专题05平面向量与复数（5大考点）-【好题汇编】5年（2020-2024）高考1年模拟数学真题分类汇编（天津专用）

专题05 平面向量与复数 考点 五年考情（2020-2024） 命题趋势 考点1平面向量数量积 （5年5考） 2024天津卷：平面向量基本定理的应用 平面向量线性运算的坐标表示 数量积的运算律 数量积的坐标表示； 2022天津卷：用基底表示向量 向量夹角的计算； 2023天津卷：余弦定理解三角形 用基底表示向量 用定义求向量的数量积 基本不等式求积的最大值； 2021天津卷：数量积的运算律； 2020天津卷：已知向量共线(平行)求参数 用定义求向量的数量积 数量积的坐标表示； 1.向量在高考的考查主要包含了，向量的加减与数量积运算，通常运用基底法与建系法数形结合。 2.平面向量的线性表示，通常会与共线结合，同时结合基本不等式求解最值与取值范围问题. 3.向量的夹角与模长问题是高考中中的重点内容，通常会结合最值与取值范围进行考察 4.复数在高考中主要考察了复数的基本运算，包含了加减乘除运算. 考点2 平面向量的线性表示 （5年3考） 2024天津卷：平面向量基本定理的应用 平面向量线性运算的坐标表示 数量积的运算律 数量积的坐标表示； 2023天津卷：余弦定理解三角形 用基底表示向量 用定义求向量的数量积 基本不等式求积的最大值； 2022天津卷：用基底表示向量 向量夹角的计算； 考点3 向量夹角 （5年1考） 2022天津卷：用基底表示向量 向量夹角的计算； 考点4 向量模长 （5年2考） 2021天津卷：数量积的运算律； 2020天津卷：已知向量共线(平行)求参数 用定义求向量的数量积 数量积的坐标表示； 考点5复数的加减乘除运算 （5年2考） 2024天津卷：复数代数形式的乘法运算； 2023天津卷：复数代数形式的乘法运算 复数的除法运算； 2022天津卷：复数的除法运算； 2021天津卷：复数的除法运算； 2020天津卷：复数的除法运算； 考点01 平面向量数量积 1. （2024·天津·高考真题）在边长为1的正方形中，点为线段的三等分点， ，则 ；为线段上的动点，为中点，则的最小值为 ． 2. （2020·天津·高考真题）如图，在四边形中，，，且，则实数的值为 ，若是线段上的动点，且，则的最小值为 ． 考点02 平面向量的线性表示 3．（2023·天津·高考真题）在中，，，记，用表示 ；若，则的最大值为 ． 考点03 向量夹角 4．（2022·天津·高考真题）在中，，D是AC中点，，试用表示为 ，若，则的最大值为 考点04 向量模长 5．（2021·天津·高考真题）在边长为1的等边三角形ABC中，D为线段BC上的动点，且交AB于点E．且交AC于点F,则的值为 ；的最小值为 ． 考点05 复数的加减乘除运算 6．（2024·天津·高考真题）已知是虚数单位，复数 ． 7．（2023·天津·高考真题）已知是虚数单位，化简的结果为 8．（2022·天津·高考真题）已知是虚数单位，化简的结果为 ． 9．（2021·天津·高考真题）是虚数单位，复数 ． 10．（2020·天津·高考真题）是虚数单位，复数 ． 11．（2024·天津河北·二模）是等腰直角三角形，其中，是所在平面内的一点，若（且），则在上的投影向量的长度的取值范围是（    ） A． B． C． D． 12．（2024·天津河东·二模）如图所示，正方形的边长为，正方形边长为1，则的值为 .若在线段上有一个动点，则的最小值为 . 13．（2024·天津南开·二模）已知在平行四边形中，，，记，，用和表示 ；若，，则值为 . 14．（2024·天津滨海新·三模）在平行四边形中，，，点在边上，满足，则向量在向量上的投影向量为 （请用表示）；若，点，分别为线段，上的动点，满足，则的最小值为 ． 15．（2023·天津和平·三模）已知中，点是中点，点满足，记，，请用，表示 ；若，向量在向量上的投影向量的模的最小值为 ． 16．（2024·天津河西·三模）如图，动点C在以AB为直径的半圆O上（异于A，B），，，， ；的最大值为 ． 17．