1.3 两条直线的平行与垂直（4种题型基础练+能力提升练）-【上好课】2024-2025学年高二数学同步精品课堂（苏教版2019选择性必修第一册）

1.3 两条直线的平行与垂直（4种题型基础练+能力提升练） 一．两条直线平行与倾斜角、斜率的关系（共6小题） 1．（2023秋•天宁区校级期末）若直线与平行，则的值为　　 A． B．或 C． D． 2．（2022秋•连云区校级月考）顺次连接、、、，所组成的图形是　　 A．平行四边形 B．直角梯形 C．等腰梯形 D．以上都不对 3．（2022秋•淮安区校级月考）若方程表示平行于轴的直线，则的值是　　 A． B． C．， D．1 4．（2022秋•大丰区校级月考）“”是“直线与直线平行”的　　 A．充要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 5．（2022秋•常熟市校级月考）若直线与直线平行，则的值为　　 A． B．1 C．2或 D．2 6．（2022秋•常熟市校级月考）直线，，若，则　　． 二．两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系（共4小题） 7．（2021秋•盐都区校级期中）已知直线与互相垂直，其垂足为，则的值为　　 A．4 B． C．0 D．20 8．（2021秋•苏州期中）已知直线与直线垂直，则的值为　　 A． B． C．1 D．1或 9．（2022秋•泗阳县校级月考）已知等腰直角三角形的直角顶点为，点的坐标为，则点的坐标为　　 A． B． C． D． 10．（2022秋•连云港期中）已知点，，若线段的垂直平分线的方程是，则实数的值是　　 A． B． C．3 D．1 三．直线的一般式方程与直线的平行关系（共7小题） 11．（2023秋•南京期末）若直线与直线平行，则实数的值为　　 A．0 B．1 C． D． 12．（2023秋•徐州期末）若直线与直线平行，则实数的值为 　　． 13．（2023秋•连云港期末）若两条直线和平行，则实数的值为　　 A．1 B． C． D． 14．（2022秋•广陵区校级月考）已知直线与直线互相平行，则实数的值为　　 A． B．2或 C．2 D． 15．（2022秋•海陵区校级月考）若直线与互相平行，则的值是　　 A． B．2 C．或2 D．3或 16．（2023秋•盐城月考）过点且与直线平行的直线方程是　　 A． B． C． D． 17．（2023秋•常州月考）设，则“直线与直线平行”是“”的　　 A．充分不必要条件 B．充要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 四．直线的一般式方程与直线的垂直关系（共6小题） 18．（2023秋•玄武区校级期末）在平面直角坐标系中，若直线与直线互相垂直，则实数的值是　　 A． B． C． D．3 19．（2023秋•宿迁月考）已知直线的倾斜角为，直线经过，两点，且直线与垂直，则实数的值为　　 A． B． C． D． 20．（2023•清江浦区校级开学）直线，，则“或”是“”的　　 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 21．（2023秋•扬州期末）已知，为两条不重合的直线，则下列说法中正确的有　　 A．若，斜率相等，则，平行 B．若，平行，则，的斜率相等 C．若，的斜率乘积等于，则，垂直 D．若，垂直，则，的斜率乘积等于 22．（2023秋•鼓楼区校级期末）已知直线与垂直，则的值是 　　． 23．（2022秋•滨海县期中）已知直线和直线． （1）若时，求的值； （2）当平行，求两直线，的距离． 一．选择题（共6小题） 1．（2023秋•东台市期末）已知直线与直线互相垂直，则为　　 A． B．1 C． D．2 2．（2023秋•屏山县期末）设，则“”是“直线 与直线平行”的　　 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．（2023秋•泗阳县期中）直线，，若，则实数的值为　　 A． B．1 C．或1 D． 4．