1.2 空间向量基本定理（教学设计）-【上好课】高二数学选择性必修第一册同步高效课堂（人教A版2019）

第一章 空间向量与立体几何 1.1 空间向量及其运算 1.2 空间向量基本定理 一、教材分析 空间向量基本定理也成为空间向量分解定理，它与平面向量基本定理类似，区别仅在于基底中多了一个向量，从而分解结果中多了一“项”.证明的思路、步骤也基本相同．空间向量基本定理是通过选定一组三维基底，将空间内的任意向量表示为这组基底的一个线性组合.因为这种表示具有唯一确定性，所以这里实际上建立了空间向量与三维有序实数对的一一对应.如果在空间直角坐标系中取一组单位正交基底,使的大小、方向分别与空间直角坐标系的轴、轴、轴的长度单位、方向一致，那么就可以用空间直角坐标系中的坐标表示空间向量.利用空间向量的坐标表示，就可以彻底实现通过代数运算解决几何问题的目标。所以，本节是后续空间向量及其运算的坐标表示的基础. 因为空间向量基本定理和平面向量基本定理在形式和内容上的一致性，所以可以通过类比平面向量基本定理研究空间向量基本定理，将定理从二维推广到三维.空间向量基本定理是空间向量与立体几何之间的桥梁，这个定理表明，任意空间向量都可以用三个不共面的基向量表示，空间结构变得简单明了.空间向量基本定理中蕴含的重要数学思想——“基”的思想，它将空间内的所有向量的运算问题转化为基底的运算问题，这是一种基本量方法. 本节内容蕴含着丰富的数学思想，如转化与化归、数形结合思想等，体现了数学地思考问题的方法——以简驭繁和类比等，有助于引导学生认识运算的价值，发展逻辑推理、数学抽象、数学运算等素养. 二、学情分析 本节的认知基础有如下几个方面： 首先，共线向量定理和平面向量基本定理的学习为探究空间向量基本定理奠定了基础.与直线共线的一个非零向量就是一维向量空间的一个基底；平面中的两个不共线向量就是二维向量空间的一个基底；空间中的三个不共面向量就是三维向量空间的一个基底，这里含有“基”的思想.从共线向量定理到平面向量基本定理再到空间向量基本定理，它们所体现的数学思想、研究和认识问题的方法是一脉相承的.其次，在平面向量单元的学习中，学生已经学会用向量法解决几何问题的基本思路，这为我们利用空间向量解决一些立体几何问题打下了基础，提供了可借鉴的研究方法和思路，可以引导学生进一步体会用向量语言、向量方法表述和解决立体几何问题的简捷性. 本节的学习中，学生可能存在如下一些问题： (1)平面向量基本定理揭示的是平面上的向量之间的关系，单位正交基底下对应的是直角坐标系中点的坐标问题，学生相对比较熟悉.随着维数的增加，问题更加复杂，特别是向量的分解从平行四边形上升到平行六面体，对空间想象力的要求高，会给学生造成一定的困难.为此，教学中除了要引导学生利用两次平面向量正交分解得到空间向量的正交分解外，还要注意提醒学生发现向量分解从平面向空间的推广过程中，维数的改变引起分解结果形式的变化. (2)学生对空间向量基本定理中的“任意性”和“唯一性”的理解仍是一大难点，教学中既要利用信息技术动态演示，使学生形成直观感受，又要设计恰当问题让学生体会“反证法”这一特殊的证明方法，引导学生根据具体条件进行逻辑表达和转换，为后续“唯一性”的证明做好铺垫，同时也要引导学生回顾平面向量基本定理中“唯一性”的证明过程，从而较为自然地给出严格证明. (3)由于学生空间想象能力的不同，对立体图形基本元素及其基本关系的把握上也有所差异，而在利用空间向量基本定理解决立体几何问题时，恰当的基底选择非常重要，这依赖于学生有较好的空间想象能力，这对学生而言存在着一定困难，也是本单元的一个难点，教学时要注意引导学生从几何图形的组成元素及其基本关系上加强分析. 三、教学目标 （一）课程标准要求 本节内容的学习，可以帮助学生在学习平面向量的基础上，利用类比的方法理解空间向量的概念、运算、基本定理和应用，体会平面向量和空间向量的共性和差异，具体体现在了解空间向量基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解 （二）课时目标要求 （1）了解空间向量基本定理及其意义，培养数学抽象的核心素养； （2）掌握空间向量的正交分解，培养数学抽象的核心素养； （3）掌握在简单问题中运用空间三个不共面的向量作为基底表示其他向量的方法，提升逻辑推理的核心素养。 （4）能根据问题背景恰当选择基底表示相关向量，能运用空间向量基本定理解决一些立体几何问题，并在此过程中，感悟联系的观点和类比的方法，体会转化与化归、数形结合等数学思想. 