1.2空间向量基本定理（分层作业）-【上好课】高二数学选择性必修第一册同步高效课堂（人教A版2019）

1.2空间向量基本定理 基础巩固 1．（23-24高二上·河北石家庄·阶段练习）已知，，是不共面的三个向量，则能构成空间的一个基底的一组向量是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 2．（23-24高二上·山西运城·期中）在三棱锥中，若，则（    ） A． B． C． D． 3．（22-23高二上·浙江宁波·阶段练习）已知，，是不共面的三个向量，则能构成一个基底的一组向量是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 4．（22-23高二上·北京·期中）已知三棱锥，点G是△ABC的重心（三角形三条中线的交点叫三角形的重心）.设，，，那么向量用基底可表示为（    ） A． B． C． D． 5．（21-22高二上·福建厦门·期中）在平行六面体中，以顶点A为端点的三条棱长都是1，且它们彼此的夹角都是，M为与的交点，则的长为（    ） A． B． C． D． 6．（多选）（22-23高二上·河南周口·阶段练习）设是空间的一个基底，下列选项中正确的是（　　） A．若，，则； B．则，，两两共面，但，，不可能共面； C．对空间任一向量，总存在有序实数组，使； D．则，，一定能构成空间的一个基底 7．（23-24高二上·广东·阶段练习）在正四棱锥中，若，平面与棱交于点，若，则 ． 8．（23-24高二上·辽宁沈阳·阶段练习）在三棱锥中，分别是的中点，设，用表示，则等于 ． 9．（22-23高二上·吉林·期末）已知矩形ABCD，P为平面ABCD外一点，且面ABCD，M，N分别是PC，PD上的点，且，，，则 . 10．（21-22高二·全国·课后作业）已知空间向量，，不共面，且，，若，则 ． 11．（21-22高二·全国·课后作业）如果空间向量不共面，且，求x，y，z的值. 12．（23-24高二下·广东中山·开学考试）如图，在平行六面体中，，，，，，E是的中点，设，，． (1)求的长； (2)求异面直线和夹角的余弦值． 13．（23-24高二下·江苏常州·阶段练习）如图所示，平行六面体中，． (1)用向量表示向量，并求； (2)求． 能力提升 14．（21-22高二上·广东深圳·阶段练习）是空间向量的一个基底，设，给出下列向量组：①，②，③，④，其中可以作为空间向量基底的向量组有（    ）组. A．1 B．2 C．3 D．4 15．（23-24高二下·湖北·开学考试）如图，为四面体的棱的中点，为的中点，点在线段上，且，设，，，则（    ） A． B． C． D． 16．（22-23高二下·浙江温州·期中）点在线段上（不含端点），为直线外一点，且满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 17．（多选）（23-24高二上·湖南益阳·开学考试）如图，在平行六面体中，是的中点，是的中点，是的中点，点在上，且，设，，，则下列选项正确的为（    ）    A． B． C． D． 18．（23-24高二下·福建漳州·阶段练习）在三棱锥中，和都是等边三角形，，D为AB中点，则的值是 ． 19．（2020高二·浙江·专题练习）棱长为a的正四面体ABCD中，E，F分别为棱AD，BC的中点，则异面直线EF与AB所成角的大小是 ，线段EF的长度为 . 20．（21-22高二·全国·单元测试）在正四面体中，，，，分别是，，，的中点．设，，． (1)用，，表示，； (2)求证：，，，四点共面； (3)求证：四边形为矩形． 21．（22-23高二上·安徽阜阳·阶段练习）如图，正方体的棱长为1，分别为的中点． (1)求证：; (2)求与所成角的余弦值 22．（21-22高二下·浙江杭州·开学考试）如图，在四面体OABC中，M是棱OA上靠近A的三等分点，N是棱BC的中点，P是线段MN的中点．设，，． (1)用，，表示向量； (2)若，且满足 （从下列三个条件中任选一个，填上序号：①；②；③，则可求出的值；并求出的大小． 拓展延伸 23．（多选）（20-21高二上·江苏常州·期中）在三棱锥中，下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．