2.1 直线的斜率（教学课件）数学湘教版2019选择性必修第一册

湘教版2019高一数学（选修一） 第二章 平面解析几何初步 2.1 直线的斜率 目录/CONTENTS 新知探究 情景导入 学习目标 课堂小结 随堂检测 错因分析 学习目标 1.了解直线的斜率和倾斜角的概念.(重点) 2.理解直线倾斜角的唯一性及直线斜率的存在性. 3.了解斜率公式的推导过程，会应用斜率公式求直线的斜率.(重点) 情景导入 在平面中，我们如何才能确定一条直线？ 两点可以确定一条直线. 在平面直角坐标系中，若规定水平直线的方向向右，其他直线向上的方向为这条直线的方向，图中过点P的直线有什么区别？ 情景导入 我们可以发现直线的方向不同， 相对于x轴的倾斜程度也不同. O P x y l₃ l₂ l₁ 1.直线的倾斜角 新知探究 在平面直角坐标系中，点用坐标表示，直线则应该用直线上所有点的坐标共同满足的关系来表示． 为了用代数方法研究直线的几何性质，本节首先探索确定直线位置的几何要素，然后用代数语言把这些几何要素表示出来． 我们知道，在平面上两点确定一条直线， 一个已知点却不能确定一条直线． 如右图，过已知点 P可以画无数条直线． 这些直线的区别在哪里呢? 容易发现，这些直线的方向不同，也就是倾斜程度不同．只要能想出办法刻画直线的倾斜程度，就可以用倾斜程度来刻画直线的方向． O P l₃ l₂ 当直线 l 与 x 轴相交时，我们把 x 轴正向绕交点逆时针旋转到与直线 l 向上方向首次重合所成的角 α 叫作直线 l 的倾斜角． 建立平面直角坐标系时，把 x 轴摆放在水平方向上，直线 l 偏离 x 轴所成的角 α 就可以刻画直线的倾斜程度． 如图(2)，直线 l 的倾斜角是锐角；如图(4)，直线 l 的倾斜角是钝角． 如图(3)，当直线 l 与 x 轴垂直时，规定倾斜角 α = π/2 （直角）； 如图(1)，当直线 l 与 x 轴平行或重合时，规定倾斜角 α = 0． 因此，倾斜角的取值范围是 0 ≤ α < π． p o y x (1)0°角 p o y x (2)锐角 p o y x (3)直角 y p o x (4)钝角 平面直角坐标系内的每一条直线都有一个确定的倾斜角α， 而且倾斜程度相同的直线，其倾斜角相等，倾斜程度不同的直线，其倾斜角不相等． 因此，我们可以用倾斜角α表示平面直角坐标系内一条直线的倾斜程度，以刻画直线的方向，再结合直线上的一个定点，就可以唯一确定这条直线了． p o y x (1)0°角 p o y x (2)锐角 p o y x (3)直角 y p o x (4)钝角 1.(1)(多选)下列命题中，正确的是( ) A.任意一条直线都有唯一的倾斜角 B.一条直线的倾斜角可以为－30° C.倾斜角为0°的直线有无数条 D.若直线的倾斜角为α，则sin α∈(0,1) 任意一条直线都有唯一的倾斜角，倾斜角不可能为负，倾斜角为0°的直线有无数条，它们都垂直于y轴，因此A正确，B错误，C正确. D中，当α＝0°时，sin α＝0；当α＝90°时，sin α＝1，故D错误. 典例剖析 AC 11 (2)(多选)设直线l过坐标原点，它的倾斜角为α，如果将l绕坐标原点按逆时针方向旋转45°，得到直线l1，那么l1的倾斜角可能为（ ） A.α＋45° B.α－135° C.135°－α D.α－45° 根据题意，画出图形，如图所示. 通过图象可知， 当0°≤α<135°时，l1的倾斜角为α＋45°； 当135°≤α<180°时，l1的倾斜角为45°＋α－180°＝α－135°. 典例剖析 AB 12 方法归纳： (1)直线的倾斜角主要根据定义来求， 其关键是根据题意画出图形，找准倾斜角， 有时要根据情况分类讨论. (2)注意倾斜角的范围. 