九年级上学期开学摸底考（考试范围：沪教版八下全部内容）-2024-2025学年九年级数学上册重难点专题提升精讲精练 （沪教版)

九年级上学期开学摸底考 重难点检测卷 【考试范围：沪教版八下全部内容】 注意事项： 本试卷满分100分，考试时间120分钟，试题共25题。答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置 一、选择题（6小题，每小题2分，共12分） 1．（23-24八年级下·上海·期末）下列方程中，没有实数解的是（       ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·上海崇明·期末）下列方程组是二元二次方程组的是（　　） A． B． C． D． 3．（23-24八年级下·上海青浦·期末）已知四边形中，，如果添加一个条件，即可推出该四边形是正方形，那么这个条件可以是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24八年级下·上海金山·期末）下列事件是随机事件的是（    ） A．汽车的车窗玻璃破碎 B．从地面上抛掷一枚硬币，硬币一定会落下 C．从一副没有大小王的扑克牌中任意取出一张牌，这张牌一定是大王 D．今年十四岁的你，明年一定是十五岁 5．（23-24八年级上·上海青浦·期中）已知反比例函数的图象与函数的图象没有交点．若点、、在这个反比例函数的图象上，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 6．（22-23八年级下·上海虹口·期末）甲乙二人登山，均从距离地面0米处出发，甲乙二人距离地面的高度y（米）关于甲出发时间x（分钟）的函数图像如图所示，已知甲在出发2分钟后将速度提升为原来的3倍并一路登顶，乙始终保持匀速前进．根据图像判断，以下说法正确的有几个？（    ）    （1）山的高度为340米 （2）甲乙二人不同时出发 （3）甲登顶的时间为自己出发后7分钟 （4）乙出发分钟后登顶 （5）甲出发5分钟后追上乙 A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 二、填空题（12小题，每小题2分，共24分） 7．（23-24八年级下·上海·阶段练习）方程的根是 . 8．（23-24八年级下·上海崇明·期末）已知一个凸多边形的每个内角都是，那么它的边数为 ． 9．（22-23八年级下·上海·阶段练习）写出一个二元二次方程组，使它的的解是和 ． 10．（23-24八年级下·上海崇明·期末）已知方程，如果设，那么原方程转化为关于y的整式方程为 ． 11．（22-23八年级下·上海浦东新·阶段练习）请你设计一个关于的二项方程，使其同时满足以下条件：①该方程为6次方程；②最高次项的系数为5；③在实数范围内有解，则这个方程可以是 ．（只需写出一个） 12．（23-24八年级下·上海徐汇·期中）在矩形中，对角线、相交于点O，，厘米，则对角线 厘米． 13．（23-24八年级下·上海崇明·期末）一个不透明的箱子里放着分别标有数字1，2，3，4，5的五个球，它们除了数字不同外其余都相同，从这个箱子里随机摸出一个球，摸出的球上所标数字为偶数的概率为 ． 14．（2023八年级下·上海·专题练习）甲、乙两人玩游戏，各从卡片中任意摸取一张，如果两数积是偶数，甲获胜；否则乙获胜．按这种玩法， 获胜的可能性大． 15．（23-24八年级下·上海嘉定·期末）新定义：在平面直角坐标系中，到坐标轴的距离相等的点称为“等距离点”．例如：、都是等距离点．请写出直线上的等距离点 （写出一个即可）． 16．（23-24八年级下·上海宝山·期末）随着绿色发展理念的倡导，新能源汽车逐渐普及，市民对充电桩的使用需求日益增强，某停车场计划购买A、B两种型号的充电桩，已知B型充电桩比A型充电桩的单价多0.4万元，且用10万元购买A型充电桩与用12万元购买B型充电桩的数量相等．