（2023秋•连云港期中）直线与直线平行，则实数的值为　　 A． B． C．2 D．2或 5．（2023秋•连云区校级月考）设为实数，若直线垂直于直线，则　　 A．0或 B．0 C． D．3 6．（2023•秦淮区校级开学）若直线与直线平行，则的值为　　 A．1 B．1或 C． D．0 二．多选题（共3小题） 7．（2023秋•盐城期末）下列结论正确的是　　 A．，若，则或 B．直线和以，为端点的线段相交，则或 C．直线与直线之间的距离是 D．与点的距离为1，且与点的距离为4的直线共有3条 8．（2023秋•海安市校级期中）已知直线，为坐标原点，则　　 A．直线的倾斜角为 B．若到直线的距离为1，则 C．过且与直线平行的直线方程为 D．过且与直线垂直的直线方程为 9．（2023秋•连云区校级期中）已知直线，，则　　 A．若，则 B．若，则 C．若与坐标轴围成的三角形面积为1，则 D．当时，不经过第一象限 三．填空题（共7小题） 10．（2023秋•淮安期末）直线过点且与直线平行，则直线与，轴围成的三角形面积为 　　． 11．（2023秋•鼓楼区校级期中）过直线与的交点，且垂直于直线的直线方程是 　　． 12．（2023秋•淮安期中）已知直线与垂直，则的值为 　　． 13．（2023秋•姑苏区校级期中）若，为正实数，直线与直线互相垂直，则的最大值为 　　． 14．（2023秋•天宁区校级月考）直线与直线平行，则　　． 15．（2023秋•常州月考）已知为实数，若三条直线，和不能围成三角形，则的值为 　　． 16．（2022秋•亭湖区校级期中）已知、分别在直线与直线上，且，点，，则的最小值为 　　． 四．解答题（共5小题） 17．（2023秋•泰州期末）已知直线，，其中为实数． （1）当时，求直线，之间的距离； （2）当时，求过直线，的交点，且垂直于直线的直线方程． 18．（2023秋•沭阳县期中）已知直线经过点． （1）若与直线垂直，求的方程； （2）若在两坐标轴上的截距相等，求的方程． 19．（2023秋•徐州期中）已知点，_____，从条件①、条件②中选择一个作为已知条件补充在横线处，并作答． 条件①：点的坐标为，直线过点且与直线平行； 条件②：点的坐标为，直线过点且与直线垂直； （1）求直线的方程； （2）求点关于直线的对称点坐标． 20．（2023秋•赣榆区校级月考）在中，边上的高所在直线的方程为，的平分线所在直线方程为，若点的坐标为． （1）求点和点的坐标： （2）求边上的高所在的直线的方程． 21．（2023秋•南通月考）已知两条直线，． （1）若直线过点，证明：直线与垂直； （2）若直线，关于轴对称，求，． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1.3 两条直线的平行与垂直（4种题型基础练+能力提升练） 一．两条直线平行与倾斜角、斜率的关系（共6小题） 1．（2023秋•天宁区校级期末）若直线与平行，则的值为　　 A． B．或 C． D． 【分析】直线的斜率一定存在，为，所以，当两直线平行时，的斜率存在，求出的斜率， 利用它们的斜率相等解出的值． 【解答】解：直线的斜率一定存在，为，但当时，的斜率不存在，两直线不平行． 当时，的斜率存在且等于，由两直线平行，斜率相等得， 解得 或． 当时，两直线重合，故不满足条件；经检验，满足条件， 故选：． 【点评】本题考查两直线平行的条件，两直线平行时，它们的斜率相等或者都不存在． 2．（2022秋•连云区校级月考）顺次连接、、、，所组成的图形是　　 A．平行四边形 B．直角梯形 C．等腰梯形 D．以上都不对 【分析】先求出、、、的斜率，发现，，与不平行，从而判断四边形为直角梯形． 【解答】解：的斜率为，的斜率为，故． 的斜率为， ，的斜率为， 故与不平行，故四边形为直角梯形， 故选：． 【点评】本题考查两条直线平行、垂直的条件，当两条直线的斜率相等时，两直线平行；当两直线的斜率之积等于时，两直线垂直． 3．（2022秋•淮安区校级月考）若方程表示平行于轴的直线，则的值是　　 A． B． C．， D．1 【分析】根据直线与轴平行，， 【解答】解：方程于轴平行 解得： 故选：． 