若G为的重心，则 C．若，，则 D．若三棱锥的棱长都为2，P，Q分别为MA，BC中点，则 24．（23-24高二上·河北石家庄·阶段练习）在正四棱锥中，若，，平面AEF与棱PD交于点G，则四棱锥与四棱锥的体积比为 ． 试卷第6页，共7页 试卷第1页，共7页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1.2空间向量基本定理 基础巩固 1．（23-24高二上·河北石家庄·阶段练习）已知，，是不共面的三个向量，则能构成空间的一个基底的一组向量是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】A 【分析】利用空间向量的基底的定义，逐项判断作答. 【详解】假定向量，，共面，则存在不全为0的实数， 使得，显然不成立， 所以向量不共面，能构成空间的一个基底，故A正确； 由于，则，，共面，故B错误； 由于，则，，共面，故C错误； 由于，则，，共面，故D错误； 故选：A. 2．（23-24高二上·山西运城·期中）在三棱锥中，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据空间向量基本定理求出答案. 【详解】因为，所以，故， 又， 所以． 故选：B 3．（22-23高二上·浙江宁波·阶段练习）已知，，是不共面的三个向量，则能构成一个基底的一组向量是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】AD 【分析】根据空间向量的基本定理若满足，则不能构成一组空间基底，逐项判断可得答案. 【详解】对于A，设，得，则无解，所以，，不共面，可构成一个基底，故A正确； 对于B，设，则，解得， 即，，共面，不能构成一个基底，故B错误； 对于C，，则，解得， 即，，共面，不能构成一个基底，故C错误； 对于D，设，得，但无解，所以，，不共面，可构成一个基底，故D正确. 故选：AD. 4．（22-23高二上·北京·期中）已知三棱锥，点G是△ABC的重心（三角形三条中线的交点叫三角形的重心）.设，，，那么向量用基底可表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用空间向量的加减法计算法则和数乘计算法则，结合几何关系用表示即可． 【详解】∵ ∴. 故选：B． 5．（21-22高二上·福建厦门·期中）在平行六面体中，以顶点A为端点的三条棱长都是1，且它们彼此的夹角都是，M为与的交点，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】把作为基底，然后用基底把表示出来，然后求出其模即可 【详解】如图， , 所以 ， 所以， 所以的长为， 故选：D 6．（22-23高二上·河南周口·阶段练习）设是空间的一个基底，下列选项中正确的是（　　） A．若，，则； B．则，，两两共面，但，，不可能共面； C．对空间任一向量，总存在有序实数组，使； D．则，，一定能构成空间的一个基底 【答案】BCD 【分析】利用空间向量基底的定义可判断AB，，根据空间向量基本定理可判断CD. 【详解】由空间向量基底的定义可知，当，时，所成角不一定为，故A错误； 显然，，两两共面，但，，不可能共面，否则不能构成空间的一个基底，故B正确； 根据空间向量基本定理得到总存在有序实数组，使，故C正确； 在D中，假设向量共面，则，， 化简得， 因为不共面，所以，无解， 所以不共面，一定能构成空间的一个基底，故D正确． 故选：BCD. 7．（23-24高二上·广东·阶段练习）在正四棱锥中，若，平面与棱交于点，若，则 ． 【答案】/ 【分析】根据空间向量的线性运算、空间基底等知识列方程，化简求得的值. 【详解】由已知可得，.由题知四点共面， 可设，则， 所以 ， 整理可得，. 又不共面，所以有，解得. 故答案为：    【点睛】方法点睛：若是空间一组基底，则空间任意一个向量，都有，且的值唯一，这是空间向量的基本定理.在具体应用时，可将已知或求转化为等量关系式，然后根据系数的对应关系来对问题进行求解. 8．（23-24高二上·辽宁沈阳·阶段练习）在三棱锥中，分别是的中点，设，用表示，则等于 ． 