四边形，且有 根据空间向量的运算法则，可得. 题型三 空间向量的线性表示 【例3】（23-24高二上·浙江杭州·月考）已知三棱锥，点M，N分别为AB，OC的中点，且，，，用，，表示，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】.故选：C. 【变式3-1】（23-24高二上·广东佛山·期中）已知三棱锥分别是的中点，是的中点，设，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为分别是的中点，是的中点， 所以，， 则.故选：D. 【变式3-2】（23-24高二上·福建泉州·月考）如图，在三棱柱中，E、F分别是BC、的中点，为的重心，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意可得： .故选：A. 【变式3-3】（23-24高二上·四川内江·期中）如图，在斜四棱柱中，底面是平行四边形，M为与的交点.若，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】依题意， .故选：A 题型四 空间向量基本定理及应用 【例4】（23-24高二上·重庆九龙坡·开学考试）已知向量在基底下的坐标是，则向量在基底下的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】依题意可知， 设向量在基底下的坐标为， 即， 则， 由空间向量基本定理得， ，解得，故选：B． 【变式4-1】（23-24高二上·河南南阳·期末）如图，在三棱柱中，，若，则（    ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意知： ， 又， 所以则.故选：B. 【变式4-2】（23-24高二下·江苏连云港·月考）已知四棱柱的底面是平行四边形，点E在线段DC上，满足，，则（    ） A．- B． C． D． 【答案】A 【解析】因为点在线段上满足， 由向量的运算法则，可得， 因为，所以， 所以.故选：A. 【变式4-3】（23-24高二上·浙江金华·月考）我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马．如图，四棱锥为阳马，平面，且，若，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【解析】在四棱锥中，由，得， 所以 ，又，且不共面， 因此，所以.故选：A 题型五 空间向量的共线定理及应用 【例5】（23-24高二上·吉林延边·期中）已知点，，，若A，B，C三点共线，则a，b的值分别是（    ） A．，3 B．，2 C．1，3 D．，2 【答案】D 【解析】因为，，， 所以，， 因为A，B，C三点共线，所以存在实数，使， 所以， 所以，解得.故选：D 【变式5-1】（23-24高二上·甘肃武威·期中）已知点，，，若直线，则 ． 【答案】2 【解析】因为，，所以， 又，所以， 又，所以，解得，故． 【变式5-2】（23-24高二上·湖北荆州·月考）设是空间两个不共线的非零向量，已知，，，且三点共线，则实数k的值为 ． 【答案】 【解析】因为，， 可得， 又因为三点共线，可设，即， 因为不共线，可得，解得， 所以实数的值为. 【变式5-3】（22-23高二上·安徽·期中）（多选）如图，在三棱柱中，P为空间一点，且满足，，则（    ） A．当时，点P在棱上 B．当时，点P在棱上 C．当时，点P在线段上 D．当时，点P在线段上 【答案】BCD 【解析】当时，，所以， 则，即P在棱上，故A错误； 同理当时，则，故P在棱上，故B正确； 当时，，所以，即， 故点P在线段上，故C正确； 当时，，故点在线段上，故D正确．故选：BCD． 题型六 空间向量的共面定理及应用 【例6】（23-24高二上·湖南张家界·期末）已知向量若与、共面，则实数（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由共面定理可得存在非零实数满足， 可得，解得，故选：C 【变式6-1】（23-24高二上·北京朝阳·期末）在空间直角坐标系中，已知点，若点在平面内，写出一个符合题意的点的坐标 . 【答案】（答案不唯一） 【解析】点在平面内，所以四点共面， 则， 所以， 所以，则， 所以满足即可. 令，满足， 所以符合题意的点的坐标可以为. 故答案为：（答案不唯一） . 【变式6-2】（23-24高二上·贵州贵阳·期末）若构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（    ） A． B．