九年级上学期开学摸底考 （考试范围：湘教版八下全部内容）-2024-2025学年九年级数学上册重难点专题提升精讲精练（湘教版)

九年级上学期开学摸底考 重难点检测卷 【考试范围：湘教版八下全部内容】 注意事项： 本试卷满分100分，考试时间120分钟，试题共25题。答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置 1、 选择题（10小题，每小题2分，共20分） 1．（23-24八年级下·湖南永州·期末）在中，，则两个锐角的度数为（    ） A．和 B．和 C．和或和 D．以上说法都不对 2．（23-24七年级下·湖南衡阳·期末）某人用同种正多边形瓷砖铺设无缝地板，他购瓷砖形状可能是（    ） A．正五边形 B．正六边形 C．正十边形 D．正十一边形 3．（23-24八年级下·湖南常德·期末）若把点向上平移5个单位后得到的点在x轴上，则点A在（    ） A．x轴上 B．第三象限 C．y轴上 D．第四象限 4．（23-24八年级下·湖南益阳·期末）在四边形中，对角线相交于点O，．下列条件能判定四边形为平行四边形的是（    ） A． B． C． D． 5．（23-24八年级下·湖南益阳·期末）某班50名学生的身高中，最低为，最高为，在绘制频数直方图时，取组距为，则分成的组数是（    ） A．5 B．6 C．8 D．10 6．（23-24八年级下·湖南岳阳·期中）如图，于点D，于点F，．证明不是利用“”的条件是（　　） A． B． C． D． 7．（23-24八年级下·湖南邵阳·期末）如图，将点向上平移1个单位，再向右平移2个单位，得到点；将点向上平移2个单位，再向右平移4个单位，得到点；将点向上平移4个单位，再向右平移8个单位，得到点……按这个规律平移得到点，则点的横坐标为（    ） A． B． C． D． 8．（23-24八年级下·湖南邵阳·期末）定义：对于给定的一次函数（a，b为常数，且），把形如的函数称为一次函数的“衍生函数”，已知一次函数，若点在这个一次函数的“衍生函数”图象上，则m的值是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 9．（23-24八年级下·湖南株洲·期末）根据物理学知识可知：平面镜反射光线的规律是射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的锐角相等．如图，一束光线射到平面镜a上，被a反射后的光线为，则入射光线，反射光线与平面镜a所夹的角相等，即，若按如图建立平面直角坐标系，并设入射光线和反射光线所在直线的解析式分别为，，则下列关于、的关系说法正确的是（    ） A． B． C． D． 10．（23-24八年级下·湖南长沙·期末）在平面直角坐标系中，直线l：与x轴交于点，如图所示，依次作正方形，正方形，…，正方形，使得点，…，在直线l上，点在y轴正半轴上，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 2、 填空题（6小题，每小题2分，共12分） 11．（23-24八年级下·湖南衡阳·期末）已知菱形的边长为，一条对角线长为，则另一条对角线长为 ． 12．（23-24八年级下·湖南郴州·期末）一组数据的最大值是100，最小值是35，若选取组距为10，则这组数据可分成 组． 13．（23-24八年级下·湖南株洲·期末）如图，在中，点M是斜边的中点，以为边作正方形．若，则 ． 14．（23-24八年级下·湖南郴州·期末）如图是某商场一楼与二楼之间的手扶电梯示意图．其中，分别表示一楼、二楼地面的水平线，，的长是，则乘电梯从点到点上升的高度是 ．    15．（23-24八年级下·湖南永州·期末）如图，在平面直角系中，的边的中点C、D的横坐标分别是1和4，则点B的坐标是 ． 16．（2024·湖南岳阳·二模）甲、乙两个工程组同时挖掘沈白高铁某段隧道，两组每天挖掘长度均保持不变，合作一段时间后，乙组因维修设备而停工，甲组单独完成了剩下的任务，甲、乙两组挖掘的长度之和与甲组挖掘时间x（天）之间的关系如图所示．则乙组每天挖掘 m 三、解答题（9小题，共68分） 17．（23-24八年级下·湖南株洲·阶段练习）如图，已知，求的度数． 18．（23-24八年级下·湖南永州·期末）如图，在中，D是的中点，交于点E，且． (1)求证：； (2)若，，求的长． 19．（23-24八年级下·湖南株洲·期末）如图，用两张等宽的纸条交叉重叠地放在一起，重合的四边形是一个特殊的四边形． (1)这个特殊的四边形应该叫做 ； (2)请证明你的结论．