设A型充电桩的单价是x万元，那么根据题意可列方程 ． 17．（23-24八年级下·上海奉贤·期末）如图，一次函数与的图像相交于点P，那么 ． 18．（22-23八年级下·上海浦东新·期末）如果购买某一种水果所付金额y（元）与购买数量x（千克）之间的函数图象由线段与射线组成（如图所示），那么购买3千克这种水果需要付 元． 三、解答题（7小题，共64分） 19．（23-24八年级下·上海闵行·期末）解方程：． 20．（2024八年级下·上海·专题练习）如图，已知在的边上取一点，使，边上取一点，使．连接、． 求证：四边形是平行四边形． 21．（2024·上海·模拟预测）某品牌新能源汽车原厂年销售总额为万元，年销售总额为万元，年每辆车的销售价格比年降低万元，年销售量是年销售量的倍 (1)求年每辆车的销售价格 (2)若年某汽车专卖店从该新能源汽车原厂进购辆车，每售出一辆车要交税万元，则为使售完辆车后所得利润超过成本一半，定价至少要高于多少元？ 22．（2023八年级下·上海·专题练习）一次抽奖活动设置如下的翻奖牌，翻奖牌的正面、背面如下，如果你只能在9个数字中选择一个数字翻牌，请解决下面的问题： (1)直接写出翻牌得到“手机”奖品的可能性的是__________； (2)请你根据题意设计翻奖牌反面的奖品，包含（手机、微波炉、球拍、电影票，谢谢参与）使得最后抽到“电影票”的可能性大小是． 23．（22-23八年级下·上海浦东新·期末）如图，在梯形中，，，点是的中点．    (1)填空：______，______； (2)如果把图中的线段都画成有向线段，那么在这些有向线段所表示的向量中，与平行的向量共有______个； (3)求作：．（不写作法，保留作图痕迹，写出结果） 24．（23-24八年级下·上海·期末）小杰、小明两人在一段笔直的滨江步道上同起点、同终点、同方向匀速步行 米，先到终点的人原地休息．已知小杰先出发分钟，在整个步行过程中，小杰、小明两人间的距离（米）与小杰出发的时间（分）之间的关系如图中折线 所示． (1)求线段的表达式，并写出自变量的取值范围； (2)求小明的步行速度； (3)求小明比小杰早几分钟到达终点? 25．（23-24八年级下·上海静安·期末）问题：已知矩形的长和宽分别为12和2，是否存在一个新矩形，使其周长和面积都为原矩形的一半？ 在学习函数的知识后，小丽发现可利用函数知识，借助图像，成功解决这一问题．过程如下： 第一步：建立函数模型 设新矩形的长和宽分别为x和y， (1)假如只考虑新矩形周长为原矩形周长的一半，不考虑面积，那么y关于x的函数解析式是_______①，它的定义域是_______； (2)假如只考虑新矩形面积为原矩形面积的一半，不考虑周长，那么y关于x的函数解析式是_______②，它的定义域是_______； 第二步：画出函数图像 (3)在所给的直角坐标平面内画出符合题意的函数①和函数②的大致图像． 第三步：同时考虑新矩形的面积和周长都为原矩形的一半，观察图像，解决问题 (4)这两个函数图像在第一象限内有_______个公共点；请解释公共点的意义． (5)如果存在这样的新矩形，直接写出新矩形的长和宽；如果不存在，请说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 九年级上学期开学摸底考 重难点检测卷 【考试范围：沪教版八下全部内容】 注意事项： 本试卷满分100分，考试时间120分钟，试题共25题。答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置 一、选择题（6小题，每小题2分，共12分） 1．（23-24八年级下·上海·期末）下列方程中，没有实数解的是（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程，分式方程，二元二次方程，无理方程，根据题意逐项分析判断，即可求解． 【详解】解：A. ，解得：，故A选项不正确，不符合题意；     B. 