12.2 全等三角形的判定（第3课时 ASA、AAS定理）（教学课件）-2024-2025学年八年级数学上册考试满分全攻略同步备课备考系列（人教版）

八年级人教版数学上册 第十二章 全等三角形 12.2 全等三角形的判定 第三课时 “角边角” 、“角角边” 定理 目录/CONTENTS 新知探究 情景导入 学习目标 课堂反馈 分层练习 课堂小结 学习目标 1.理解并掌握三角形全等判定“角边角、角角边”条件的 内容.（重点） 2.熟练利用“角边角、角角边”条件证明两个三角形全等. （难点） 3.通过探究判定三角形全等条件的过程，提高分析和解决 问题的能力. 情景导入 旧知回顾 上节课我们学习了证明三角形全等的第二个基本事实，还记得它的具体内容吗？ 在△ABC 和△ DEF中， ∴　△ABC ≌△ DEF（SAS）． 文字语言：两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等（简写成“边角边”或“SAS ”）． “边角边” AB = DE， ∠A =∠D， AC =AF ， 几何语言： 对这个夹角我们有什么要求吗？ 边边角(SSA)可以证明两三角形全等吗？ 本节课我们来探索证明三角形全等的 第三个基本事实和第四个基本事实 “ASA”和“AAS”（角边角和角角边） 李磊不慎将学校的一块三角形玻璃打碎为三块（如下图所示）,现预备去店内配一块一模一样的，他是否可以只带其中的一块碎片到商店去,配到一块与原来完全一致的三角形玻璃呢？如果能，你认为他应该带那一块去合适？为什么？ 3 2 1 情景导入 若已知三角形的两角及一边，那么这两边及一角有几种可能的情况？ A B C A B C “两角及夹边” “两角和其中一角的对边” 这两种情况能判定两三角形全等吗？ 1.用“ASA” （角边角）判定三角形全等 新知探究 我们先在纸上任意的画出一个△ABC，再画一个△A ′ B ′ C ′ ， 使A ′ B ′ =AB， ∠A ′ =∠A， ∠B ′ =∠B (即使两角和它们的夹边对应相等).把画好的△A ′ B ′ C ′剪下，放到△ABC上，它们全等吗？ 画法： （1）画A'B'=AB; （2）在A'B'的同旁画 ∠DA'B '=∠A，∠EB'A '=∠B，A'D，B'E相交于点C'. A C B C A B 由此我们可以能得出什么结论？ △ABC≌△A′B′C′. 概念归纳 文字语言：有两角和它们夹边对应相等的两个三角形全等(简写成“角边角”或“ASA”）. “角边角”判定方法 几何语言： ∠A=∠A′ （已知）， AB=A′ B′ （已知）， ∠B=∠B′ （已知）， 在△ABC和△A′ B′ C′中， ∴ △ABC≌△ A′ B′ C′ （ASA）. A B C A ′ B ′ C ′ 例1.（课本例3)如图，点D在AB上，点E在AC上，AB=AC, ∠B=∠C,求证：AD=AE. A B C D E 分析：证明△ACD≌△ABE,就可以得出AD=AE. 证明：在△ACD和△ABE中， ∠A=∠A（公共角 ）， AC=AB（已知）， ∠C=∠B （已知 ）， ∴ △ACD≌△ABE（ASA)， ∴AD=AE. 典例剖析 1.如图，在△ABC和△DEF中，∠A=∠D，∠B=∠E，BC=EF. 求证：△ABC≌△DEF. 证明：在△ABC和△DEF中， ∠A=∠D， BC=EF， ∠B=∠E， ∴△ABC≌△DEF（ASA）. A B E D C F 你知道错在哪里吗？ 练一练 点拨：BC，EF不是已知两对角的夹边，在三角形中，知道两个角的关系，利用三角形内角和定理可以求得第三个角之间的关系. 通过转化来构造“ASA”的判定条件. A B E D C F 1.如图，在△ABC和△DEF中，∠A=∠D，∠B=∠E，BC=EF. 求证：△ABC≌△DEF. 根据点拨的提示再来一次吧！ 证明：在△ABC和△DEF中， ∵∠A=∠D，∠B=∠E， ∠C=180°-∠A-∠B，∠F=180°-∠D-∠E， ∴∠C=∠F. 在△ABC和△DEF中， ∠B=∠E， BC=EF， ∠C=∠F， ∴△ABC≌△DEF（ASA）. A B E D C F 1.