【答案】 【分析】根据空间向量运算求得正确答案. 【详解】由题意得 . 故答案为：.    9．（22-23高二上·吉林·期末）已知矩形ABCD，P为平面ABCD外一点，且面ABCD，M，N分别是PC，PD上的点，且，，，则 . 【答案】 【分析】根据向量运算求得，进而求得. 【详解】 所以， 所以. 故答案为： 10．已知空间向量，，不共面，且，，若，则 ． 【答案】 【分析】由题设有且，根据空间向量的基本定理列方程组求参数值，即可得结果. 【详解】由题设，且，又，， 所以，可得，则. 故答案为： 11．如果空间向量不共面，且，求x，y，z的值. 【答案】. 【分析】利用空间向量基本定理即得. 【详解】∵空间向量不共面，且， ∴. 12．（23-24高二下·广东中山·开学考试）如图，在平行六面体中，，，，，，E是的中点，设，，． (1)求的长； (2)求异面直线和夹角的余弦值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据空间向量基本定理得到，平方后结合空间数量积公式求出，求出答案； （2）先求出，结合空间向量夹角余弦公式求出答案. 【详解】（1）由题意得， 又，，，，， 故 ， 故； （2） ， 设异面直线和夹角为， 则. 13．（23-24高二下·江苏常州·阶段练习）如图所示，平行六面体中，． (1)用向量表示向量，并求； (2)求． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）借助空间向量的线性运算与模长与数量积的关系计算即可得； （2）结合题意，借助空间向量的线性运算与夹角公式计算即可得. 【详解】（1）， 则 ， 所以. （2）由空间向量的运算法则，可得， 因为且， 所以 ， ， 则. 能力提升 14． 是空间向量的一个基底，设，给出下列向量组：①，②，③，④，其中可以作为空间向量基底的向量组有（    ）组. A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据题意，结合空间向量基底的概念，一一判断即可. 【详解】对于①，因，所以共面，因此①不满足； 对于②，因，且是空间向量的一个基底，所以可以作为空间向量基底，故②满足； 对于③，因，且是空间向量的一个基底，所以可以作为空间向量基底，故③满足； 对于④，因，且且是空间向量的一个基底，所以三个向量不共面，故④满足. 故选：C. 15．（23-24高二下·湖北·开学考试）如图，为四面体的棱的中点，为的中点，点在线段上，且，设，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据空间向量基本定理得到，故. 【详解】为四面体的棱的中点，为的中点， 故，， ， 因为，所以， . 故选：A 16．（22-23高二下·浙江温州·期中）点在线段上（不含端点），为直线外一点，且满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平面向量共线定理推论可得且，再利用基本不等式“1”的妙用即可得解. 【详解】因为，所以， 又点在线段上（不含端点），所以，且，则， 所以 ， 当且仅当，即时，等号成立， 故的最小值为. 故选：D. 17．（23-24高二上·湖南益阳·开学考试）如图，在平行六面体中，是的中点，是的中点，是的中点，点在上，且，设，，，则下列选项正确的为（    ）    A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】根据空间向量的基底表示以及线性运算表示向量依次判断各选项即可得到答案. 【详解】由已知是的中点，是的中点，是的中点，且， 对于A， ，故A正确； 对于B，，故B正确； 对于C， ，故C正确； 对于D， ，故D错误. 故选：ABC. 18．（23-24高二下·福建漳州·阶段练习）在三棱锥中，和都是等边三角形，，D为AB中点，则的值是 ． 【答案】 【分析】由题意，根据余弦定理求得，利用空间向量的线性运算与数量积的运算律可得，结合数量积的定义计算即可求解. 【详解】如图，在中，， 所以 ， 即的值为. 故答案为：    19．