方程两边同时乘以，得，， 解得：或， 经检验，是原方程的增根，原方程的解为， 故B选项不正确，不符合题意；     C. ，方程有实数解，故C选项不正确，不符合题意； D. ， ∴ 又∵ ∴原方程无实数解， 故选：D． 2．（23-24八年级下·上海崇明·期末）下列方程组是二元二次方程组的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了高次方程和二元二次方程组的定义，能熟记二元一次方程组的定义（由两个整式方程组成，方程组中共含有两个不同未知数，并且所含未知数的项的最高次数是2，这样的方程组叫二元二次方程组）是解此题的关键． 根据二元二次方程组的定义逐个判断即可． 【详解】解：A．方程组中共含有两个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是1，是二元一次方程组，不是二元二次方程组，故本选项不符合题意； B．方程组中共含有两个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是2，是二元二次方程组，故本选项符合题意； C．方程组中两个方程是分式方程，不是整式方程，不是二元二次方程组，故本选项不符合题意； D．方程组中第一个方程是无理方程，不是有理方程，不是二元二次方程组，故本选项不符合题意． 故选：B． 3．（23-24八年级下·上海青浦·期末）已知四边形中，，如果添加一个条件，即可推出该四边形是正方形，那么这个条件可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了正方形的判定，根据矩形的判定性质得出四边形是矩形是解决问题的关键． 根据四边形中，，得出四边形是矩形，再找出邻边相等条件即可． 【详解】解：∵， ∴是矩形， 又∵， ∴是正方形， 故添加的条件为， 故选D． 4．（23-24八年级下·上海金山·期末）下列事件是随机事件的是（    ） A．汽车的车窗玻璃破碎 B．从地面上抛掷一枚硬币，硬币一定会落下 C．从一副没有大小王的扑克牌中任意取出一张牌，这张牌一定是大王 D．今年十四岁的你，明年一定是十五岁 【答案】A 【分析】本题考查了随机事件，同时也考查了必然事件与不可能事件：在一定条件下可能发生也可能不发生的事件是随机事件，一定发生的事件是必然事件，一定不发生的事件是不可能事件；根据这三种事件的含义进行判断即可． 【详解】解：A、是随机事件，故符合题意； B、是必然事件，故不符合题意； C、是不可能事件，故不符合题意； D、是必然事件，故不符合题意； 故选：A． 5．（23-24八年级上·上海青浦·期中）已知反比例函数的图象与函数的图象没有交点．若点、、在这个反比例函数的图象上，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查反比例函数和正比例函数的图形与性质，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键． 先根据两个函数没有交点，确定k的符号，再根据函数的增减性，进行判断即可． 【详解】函数经过一、三象限，反比例函数的图象与函数的图象没有交点， 反比例函数的图象在二、四象限， 、、在这个反比例函数的图象上， 点、在第二象限，点在第四象限， ， ， ， ， ， 故选：B． 6．（22-23八年级下·上海虹口·期末）甲乙二人登山，均从距离地面0米处出发，甲乙二人距离地面的高度y（米）关于甲出发时间x（分钟）的函数图像如图所示，已知甲在出发2分钟后将速度提升为原来的3倍并一路登顶，乙始终保持匀速前进．根据图像判断，以下说法正确的有几个？