四、重点难点 教学重点： （1）空间向量基本定理及证明 （2）应用空间向量基本定理解决立体几何问题. 教学难点： （1）“基”的思想，空间向量基本定理唯一性的证明 （2）如何根据条件选择基底解决立体几何问题. 五、教学过程 环节一：创设情境，导入新课 我们所在的教室即是一个三维立体图,如果以教室的一个墙角为始点,沿着三条墙缝作向量可以得到三个空间向量.这三个空间向量是不共面的,那么如何用这三个向量表示空间中任意的向量呢？ 我们知道，平面内的任意一个向量都可以用两个不共线的向量，来表示(平面向量基本定理)．类似地，任意一个空间向量能否用任意三个不共面的向量，，来表示呢? 师生活动：学生独立思考、作答，教师展示研究路径，板书空间向量及其运算，揭晓课题：下面我们类比平面向量研究空间向量，先从空间向量的概念和表示开始． 【设计意图】主要方法是类比，即类比平面向量的相关概念学习空间向量的相关概念，类比平面向量的运算学习空间向量的运算，类比用平面向量解决平面几何问题的方法利用空间向量解决简单的立体几何问题.教，使学生亲历研究的过程，积累基本活动经验. 环节二：回顾旧知，学习新知 前面我们类比平面向量及其运算学习了空间向量及其运算，接下来我们一起研究空间向量基本定理. 问题1：我们知道，平面向量基本定理是向量共线定理的推广，可以想象，空间向量基本定理是平面向量基本定理的推广.你能回忆出平面向量基本定理吗? 师生活动：学生回忆、展示交流，教师将平面向量基本定理板书. 追 问1：空间中的任意一个向量，能否用两个不共线的向量表示呢? 师生活动：学生独立思考、小组讨论、交流发言，教师引导.设为两个不共线向量，为空间中与不共面的向量，可以证明不能用表示.因为如果能用线性表示，那么根据空间向量共面的充要条件，必有在所确定的平面内.所以空间中两个不共线的向量不能表示空间任意一个向量. 追问2：至少需要几个向量才能表示空间中的任意一个向量?这些向量需满足什么要求?为什么？ 师生活动：学生独立探究后再进行集体交流，教师引导记录.学生得出至少需要三个向量才能表示空间内的任意向量的猜想，并且这三个向量不能共面.因为如果这三个向量共面，由上面的讨论可知，共面的三个向量通过线性运算只能表示此平面的任意向量，故无法表示此平面外的向量. 【设计意图】通过设计简单的向量问题，复习旧知引出新知，经历从特殊到一般的过程，通过追问引导 学生对向量线性运算及表示进行思考，体会从平面到空间一脉相承的向量表示方法，感悟从二维到三维 的类比意识.通过矛盾触发学生的好奇心和探索欲，培养学生“发现问题”的能力.其中反证法的证明思路为后面“唯一性”证明做好了铺垫. 上面我们猜想空间中用不共面的三个向量可以表示空间中的任意向量，不失一般性，我们首先来研究：空间中三个两两垂直的向量能否表示空间中的任意一个向量. 问 题 2 ：设是空间中三个两两垂直的向量，对于任意一个空间向量, 能否用这三个向量来表示，如何表示? 师生活动：学生作图观察、独立思考后，交流发言，教师帮助小结. 根据向量的自由性，如图1.2-1，设，，是空间中三个两两垂直的向量，且表示它们的有向线段有公共起点．对于任意一个空间向量，设为在，所确定的平面上的投影向量，则．又向量，共线，因此存在唯一的实数，使得，从而，而在，所确定的平面上，由平面向量基本定理可知，存在唯一的有序实数对，使得，从而 因此，如果，，是空间三个两两垂直的向量，那么对任意一个空间向量，存在有序实数组，使得．我们称，，分别为向量在，，上的分向量． 追问：我们看到，对于空间任意向量在，，方向上的分解，同学们的分解方法不尽相同，但是对于都可以用形如的向量表示，那么这种表示形式是唯一的吗? 师生活动：学生动手实验、观察、感受.通过作图发现：在，，方向上的分解图形为确定的长方体模型，线段为长方体的体对角线.故这种表示形式是唯一的. 接下来，我们对有序实数组的唯一性进行严格的证明.学生通过回顾、思考、发言交流得出： 类似于平面向量基本定理中唯一性的证明，我们可以依据向量共面定理，用反证法证明这个唯一性： 假设除外，还存在有序实数组使得， 则，故 不妨设则可得， 由平面向量基本定理可知，，共面，这与已知矛盾. 所以有序实数组是唯一的. 追问2:在问题2中，如果用任意三个不共面的向量，，代替两两垂直的向量，，你能得出类似结论吗? 师生活动:学生思考、分组交流，教师引导整理.由问题2的结论，及类比平面向量基本定理，可以猜想如下结论： 如果三个向量，，不共面，那么对任意一个空间向量, 存在唯一有序实数组使得我们把叫做空间的一个基底，，，都叫做基向量.