【点评】本题考查了两直线平行的判定，要注意与轴平行，如果等于0就与轴重合了．属于基础题． 4．（2022秋•大丰区校级月考）“”是“直线与直线平行”的　　 A．充要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 【分析】先由直线平行求出相应的的值，然后检验充分性及必要性即可判断． 【解答】解：若直线与直线平行， 则， 所以或， 当时，直线与直线重合，舍去． 故是直线与直线平行充要条件． 故选：． 【点评】本题主要考查了直线平行的条件的应用，属于基础题． 5．（2022秋•常熟市校级月考）若直线与直线平行，则的值为　　 A． B．1 C．2或 D．2 【分析】由两直线平行，可得，求解值即可． 【解答】解：由直线与直线平行， 得，解得． 故选：． 【点评】本题考查两直线平行与系数的关系，是基础的计算题． 6．（2022秋•常熟市校级月考）直线，，若，则　2　． 【分析】利用直线与直线平行的性质直接求解． 【解答】解：直线，，， ，且， 则． 故答案为：2． 【点评】本题考查实数值的求法，考查直线与直线平行的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 二．两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系（共4小题） 7．（2021秋•盐都区校级期中）已知直线与互相垂直，其垂足为，则的值为　　 A．4 B． C．0 D．20 【分析】先由两直线平行斜率相等，求出，第一直线的方程确定了，把垂足坐标代入，可求，垂足坐标确定了，把垂足坐标代入第二条直线的方程可得，进而求得的值． 【解答】解：直线与互相垂直， ， ， 直线 即， 垂足代入得，， ． 把代入， 可得， ， 故选：． 【点评】本题考查两直线垂直的性质，垂足是两直线的公共点，垂足坐标同时满足两直线的方程． 8．（2021秋•苏州期中）已知直线与直线垂直，则的值为　　 A． B． C．1 D．1或 【分析】由直线与直线垂直，可得，解得即可得出． 【解答】解：直线与直线垂直， ，即， 解得或， 故选：． 【点评】本题考查了直线垂直与斜率之间的关系，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 9．（2022秋•泗阳县校级月考）已知等腰直角三角形的直角顶点为，点的坐标为，则点的坐标为　　 A． B． C． D． 【分析】设，由等腰直角三角形的直角顶点为，点的坐标为，列出方程组，能求出点的坐标． 【解答】解：设， 等腰直角三角形的直角顶点为，点的坐标为， ， 解得或， 点的坐标为或． 故选：． 【点评】本题考查点的坐标的求法，考查直线方程的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 10．（2022秋•连云港期中）已知点，，若线段的垂直平分线的方程是，则实数的值是　　 A． B． C．3 D．1 【分析】先利用线段的中点公式求出线段的中点坐标，再把中点坐标代入直线求得实数的值． 【解答】解：和的中点在直线上， ． ， 故选：． 【点评】本题考查求线段的中点坐标的方法，用待定系数法求参数的值，属于基础题． 三．直线的一般式方程与直线的平行关系（共7小题） 11．（2023秋•南京期末）若直线与直线平行，则实数的值为　　 A．0 B．1 C． D． 【分析】由两条直线平行的充要条件可得的值． 【解答】解：因为两条直线平行，所以且， 解得． 故选：． 【点评】本题考查两条直线平行的充要条件的应用，属于基础题． 12．（2023秋•徐州期末）若直线与直线平行，则实数的值为 　1　． 【分析】写出两条直线平行的充要条件，解得的值． 【解答】解：因为两条直线平行，所以，且， 解得． 故答案为：1． 【点评】本题考查两条直线平行的充要条件的应用，属于基础题． 13．（2023秋•连云港期末）若两条直线和平行，则实数的值为　　 A．1 B． C． D． 【分析】根据已知条件，结合直线平行的性质，即可求解． 