精品解析：江苏省淮安市淮安区2023-2024学年高一下学期期中考试数学试题

2023-2024学年度第二学期期中学业水平测试试题 高 一 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、单项选择题;本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的. 1. （    ） A. B. C. D. 2. 已知，则在复平面内对应的点位于（    ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 设，为平面向量的一组基底，则下面四组向量组中不能作为基底的是（    ） A. 和 B. 和 C. 和 D. 和 4. 在中，角的对边分别为，若，则的形状是（    ） A. 等腰三角形 B. 等边三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等腰或直角三角形 5. 在△中，为边上的中线，为的中点，则 A. B. C. D. 6. 若两个单位向量满足，则向量与的夹角是（    ） A. B. C. D. 7. 在中，角、、的对边分别为、、，且的面积，，则（ ） A B. C. D. 8. 若，则（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知，，则下列结论正确的是（    ） A. B. C. 与的夹角为 D. 在方向上的投影向量是 10. 古希腊数学家毕达哥拉斯通过研究正五边形和正十边形的作图，发现了黄金分割率，黄金分割率的值也可以用表示．下列结果等于黄金分割率的值的是（ ） A. B. C. D. 11. 已知中，，．下列说法中正确的是（    ） A. 若是钝角三角形，则 B. 若是锐角三角形，则 C. 的最大值是 D. 的最大值是4 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 写出一个满足的复数________. 13. 如图，是水平放置的的直观图，但部分图象被茶渍覆盖，已知为坐标原点，顶点、均在坐标轴上，且的面积为12，则的长度为________. 14. 已知，均为锐角，则___ ． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸. 15 设复数． （1）若是实数，求 （2）若是纯虚数，求． 16. 在平面直角坐标系中，角与角均以为始边，角的终边位于第二象限且与单位圆相交于点． （1）求及的值； （2）若角与角的终边关于轴对称，求的值； （3）若，且角，直接写出满足条件的角的个数．（结论不要求证明） 17 已知. （1）求函数图象对称中心； （2）设的内角所对的边分别为，若且.求周长的取值范围． 18. 如图，在平面斜坐标系中，，平面上任一点的斜坐标定义如下：若（其中，分别为与轴，轴同方向的单位向量），则点的斜坐标为．此时有，，试在该斜坐标系下探究以下问题： （1）若，求的值； （2）若，求坐标； （3）求与垂直的单位向量的坐标． 19. 某公司欲生产一款迎春工艺品回馈消费者，工艺品的平面设计如图所示，该工艺品由直角和以为直径的半圆拼接而成，点为半圆上一点（异于，），点在线段上，且满足．已知，，设． （1）为了使工艺礼品达到最佳观赏效果，需满足，且达到最大．当为何值时，工艺礼品达到最佳观赏效果？ （2）为了工艺礼品达到最佳稳定性便于收藏，需满足，且达到最大．当为何值时，工艺礼品达到最佳稳定性？并求此时的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023-2024学年度第二学期期中学业水平测试试题 高 一 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、单项选择题;本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的. 1. （    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由两角和的正弦公式即可得解. 【详解】由题. 故选：B. 2. 已知，则在复平面内对应的点位于（    ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】C 【解析】 【分析】根据复数除法的运算法则，结合复数在复平面的位置进行判断即可. 【详解】因为， 所以在复平面内对应点位于第三象限， 故选：C. 3. 设，为平面向量的一组基底，则下面四组向量组中不能作为基底的是（    ） A. 和 B. 和 C. 和 D. 和 【答案】D 【解析】 【分析】根据基底的定义，结合共线向量的性质逐一判断即可. 