（2024·天津·二模）已知中，，，记，则 ；若，当最大时， . 18．（2024·天津·二模）设直线和圆相交于两点.若，则实数 . 19．（2024·天津北辰·三模）是虚数单位，复数的虚部为 . 20．（2024·天津南开·二模）是虚数单位，复数 . 21．（2024·天津河北·二模）是虚数单位，化简的结果为 . 22．（2024·天津红桥·二模）i是虚数单位，则复数 ． 23．（2024·天津·二模）为虚数单位，则 ． 24．（2024·天津·二模）已知是虚数单位，化简的结果为 ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 平面向量与复数 考点 五年考情（2020-2024） 命题趋势 考点1平面向量数量积 （5年5考） 2024天津卷：平面向量基本定理的应用 平面向量线性运算的坐标表示 数量积的运算律 数量积的坐标表示； 2022天津卷：用基底表示向量 向量夹角的计算； 2023天津卷：余弦定理解三角形 用基底表示向量 用定义求向量的数量积 基本不等式求积的最大值； 2021天津卷：数量积的运算律； 2020天津卷：已知向量共线(平行)求参数 用定义求向量的数量积 数量积的坐标表示； 1.向量在高考的考查主要包含了，向量的加减与数量积运算，通常运用基底法与建系法数形结合。 2.平面向量的线性表示，通常会与共线结合，同时结合基本不等式求解最值与取值范围问题. 3.向量的夹角与模长问题是高考中中的重点内容，通常会结合最值与取值范围进行考察 4.复数在高考中主要考察了复数的基本运算，包含了加减乘除运算. 考点2 平面向量的线性表示 （5年3考） 2024天津卷：平面向量基本定理的应用 平面向量线性运算的坐标表示 数量积的运算律 数量积的坐标表示； 2023天津卷：余弦定理解三角形 用基底表示向量 用定义求向量的数量积 基本不等式求积的最大值； 2022天津卷：用基底表示向量 向量夹角的计算； 考点3 向量夹角 （5年1考） 2022天津卷：用基底表示向量 向量夹角的计算； 考点4 向量模长 （5年2考） 2021天津卷：数量积的运算律； 2020天津卷：已知向量共线(平行)求参数 用定义求向量的数量积 数量积的坐标表示； 考点5复数的加减乘除运算 （5年2考） 2024天津卷：复数代数形式的乘法运算； 2023天津卷：复数代数形式的乘法运算 复数的除法运算； 2022天津卷：复数的除法运算； 2021天津卷：复数的除法运算； 2020天津卷：复数的除法运算； 考点01 平面向量数量积 1. （2024·天津·高考真题）在边长为1的正方形中，点为线段的三等分点， ，则 ；为线段上的动点，为中点，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】解法一：以为基底向量，根据向量的线性运算求，即可得，设，求，结合数量积的运算律求的最小值；解法二：建系标点，根据向量的坐标运算求，即可得，设，求，结合数量积的坐标运算求的最小值. 【详解】解法一：因为，即，则， 可得，所以； 由题意可知：， 因为为线段上的动点，设， 则， 又因为为中点，则， 可得 ， 又因为，可知：当时，取到最小值； 解法二：以B为坐标原点建立平面直角坐标系，如图所示， 则， 可得， 因为，则，所以； 因为点在线段上，设， 且为中点，则， 可得， 则， 且，所以当时，取到最小值为； 故答案为：；. 2. （2020·天津·高考真题）如图，在四边形中，，，且，则实数的值为 ，若是线段上的动点，且，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】可得，利用平面向量数量积的定义求得的值，然后以点为坐标原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，设点，则点（其中），得出关于的函数表达式，利用二次函数的基本性质求得的最小值. 【详解】，，， ， 解得， 以点为坐标原点，所在直线为轴建立如下图所示的平面直角坐标系， , ∵，∴的坐标为, ∵又∵,则，设，则（其中）， ，， ， 所以，当时，取得最小值. 