（提示：连接，过点D分别作和边上的高） 20．（23-24八年级下·湖南永州·期末）方格中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，在建立的平面直角坐标系中，△ABC的顶点都在格点上． （1）画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1，并写出△A1B1C1各顶点的坐标． （2）画出△ABC向下平移5个单位长度，再向右平移5个单个长度得到△A2B2C2，并写出△A2B2C2各顶点的坐标． 21．（23-24八年级下·湖南永州·期末）如图1，在矩形中，，，动点P从点B出发，沿，，运动至点A停止．设点P运动的路程为x，的面积为y，如果y关于x的函数图象如图2所示． (1)求y关于x的函数解析式； (2)当的面积为7.5时，求x的值． 22．（23-24八年级下·湖南邵阳·期末）如图，已知直线分别与x轴、y轴交于D、A两点；直线与y轴交于B点，与直线交于C点． (1)求点B的坐标； (2)求三角形的面积． 23．（23-24八年级下·湖南娄底·期末）已知：如图，一次函数与的图象相交于点． (1)求点的坐标； (2)结合图象，直接写出时的取值范围； (3)若一次函数与的图象与轴分别相交于点、，求的面积． 24．（23-24八年级下·湖南株洲·期末）某校对八年级学生掌握“中学生日常行为规范”的情况进行了知识测试，测试成绩全部合格（说明：成绩大于或等于60分为合格），学校随机选取了部分学生的成绩，整理并绘制成以下不完整的图农： 部分学生测试成绩统计表 分数段 频数 频率 9 a 36 0.4 27 b c 0.2 请根据上述统计图表，解答下列问题： (1)表中__________，__________，__________； (2)补全频数分布直方图； (3)根据该频数分布直方图，你获得哪些信息？ 25．（23-24八年级下·湖南邵阳·期末）探索发现一：法国近代数学家笛卡尔是一位勇于探索的人，他石破天惊的创建了代数与几何结合，即数形结合！他的这一天才创举，为微积分的创立奠定了基础，从而推动数学往前进了一大步！在他创建的平面直角坐标系中，我们学到一次函数的图像是一条直线，书本上的描述是：数学上已经证明了正比例函数的图像是一条直线．勇于探索和挑战的小聪一心想证明出函数的图像是一条直线！于是他找了图像上的三个点，，，并且巧妙的论证出这三点在同一条直线上，聪明的你也来论证一下吧！ 探索发现二：小慧碰到一道题：在平面直角坐标系中，线段的两个端点坐标分别为，，将线段绕点O逆时针旋转90°到位置，则点的坐标是什么？ （1）请写出点的坐标______． （2）小慧通过计算发现所在直线的函数表达式为，所在直线的函数表达式为，而且有．于是她大胆猜想：两个一次函数图像如果互相垂直，则他们的k乘积为，请敢于探索发现的你来完成下面的论证： 如图，已知直线与直线互相垂直，求证：． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 九年级上学期开学摸底考 重难点检测卷 【考试范围：湘教版八下全部内容】 注意事项： 本试卷满分100分，考试时间120分钟，试题共25题。答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置 1、 选择题（10小题，每小题2分，共20分） 1．（23-24八年级下·湖南永州·期末）在中，，则两个锐角的度数为（    ） A．和 B．和 C．和或和 D．以上说法都不对 【答案】C 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理以及直角三角形中两锐角互余等知识，分类计算，当时，，则，当时，，结合已知条件可得出和． 【详解】解：当时，， 则， 当时，， 则，， 故选：C． 2．（23-24七年级下·湖南衡阳·期末）某人用同种正多边形瓷砖铺设无缝地板，他购瓷砖形状可能是（    ） A．正五边形 B．正六边形 C．正十边形 D．正十一边形 【答案】B 【分析】本题主要考查了平面镶嵌，判断一种图形是否能够镶嵌，只要看一看拼在同一顶点处的几个角能否构成周角．若能构成，则说明能够进行平面镶嵌；反之则不能，据此逐一判断即可． 【详解】解：A、正五边形的一个内角度数为，不能整除，不能进行平面镶嵌，不符合题意； B、正六边形的一个内角度数为，能整除，能进行平面镶嵌，符合题意； C、正十边形的一个内角度数为，不能整除，不能进行平面镶嵌，不符合题意； D、正十一边形的一个内角度数为，不能整除，不能进行平面镶嵌，不符合题意； 故选B． 3．