【解答】解：两条直线和平行， 则，解得或， 当时，两直线重合，不符合题意，舍去， 当时，两直线不重复，符合题意， 故． 故选：． 【点评】本题主要考查直线平行的性质，属于基础题． 14．（2022秋•广陵区校级月考）已知直线与直线互相平行，则实数的值为　　 A． B．2或 C．2 D． 【分析】根据已知条件，结合直线平行的性质，即可求解． 【解答】解：直线与直线互相平行， ，即，解得或， 当时，两直线重合，不符合题意， 当时，两直线不重合，符合题意， 故实数的值为． 故选：． 【点评】本题主要考查直线平行的性质，属于基础题． 15．（2022秋•海陵区校级月考）若直线与互相平行，则的值是　　 A． B．2 C．或2 D．3或 【分析】根据已知条件，结合直线平行的性质，即可求解． 【解答】解：直线与互相平行， 则，解得或， 当时，直线，重合，不符合题意， 当时，直线，重合，符合题意． 故选：． 【点评】本题主要考查直线平行的性质，属于基础题． 16．（2023秋•盐城月考）过点且与直线平行的直线方程是　　 A． B． C． D． 【分析】根据已知条件，结合直线平行的性质，设出所求直线，再结合该直线过点，即可求解． 【解答】解：所求直线与直线平行， 可设所求直线为， 所求直线过点， ，解得， 所求直线的方程为． 故选：． 【点评】本题主要考查直线平行的性质，属于基础题． 17．（2023秋•常州月考）设，则“直线与直线平行”是“”的　　 A．充分不必要条件 B．充要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合两直线平行的性质分析判断即可． 【解答】解：若直线与直线平行，则； 若，则直线与直线平行， 直线与直线平行是的充分必要条件． 故选：． 【点评】本题主要考查直线平行的性质，属于基础题． 四．直线的一般式方程与直线的垂直关系（共6小题） 18．（2023秋•玄武区校级期末）在平面直角坐标系中，若直线与直线互相垂直，则实数的值是　　 A． B． C． D．3 【分析】写出两条直线垂直的充要条件，求出的值． 【解答】解：由两条直线垂直可得：，即，解得． 故选：． 【点评】本题考查两条直线垂直的充要条件的应用，属于基础题． 19．（2023秋•宿迁月考）已知直线的倾斜角为，直线经过，两点，且直线与垂直，则实数的值为　　 A． B． C． D． 【分析】根据直线垂直的条件即可求出． 【解答】解：直线的倾斜角为， 直线的斜率为， 直线经过，两点，且直线与垂直， ， ， 故选：． 【点评】本题考查了直线的斜率和直线垂直的条件，属于基础题． 20．（2023•清江浦区校级开学）直线，，则“或”是“”的　　 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【分析】由充分条件和必要条件的定义，以及向量垂直的性质，即可求解． 【解答】解：当时，直线，，两直线倾斜角分别为和，； 当时，直线的斜率为，的斜率为9，，． 充分性成立， 若，直线，， 则有，解得或． 必要性成立． 所以“或”是“”的充要条件． 故选：． 【点评】本题主要考查向量垂直的性质，属于基础题． 21．（2023秋•扬州期末）已知，为两条不重合的直线，则下列说法中正确的有　　 A．若，斜率相等，则，平行 B．若，平行，则，的斜率相等 C．若，的斜率乘积等于，则，垂直 D．若，垂直，则，的斜率乘积等于 【分析】根据已知条件，结合直线平行、垂直的性质，即可求解． 【解答】解：，斜率相等，则，平行，故正确； ，平行，该两条直线斜率可能不存在，故错误； ，的斜率乘积等于，则，垂直，故正确； ，垂直，则，的斜率可能不存在，故错误． 故选：． 【点评】本题主要考查直线平行、垂直的性质，属于基础题． 22．（2023秋•鼓楼区校级期末）已知直线与垂直，则的值是 　3　． 【分析】根据已知条件，结合直线垂直的性质，即可求解． 【解答】解：直线与垂直， 则，解得． 故答案为：3． 【点评】本题主要考查直线垂直的性质，属于基础题． 23．（2022秋•滨海县期中）已知直线和直线． （1）若时，求的值； （2）当平行，求两直线，的距离． 【分析】（1）由已知结合直线垂直的条件可求； （2）结合直线平行的条件先求出，然后结合两直线间的距离公式可求． 