， C． D． 【答案】D 【解析】因为，所以共面，故A不正确； 因为，所以共面，故B不正确； 因为，所以共面，故C不正确； 若共面，则， 则为共面向量，此时与为空间的一组基底矛盾， 故不共面.故D正确.故选：D 【变式6-3】（23-24高二上·陕西兴平·月考）已知A、B、C三点不共线，对平面外的任一点O，下列条件中能确定点M与点A、B、C一定共面的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】M与A、B、C共面的条件是，且， 故B选项正确，故选：B 【变式6-4】（23-24高二上·浙江杭州·期末）设平面内不共线的三点A，B，C以及平面外一点P，若平面内存在一点D满足，则x的值为（    ） A．0 B． C． D． 【答案】C 【解析】空间四点共面，但任意三点不共线， ，解得：.故选：C 题型七 空间向量的数量积问题 【例7】（23-24高二上·湖南益阳·期末）已知空间向量，则（    ） A．3 B． C． D．21 【答案】C 【解析】由题意，， 所以.故选：C. 【变式7-1】（23-24高二下·甘肃·期末）在所有棱长均为2的平行六面体中，，则的长为（    ） A． B． C． D．6 【答案】C 【解析】因为， 所以 ， 从而，即的长为．故选：C. 【变式7-2】（23-24高二上·河南开封·期末）如图，在空间四边形ABCD中，，，，，. (1)求； (2)求CD的长. 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）因为，，， 所以； （2）因为， 所以 ， 所以. 【变式7-3】（23-24高二上·贵州铜仁·月考）已知向量，. (1)求的值； (2)求向量与夹角的余弦值. 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）因为，， 所以， 所以； （2）因为，， 则，， 所以，， ， 设向量与夹角为，所以， 所以向量与夹角的余弦值为. 题型八 空间中的点坐标对称问题 【例8】（23-24高二上·广东佛山·月考）在空间直角坐标系中，点B与点关于平面对称，则B的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意在空间直角坐标系中，点B与点关于平面对称， 则B的坐标为，故选：C 【变式8-1】（23-24高二上·安徽·月考）在空间直角坐标系中，点与点（    ） A．关于平面对称 B．关于轴对称 C．关于平面对称 D．关于轴对称 【答案】B 【解析】由点和点的纵坐标相同，其他坐标互为相反数，故它们关于轴对称．故选：B 【变式8-2】（23-24高二上·河北邯郸·月考）在空间直角坐标系中，已知点，则下列说法错误的是（    ） A．点关于坐标原点对称点的坐标为 B．点关于平面对称点的坐标为 C．点在平面上的射影点的坐标为 D．点在轴上的射影点的坐标为 【答案】D 【解析】对于选项A：点关于坐标原点对称点的坐标为，故A正确； 对于选项B：点关于平面对称点的坐标为，故B正确； 对于选项C：点在平面上的射影点的坐标为，故C正确； 对于选项D：点在轴上的射影点的坐标为，故D错误；故选：D. 【变式8-3】（23-24高二上·宁夏银川·月考）（多选）在空间直角坐标系中，以下结论正确的是（    ） A．点关于原点O的对称点的坐标为 B．点关于x轴的对称点的坐标为 C．点关于平面对称的点的坐标是 D．两点间的距离为3 【答案】ACD 【解析】点关于原点O的对称点的坐标为，A正确； 点关于x轴的对称点的坐标为，B错误； 点关于平面对称的点的坐标是，C正确； 两点间的距离为，D正确.故选：ACD 题型九 利用空间向量证明平行垂直 【例9】（23-24高二上·广东佛山·期中）如图，在长方体中，分别是的中点．求证： (1)四边形为平行四边形； (2)平面． 【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析 【解析】（1）以为坐标原点，分别为轴，建立空间直角坐标系， 则，， 所以，，所以， 又四点不共线，所以四边形为平行四边形． （2）由（1）知，， 所以， 所以，即， 又因为平面． 所以平面． 【变式9-1】如图，在直三棱柱中，，，，点E在线段上，且，分别为、、的中点.求证： (1)平面平面； (2)平面平面. 【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析 【解析】（1）证明：以为坐标原点，所在直线分别为轴建立如图所示空间直角坐标系. 