我们把这个结论叫做空间向量基本定理. 【设计意图】共线定理和平面向量基本定理是空间向量基本定理的“先行组织者”,通过回忆和类比，有助于学生在已经发现问题的基础上采用恰当的数学语言、符号对问题作进一步的抽象，将问题数学地表征出来。“唯一性”的证明是本节课的难点，通过回忆平面向量基本定理“唯一性”证明及问题1中“反证法”思路的铺垫，突破这一难点也就水到渠成了. 空间向量基本定理： 如果三个向量，，不共面，那么对任意一个空间向量，存在唯一的有序实数组，使得． 问题3：请你结合以上内容的探究过程，给出空间向量基本定理的证明. 师生活动：可以看到，空间向量基本定理的证明与问题2的区别在于把两两垂直的三个基向量换成了一般的三个不共面向量.学生经过思考得出，可以模仿问题2的证明，如图1.2-2,设表示，，，向量的有向线段有公共起点，对于任意一个空间向量, 在， 所确定的平面内，过作的平行线交，所确定的平面于, 则可设，，又在，所确定的平面内，由平面向量基本定理可知，存在唯一有序实数对使得，即. 又由问题2的追问1,同理可证这样的有序实数组是唯一存在的.因此，如果三个向量，，不共面，那么对任意一个空间向量, 存在唯一有序实数组 使得，即空间向量基本定理得证. 由此可知，如果三个向量，，不共面，那么所有空间向量组成的集合就是．这个集合可看作由向量，，生成的，我们把叫做空间的一个基底(base)，，，都叫做基向量(base vectors)．空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底． 特别地，如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都为1，那么这个基底叫做单位正交基底，常用表示．由空间向量基本定理可知，对空间中的任意向量，均可以分解为三个向量，，，使．像这样，把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行正交分解． 追问1：你能说出有序实数组的几何意义吗? 师生活动：当空间向量不与基向量共线或与任意两个基向量共面时，在空间基向量，，方向上，按平行六面体模型进行分解.当，，为单位向量时，实数的绝对值，分别对应平行六面体同一顶点出发的三条棱的长度.当向量与基向量共线或与两个基向量共面时，即为共线定理和平面向量基本定理下的情况. 追问2： 由向量共线定理、平面向量基本定理及空间向量基本定理的一致性和连贯性，我们对比共线定理、平面向量基本定理和空间向量基本定理共同完成下表. 分类 定理 向量共线定理 平面向量基本定理 空间向量基本定理 表述形式 基向量个数 1 2 3 基向量要求 ，不共线 ，，不共面 对于实数（对、组） 【设计意图】通过填写表格，促进学生建立空间基本元素向量表示的知识体系.对于基底除向量，，不共面外，还应明确：空间中任意三个不共面的向量都可以作为空间的一个基底， 一个基底指一个向量组.从正交基底到一般基底，再从一般基底到单位正交基底，是一个从特殊到一般再到特殊的过 程.一方面，学生已经具备了一定的数学抽象素养，对于“任意性”“唯一性”等数学逻辑用语已能够熟练使用；另一方面，还需要借助于相应的问题链，分解学生推理论证中的困难，引导学生达成对定理的深刻认识. 环节三：根据新知，简单应用 例1 如图1.2-2，是四面体的棱的中点，点在线段上，点在线段上，且，，用向量，，表示． 分析：，，是三个不共面的向量，它们构成空间的一个基底，可以用基底表示出来． 解： ． 变式训练： 1．在平行六面体中，设，，，分别是的中点. (1)用向量表示； (2)若，求实数x，y，z的值. 【答案】(1)，；(2). 【详解】 解：（1）在平行六面体中， ， 由分别是的中点， 得. . （2）， 而，且不共面， 所以. 【设计意图】例1是用三个不共面的向量表示一个具体的空间向量的例子，目的是加深学生对空间向量基本定理的理解.教学时要注意引导学生结合已知和所求、观察图形结构，通过空间向量基本定理、向量线性运算等，将所要表示的向量用题目所给三个不共面向量以线性组合的方式表示出来. 例2：如图1.2-3，在平行六面体中，，，，，，，，分别为，的中点． 求证： ． 分析：要证，只需证明．由已知，可构成空间的一个基底．把和分别用基底表示，然后计算即可． 证明：设，，这三个向量不共面， 构成空间的一个基底，我们用它们表示，，则 ， 所以 所以． 【设计意图】学生已经会用向量的数量积判断两直线是否垂直，本例中注意引导学生观察图形，构造适当的基底，再把相关向量用基底表示，并通过基向量的运算判断几何元素的位置关系. 