【解答】解：直线和直线． （1）若时，则，即； （2）若平行，则，即， 此时直线和直线的距离． 【点评】本题主要考查了直线平行及垂直条件的应用，还考查了两平行线间的距离公式，属于基础题． 一．选择题（共6小题） 1．（2023秋•东台市期末）已知直线与直线互相垂直，则为　　 A． B．1 C． D．2 【分析】根据两直线垂直的一般式的结论即可得出答案． 【解答】解：两直线垂直，则有，即，解得． 故选：． 【点评】本题考查直线的一般式方程和垂直关系，属基础题． 2．（2023秋•屏山县期末）设，则“”是“直线 与直线平行”的　　 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【分析】直接利用直线平行的充要条件求出结果． 【解答】解：直线 与直线平行的充要条件为， 整理得，解得或， 故当或时，两直线平行； 故“”是“直线 与直线平行”的充分不必要条件． 故选：． 【点评】本题考查的知识要点：直线平行的充要条件，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题． 3．（2023秋•泗阳县期中）直线，，若，则实数的值为　　 A． B．1 C．或1 D． 【分析】由两条直线平行，可得充要条件，求出的值． 【解答】解：因为两条直线平行，所以，且， 解得． 故选：． 【点评】本题考查两条直线平行的充要条件的应用，属于基础题． 4．（2023秋•连云港期中）直线与直线平行，则实数的值为　　 A． B． C．2 D．2或 【分析】直接利用直线平行的充要条件求出结果． 【解答】解：由于直线与直线平行， 故，解得或， 当时，两直线重合，故舍去， 故． 故选：． 【点评】本题考查的知识要点：直线平行的充要条件，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题． 5．（2023秋•连云区校级月考）设为实数，若直线垂直于直线，则　　 A．0或 B．0 C． D．3 【分析】根据直线一般方程的垂直关系可得，求解并检验即可． 【解答】解：因为直线垂直于直线， 所以，解得或． 当时，直线为，不符合题意，舍去． 当时，直线为， 直线为，符合题意． 所以． 故选：． 【点评】本题考查直线的位置关系，属中档题． 6．（2023•秦淮区校级开学）若直线与直线平行，则的值为　　 A．1 B．1或 C． D．0 【分析】直接利用平行直线的充要条件求出结果． 【解答】解：由于直线与直线平行， 故，解得， 当时，两直线重合，故舍去； 故． 故选：． 【点评】本题考查的知识要点：直线平行的充要条件，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题． 二．多选题（共3小题） 7．（2023秋•盐城期末）下列结论正确的是　　 A．，若，则或 B．直线和以，为端点的线段相交，则或 C．直线与直线之间的距离是 D．与点的距离为1，且与点的距离为4的直线共有3条 【分析】利用两直线平行求出实数的值，可判断选项；利用直线斜率范围判断；利用两平行线距离公式判断；利用圆与圆的位置关系可判断选项． 【解答】解：对于，若，可得且，解得（舍去）或，故错误； 对于，直线恒过定点，直线，的斜率分别为，， 依题意，或，即为或，正确； 对于，直线与直线之间的距离，故错误； 对于，记以为圆心，1为半径的圆为，以为圆心，4为半径的圆为， 因为两圆的圆心距，且两圆的半径之和， 所以，所以两圆外切，所以两圆有三条公切线， 这三条公切线满足与点距离为1，且与点距离为4，故正确． 故选：． 【点评】本题考查直线的方程，两平行线距离公式的运用，直线与圆的综合运用，考查运算求解能力，属于中档题． 8．（2023秋•海安市校级期中）已知直线，为坐标原点，则　　 A．直线的倾斜角为 B．若到直线的距离为1，则 C．过且与直线平行的直线方程为 D．过且与直线垂直的直线方程为 【分析】根据直线方程，得直线的倾斜角，可判断；根据点到直线的距离公式计算可判断，根据与知直线平行或垂直的直线方程求法可判断． 