则，，，，，. 设，则，，. 因为，，， 所以，. 所以，，即，. 又平面，所以平面. 因为平面，所以平面平面. （2）因为，，， 所以，. 所以，. 因为平面，所以平面. 又由（1）知平面，所以平面平面. 【变式9-2】（2024·山西·三模）如图，在正方体，中，E，F，G分别是棱AB，BC，CD的中点． (1)证明：∥平面； (2)证明： 【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析 【解析】（1）如图，以为坐标原点，分别为轴，建立空间直角坐标系， 不妨设，则， 可得 设平面的法向量为，则， 令，则，可得， 因为，且平面，所以∥平面. （2）由（1）可得：， 则，所以. 【变式9-3】（23-24高二上·新疆昌吉·月考）如图，在四棱锥中，底面，，，，，点E为棱PC的中点．证明： (1)平面； (2)平面平面． 【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析 【解析】（1）因为平面ABCD，且平面ABCD，所以， 又因为，且，平面，所以平面， 依题意，以点A为原点，以，，分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，， 由为棱的中点，得，则， 所以为平面的一个法向量， 又，所以， 又平面，所以平面． （2）由（1）知平面的一个法向量，，， 设平面PCD的一个法向量为，则， 令，可得，所以， 又， 所以，所以平面平面. 题型十 利用空间向量求空间角 【例10】（23-24高二上·河北石家庄·月考）已知向量，且平面平面，若平面与平面的夹角的余弦值为，则实数的值为（    ） A．或 B．或1 C．或2 D． 【答案】B 【解析】因为 所以， 因为平面平面，若平面与平面的夹角的余弦值为， 所以，化简得，解得或1．故选：B 【变式10-1】（23-24高二下·河南漯河·期末）已知如图所示的几何体中，底面是边长为4的正三角形，侧面是长方形，，平面平面为棱上一点，，且，则与平面所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】分别取的中点，连接，则，， 因为平面平面，平面平面， 平面，所以平面， 以为原点，所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则，，， 所以是平面的一个法向量， ，，所以， 设与平面所成的角为， 则.故选：D. 【变式10-2】（23-24高二下·江苏淮安·期中）已知四面体，其中，，为的中点，则直线与所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】将四面体放在如图所示的长方体中， 因为，， 设长方体的长，宽，高分别为，，， 则，可得，， 以为坐标原点，以，，所在的直线分别为，，轴建立空间直角坐标系， 则，，，， 所以的中点， 所以，， 所以， ，， 所以． 设直线，所成的角为，,， 所以,．故选：A． 【变式10-3】（23-24高二下·湖南邵阳·期末）如图所示，是的直径，点是上异于，平面ABC，、分别为，的中点， (1)求证：EF⊥平面PBC； (2)若，，二面角的正弦值为，求BC． 【答案】(1)证明见解析；(2) 【解析】（1）证明：因为平面ABC，平面。所以， 因为是的直径，知， 因为，且平面，所以平面， 由分别是的中点，所以，所以平面． （2）以为原点，所在直线分别为x轴、轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，， 设，，且， 所以，， 易知平面的一个法向量， 设平面的一个法向量，则 则，即，∴， 取，得，，则， 因为二面角的正弦值为，则其余弦值为， 所以，化简得， 又因为，所以， 解得：，即， 所以，即. 题型十一 利用空间向量计算空间距离 【例11】（23-24高二下·河南南阳·期末）在空间直角坐标系中，，三角形重心为，则点到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】在空间直角坐标系中，， 三角形重心为，所以，，， 所以在上的投影为：， 所以点到直线的距离为：.故选：B 【变式11-1】（23-24高二下·福建厦门·期末）在棱长为2的正方体中，E，F，G分别是棱，，的中点，过作平面，使得，则点到平面的距离是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】在正方体中，建立如图所示的空间直角坐标系， 则， ，设平面的法向量， 由，，得，则，令，得， 所以点到平面的距离.