如图，在△ABC和△DEF中，∠A=∠D，∠B=∠E，BC=EF. 求证：△ABC≌△DEF. 2.(2023山东临沂期末)如图,△ABC中,AD是BC边上的中线,E,F为直线AD上的点,连接BE,CF,且BE∥CF.求证:△CDF≌△BDE.   分析：利用中点性质可得BD=CD,由平行线性质可得∠DBE=∠DCF,再由对顶角相等可得∠BDE=∠CDF,即可证得结论. 练一练   证明     ∵AD是BC边上的中线, ∴BD=CD, ∵BE∥CF, ∴∠DBE=∠DCF, 练一练 2.(2023山东临沂期末)如图,△ABC中,AD是BC边上的中线,E,F为直线AD上的点,连接BE,CF,且BE∥CF.求证:△CDF≌△BDE.   在△BDE和△CDF中, ∴△BDE≌△CDF(ASA). 3.如图，点A，C，D，B四点共线，且AC＝BD，∠A＝∠B，∠ADE＝∠BCF. 求证：DE＝CF. 练一练 证明：∵AC＝BD， ∴AC＋CD＝BD＋CD， ∴AD＝BC.在△AED和△BFC中， ∴△AED≌△BFC(ASA)，∴DE＝CF. AD=BC， ∠DAB=∠CBA， AB=BA 4.李磊不慎将学校的一块三角形玻璃打碎为三块（如下图所示）,现预备去店内配一块一模一样的，他是否可以只带其中的一块碎片到商店去,配到一块与原来完全一致的三角形玻璃呢？如果能，你认为他应该带那一块去合适？为什么？ 3 2 1 练一练 答：带1去，因为有两角且夹边相等的两个三角形全等. 我们回到最初的问题，现在你心中是否有答案了呢？ 角边角(ASA) 内容 两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等(可以简写成“角边角”或 “ASA”) 应用 格式 在△ABC和△A‘B’C‘中, ∴△ABC≌△A'B'C'(ASA) 图形 表示   知识 详解 (1)用“ASA”判定两个三角形全等的条件是两角及这两个角的夹边对应相 等,列举两个三角形全等的条件时,要把夹边写在中间,以突出边角的位置. (2)注意挖掘隐含的等角,如:公共角、对顶角、平行线中的同位角等 用“角边角(ASA)”判定两个三角形全等 概念归纳 2.用“AAS” （角角边）判定三角形全等 新知探究 例2.（课本例4）在△ABC和△DEF中，∠A＝∠D，∠B＝ ∠E，BC=EF.求证：△ABC≌△DEF． ∠B＝∠E， BC＝EF， ∠C＝∠F. 证明： 在△ABC中，∠A+∠B+∠C＝180°. ∴△ABC≌△DEF（ASA ）. ∴ ∠C＝180°－∠A－∠B. 同理 ∠F＝180°－∠D－∠E. 又 ∠A＝∠D，∠B＝ ∠E, ∴ ∠C＝∠F. 在△ABC和△DEF中， 概念归纳 两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等. 简写成“角角边”或“AAS”. ∠A=∠A′（已知）， ∠B=∠B′ （已知）， AC=A′C ′（已知）， 在△ABC和△A′B′C′中， ∴ △ABC≌△ A′ B′ C′ （AAS）. A B C A ′ B ′ C ′ 例3.如图，点O是AB的中点，∠C=∠D，则△AOC和△BOD全等吗？ 试用两种方法证明△AOC≌△BOD. B A O D C 方法一：解：△AOC和△BOD全等，理由如下： ∵点O是AB的中点， ∴OA=OB. ∵在△AOC和△BOD中，∠C=∠D，∠AOC=∠BOD， ∴∠A=∠B（三角形内角和定理）. 在△AOC和△BOD中, ∠A=∠B， OA=OB， ∠AOC=∠BOD， ∴△AOC≌△BOD（ASA）. 典例剖析 例3.如图，点O是AB的中点，∠C=∠D，则△AOC和△BOD全等吗？请用两种方法证明. B A O D C 方法二：解：△AOC和△BOD全等，理由如下： ∵点O是AB的中点， ∴OA=OB. ∵在△AOC和△BOD中， ∠C=∠D， ∠AOC=∠BOD， OA=OB， ∴△AOC≌△BOD（AAS）. 判定两三角形全等，先根据已知条件或求证的 结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方 法看缺什么条件，再去证什么条件． 