【解答】解：直线可化为：， 所以斜率，得倾斜角为，故错误； 由点到直线的距离公式得，得， 所以，故错误； 设与直线平行的直线方程为， 因为平行直线方程经过原点，所以， 即平行直线方程为，故正确； 设与直线垂直的直线方程为， 因为垂直直线方程经过原点，所以， 即垂直直线方程为，故正确． 故选：． 【点评】本题考查了直线的倾斜角与斜率关系的应用，点到直线距离公式的应用，两直线的位置关系，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于中档题． 9．（2023秋•连云区校级期中）已知直线，，则　　 A．若，则 B．若，则 C．若与坐标轴围成的三角形面积为1，则 D．当时，不经过第一象限 【分析】直接利用直线平行和垂直的充要条件和三角形的面积公式以及直线经过的象限判断、、、的结论． 【解答】解：直线，，对于：当，所以，当和时也满足条件，故，故错误； 对于：当，则，整理得，故正确； 对于：若与坐标轴围成的三角形面积为1，当时，，当时，，所以，解得，故错误； 对于：直线，整理得，由于，所以该直线经过第二，三，四象限，故该直线不经过第一象限，故正确． 故选：． 【点评】本题考查的知识要点：直线平行和垂直的充要条件，三角形的面积公式，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题． 三．填空题（共7小题） 10．（2023秋•淮安期末）直线过点且与直线平行，则直线与，轴围成的三角形面积为 　1　． 【分析】先根据两条直线平行，算出直线的方程，然后求得直线与坐标轴的交点，进而算出直线与坐标轴围成的三角形面积． 【解答】解：设直线方程为， 因为直线过点，所以，解得，直线方程为． 因此，直线交轴于点，交轴于点，可得． 故答案为：1． 【点评】本题主要考查两条直线平行与方程的关系、三角形的面积公式等知识，属于基础题． 11．（2023秋•鼓楼区校级期中）过直线与的交点，且垂直于直线的直线方程是 　　． 【分析】求出直线与的交点坐标，再由与直线的垂直关系求解即可． 【解答】解：联立，解得，， 则过直线与的交点，且垂直于直线的直线方程为，即． 故答案为：． 【点评】本题考查直线的一般式方程，考查直线的垂直关系，属于基础题． 12．（2023秋•淮安期中）已知直线与垂直，则的值为 　　． 【分析】根据两条直线垂直的充要条件建立方程求解即可． 【解答】解：因为直线与垂直， 所以，解得． 故答案为：． 【点评】本题主要考查直线垂直的性质，属于基础题． 13．（2023秋•姑苏区校级期中）若，为正实数，直线与直线互相垂直，则的最大值为 　　． 【分析】由直线垂直的条件求得，关系，再由基本不等式得最大值． 【解答】解：由题意，即， 由基本不等式得， 所以，当且仅当，即时等号成立． 故答案为：． 【点评】本题主要考查了直线垂直条件的应用，还考查了基本不等式在最值求解值的应用，属于基础题． 14．（2023秋•天宁区校级月考）直线与直线平行，则　　． 【分析】利用两直线平行：斜率相等，纵截距不等即可求出结果． 【解答】解：由，得到， 因为，所以，由，得到 所以，即，解得． 故答案为：． 【点评】本题主要考查直线的一般式方程，考查转化能力，属于中档题． 15．（2023秋•常州月考）已知为实数，若三条直线，和不能围成三角形，则的值为 　或或　． 【分析】先求出和的交点，由题意可知过或或，结合点的坐标及两直线平行的条件可得关于的方程，即可求解． 【解答】解：设直线，，， 联立，解得，，即两直线的交点， 若三条直线，和不能围成三角形， 则过或或， 当过时，，解得， 当时，，即，经检验此时两直线平行， 当时，，即，经检验此时两直线平行． 故答案为：或或． 【点评】本题主要考查了直线平行条件的应用，属于中档题． 16．（2022秋•亭湖区校级期中）已知、分别在直线与直线上，且，点，，则的最小值为 　　． 【分析】利用线段的等量关系进行转化，找到最小值即为所求． 【解答】解：由直线与间的距离为得，过作直线垂直于，如图所示： 则直线的方程为：， 将沿着直线往上平移个单位到点，有， 连接交直线于点，过作于，连接，有，， 故四边形为平行四边形， 则，即有，显然是直线上的点与点，距离和的最小值， 因此的最小值，即的最小值，而， 故的最小值为． 