（    ）    （1）山的高度为340米 （2）甲乙二人不同时出发 （3）甲登顶的时间为自己出发后7分钟 （4）乙出发分钟后登顶 （5）甲出发5分钟后追上乙 A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】A 【分析】（1）由函数图象可直接判断； （2）由两函数图象与y轴的交点坐标作出判断； （3）由山的高度及甲的登山速度分析求解； （4）由函数图像分析乙的登山速度，从而求出其登山时间； （5）通过求函数解析式的交点坐标进行分析计算． 【详解】解：（1）由函数图象可得山的高度为340米，故此说法正确，符合题意； （2）由题意，甲乙二人登山，均从距离地面0米处出发，    由图象可得，， ∴甲出发时，乙已经距离地面米，即甲乙二人不同时出发，故此说法正确，符合题意； （3）由图象可得甲出发1分钟时，距离地面米， ∴甲在出发2分钟内的登山速度为米/分， 又∵已知甲在出发2分钟后将速度提升为原来的3倍并一路登顶， ∴甲在出发2分钟后的登山速度为米/分， （分钟）， （分钟）， ∴甲登顶的时间为自己出发后7分钟，故此说法正确，符合题意； （4）由图象可得乙的登山速度为米/分 ∴乙的登山时间为（分），即乙出发42.5分钟后登顶，故此说法正确，符合题意； （5）设直线的函数解析式为，把，代入， ，解得， ∴直线的函数解析式为， 设直线的函数解析式为，把，代入， ，解得， ∴直线的函数解析式为， 联立方程组，解得 ∴甲出发5分钟后追上乙，故此说法正确，符合题意， 正确的有5个， 故选：A． 【点睛】本题主要考查一次函数的应用，用待定系数法求一次函数关系式，并会用一次函数研究实际问题，关键是准确识图． 二、填空题（12小题，每小题2分，共24分） 7．（23-24八年级下·上海·阶段练习）方程的根是 . 【答案】 【分析】本题主要考查高次方程，由可得，即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴， 解得：， 故答案为：． 8．（23-24八年级下·上海崇明·期末）已知一个凸多边形的每个内角都是，那么它的边数为 ． 【答案】6 【分析】本题考查了多边形的内角与外角，熟知：多边形的内角和为是解题的关键． 设凸多边形的边数为，根据题意得，，即可求出边数． 【详解】解：设凸多边形的边数为， 根据题意得，， 解得， 故答案为：6． 9．（22-23八年级下·上海·阶段练习）写出一个二元二次方程组，使它的的解是和 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据方程组的解可得，，则可写出满足条件的一个方程组为（答案不唯一）． 【详解】解：方程组的解为和， ，， 方程组可以是， 故答案为：（答案不唯一）． 【点睛】本题考查了高次方程组，能熟记二元二次方程组的定义是解此题的关键，方程组中共含有两个不同的未知数，并且所含未知数的项的最高次数是2的整式方程组，叫二元二次方程组． 10．（23-24八年级下·上海崇明·期末）已知方程，如果设，那么原方程转化为关于y的整式方程为 ． 【答案】 【分析】本题考查换元法解分式方程，换元法是解分式方程的常用方法，必须熟练掌握． 结合已知条件换元后再去分母即可． 【详解】解：，则， 原方程化为：， 去分母得：， 即， 故答案为：． 11．（22-23八年级下·上海浦东新·阶段练习）请你设计一个关于的二项方程，使其同时满足以下条件：①该方程为6次方程；②最高次项的系数为5；③在实数范围内有解，则这个方程可以是 ．（只需写出一个） 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据题意，写出方程，即可求解． 【详解】解：根据题意得：这个方程可以是． 故答案为：（答案不唯一） 【点睛】本题主要考查了二项方程，根据题意，写出方程是解题的关键． 12．（23-24八年级下·上海徐汇·期中）在矩形中，对角线、相交于点O，，厘米，则对角线 厘米． 【答案】10 【分析】本题考查矩形的性质和等边三角形性质和判定，掌握矩形的性质和等边三角形性质和判定是解题关键．根据矩形性质得出，，，得出三角形为等边三角形，推出，根据厘米，求出结果即可． 