（23-24八年级下·湖南常德·期末）若把点向上平移5个单位后得到的点在x轴上，则点A在（    ） A．x轴上 B．第三象限 C．y轴上 D．第四象限 【答案】D 【分析】本题考查了点的平移规律，坐标轴上点的坐标特征，点的象限判断；由点的平移及坐标轴上点的坐标特征得，求出的值，代入的坐标，即可求解；掌握点的平移规律：“横坐标左减右加，纵坐标上加下减．”及坐标轴上点的坐标特征是解题的关键． 【详解】解：点向上平移5个单位后得： ， 点在x轴上， ， 解得：， ， 在第四象限； 故选：D． 4．（23-24八年级下·湖南益阳·期末）在四边形中，对角线相交于点O，．下列条件能判定四边形为平行四边形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行四边形的判定：（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形．（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形．（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形．（5）对角线互相平分的四边形是平行四边形．分别利用平行四边形的判定方法进行判断，即可得出结论． 【详解】解：A、，，由“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”可判断四边形是平行四边形，故选项A符合题意； B、，，由“一组对边平行，另一边相等的四边形”无法判断四边形是平行四边形，故选项B不符合题意； C、，，无法判断四边形是平行四边形，故选项C不符合题意； D、若，，无法判断四边形是平行四边形，故选项D不符合题意； 故选：A 5．（23-24八年级下·湖南益阳·期末）某班50名学生的身高中，最低为，最高为，在绘制频数直方图时，取组距为，则分成的组数是（    ） A．5 B．6 C．8 D．10 【答案】B 【分析】此题考查了频数分布直方图时组数的计算，掌握组数的定义是本题的关键，即数据分成的组的个数称为组数．根据组数（最大值最小值）组距进行计算即可，注意小数部分要进位． 【详解】解：数据的最大值为，最小值为， 这组数据的差是， 组距为， 这组数据应分成，则分成6组． 故选：B 6．（23-24八年级下·湖南岳阳·期中）如图，于点D，于点F，．证明不是利用“”的条件是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了直角三角形全等的判定，掌握斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等是解答本题的关键．根据直角三角形全等的判定方法进行判断即可． 【详解】解：∵于点D，于点F，． ∴， ∵， ∴补充：或， 可得：，故A，C不符合题意； 补充， ∴， ∴，故D不符合题意； 补充， ∴， ∴，故B符合题意； 故选B 7．（23-24八年级下·湖南邵阳·期末）如图，将点向上平移1个单位，再向右平移2个单位，得到点；将点向上平移2个单位，再向右平移4个单位，得到点；将点向上平移4个单位，再向右平移8个单位，得到点……按这个规律平移得到点，则点的横坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了点坐标规律探索，平移的性质； 根据平移方式先求得的横坐标，找到规律，即点的横坐标为，进而可求得的横坐标． 【详解】解：点的横坐标为， 点的横坐为标， 点的横坐标为， 点的横坐标为， … ∴点的横坐标为， ∴点的横坐标为， 故选：A． 8．（23-24八年级下·湖南邵阳·期末）定义：对于给定的一次函数（a，b为常数，且），把形如的函数称为一次函数的“衍生函数”，已知一次函数，若点在这个一次函数的“衍生函数”图象上，则m的值是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，根据“衍生函数”的定义，找出一次函数的“衍生函数”是解题的关键．找出一次函数的“衍生函数”，再利用一次函数图象上点的坐标特征，即可求出m的值． 【详解】解：由定义知，一次函数的“衍生函数”为， ∵点在一次函数的“衍生函数”图象上， ∴． 故选：D． 9．（23-24八年级下·湖南株洲·期末）根据物理学知识可知：平面镜反射光线的规律是射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的锐角相等．