【详解】A：假设和是共线向量，因此有， 因为，为平面向量的一组基底， 所以，不是共线向量，且，因此不成立， 因此假设不成立，因此和不是共线向量，因此本选项的向量可以做基底； B：假设和是共线向量，因此有， 因为，为平面向量的一组基底， 所以，不是共线向量，且，因此不成立， 因此假设不成立，因此和不是共线向量，因此本选项的向量可以做基底； C：假设和是共线向量，因此有， 因为，为平面向量的一组基底， 所以，不是共线向量，且，因此要想成立， 一定有，显然无实数解，因此假设不成立， 因此和是不共线向量，所以本选项的向量可以做基底； D：因为， 所以和是共线向量，所以本选项的向量不可以做基底， 故选：D 4. 在中，角的对边分别为，若，则的形状是（    ） A. 等腰三角形 B. 等边三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等腰或直角三角形 【答案】B 【解析】 【分析】由已知条件即结合余弦定理和即可得解. 【详解】因为， 所以，且， 所以由余弦定理得，整理得，又， 所以，故是等边三角形. 故选：B 5. 在△中，为边上的中线，为的中点，则 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】分析：首先将图画出来，接着应用三角形中线向量的特征，求得，之后应用向量的加法运算法则-------三角形法则，得到，之后将其合并，得到，下一步应用相反向量，求得，从而求得结果. 【详解】根据向量的运算法则，可得 ， 所以，故选A. 【点睛】该题考查的是有关平面向量基本定理的有关问题，涉及到的知识点有三角形的中线向量、向量加法的三角形法则、共线向量的表示以及相反向量的问题，在解题的过程中，需要认真对待每一步运算. 6. 若两个单位向量满足，则向量与的夹角是（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用向量的夹角公式计算可得答案. 【详解】因为是两个单位向量，所以， 所以向量与的夹角是. 故选：C. 7. 在中，角、、的对边分别为、、，且的面积，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据已知条件，结合余弦定理，以及三角形的面积公式，即可求解． 【详解】解：的面积， ， ， 则， ， ， ， ，，， ， ． 故选：D． 8. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由二倍角正弦公式和同角关系将转化为含的表达式，由此可得其值. 【详解】 ． 故选：A. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知，，则下列结论正确的是（    ） A. B. C. 与的夹角为 D. 在方向上投影向量是 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，计算即可判断；对于B，根据模长公式计算即可得解；对于C，根据向量夹角余弦公式计算即可判断；对于D，根据投影向量定义公式计算求解即可得解. 【详解】对于A，由题意可得， 所以，故A正确； 对于B，，故B正确； 对于C，因为， 所以，故C错误； 对于D，在方向上的投影向量是，故D正确. 故选：ABD. 10. 古希腊数学家毕达哥拉斯通过研究正五边形和正十边形的作图，发现了黄金分割率，黄金分割率的值也可以用表示．下列结果等于黄金分割率的值的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】根据题意，结合三角恒等变换的公式，准确化简、运算，即可求解. 【详解】对于A中，由，所以A正确； 对于B中，由，所以B不正确； 对于C中，由，所以C不正确； 对于D中，由，所以D正确. 故选：AD. 11. 已知中，，．下列说法中正确的是（    ） A. 若是钝角三角形，则 B. 若是锐角三角形，则 C. 的最大值是 D. 的最大值是4 【答案】BC 【解析】 【分析】根据正弦定理，结合钝角三角形和锐角三角形的性质，结合辅助角公式、正余弦的二倍角公式、正切型函数的单调性逐一判断即可. 【详解】A：当是钝角时，根据三角形中，大角对大边，则有，故本选项说法不正确； B：由正弦定理可知：， 因为是锐角三角形，， 所以有， 因此，因此本选项说法正确； C：由正弦定理可知：， 因为，所以， 所以当时，的最大值是，因此本选项说法正确； D：由上可知：，，所以， 因此， 因为，所以，， 于是， ， 因为，所以，因此， 于是有，没有最大值，故本选项说法不正确， 故选：BC 【点睛】关键点点晴：本题的关键是利用二倍角公式、同角的三角函数关系式求出的表达式，利用正切函数的单调性进行求解. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 写出一个满足的复数________. 