概念归纳 13 (1)已知直线l向上方向与y轴正向所成的角为30°，则直线l的倾斜角为___________. 60°或120° 练一练 (2)如图，已知直线l1的倾斜角α1＝15°，直线l1与l2的交点为A，直线l1和l2向上的方向所成的角为120°，则直线l2的倾斜角为_____. 135° 14 归纳总结 1.直线倾斜角的定义 当直线l与x轴相交时，我们把x轴正向绕交点_______旋转到与直线l向上方向首次重合所成的角α叫作直线l的倾斜角. 2.直线倾斜角的取值范围 倾斜角的取值范围是_________，当直线l与x轴平行或重合时，规定倾斜角α＝____. 逆时针 0 0≤α<π 注意点： (1)从运动变化的观点来看，当直线l与x轴相交时，直线l的倾斜角是由x轴绕直线l与x轴的交点按逆时针方向旋转到与直线l重合时所得到的最小正角. (2)倾斜角从“形”的方面直观地体现了直线对x轴正向的倾斜程度. (3)直线的倾斜角α的取值范围为0°≤α<180°. 归纳总结 16 2.直线的斜率 新知探究 在实际生活中，我们经常用“坡度”来描述一段道路相对于水平方向的倾斜程度． 如下图所示，沿着这条道路从A点前进到B点，设在水平方向向右前进的距离为AD，竖直方向上升的高度为DB （如果是下降，则DB的值为负实数），则 水平距离：x2－x1 水平距离 y2－y1 坡度 k > 0表示这段道路是上坡. k = 0表示是平路， k < 0表示是下坡， | k |越大说明坡越陡． 水平距离：x2－x1 水平距离 y2－y1 直线的斜率： 一条直线的倾斜角 α（ ）的正切值 k 称为这条直线的斜率， 即 k =tan α ． 例如，当直线的倾斜角 时，斜率 ； 当直线的倾斜角 时，斜率 ； 倾斜角 的直线没有斜率． 倾斜角 的直线都有斜率．倾斜角不同，直线的斜率也不同． 因此，可以用斜率来表示直线的倾斜程度． 下面，我们来探索如何由直线上两点的坐标计算直线的斜率． 设直线l不垂直于x 轴． 已知直线l上任意两个不同点A(x1，y1)，B (x2，y2)，求直线 l 的斜率． 设直线l 的倾斜角为 α ． 如图 ，从原点O出发作有向线段 OP 表示向量 AB = (x2－x1，y2－y1)， 则OP 与直线 l 平行或位于直线 l 上， 有相同的倾斜角，即∠xOP = α． 上式即为经过两个不同点A(x1，y1)，B (x2，y2)，（x1≠x2）的直线的斜率公式． 由OP =AB = (x2－x1，y2－y1)，得 斜率公式 概念归纳 例 1　如图，已知三点A(2,1)，B(5,2)，C(4,3). (1)求直线AB，BC，CA的斜率； 课本例题 22 例 1　如图，已知三点A(2,1)，B(5,2)，C(4,3). (2)求直线BC，CA的倾斜角. 设直线BC的倾斜角为α. 设直线CA的倾斜角为β. 23 例 2 在平面直角坐标系中，画出经过点A(2，0)，且斜率分别为 2 与－2的直线 l1，l2． 分析：要画出过点A(2，0)且斜率为 2（或－2）的直线，只需再确定直线 上异于点 A 的另一个点的位置（即坐标）． 解：设直线 l1 上另一点 B的坐标为(x1，y1)， 根据斜率公式有 即y1=2(x1－2)．不妨取x1=0，则y1=－4， 于是得点B的坐标为(0，－4) 过点A(2，0)及点B(0，－4)作直线即为l1，如图． 24 例 2 在平面直角坐标系中，画出经过点A(2，0)，且斜率分别为 2 与－2的直线 l1，l2． 同样地，设直线 l2 上另一点C的坐标为(x2，y2)， 根据斜率公式有 即y2=－2(x2－2)．不妨取x2=0，则y2=4， 于是得点C的坐标为(0，4) 过点A(2，0)及点C(0，4)作直线即为l2，如图． 25 例 3　设一次函数y＝kx＋b的图象为直线l，求l的斜率. 