5.如图，已知：在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线m经过点A，BD⊥直线m，CE⊥直线m，垂足分别为点D、E. 求证：(1)△BDA≌△AEC； (2)DE＝BD＋CE. 证明：(1)∵BD⊥m，CE⊥m，∴∠ADB＝∠CEA＝90°， ∴∠ABD＋∠BAD＝90°. ∵AB⊥AC， ∴∠BAD＋∠CAE＝90°， ∠ABD＝∠CAE. 练一练 在△BDA和△AEC中， ∠ADB=∠CEA=90°， ∠ABD＝∠CAE, AB＝AC， ∴△BDA≌△AEC(AAS). 5.如图，已知：在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线m经过点A，BD⊥直线m，CE⊥直线m，垂足分别为点D、E. 求证：(1)△BDA≌△AEC； 练一练 5.如图，已知：在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线m经过点A，BD⊥直线m，CE⊥直线m，垂足分别为点D、E. (2)DE＝BD＋CE. ∴BD＝AE，AD＝CE， ∴DE＝DA＋AE＝BD＋CE. 证明：∵△BDA≌△AEC, 方法总结：利用全等三角形可以解决线段之间的关系，比如线段的相等关系、和差关系等，解决问题的关键是运用全等三角形的判定与性质进行线段之间的转化． 练一练 　6.如图所示,如果DF=CE,∠DAE=∠CBF,∠D=∠C,那么AE=BF成立吗? 请说明理由.   练一练  分析：要证明AE=BF成立,只要证明△AED≌△BFC即可,题中可以直接利用的条件有两角,因此,还需要边的条件,由DF=CE可得DE=CF,所以结论能够成立. 解:AE=BF成立. 理由:∵DF=CE, ∴DF-EF=CE-EF, ∴DE=CF, 在△AED和△BFC中,   ∴△AED≌△BFC(AAS). ∴AE=BF. 练一练 角角边(AAS) 内容 两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等(可以简写成“角角边”或“AAS”) 应用 格式 在△ABC和△A'B'C'中, ∴△ABC≌△A'B'C'(AAS) 图形 表示        用“角角边(AAS)”判定两个三角形全等 概念归纳 1.已知：如图， AB⊥BC，AD⊥DC，∠1=∠2, 求证：AB=AD. A C D B 1 2 证明： ∵ AB⊥BC，AD⊥DC， ∴ ∠ B=∠D=90 °. 在△ABC和△ADC中， ∠1=∠2 （已知）， ∠ B=∠D（已证）， AC=AC （公共边）， ∴ △ABC≌△ADC（AAS)， ∴AB=AD. 课本练习 2.如图，要测量池塘两岸相对的两点A，B的距离，可以在池塘外取AB的垂线BF上的两点C，D，使得BC=CD.再画出BF的垂线DE，使得E与A，C在一条直线上，这时测得DE的长就是AB的长，为什么？ A B C D F E ┐ ┐ 分析：根据题意构造出两个直角三角形，利用全等三角形的性质得出对应边相等.注意题目中隐藏一对对顶角，根据“ASA”证明两个三角形全等即可得出题目要求的结论. 2.如图，要测量池塘两岸相对的两点A，B的距离，可以在池塘外取AB的垂线BF上的两点C，D，使得BC=CD.再画出BF的垂线DE，使得E与A，C在一条直线上，这时测得DE的长就是AB的长，为什么？ A B C D F E ┐ ┐ 解：由题可知：AB⊥BC，ED⊥DC， 则∠ABC=∠EDC=90°. 在△ABC和△EDC中， ∠ABC=∠EDC， BC=DC， ∠ACB=∠ECD， ∴△ABC≌△EDC（ASA）. ∴AB=ED，则DE的长就是AB的长. C 随堂练 A 随堂练 ∠ACB＝∠F ∠A＝∠D 随堂练 3 随堂练 随堂练 随堂练 夹边 角边角 ASA ASA 分层练习-基础 B 分层练习-基础 一组等角的对边 角角边 AAS ∠A＝∠D ∠ACB＝∠DFB或AC∥DF ∠A＝∠D 分层练习-基础 分层练习-基础 答案不唯一，如CA＝CB，CE＝CD等 分层练习-基础 C A 分层练习-巩固 ASA或AAS CDE SAS 10m ASA △ABC △EDC AB＝DE＝10m 分层练习-巩固 分层练习-巩固 分层练习-巩固 分层练习-巩固 分层练习-拓展 分层练习-拓展 夹边 ∠B＝∠E或AB∥DE 课堂反馈 对边 B 课堂反馈 课堂反馈 课堂反馈 边角边 角角边 内容 有两角及夹边对应相等的两个三角形全等（简写成 “ASA”) 应用 为证明线段和角相等提供了新的证法 注意 注意“角角边”、“角边角”中两角与边的区别 课堂小结 1．