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】根据复数模的定义进行求解即可. 【详解】设，为实数， 由 ， 令，得，即， 故答案为： 13. 如图，是水平放置的的直观图，但部分图象被茶渍覆盖，已知为坐标原点，顶点、均在坐标轴上，且的面积为12，则的长度为________. 【答案】2 【解析】 【分析】设根据直观图得和分别在以为原点的平面直角坐标的x和y轴上且得、即可由的面积求出，即求出. 【详解】因为、均在坐标轴上，设， 所以由图和分别在以为原点的平面直角坐标的x和y轴上， 且、， 所以， 所以. 故答案为：2. 14. 已知，均为锐角，则___ ． 【答案】 【解析】 【分析】由两角和的正弦公式结合同角三角函数的关系求解即可． 【详解】因，均为锐角，所以， 则， 所以. 故答案为： ． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸. 15. 设复数． （1）若是实数，求 （2）若是纯虚数，求． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据复数的分类特征，结合复数加法和乘法的运算性质进行求解即可； （2）根据复数除法的运算法则，结合纯虚数的定义进行求解即可. 【小问1详解】 ， 因为是实数， 所以有， 因此； 【小问2详解】 ， 因为是纯虚数， 所以有，所以. 16. 在平面直角坐标系中，角与角均以为始边，角的终边位于第二象限且与单位圆相交于点． （1）求及的值； （2）若角与角的终边关于轴对称，求的值； （3）若，且角，直接写出满足条件的角的个数．（结论不要求证明） 【答案】（1）， （2） （3）2 【解析】 【分析】（1）由三角函数的定义以及二倍角公式可得解； （2）先利用角与角的终边关于轴对称求解，再利用正切的二倍角公式，可得解； （3）根据一个周期内正弦函数值为的角为2个，分析可得解. 【小问1详解】 由题意，角的终边位于第二象限且与单位圆相交于点 故 解得： 【小问2详解】 由题意，角与角的终边关于轴对称， 故 【小问3详解】 由于角为给定角，角，一个周期内正弦函数值为的角有2个，故满足条件的角的个数为两个 17. 已知. （1）求函数图象的对称中心； （2）设的内角所对的边分别为，若且.求周长的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据平面向量数量积坐标表示公式，结合辅助角公式、正弦型函数的对称中心性质进行求解即可； （2）根据特殊角的正弦函数值，结合正弦定理、正弦型函数的最值性质、辅助角公式进行求解即可. 【小问1详解】 ， 令， 因此函数图象的对称中心为； 【小问2详解】 由， 由，因此有， 由正弦定理可知：， 因此有 ， 因为，所以 ， 因此周长的取值范围为. 18. 如图，在平面斜坐标系中，，平面上任一点的斜坐标定义如下：若（其中，分别为与轴，轴同方向的单位向量），则点的斜坐标为．此时有，，试在该斜坐标系下探究以下问题： （1）若，求的值； （2）若，求的坐标； （3）求与垂直的单位向量的坐标． 【答案】（1） （2） （3）， 【解析】 【分析】（1）首先由数量积的定义求出，再根据数量积的运算律计算可得； （2）依题意可得，根据数量积的运算律求出，即可得到； （3）设所求向量为，则且，即可得到方程组，解得、，从而求出的坐标. 【小问1详解】 由题知，， 又，，所以，， 所以 . 【小问2详解】 ∵，∴， 即， 即， ∴，从而； 【小问3详解】 设所求向量为，即， 则①， 又， 即， 即②， 由①②解得或， 所以或， 即与垂直的单位向量的坐标为，． 19. 某公司欲生产一款迎春工艺品回馈消费者，工艺品的平面设计如图所示，该工艺品由直角和以为直径的半圆拼接而成，点为半圆上一点（异于，），点在线段上，且满足．已知，，设． （1）为了使工艺礼品达到最佳观赏效果，需满足，且达到最大．当为何值时，工艺礼品达到最佳观赏效果？ （2）为了工艺礼品达到最佳稳定性便于收藏，需满足，且达到最大．当为何值时，工艺礼品达到最佳稳定性？并求此时的值． 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】（1）由，则在直角中，，，计算得到，计算最值得到答案. （2）计算，得到，得最值. 【小问1详解】 由，在直角中，，； 在直角中，， ； ， 所以当，即时，的最大值为， 即时，工艺礼品达到最佳观赏效果． 【小问2详解】 在直角中，由， 可得； 在直角中，， 所以，， 所以 ， 所以当时，工艺礼品达到最佳稳定性，此时取得最大值，且最大值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$