【详解】解：如图： 四边形是矩形， ，，， ， ， 为等边三角形， ∴， ∴， ∵厘米， ∴厘米， ∴厘米， ∴厘米． 故答案为：10． 13．（23-24八年级下·上海崇明·期末）一个不透明的箱子里放着分别标有数字1，2，3，4，5的五个球，它们除了数字不同外其余都相同，从这个箱子里随机摸出一个球，摸出的球上所标数字为偶数的概率为 ． 【答案】 【分析】此题考查了概率公式．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 用偶数的个数除以数据的总个数即可求得答案． 【详解】解：∵一个不透明的箱子里放着分别标有数字1，2，3，4，5的五个球， ∴从这个箱子里随机摸出一个球，一共有5种可能性，其中摸出的球上所标数字为偶数的有2种可能性， ∴摸出的球上所标数字为偶数的概率为． 故答案为：． 14．（2023八年级下·上海·专题练习）甲、乙两人玩游戏，各从卡片中任意摸取一张，如果两数积是偶数，甲获胜；否则乙获胜．按这种玩法， 获胜的可能性大． 【答案】甲 【分析】本题主要考查可能性的大小，解题的关键是掌握可能性大小的概念．2、3、4、5的乘积的可能的情况有6种：6、8、10、12、15、20，其中偶数有5个，奇数有1个，因为偶数的数量多于奇数的数量，据此可得答案． 【详解】解：根据题意可得： 2、3、4、5的乘积的可能的情况有6种：6、8、10、12、15、20，其中偶数有5个，奇数有1个， 因为偶数的数量多于奇数的数量， 所以甲获胜的可能性大； 故答案为：甲． 15．（23-24八年级下·上海嘉定·期末）新定义：在平面直角坐标系中，到坐标轴的距离相等的点称为“等距离点”．例如：、都是等距离点．请写出直线上的等距离点 （写出一个即可）． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查新定义、点到坐标轴的距离、求一次函数自变量或函数值，取x值求一次函数图形上点的坐标，再根据新定义进行判断即可． 【详解】解：把代入得，， ∵点到坐标轴的距离是， ∴点是直线上的等距离点， 故答案为：（答案不唯一）． 【点睛】本题考查新定义、点到坐标轴的距离、求一次函数自变量或函数值，理解新定义，求一次函数图象上点的坐标是解题的关键． 16．（23-24八年级下·上海宝山·期末）随着绿色发展理念的倡导，新能源汽车逐渐普及，市民对充电桩的使用需求日益增强，某停车场计划购买A、B两种型号的充电桩，已知B型充电桩比A型充电桩的单价多0.4万元，且用10万元购买A型充电桩与用12万元购买B型充电桩的数量相等．设A型充电桩的单价是x万元，那么根据题意可列方程 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． 根据“10万元购买A型充电桩与用12万元购买B型充电桩的数量相等”列方程即可． 【详解】解：设A型充电桩的单价是x万元，则B型充电桩的单价为万元， 根据题意得， 故答案为：． 17．（23-24八年级下·上海奉贤·期末）如图，一次函数与的图像相交于点P，那么 ． 【答案】5 【分析】本题考查一次函数与反比例函数的交点，待定系数法求反比例函数的解析式．由图象得出交点纵坐标是5是解题的关键． 由图象可得交点P的纵坐标为5，代入一次函数，求得点P坐标，再把点P坐标代入反比例函数求解即可． 【详解】解：对于一次函数， 当时，则， 解得：， ∴， 把代入，得， 故答案为：5． 18．（22-23八年级下·上海浦东新·期末）如果购买某一种水果所付金额y（元）与购买数量x（千克）之间的函数图象由线段与射线组成（如图所示），那么购买3千克这种水果需要付 元． 【答案】56 【分析】本题考查了一次函数的实际应用，解题的关键是熟练掌握用待定系数法求函数解析式的方法和步骤，先求出的函数解析式为，再求出时的函数值，即可解答． 