如图，在△ABC和△DEF中，AB＝DE，∠A＝∠D，添加一个条件，不能判定这两个三角形全等的是(　　) A．AC＝DF　　　　 B．∠B＝∠E C．BC＝EF D．∠C＝∠F 2．两个三角形如果具备下列条件：①三条边对应相等；②两条边及其夹角对应相等；③两条边和其中一边的对角对应相等；④两个角和一条边对应相等；⑤三个角对应相等．那么一定能判定两个三角形全等的是(　　) A．①②④ B．①②③④ C．①②④⑤ D．①②③④⑤ 3．如图，已知：∠B＝∠DEF，BC＝EF，若要以“ASA”为依据证明△ABC≌△DEF，还缺条件 ；若要以“AAS”为依据，还缺条件 . 4．如图，已知AB∥CF，E为DF的中点，若AB＝11 cm，CF＝8 cm，则BD＝ cm. 5．如图，∠1＝∠2，∠3＝∠4，求证：AC＝AD. 证明：∵∠3＝∠4，∴∠ABC＝∠ABD，在△ABC和△ABD中，∠1＝∠2，AB＝AB，∠ABC＝∠ABD，∴△ABC≌△ABD(ASA)，∴AC＝AD. 6．如图，已知EC＝AC，∠B＝∠D，∠BCE＝∠DCA.求证：BC＝DC. 证明：∵∠BCE＝∠DCA，∴∠BCE＋∠ECA＝∠DCA＋∠ECA，∴∠ACB＝∠ECD，在△ABC和△EDC中，eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(∠B＝∠D,∠ACB＝∠ECD,AC＝EC))，∴△ABC≌△EDC(AAS)，∴BC＝DC. 知识点一：用“ASA”判定三角形全等 两角和它们的 分别对应相等的两个三角形全等，简写成 “ ”或“ ”． 1．在△ABC和△A′B′C′中，AB＝A′B′，∠A＝∠A′，∠B＝∠B′，则△ABC≌△A′B′C′的依据是 ． 2．如图，已知△ABC三条边、三个角，则甲、乙两个三角形中和△ABC全等的图形是(　　) A．甲　　　 B．乙　　　 C．甲和乙都是　　 D．都不是 知识点二：用“AAS”判定三角形全等 两角分别对应相等且其中 相等的两个三角形全等，简写成“ ”或“ ”． 3．如图，AC与BD相交于点O，若OC＝OB，用“AAS”证明△AOB≌△DOC，还需添加条件 ． 4．如图，已知∠B＝∠DEF，BC＝EF，要证△ABC≌△DEF，若要以“ASA”为依据，还缺条件 ；若以“AAS”为依据，还缺条件 ． 5．(宜宾中考)如图，已知∠1＝∠2，∠B＝∠D.求证：CB＝CD. 证明：∵∠1＝∠2，∴∠ACB＝∠ACD.在△ABC与△ADC中，eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(∠B＝∠D,∠ACB＝∠ACD,AC＝AC))，∴△ABC≌△ADC(AAS)，∴CB＝CD. 能力点：选择恰当的方法判定三角形全等 全等三角形的判定方法有“SAS”“ASA”“AAS”“SSS”，具体解题时，要根据题目的条件逐个梳理，从而确定判定方法． 6．(金华中考)如图，△ABC的两条高AD、BE相交于点F，请添加一个条件，使得△ADC≌△BEC(不添加其他字母及辅助线)，你添加的条件是 ． 7．(成都中考)如图，已知∠ABC＝∠DCB，添加以下条件，不能判定△ABC≌△DCB的是(　　) A．∠A＝∠D　　　　 B．∠ACB＝∠DBC C．AC＝DB D．AB＝DC 8．如图，∠E＝∠F＝90°，∠B＝∠C，AE＝AF，下列结论不正确的是(　　) A．CD＝DN B．∠1＝∠2 C．BE＝CF D．△ACN≌△ABM 9．如图，已知∠1＝∠2，∠3＝∠4，要证BD＝CD，可先证△AEB≌△AEC，根据是 ，再证△BDE≌△ ，根据是 ． 10．