如图，一束光线射到平面镜a上，被a反射后的光线为，则入射光线，反射光线与平面镜a所夹的角相等，即，若按如图建立平面直角坐标系，并设入射光线和反射光线所在直线的解析式分别为，，则下列关于、的关系说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了一次函数与几何综合，全等三角形的性质与判定，能综合运用这些性质进行计算是解此题的关键； 取直线在第二象限内的一点，过点A作轴，交直线于C，分别过点A和点C作x轴的垂线，垂足分别为B、D，可证明，进而推出，把代入中得，则，由，可得． 【详解】解：如图所示，取直线在第二象限内的一点，过点A作轴交直线于C，分别过点A和点C作x轴的垂线，垂足分别为B、D，则，， ，， ， ， ， ，， ， 把代入中得， ， ， 故选：D． 10．（23-24八年级下·湖南长沙·期末）在平面直角坐标系中，直线l：与x轴交于点，如图所示，依次作正方形，正方形，…，正方形，使得点，…，在直线l上，点在y轴正半轴上，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查正方形的性质、一次函数的规律性问题，求出的横、纵坐标的变化规律，利用规律求解． 【详解】解：令，得， ， ， 四边形是正方形， ， ， 令，得， ， ， 四边形是正方形， ， ， ， 同理可得，，，， …… 以此类推，点的横坐标为：1，2，4，8，……，， 点的纵坐标为：1，3，7，15，……，， 点的坐标为，即， 故选A． 2、 填空题（6小题，每小题2分，共12分） 11．（23-24八年级下·湖南衡阳·期末）已知菱形的边长为，一条对角线长为，则另一条对角线长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了菱形的性质，勾股定理，掌握菱形的对角线互相垂直平分的性质是解题的关键．根据题意作出图形，根据勾股定理求得，进而求得另外一条对角线的长． 【详解】解：设菱形的两条对角线交于点，如图所示： 四边形是菱形，边长是， ，，，， ， ； 故答案为：． 12．（23-24八年级下·湖南郴州·期末）一组数据的最大值是100，最小值是35，若选取组距为10，则这组数据可分成 组． 【答案】 【分析】本题考查了频数分布表，根据组数（最大值最小值）组距，计算即可得出答案，注意小数部分要进位． 【详解】解：∵一组数据的最大值是100，最小值是35， ∴它们的差为， ∵选取组距为10， ∴， ∴这组数据可分成组， 故答案为：． 13．（23-24八年级下·湖南株洲·期末）如图，在中，点M是斜边的中点，以为边作正方形．若，则 ． 【答案】20 【分析】本题主要考查了正方形的面积计算公式，直角三角形斜边上的中线性质．先根据正方形的面积求出，然后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出． 【详解】解：∵四边形是正方形，， ∴， ∵， ∴， ∵在中，点M是斜边的中点， ∴， 故答案为：20． 14．（23-24八年级下·湖南郴州·期末）如图是某商场一楼与二楼之间的手扶电梯示意图．其中，分别表示一楼、二楼地面的水平线，，的长是，则乘电梯从点到点上升的高度是 ．    【答案】 【分析】本题考查了含角的直角三角形的性质，作交的延长线于，则，求出，再由含角的直角三角形的性质即可得出答案． 【详解】解：如图，作交的延长线于，则，   ， ∵， ∴， ∵的长是， ∴，即， 故答案为：． 15．（23-24八年级下·湖南永州·期末）如图，在平面直角系中，的边的中点C、D的横坐标分别是1和4，则点B的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了坐标与图形，三角形中位线定理，先根据三角形中位线定理得到，再由C、D的横坐标分别是1和4，得到，则，据此可得答案． 【详解】解：∵分别是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∵C、D的横坐标分别是1和4， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 16．（2024·湖南岳阳·二模）甲、乙两个工程组同时挖掘沈白高铁某段隧道，两组每天挖掘长度均保持不变，合作一段时间后，乙组因维修设备而停工，甲组单独完成了剩下的任务，甲、乙两组挖掘的长度之和与甲组挖掘时间x（天）之间的关系如图所示．则乙组每天挖掘 m 【答案】4 【分析】本题考查函数的图象，根据两组合作30天共挖掘210可得两组的工作效率和，再根据甲组单独工作30天挖掘了90可得甲组的工作效率，进而得出乙组的工作效率，从而得出答案． 