【详解】解：设的函数解析式为， 将代入得：， 解得：， ∴的函数解析式为， 当时，， ∴购买3千克这种水果需要付56元， 故答案为：56． 三、解答题（7小题，共64分） 19．（23-24八年级下·上海闵行·期末）解方程：． 【答案】 【分析】本题考查解分式方程和解一元二次方程，熟练掌握解分式方程和解一元二次方程的方法是解题的关键．根据解分式方程的步骤化简，再解一元二次方程，注意要验根． 【详解】解：， 去分母，得：， 去括号，得：， 移项，得：， 因式分解，得， 解得：，， ∵，且， ∴或， ∴． 20．（2024八年级下·上海·专题练习）如图，已知在的边上取一点，使，边上取一点，使．连接、． 求证：四边形是平行四边形． 【答案】见解析 【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质，熟练掌握平行四边形的判定和性质定理是解题的关键．根据平行四边形的性质，得出，，进而得到，即可得到结论． 【详解】证明：四边形是平行四边形， ，，， ，， ， ， ， 四边形是平行四边形． 21．（2024·上海·模拟预测）某品牌新能源汽车原厂年销售总额为万元，年销售总额为万元，年每辆车的销售价格比年降低万元，年销售量是年销售量的倍 (1)求年每辆车的销售价格 (2)若年某汽车专卖店从该新能源汽车原厂进购辆车，每售出一辆车要交税万元，则为使售完辆车后所得利润超过成本一半，定价至少要高于多少元？ 【答案】(1)万元 (2)万元 【分析】本题考查分式方程，一元一次不等式，正确解分式方程，解一元一次不等式是解题的关键； （1）根据题中的等量关系建立分式方程，解方程即可； （2）根据题意列不等式，解不等式即可． 【详解】（1）根据题意，设年每辆车的销售价格为万元，列方程可得： ； 解得： 答：年每辆车的销售价格为万元． （2）解：设定价至少要万元；根据题意列不等式， 解得：， 答：为使售完辆车后所得利润超过成本一半，定价至少要高于万元． 22．（2023八年级下·上海·专题练习）一次抽奖活动设置如下的翻奖牌，翻奖牌的正面、背面如下，如果你只能在9个数字中选择一个数字翻牌，请解决下面的问题： (1)直接写出翻牌得到“手机”奖品的可能性的是__________； (2)请你根据题意设计翻奖牌反面的奖品，包含（手机、微波炉、球拍、电影票，谢谢参与）使得最后抽到“电影票”的可能性大小是． 【答案】(1)抽到“手机”奖品的可能性是： (2)见解析 【分析】（1）一共有9张牌，其中2张手机的牌，再根据公式计算； （2）根据可能性的大小，保证“电影票”有4张即可，设计九张牌中有四张写着电影票，其它的五张牌中手机、微波炉、球拍各一张，谢谢参与两张，答案不唯一． 【详解】（1）由题意可知一共有9张牌，其中“手机”有2张，则抽到“手机”奖品的可能性是：； （2）设计九张牌中有四张写着电影票，其它的五张牌中手机、微波炉、球拍各一张，谢谢参与两张，答案不唯一． 如图所示， 23．（22-23八年级下·上海浦东新·期末）如图，在梯形中，，，点是的中点．    (1)填空：______，______； (2)如果把图中的线段都画成有向线段，那么在这些有向线段所表示的向量中，与平行的向量共有______个； (3)求作：．（不写作法，保留作图痕迹，写出结果） 【答案】(1)； (2) (3)图形见解析 【分析】（1）根据平行四边形的性质，向量的运算，即可； （2）根据平行向量的意义求解； （3）根据三角形的作图，即可． 【详解】（1）∵点是的中点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴，， 故答案为：；． （2）与平行的向量有：，，，，，，共个， 故答案为：． （3）以点为圆心，长为半径，延长，连接， ∴， ∴． 图形见下：    【点睛】本题考查向量，平行四边形的知识，解题的关键是掌握平行向量的性质，平行四边形的性质． 24．（23-24八年级下·上海·期末）小杰、小明两人在一段笔直的滨江步道上同起点、同终点、同方向匀速步行 米，先到终点的人原地休息．