如图，小明为测堰塘的宽度AB，设计了如下方案：过B作FB⊥AB于点B，在BF上取点C和点D，使BC＝CD，再过D点作DC2⊥BF于点D，AC的延长线交DC2于点E，小明测得DE＝10m，则堰塘的宽度AB＝ _____，其方案设计的主要依据是根据 ，得 ≌ ， 从而得 ． 11．(昆明中考)如图，在△ABC和△ADE中，AB＝AD，∠B＝∠D，∠1＝∠2.求证：BC＝DE. 证明：∵∠1＝∠2，∴∠1＋∠DAC＝∠2＋∠DAC，即∠BAC＝∠DAE.在△ABC和△ADE中，eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(∠BAC＝∠DAE,AB＝AD,∠B＝∠D))，∴△ABC≌△ADE(ASA)．∴BC＝DE. 12．如图，在△ABC与△DCB中，AC与BD相交于点E，且∠A＝∠D，AB＝DC. (1)求证：△ABE≌△DCE； (2)当∠AEB＝50°，求∠EBC的度数． (1)证明：∵在△ABE和△DCE中，eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(∠A＝∠D,∠AEB＝∠DEC,AB＝DC))，∴△ABE≌△DCE(AAS)； (2)解：∵△ABE≌△DCE，∴BE＝EC，AE＝DE， ∴AC＝BD，易证△ABC≌△DCB， ∴∠EBC＝∠ECB，∵∠EBC＋∠ECB＝∠AEB＝50°，∴∠EBC＝25°. 13．感知：如图①，AD平分∠BAC，∠B＋∠C＝180°，∠B＝90°，易知DB＝DC. 探究：如图②，AD平分∠BAC，∠B＋∠ACD＝180°，∠ABD＜90°.求证：DB＝DC. 证明：过点D分别作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F. ∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠FAD＝∠BAD，∠CFD＝∠DEA＝90°.又∵AD＝AD，∴△AFD≌△AED，∴DE＝DF.∵∠B＋∠ACD＝180°，∠ACD＋∠FCD＝180°，∴∠B＝∠FCD.在△DFC和△DEB中，∠F＝∠DEB＝90°，∠FCD＝∠B，DF＝DE，∴△DFC≌△DEB(AAS)，∴DC＝DB. 用“ASA”判定两个三角形全等 有两角和它们的 对应相等的两个三角形全等(简写成“角边角”或“ASA”)． 1. 如图，欲证△ABC≌△DFE，已知∠A＝∠D，AB＝DE，根据“ASA”还需要的条件是 . 用“AAS”判定两个三角形全等 有两角和其中一角的 对应相等的两个三角形全等(简写成“角角边”或“AAS”)． 2. 如图，用“AAS”直接判定△ACD≌△ABE，需要添加的条件是(　　) A．∠ADC＝∠AEB，∠C＝∠B　　　　　　　　　　　 B．∠ADC＝∠AEB，CD＝BE C．AC＝AB，AD＝AE D．AC＝AB，∠C＝∠B 易错点：在判定两个三角形全等时，一个三角形用“ASA”，另一个用“AAS”． 会利用“ASA”证明全等． 【例1】如图所示，已知AB∥DE，∠EFD＝∠BCA，AF＝CD.求证：EF＝BC. 【思路分析】证明两个三角形全等，要注意已知什么条件，还缺少几个，利用已知图形去推导．这里由AB∥DE可得∠A＝∠D， 由AF＝CD可得AC＝DF.利用“ASA”可证全等． 【规范解答】∵AB∥DE，∴∠A＝∠D.又∵AF＝CD，∴AF＋FC＝CD＋FC，即AC＝DF.又∵∠EFD＝∠BCA，∴△ABC≌△DEF(ASA)，∴BC＝EF. 会利用“AAS”证明全等． 【例2】如图所示，已知AD、BC相交于点O，OA＝OD，AB∥CD.求证：AB＝CD. 【思路分析】根据“两直线平行，内错角相等”得∠A＝∠D，∠B＝∠C，根据“AAS”证明△AOB≌△DOC，再由全等三角形的性质得AB＝CD. 【规范解答】∵AB∥CD，∴∠A＝∠D，∠B＝∠C.在△AOB和△DOC中，eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(∠A＝∠D,∠B＝∠C,OA＝OD))，∴△AOB≌△DOC(AAS)，∴AB＝CD. $$