故答案为：；. 【点睛】本题考查平面向量数量积的计算，考查平面向量数量积的定义与坐标运算，考查计算能力，属于中等题. 考点02 平面向量的线性表示 3．（2023·天津·高考真题）在中，，，记，用表示 ；若，则的最大值为 ． 【答案】 【分析】空1：根据向量的线性运算，结合为的中点进行求解；空2：用表示出，结合上一空答案，于是可由表示，然后根据数量积的运算和基本不等式求解. 【详解】空1：因为为的中点，则，可得， 两式相加，可得到， 即，则； 空2：因为，则，可得， 得到， 即，即. 于是. 记， 则， 在中，根据余弦定理：， 于是， 由和基本不等式，， 故，当且仅当取得等号， 则时，有最大值. 故答案为：；.    考点03 向量夹角 4．（2022·天津·高考真题）在中，，D是AC中点，，试用表示为 ，若，则的最大值为 【答案】 【分析】法一：根据向量的减法以及向量的数乘即可表示出，以为基底，表示出，由可得，再根据向量夹角公式以及基本不等式即可求出． 法二：以点为原点建立平面直角坐标系，设，由可得点的轨迹为以为圆心，以为半径的圆，方程为，即可根据几何性质可知，当且仅当与相切时，最大，即求出． 【详解】方法一： ，， ，当且仅当时取等号，而，所以． 故答案为：；． 方法二：如图所示，建立坐标系： ，， ，所以点的轨迹是以为圆心，以为半径的圆，当且仅当与相切时，最大，此时． 故答案为：；． 考点04 向量模长 5．（2021·天津·高考真题）在边长为1的等边三角形ABC中，D为线段BC上的动点，且交AB于点E．且交AC于点F,则的值为 ；的最小值为 ． 【答案】 1 【分析】设，由可求出；将化为关于的关系式即可求出最值. 【详解】设，，为边长为1的等边三角形，， ， ，为边长为的等边三角形，， ， ， ， 所以当时，的最小值为. 故答案为：1；. 考点05 复数的加减乘除运算 6．（2024·天津·高考真题）已知是虚数单位，复数 ． 【答案】 【分析】借助复数的乘法运算法则计算即可得. 【详解】. 故答案为：. 7．（2023·天津·高考真题）已知是虚数单位，化简的结果为 【答案】/ 【分析】由题意利用复数的运算法则，分子分母同时乘以，然后计算其运算结果即可. 【详解】由题意可得. 故答案为：. 8．（2022·天津·高考真题）已知是虚数单位，化简的结果为 ． 【答案】/ 【分析】根据复数代数形式的运算法则即可解出． 【详解】． 故答案为：． 9．（2021·天津·高考真题）是虚数单位，复数 ． 【答案】 【分析】利用复数的除法化简可得结果. 【详解】. 故答案为：. 10．（2020·天津·高考真题）是虚数单位，复数 ． 【答案】 【分析】将分子分母同乘以分母的共轭复数，然后利用运算化简可得结果. 【详解】. 故答案为：. 【点睛】本题考查复数的四则运算，属于基础题. 11．（2024·天津河北·二模）是等腰直角三角形，其中，是所在平面内的一点，若（且），则在上的投影向量的长度的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据向量共线定理的推论，投影向量的概念，数形结合，即可求解． 【详解】设，（且）， 则（且）， 则在线段上，如图所示，    当与重合时，在上的投影向量的长度取得最大值，最大值为； 当与重合时，在上的投影向量的长度取得最小值，最大值为； 则在上的投影向量的长度的取值范围是． 故选：B. 12．（2024·天津河东·二模）如图所示，正方形的边长为，正方形边长为1，则的值为 .若在线段上有一个动点，则的最小值为 . 【答案】 6 【分析】易知正方形与正方形的中心为，然后将涉及到的向量用或来表示，结合数量积的运算律即可求解. 【详解】由已知得正方形与正方形的中心重合，不妨设为， 所以，， 则； ， 显然，当为的中点时，， 所以 故答案为：6；． 13．（2024·天津南开·二模）已知在平行四边形中，，，记，，用和表示 ；若，，则值为 . 