任取x1≠x2，则A(x1，kx1＋b)，B(x2，kx2＋b)是直线l上两个不同的点. 课本例题 26 如图，对照一次函数，y = kx＋b的图象，可以得到∶ 当斜率k >0，倾斜角α是锐角，直线从左到右上升， 因变量增量 y2－y1 与自变量增量x2－x1同号，一次函数是增函数． 当斜率k < 0，倾斜角α是钝角，直线从左到右下降， 因变量增量 y2－y1与自变量增量x2－x1异号，一次函数是减函数． 2.(1)经过下列两点的直线的斜率是否存在？ 如果存在，求其斜率，并确定直线的倾斜角. ①A(2,3)，B(4,5)； 则直线AB的倾斜角α满足tan α＝1， 又0°≤α<180°， 所以倾斜角α＝45°. 典例剖析 28 则直线CD的倾斜角α满足tan α＝－1， 又0°≤α<180°， 所以倾斜角α＝135°. 2.(1)经过下列两点的直线的斜率是否存在？ 如果存在，求其斜率，并确定直线的倾斜角. ②C(－2,3)，D(2，－1)； 29 2.(1)经过下列两点的直线的斜率是否存在？ 如果存在，求其斜率，并确定直线的倾斜角. ③P(－3,1)，Q(－3,10). 不存在.因为xP＝xQ＝－3， 所以直线PQ的斜率不存在，倾斜角α＝90°. (2)求经过两点A(a,2)，B(3,6)的直线的斜率. 当a＝3时，直线的斜率不存在； 30 概念归纳 求直线的斜率的两种方法 (1)利用定义：已知直线的倾斜角为α，且α≠90°，则k＝tan α. (1)若直线的倾斜角为120°，则直线的斜率为_______. (2)若过点P(－2，m)，Q(m,4)的直线的斜率为1，则m的值为_____. 1 练一练 32 1.斜率的定义 tan α 2.斜率公式 经过两个不同点A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为k＝______. 归纳总结 33 注意点： (1)当x1＝x2时，直线的斜率不存在，倾斜角为90°. (2)斜率公式中k的值与P1，P2两点在该直线上的位置无关. (3)斜率公式中两纵坐标和两横坐标在公式中的顺序可以同时调换. (4)若直线与x轴平行或重合，则k＝0. 归纳总结 34 3.倾斜角和斜率的应用 新知探究 解：（方法二）因为 即kAB = kAC， 所以A，B，C三点共线． 判断A(－2，3)，B(3，2)，C(8，1)三点是否共线． 解：（方法一）可用向量是否共线进行判断． 随着倾斜角大小变化，斜率如何变化？ 我们先来观察当倾斜角取到这些特殊角的斜率： 36 斜率是关于倾斜角的正切函数（k = tanα） k a O 当倾斜角α为零时，斜率k = 0； 当倾斜角α为锐角时，斜率k > 0，且斜率随着倾斜角的增大而增大； 当倾斜角α为钝角时，斜率k < 0，且斜率随着倾斜角的增大而增大． 37 角度 1　三点共线问题 典例剖析 38 由于A，B，C三点所在直线不可能垂直于x轴，因此可设直线AB，BC的斜率分别为kAB，kBC， ∵点A，B，C在同一条直线上，∴kAB＝kBC. 39 4.已知两点A(－3,4)，B(3,2)，过点P(1,0)的直线l与线段AB有公共点. (1)求直线l的斜率k的取值范围； 要使直线l与线段AB有公共点，则直线l的斜率k的取值范围是(－∞，－1]∪[1，＋∞). 角度 2　求取值范围问题 典例剖析 40 (2)求直线l的倾斜角α的取值范围. 由题意可知直线l的倾斜角介于直线PB与PA的倾斜角之间， 又PB的倾斜角是45°，PA的倾斜角是135°， 所以α的取值范围是45°≤α≤135°. 41 (1)用斜率公式解决三点共线问题时，首先要估测三点中是否任意两点的连线垂直于x轴. 当任意两点的连线垂直于x轴，且过同一点时，三点共线. 