故选：D 【变式11-2】（23-24高二下·江苏徐州·期末）在棱长为4的正方体中，分别为棱的中点，点在棱上，且，则点到平面的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】如图，建立空间直角坐标系，因为正方体的棱长为4， 则， 所以，，， 设平面的一个法向量为， 由，得到， 取，得到，所以， 所以点到平面的距离为，故选：C. 【变式11-3】（23-24高三上·江苏·联考）如图1，在等腰直角三角形ABC中，，，D，E分别是AC，AB上的点，，O为BC的中点．将△ADE沿DE折起，得到如图2所示的四棱锥，其中． (1)求证：； (2)求点B到平面的距离． 【答案】(1)证明见解析；(2) 【解析】（1）连接， 因为在等腰直角三角形中，， 在中，，同理得， 因为， 所以，所以 所以平面， 所以平面． （2）取中点，则， 以为坐标原点，分别为轴建立空间直角坐标系， 则， 设平面的法向量为，， 所以，令，则，则， 又，， 所以点到平面的距离为． 题型十二 利用空间向量研究动点问题 【例12】（23-24高二下·云南曲靖·期末）（多选）在棱长为2的正方体中，点满足，其中，，则（    ） A．当时， B．当时，三棱锥的体积为 C．当时，平面 D．当时，到平面的距离为 【答案】ACD 【解析】 当时，，根据正方体结构特征，易知平面平面， 所以，故A正确. 当时，.易知到平面的距离为定值2. 因为，所以，故B错误. 当时，，根据正方体结构特征，易证面面面， 所以面，故C正确. 当时，，即为的中点， 以为坐标原点，的方向分别为轴的正方向建立空间直角坐标系， 则， 所以平面的法向量为，， 所以到平面的距离，故D正确.故选：ACD 【变式12-1】（23-24高二下·重庆·月考）（多选）如图，在正方体中，点P满足，，则下列结论正确的是（    ） A．对于任意的，都有平面 B．对于任意的，都有 C．若，则 D．存在，使与平面所成的角为 【答案】ABC 【解析】在正方体中，建立如图所示的空间直角坐标系，令， 则， 由，得，， 对于A，，显然， 即，而平面，则平面， 因此是平面的法向量，又， 平面，所以平面，A正确； 对于B，由选项A知，对于任意的，，即，B正确； 对于C，由，，得，C正确； 对于D，平面的法向量，令与平面所成的角为， 则， 而，因此不存在，使与平面所成的角为，D错误.故选：ABC 【变式12-2】（23-24高二下·四川凉山·期末）如图，在多面体中，四边形是菱形，平面，，，． (1)求证：平面； (2)线段上是否存在点，使得∥平面？若存在，指出点的位置并证明；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析；(2)存在点，当与重合时，使得∥平面. 【解析】（1）证明：连接交于点， 因为四边形为菱形，所以， 因为平面，平面， 所以， 因为，平面， 所以平面； （2）解：取的中点，连接， 因为四边形为菱形，，所以为等边三角形， 所以， 因为平面，平面，所以， 所以两两垂直， 所以以为原点，所在的直线分别为建立空间直角坐标系， 设，则， 所以， 假设存在点，使得∥平面， 设，则， 所以， 设平面的法向量为， 则，令，则， 由，得， 此时与重合，平面， 所以存在点，当与重合时，使得∥平面. 【变式12-3】（2024·江西新余·二模）如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，，，且，.    (1)若为的中点，证明：平面平面； (2)若，，线段上的点满足，且平面与平面夹角的余弦值为，求实数的值. 【答案】(1)证明见解析；(2) 【解析】（1）取中点为，由条件可得为梯形的中位线，则， 又，则， 且，平面，平面， 根据线面垂直的判定定理，得平面， 平面，. 由，则，又，为梯形的两腰，则与相交， 平面， 又平面，所以平面平面. （2）取的中点为Q，由，， 则，， 因此△为等边三角形，. 由（1）知平面，，，两两垂直， 如图，以，，分别为x，y，z轴正方向，建立空间直角坐标系，    由，，则， ，，，， 由， 所以，，，， 设平面的一个法向量为， 由 取，得，，得. 设平面的一个法向量为， 由 取，得，， 即平面的一个法向量为. 记平面与平面夹角的大小为， 所以，化简得，即，所以实数的值为. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$