（2020高二·浙江·专题练习）棱长为a的正四面体ABCD中，E，F分别为棱AD，BC的中点，则异面直线EF与AB所成角的大小是 ，线段EF的长度为 . 【答案】 /45° a/ 【分析】以为空间的一个基底，进而通过空间向量的夹角公式求出答案. 【详解】设，，，则是空间的一个基底，∴，， ∵， ∴，||=a， ∴， ∴异面直线EF与AB所成的角为. 20．在正四面体中，，，，分别是，，，的中点．设，，． (1)用，，表示，； (2)求证：，，，四点共面； (3)求证：四边形为矩形． 【答案】(1)； (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）由题意可得，，由向量的减法可得答案. （2）用向量，，分别表示出，，，从而可得，从而可证. （3）由空间向量数量积的运算律求出，由，从而可证. 【详解】（1）解：因为，分别是，的中点， 所以且， 所以． 因为，分别是，的中点，所以且， 所以． （2）证明：， ，， 所以， 所以，，，四点共面． （3）证明：设正四面体的棱长为，由题意知向量，，中，两两之间的夹角均为，由（1）知， 因为，分别是，的中点， 所以，故， 所以，， 所以四边形为平行四边形． 又因为， 所以， 故． 所以平行四边形为矩形． 21．（22-23高二上·安徽阜阳·阶段练习）如图，正方体的棱长为1，分别为的中点． (1)求证：; (2)求与所成角的余弦值 【答案】(1)证明见解析； (2). 【分析】（1）根据向量的加减法证明即可； （2）根据向量数量积的定义求即可. 【详解】（1）证明：令， 分别是的中点， ， 而， 所以有，且不过同一点，   所以，即. （2）分别是的中点， ， 正方体的棱长为1，， ，， ， ， ，         设的夹角为， 则有 ， 即与所成角的余弦值为. 22．如图，在四面体OABC中，M是棱OA上靠近A的三等分点，N是棱BC的中点，P是线段MN的中点．设，，． (1)用，，表示向量； (2)若，且满足 （从下列三个条件中任选一个，填上序号：①；②；③，则可求出的值；并求出的大小． 【答案】(1) (2)①②③ 【分析】（1）连接由 可得答案； （2）选①，对两边平方代入已知再开方可得答案； 选②，对两边平方代入已知再开方可得答案； ③对两边平代入已知再开方可得答案. 【详解】（1） 连接，因为N是棱BC的中点，所以，因为 M是棱OA上靠近A的三等分点，所以 . （2）选①， 因为，， 所以 ，所以； 选②， 因为，， 所以 ，所以； ③， 因为，， 所以 ，所以. 三、拓展延伸 23．在三棱锥中，下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．若G为的重心，则 C．若，，则 D．若三棱锥的棱长都为2，P，Q分别为MA，BC中点，则 【答案】BC 【分析】作出三棱锥直观图，在每个三角形中利用向量的线性运算可得. 【详解】   对于A ，由已知，即，则，故A错误； 对于B，由G为的重心，得，又，，，，即，故B正确； 对于C，若，，则，即，即，故C正确； 对于D， ，又，，故D错误. 故选：BC 【点睛】关键点睛：本题考查向量的运算，用已知向量表示某一向量的三个关键点： (1)用已知向量来表示某一向量，一定要结合图形，以图形为指导是解题的关键． (2)要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义，如首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量． (3)在立体几何中三角形法则、平行四边形法则仍然成立． 24．（23-24高二上·河北石家庄·阶段练习）在正四棱锥中，若，，平面AEF与棱PD交于点G，则四棱锥与四棱锥的体积比为 ． 【答案】 【分析】利用已知四点共面推得.然后由椎体体积公式，求出和的值，即可得出答案. 【详解】   由已知可得，. 设， 由四点共面可设， 则， 所以 ， 整理可得，. 又不共面， 所以有，解得，即. 设分别是点到平面和点到平面的距离，则， 所以， . 又， 所以. 同理可得， . 又， 所以. 所以，. 故答案为：. 【点睛】关键点睛：将点共面问题转化为向量共面，根据向量共面列出关系式. 试卷第22页，共22页 试卷第21页，共22页 学科网（北京）股份有限公司 $$