否则，直线的斜率存在，只要证明过同一点的两直线的斜率相等即可. (2)①由倾斜角(或范围)求斜率(或范围)利用定义式k＝tan α(α≠90°)解决. ②涉及直线与线段有交点问题常数形结合并利用公式求解. 概念归纳 42 3.已知A(3,3)，B(－4,2)，C(0，－2). (1)求直线AB和AC的斜率； 练一练 43 (2)当点D在线段BC(包括端点)上移动时，求直线AD的斜率的变化范围. 44 设直线的倾斜角为α，斜率为k. α的大小 0° 0°<α<90° 90° 90°<α<180° k的范围 k＝0 _____ 不存在 _____ k的增减性   随α的增大而_____   随α的增大而_____ k>0 k<0 增大 增大 归纳总结 45 随堂练 1.(多选)下列说法正确的是（ ） A.若α是直线l的倾斜角，则0°≤α<180° B.若k是直线的斜率，则k∈R C.任意一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率 D.任意一条直线都有斜率，但不一定有倾斜角 2.若经过A(m,3)，B(1,2)两点的直线的倾斜角为45°，则m等于（ ） A.2 　　　　B.1 　　　　C.－1 　　　　D.－2 ABC A 3.已知A(－1，－2)，B(2,1)，C(x,2)三点共线，则x＝____， 直线AB的倾斜角为____. 3 随堂练 4.经过A(m,3)，B(1,2)两点的直线的倾斜角α的取值范围 是_____________.(其中m≥1) 0°<α≤90° 错因分析 易错辨析　忽略直线的斜率不存在致误 例4　已知直线l经过两点A(2，－1)，B(t，4)，则直线l的斜率为______________． 不存在或 解析：当t＝2时，直线l与x轴垂直，所以直线l的斜率不存在； 当t≠2时，直线l的斜率k＝＝. 综上所述，当t＝2时，直线l的斜率不存在； 当t≠2时，直线l的斜率k＝. 错因分析 出错原因： 漏掉了t＝2的情况． 纠错心得: 在利用斜率公式求直线的斜率时， 一定要注意两点横坐标相等的情况． 分层练习-基础 1.直线x＝1的倾斜角是（ ） A.0° B.45° C.90° D.不存在 2.下面选项中，两点确定的直线的斜率不存在的是（ ） A.(4,2)与(－4,1) B.(0,3)与(3,0) C.(3，－1)与(2，－1) D.(－2,2)与(－2,5) C D 50 3.(多选)已知直线斜率的绝对值为 ，则直线的倾斜角可以为（ ） A.30° B.60° C.120° D.150° 分层练习-基础 4.已知点 则直线AB的倾斜角θ是（ ） A.60° B.30° C.120° D.150° BC B 分层练习-基础 6.如图，若直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，则（ ） A.k1＜k3＜k2 B.k3＜k1＜k2 C.k1＜k2＜k3 D.k3＜k2＜k1 C A 7.斜率为2的直线过(3,5)，(a,7)，(－1，b)三点，则a＋b＝____. 1 分层练习-基础 8.已知点A(2，－1)，若在坐标轴上存在一点P，使直线PA的倾斜角为45°，则点P的坐标为_______________. (3,0)或(0，－3) 9.已知直线l经过两点A(－1，m)，B(m,1)，问：当m取何值时： (1)直线l与x轴平行？ （1）若直线l与x轴平行， ∴m＝1. 分层练习-基础 (2)直线l与y轴平行？ （2）若直线l与y轴平行， 则直线l的斜率不存在， ∴m＝－1. 9.已知直线l经过两点A(－1，m)，B(m,1)，问：当m取何值时： (3)直线的倾斜角为45°？ (4)直线的倾斜角为锐角？ （3）由题意可知，直线l的斜率k＝1， （4）由题意可知，直线l的斜率k>0， 解得－1<m<1. 