故答案为：． 【点评】本题主要考查直线的一般式方程与直线垂直的性质，属于中档题． 四．解答题（共5小题） 17．（2023秋•泰州期末）已知直线，，其中为实数． （1）当时，求直线，之间的距离； （2）当时，求过直线，的交点，且垂直于直线的直线方程． 【分析】（1）写出两条直线平行的充要条件，进而可得的值，再求出两条直线之间的距离的大小； （2）由，可得两条直线的交点坐标，由题意设所求的直线方程，将交点坐标代入可得所求的直线方程． 【解答】解：（1）因为直线，，时， 则，解得， 此时直线的方程为， 所以两条直线间的距离； （2）当时，则直线的方程为：， 联立，解得，， 即两条直线的交点的坐标为， 又因为所求的直线垂直于，设所求的直线方程为， 将点的坐标代入可得， 解得． 所以直线的方程为． 【点评】本题考查两条直线平行，垂直的性质的应用，属于基础题． 18．（2023秋•沭阳县期中）已知直线经过点． （1）若与直线垂直，求的方程； （2）若在两坐标轴上的截距相等，求的方程． 【分析】（1）根据两直线垂直得到的斜率，进而利用点斜式求出直线方程； （2）考虑截距为0和不为0两种情况，设出直线方程，待定系数法求出直线方程． 【解答】解：（1）由题可知，的斜率为， 设的斜率为，因为，所以，则， 又经过点，所以的方程为，即； （2）若在两坐标轴上的截距为0，即经过原点，设的方程为， 将代入解析式得，解得， 故的方程为， 若在两坐标轴上的截距不为0，则设的方程为， 由，得， 故的方程为， 综上，的方程为或． 【点评】本题主要考查了直线垂直条件的应用，还考查了直线的截距式方程的应用，属于中档题． 19．（2023秋•徐州期中）已知点，_____，从条件①、条件②中选择一个作为已知条件补充在横线处，并作答． 条件①：点的坐标为，直线过点且与直线平行； 条件②：点的坐标为，直线过点且与直线垂直； （1）求直线的方程； （2）求点关于直线的对称点坐标． 【分析】（1）由所选条件，根据直线平行、垂直关系求斜率，应用点斜式写出直线方程； （2）设，利用中点在直线上且对称点所在直线斜率与直线垂直列方程组求点坐标． 【解答】解：（1）选①：，则，故直线的方程为， 所以； 选②：，则，故直线的方程为， 所以． （2）令，故中点在直线上， 所以且，可得，， 所以． 【点评】本题考查的知识要点：直线和圆的方程，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题． 20．（2023秋•赣榆区校级月考）在中，边上的高所在直线的方程为，的平分线所在直线方程为，若点的坐标为． （1）求点和点的坐标： （2）求边上的高所在的直线的方程． 【分析】（1）利用直线的方程求出交点的坐标； （2）利用直线垂直的充要条件求出直线的方程． 【解答】解：（1）由于点在直线和上，所以． 所以直线的斜率， 由于的平分线为轴，故直线的斜率， 所以直线的直线方程为， 设点， 由于直线的斜率，所以直线的斜率； 所以，解得． 所以点． （2）由（1）得：，所以， 所以直线为边上的高， 由于直线的斜率为1，且经过点， 所以直线的方程为． 【点评】本题考查的知识要点：直线的方程的求法，方程组的解法，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题． 21．（2023秋•南通月考）已知两条直线，． （1）若直线过点，证明：直线与垂直； （2）若直线，关于轴对称，求，． 【分析】（1）首先求出直线的方程，即可求出、，从而得证； （2）首先将直线方程化为斜截式，由直线，关于轴对称，得到，解得即可． 【解答】解：（1）因为直线过点， 所以，解得， 所以直线，即， 又直线，即， 所以，所以直线与垂直． （2）直线，， 因为直线，关于轴对称， 所以， 解得． 【点评】本题考查的知识要点：直线的方程的求法，直线的对称，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$