【详解】两组的工作效率和为：（天）， 甲组的工作效率为：天）， ∴乙组的工作效率为：天）， 即乙组每天挖掘4， 故答案为：4． 三、解答题（9小题，共68分） 17．（23-24八年级下·湖南株洲·阶段练习）如图，已知，求的度数． 【答案】 【分析】此题考查了多边形内角和，平行线的性质， 首先根据平行线的性质得到，然后求出多边形的内角和，进而求解即可． 【详解】∵， ∴ ∵多边形是一个五边形 ∴多边形的内角和为 ∴． 18．（23-24八年级下·湖南永州·期末）如图，在中，D是的中点，交于点E，且． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】本题主要考查了勾股定理及其逆定理的应用，线段垂直平分线的性质，掌握勾股定理及其逆定理是解题的关键，注意方程思想在这类问题中的应用． （1）连接，由线段垂直平分线的性质可求得，再结合可求得，可证得结论； （2）设，则，根据勾股定理列出方程解答即可． 【详解】（1）证明：连接， ∵D是的中点，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． （2）解：∵D是的中点，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴设，则， 在中 ∴， 解得： ∴． 19．（23-24八年级下·湖南株洲·期末）如图，用两张等宽的纸条交叉重叠地放在一起，重合的四边形是一个特殊的四边形． (1)这个特殊的四边形应该叫做 ； (2)请证明你的结论．（提示：连接，过点D分别作和边上的高） 【答案】(1)菱形 (2)见解析 【分析】本题考查菱形的判定、平行四边形的判定与性质，掌握菱形的判定是解答的关键． （1）根据菱形的判定可得结论； （2）先证明四边形是平行四边形，再根据平行四边形的面积公式结合已知得到，进而利用菱形的判定可证得结论． 【详解】（1）解：根据菱形的判定可得这个特殊的四边形应该叫做菱形，证明过程见解析（2）． 故答案为：菱形； （2）解：如图，过点D分别作和边上的高，，垂足分别为E、F， 由题意，，，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴四边形是菱形． 20．（23-24八年级下·湖南永州·期末）方格中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，在建立的平面直角坐标系中，△ABC的顶点都在格点上． （1）画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1，并写出△A1B1C1各顶点的坐标． （2）画出△ABC向下平移5个单位长度，再向右平移5个单个长度得到△A2B2C2，并写出△A2B2C2各顶点的坐标． 【答案】（1）图见解析，A1（2，3），B1（4，1），C1（1，1）；（2）图见解析，A2（3，﹣2），B2（1，﹣4），C2（4，﹣4） 【分析】（1）利用轴对称的性质分别作出A，B，C的对应点A1，B1，C1即可． （2）利用平移变换的性质分别作出A，B，C的对应点A2，B2，C2即可． 【详解】解：（1）如图△A1B1C1为所求作的三角形．A1（2，3），B1（4，1），C1（1，1）． （2）如图△A2B2C2为所求作的三角形，A2（3，﹣2），B2（1，﹣4），C2（4，﹣4）． 【点睛】此题考查轴对称变换和平移变换作图，解题的关键是根据网格结构作出对应点的位置，并顺次连接． 21．（23-24八年级下·湖南永州·期末）如图1，在矩形中，，，动点P从点B出发，沿，，运动至点A停止．设点P运动的路程为x，的面积为y，如果y关于x的函数图象如图2所示． (1)求y关于x的函数解析式； (2)当的面积为7.5时，求x的值． 【答案】(1)当时，；当时，；当时，； (2)当的面积为7.5时，x的值为3或10． 【分析】考查了动点问题的函数图象、矩形的有关知识，解决本题的关键是读懂图意，将矩形中的数据与梯形中各边之间的关系相对应，此题考查了学生从图象中读取信息的数形结合能力． 分或或时，结合三角形面积公式求解即可； 根据题意可知或，分别代入函数解析式求解x即可． 【详解】（1）解：当时，点P在上，则， 即； 当时，点P在上，， 即； 当时，点P在上，， 即； （2）解：∵， ∴或， 当时，，解得； 当时，，解得：； 综上所述，当的面积为7.5时，x的值为3或10． 22．（23-24八年级下·湖南邵阳·期末）如图，已知直线分别与x轴、y轴交于D、A两点；直线与y轴交于B点，与直线交于C点． (1)求点B的坐标； (2)求三角形的面积． 