分层练习-基础 10.如图所示，菱形OBCD的顶点O与坐标原点重合，OB边在x轴的正半轴上，已知∠BOD＝60°，求菱形OBCD各边和两条对角线所在直线的倾斜角和斜率. 分层练习-基础 在菱形OBCD中，OD∥BC，∠BOD＝60°， 所以直线OD，BC的倾斜角相等，都为60°， 因为CD∥OB，且OB在x轴上， 所以直线OB，CD的倾斜角相等，都为0°， 所以kOB＝kCD＝0， 由菱形的性质，知∠COB＝30°，∠OBD＝60°， 所以直线OC，BD的倾斜角分别为30°，120°， 11.直线l过点A(1,2)，且不过第四象限，则直线l的斜率的取值范围 是（ ） 分层练习-巩固 12.已知点A(2,3)，B(－3，－2)，若直线l过点P(1,1)，且与线段AB始终没有交点，则直线l的斜率k的取值范围是（ ） A A 分层练习-巩固 13.若经过点A(1－t,1＋t)和点B(3,2t)的直线的倾斜角为钝角，则实数t的取值范围是________. (－2,1) 14.若A(2,2)，B(a,0)，C(0，b)(ab≠0)三点共线，则 ＝_____. 分层练习-拓展 B 16.(1)已知一条光线从点A(－1,3)射向x轴，经过x轴上的点P反射后通过点B(3,1)，求点P的坐标； 设P(x,0)，直线PA，PB的斜率分别为kPA，kPB， 由题意可知，kPA＝－kPB， 解得x＝2，即P(2,0). 分层练习-拓展 (2)已知一条光线从点A(2,1)射到y轴上的点Q，经y轴反射后过点B(4,3)，求点Q的坐标及入射光线的斜率. 设Q(0，y)，直线QA，QB的斜率分别为kQA，kQB， 分层练习-拓展 课堂小结 1.知识清单： (1)直线的倾斜角及其范围. (2)直线斜率的定义和斜率公式. 2.方法归纳：数形结合法. 3.常见误区：忽视倾斜角范围，图形理解不清. 直线BC的斜率kBC＝＝－1； 直线AB的斜率kAB＝＝； 直线CA的斜率kCA＝＝1. 由tan α＝kBC＝－1，可知倾斜角α＝. 由tan β＝kCA＝1，可知倾斜角β＝. 由直线斜率公式可知，l的斜率为＝＝k. 存在.直线AB的斜率kAB＝＝1， 存在.直线CD的斜率kCD＝＝－1， 当a≠3时，直线的斜率k＝. (2)利用斜率公式：k＝(x1≠x2). － 一条直线的倾斜角α的正切值k称为这条直线的斜率，即k＝______.倾斜角是的直线没有斜率，倾斜角α≠的直线都有斜率.   3.如果A，B(4，－1)，C(－4，－m)三点在同一条直线上，试确定常数m的值. 由斜率公式，得kAB＝＝，kBC＝＝. ∴＝，即m2－3m－12＝0， 解得m1＝，m2＝. ∴m的值是或. 如图，由题意可知kPA＝＝－1，kPB＝＝1， 由斜率公式可得直线AB的斜率kAB＝＝. 直线AC的斜率kAC＝＝. 故直线AB的斜率为，直线AC的斜率为. 如图所示，当D由B运动到C时，直线AD的斜率由kAB增大到kAC，所以直线AD的斜率的变化范围是.  A(，1)，B(3，3)， 5.若某直线的斜率k∈(－∞，]，则该直线的倾斜角α的取值范围 是（ ） A. 　　　B. 　　　C.∪ 　　　D. 则直线l的斜率k＝＝0， 即＝1，解得m＝0. 即>0， 所以kOD＝kBC＝tan 60°＝. 所以kOC＝tan 30°＝，kBD＝tan 120°＝－. A.[0,2] 　　　B.[0,1] 　　　C. 　　　D. A. B. C. D.{k|k<2} ＋ 15.已知函数f(x)＝log2(x＋1)，若a>b>c>0，则 ，，的大小关系 为（ ） A.< < B.< < C.< < D.< < 则kPA＝＝－，kPB＝＝， 即－＝－， 则由题意知，kQA＝，kQB＝， ∴＝－，可得y＝， 即点Q的坐标为， 入射光线的斜率为kQA＝＝－. $$