已知小杰先出发分钟，在整个步行过程中，小杰、小明两人间的距离（米）与小杰出发的时间（分）之间的关系如图中折线 所示． (1)求线段的表达式，并写出自变量的取值范围； (2)求小明的步行速度； (3)求小明比小杰早几分钟到达终点? 【答案】(1) (2)小明的步行速度为米/分 (3)小明比小杰早分钟到达终点 【分析】本题考查了一次函数的应用； （1）根据图示，设线段的表达式为：，把，代入得到关于，的二元一次方程组，解之，即可得到答案， （2）根据线段，求出甲的速度，根据图示可知：乙在点处追上甲，根据速度路程时间，计算求值即可， （3）根据图示，求出二者相遇时与出发点的距离，进而求出与终点的距离，结合（2）的结果，分别计算出相遇后，到达终点二者所用的时间，二者的时间差即可所求答案． 【详解】（1）设线段的表达式为： ， 把，代入得： ，解得：， 即线段的表达式为： ， （2）由线段可知：小杰的速度为：(米/分)， 小明的步行速度为：(米/分)， 答：小明的步行速度为米/分， （3）在处小杰、小明相遇时，与出发点的距离为：米)， 与终点的距离为：(米)， 相遇后，到达终点小杰所用的时间为：(分)， 相遇后，到达终点小明所用的时间为：(分)， (分)， 答：小明比小杰早分钟到达终点． 25．（23-24八年级下·上海静安·期末）问题：已知矩形的长和宽分别为12和2，是否存在一个新矩形，使其周长和面积都为原矩形的一半？ 在学习函数的知识后，小丽发现可利用函数知识，借助图像，成功解决这一问题．过程如下： 第一步：建立函数模型 设新矩形的长和宽分别为x和y， (1)假如只考虑新矩形周长为原矩形周长的一半，不考虑面积，那么y关于x的函数解析式是_______①，它的定义域是_______； (2)假如只考虑新矩形面积为原矩形面积的一半，不考虑周长，那么y关于x的函数解析式是_______②，它的定义域是_______； 第二步：画出函数图像 (3)在所给的直角坐标平面内画出符合题意的函数①和函数②的大致图像． 第三步：同时考虑新矩形的面积和周长都为原矩形的一半，观察图像，解决问题 (4)这两个函数图像在第一象限内有_______个公共点；请解释公共点的意义． (5)如果存在这样的新矩形，直接写出新矩形的长和宽；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)； (3)图象见解析；当新矩形的长为4，宽为3或矩形的长为4，宽为3时，新矩形的周长是原来的一半，面积是原来的一半 (4)两；见解析 (5)存在；新矩形的长为4，宽为3或矩形的长为3，宽为4 【分析】（1）根据矩形的周长公式写出函数解析式，然后写出定义域即可； （2）根据矩形的面积公式写出函数解析式，然后写出定义域即可； （3）根据反比例函数图象和一次函数图象的画法画出函数图象，得出结果即可； （4）根据图象得出答案即可； （5）根据函数图象得出答案即可． 【详解】（1）解：先长方形的周长为：， 只考虑新矩形周长为原矩形周长的一半，不考虑面积，那么y关于x的函数解析式是：，定义域为； （2）解：新长方形的面积为： 只考虑新矩形面积为原矩形面积的一半，不考虑周长，那么y关于x的函数解析式是，它的定义域是； （3）解：列表： … 2 3 4 6 … … 5 4 3 1 … … 6 4 3 2 … 描点，连线，如图所示： 观察图象可知：当新矩形的长为4，宽为3或矩形的长为4，宽为3时，新矩形的周长是原来的一半，面积是原来的一半． （4）解：这两个函数图象在第一象限内有两个公共点，这两个公共点的横纵坐标正好是既符合矩形的周长为原来的一半，又符合矩形的面积是原来一半时，矩形的长和宽； （5）解：存在；新矩形的长为4，宽为3或矩形的长为3，宽为4． 【点睛】本题主要考查了求一次函数解析，反比例函数解析，画一次函数和反比例函数图象，一次函数和反比例函数的交点问题，解题的关键是数形结合． 学科网（北京）股份有限公司 $$