【答案】(1) (2)3 【分析】本题考查了一次函数的几何综合，两直线相交问题：两条直线的交点坐标，就是由这两条直线相对应的一次函数表达式所组成的二元一次方程组的解；若两条直线是平行的关系，那么它们的自变量系数相同，即k值相同．也考查了三角形面积公式． （1）令，求出值即可点坐标； （2）令，求出值，得到点坐标，再联立两直线表达式，解方程组即可得到点坐标，根据三角形面积公式求解． 【详解】（1）解：在直线中， 当时，，则； （2）解：在直线中， 当时，，则； 联立解方程组， 解得：， 则点坐标为； 则的面积． 23．（23-24八年级下·湖南娄底·期末）已知：如图，一次函数与的图象相交于点． (1)求点的坐标； (2)结合图象，直接写出时的取值范围； (3)若一次函数与的图象与轴分别相交于点、，求的面积． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】此题主要考查了一次函数图象交点的求法，一次函数图象上点的坐标特点，熟知一次函数图象上的点满足函数解析式是解题的关键． （1）联立两个函数解析式，解方程组可求出点A的坐标； （2）根据函数图象可得答案； （3）分别求出B、C两点坐标，然后可得的面积． 【详解】（1）解：联立两函数解析式得， 解得：， ∴点A的坐标为； （2）解：由图象可得：当时，则； （3）解：当时，即，解得：， ∴， 当时，即，解得：， ∴， ∴， ∴的面积为：． 24．（23-24八年级下·湖南株洲·期末）某校对八年级学生掌握“中学生日常行为规范”的情况进行了知识测试，测试成绩全部合格（说明：成绩大于或等于60分为合格），学校随机选取了部分学生的成绩，整理并绘制成以下不完整的图农： 部分学生测试成绩统计表 分数段 频数 频率 9 a 36 0.4 27 b c 0.2 请根据上述统计图表，解答下列问题： (1)表中__________，__________，__________； (2)补全频数分布直方图； (3)根据该频数分布直方图，你获得哪些信息？ 【答案】(1)0.1、0.3、18 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题主要考查频数分布直方图，解题的关键是根据频数分布表得出解题所需数据． （1）先由分数段的频数及其频率求得总人数，再根据“频率频数总数”可分别求得、、的值； （2）根据以上所求结果即可补全直方图； （3）根据频数即可得． 【详解】（1）解：被调查的总人数为， 、、， 故答案为：0.1、0.3、18； （2）解：补全频数分布直方图如下： ； （3）解：由频数分布直方图可知，的人数最多． 25．（23-24八年级下·湖南邵阳·期末）探索发现一：法国近代数学家笛卡尔是一位勇于探索的人，他石破天惊的创建了代数与几何结合，即数形结合！他的这一天才创举，为微积分的创立奠定了基础，从而推动数学往前进了一大步！在他创建的平面直角坐标系中，我们学到一次函数的图像是一条直线，书本上的描述是：数学上已经证明了正比例函数的图像是一条直线．勇于探索和挑战的小聪一心想证明出函数的图像是一条直线！于是他找了图像上的三个点，，，并且巧妙的论证出这三点在同一条直线上，聪明的你也来论证一下吧！ 探索发现二：小慧碰到一道题：在平面直角坐标系中，线段的两个端点坐标分别为，，将线段绕点O逆时针旋转90°到位置，则点的坐标是什么？ （1）请写出点的坐标______． （2）小慧通过计算发现所在直线的函数表达式为，所在直线的函数表达式为，而且有．于是她大胆猜想：两个一次函数图像如果互相垂直，则他们的k乘积为，请敢于探索发现的你来完成下面的论证： 如图，已知直线与直线互相垂直，求证：． 【答案】（1）  （2）见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，一次函数的解析式，旋转的性质，掌握三角形全等的判定方法是解题的关键． （1）过点P作轴于点A，过点作轴于点B，根据证明，即可得到，，，然后写出点的坐标即可； （2）在直线上取一点P，把绕点O逆时针旋转90°到位置，则点在直线上，设点P的坐标为，根据（1）可得点的坐标为，然后求出，，计算即可． 【详解】（1）如图，过点P作轴于点A，过点作轴于点B， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，， 又∵点在第二象限， ∴点的坐标为； （2）解：在直线上取一点P，把绕点O逆时针旋转90°到位置，则点在直线上， 设点P的坐标为，根据（1）可得点的坐标为， ∴，， 解得，， ∴． 学科网（北京）股份有限公司 $$