【答案】 / 【分析】对于空1，由得，结合即可得解；对于空2，利用已知条件将向量和转换成向量和来表示即可得解. 【详解】因为，所以， 所以； 因为，所以， 所以 ， 故，即， 又 ， 故，即， 因为，， 所以. 故答案为：；. 14．（2024·天津滨海新·三模）在平行四边形中，，，点在边上，满足，则向量在向量上的投影向量为 （请用表示）；若，点，分别为线段，上的动点，满足，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】第一空：作EF于F，根据几何关系求出DF和AD的比例关系即可；第二空：可以A为原点，AB为x轴建立直角坐标系，设，利用函数方法求最值． 【详解】作EF于F． ∵，且四边形为平行四边形，故， 则， 那么， ，∴， 又，故，∴， 故， ∴，即， 则在向量上的投影向量为； ，， 如图以A为原点建立平面直角坐标系， 作轴于Q，则，则 ，则． 设，则， 又，∴， ，，∴． 作轴于P，则， ， 则． 故， 故 ， 令， ∵在单调递减，在单调递增， 故 ， 即的最小值为． 故答案为：；． 【点睛】关键点点睛：本题的关键是采用建系法，从而构建出关于的表达式，最后利用二次函数的性质即可求出最值. 15．（2023·天津和平·三模）已知中，点是中点，点满足，记，，请用，表示 ；若，向量在向量上的投影向量的模的最小值为 ． 【答案】 【分析】由题意可得，，可求得；向量在向量上的投影向量的模为，计算可求得最小值. 【详解】根据题意，可得， 由点是中点，可得， 所以， 向量在向量上的投影向量， 因为，所以， 所以向量在向量上的投影向量的模为： ， 当且仅当，即时取等号， 所以向量在向量上的投影向量的模的最小值为. 故答案为：①；②. 16．（2024·天津河西·三模）如图，动点C在以AB为直径的半圆O上（异于A，B），，，， ；的最大值为 ． 【答案】 2 2 【分析】根据向量的线性运算结合模长即可求得第一空答案；设，作，交的延长线于E，求出，继而求出，结合数量积的几何意义，即可求得答案. 【详解】由题意可知O为的中点，且， 则； 设，作，交的延长线于E， 在中， 故，则， ，又，故， 则， 故， 当时，取到最大值2， 故答案为：2；2 17．（2024·天津·二模）已知中，，，记，则 ；若，当最大时， . 【答案】 / 【分析】用基底和表示，即可求得；建立平面直角坐标系，用向量方法表示出，求解最小，即可得到最大时. 【详解】 因为，所以， ， 所以，； 因为，所以，以为坐标原点建立如图所示直角坐标系，则，， 设，则，，则，， ，当且仅当时取等号， 此时，，最小，最大， 所以当最大时，. 故答案为：，. 18．（2024·天津·二模）设直线和圆相交于两点.若，则实数 . 【答案】 【分析】由于，可知圆心到直线的距离，进而可得解. 【详解】    如图所示，由已知，即， 可得，半径， 又，所以，即为等腰直角三角形， 所以圆心到直线得距离， 即，且，解得：； 故答案为：. 19．（2024·天津北辰·三模）是虚数单位，复数的虚部为 . 【答案】 【分析】根据复数的四则运算可得，结合复数的有关概念即可求解. 【详解】， 所以复数Z的虚部为. 故答案为： 20．（2024·天津南开·二模）是虚数单位，复数 . 【答案】 【分析】由复数除法法则直接计算即可. 【详解】由题. 故答案为：. 21．（2024·天津河北·二模）是虚数单位，化简的结果为 . 【答案】 【分析】利用复数的除法运算求解. 【详解】解： ， 故答案为： 22．（2024·天津红桥·二模）i是虚数单位，则复数 ． 【答案】 【分析】直接利用复数的四则运算求解即可. 【详解】. 故答案为： 23．（2024·天津·二模）为虚数单位，则 ． 【答案】 【分析】利用复数的乘、除法运算计算即可. 【详解】由. 故答案为： 24．（2024·天津·二模）已知是虚数单位，化简的结果为 ． 【答案】 【分析】利用复数乘除法法则进行计算即可. 【详解】 . 故答案为：. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$