例3 如图1.2-4，正方体的棱长为1，分别为，，的中点． （1）求证：； （2）求与所成角的余弦值． 分析：（1）要证明，只需证明与共线．设，则构成空间的一个单位正交基底，把和分别用基向量表示，作相应的运算证明它们共线即可． （2）要求与所成角的余弦值，只需求所成角的余弦值即可． （1）证明：设，则构成空间的一个单位正交基底．所以 ， ． 所以．所以． （2）解：因为，， 所以 所以与所成角的余弦值为． 【设计意图】例3是利用空间向量基本定理计算两条线段所成角的余弦值，证明空间直线位置关系问题.设计这两个问题的目的是训练学生通过向量运算分析和解决几何问题的技能.使学生进一步理解通过向量及其运算，不仅能表示空间中的点、直线、平面等基本元素，而且能使这些几何元素成为可操纵的数据并进行运算. 环节四：新知再认识，能力提升 题型一：空间向量基底的概念辨析 1．设，且是空间的一个基底，给出下列向量组：①，②，③，④．其中可以作为空间一个基底的向量组有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【详解】如图所示，令，，， 则，，，， 由于四点不共面，可知向量也不共面， 同理四点不共面，可知向量不共面， 又四点不共面，可知向量也不共面， 而四点共面，所以向量共面， 又三个不共面的向量可作为空间向量的一组基底，故有3个向量组可以作为空间的一个基底. 故选：C. 小结：基底判断的基本思路及方法 (1)基本思路：判断三个空间向量是否共面，若共面，则不能构成基底；若不共面，则能构成基底． (2)方法：①如果向量中存在零向量，则不能作为基底；如果存在一个向量可以用另外的向量线性表示，则不能构成基底．②假设，运用空间向量基本定理，建立的方程组，若有解，则共面，不能作为基底；若无解，则不共面，能作为基底． 变式训练： 已知{}是空间的一个基底，且=，=，=，试判断{}能否作为空间的一个基底?若能，试以此基底表示向量；若不能，请说明理由. 【答案】能，＝17－5－30. 【详解】能作为空间的一组基底. 假设共面，由向量共面的充要条件知存在实数使成立 又因为{}是空间的一个基底，所以不共面. 因此，此方程组无解，即不存在实数使， 所以不共面.故{}能作为空间的一个基底. 设，则有 因为{}为空间的一个基底，所以，解得， 故 题型二：利用空间向量解决立体几何问题 2.如图，已知平行六面体中，底面是边长为的正方形，侧棱长为，．    (1)求的长； (2)证明：平面； (3)求直线与AC所成角的余弦值． 【答案】(1)；(2)证明见解析；(3)． 【详解】（1）解：由空间向量的运算法则，可得， 所以 ， 所以，即的长为. （2）解：由向量的运算法则，可得，， 则 ， 所以，所以. 因为底面是边长为的正方形，、 所以， 因为平面， 所以平面. （3）解：因为， 所以， ， 且 ， 所以， 所以直线与所成角的余弦值为. 小结：基向量法解决长度、垂直及夹角问题的步骤 (1)设出基向量． (2)用基向量表示出直线的方向向量． (3)用求长度，用，用求夹角． (4)转化为线段长度，两直线垂直及夹角问题． 变式训练： 1．已知四面体，，．求证：． 1．证明：如图，，， ， ，． 2．如图，在平行六面体中，，，， ．求与所成角的余弦值． 2．解：设，， ． 又， ． ． ．所以与所成角的余弦值为0． 3．如图，已知正方体，和相交于点，连接，求证：． 证明：设，且， ， ， ， ，． 环节五：凝练升华，课堂小结 问题4：回顾本节课的教学内容，回答下列问题： (1)我们是如何发现和提出本节课所研究的问题的?你能说出空间向量基本定理和平面向量基本定 理的联系和区别吗? (2)探索、证明空间向量基本定理，我们经历了怎样的过程?用到了哪些数学思想和方法? (3)请具体谈谈空间向量基本定理的“基本”主要体现在哪些方面?它的主要作用是什么? (4)本课中利用空间向量基本定理解决了哪些立体几何问题? (5)在用空间向量基本定理解决立体几何问题时一般采取怎样的步骤? (6)你觉得利用空间向量基本定理及空间向量运算，除了可以解决今天所碰到的问题外，还可以解决立体几何中的哪些问题? 师生活动：问题(1)～(6)由学生独立思考后进行小组讨论，然后各小组派代表进行全班交流，教师适时点拨总结. (1)通过“平面外的一个向量,无法用平面内的两个向量来表示”,从而引 发矛盾.平面向量是二维向量，空间向量是三维向量，两者有密切的联系，空间向量基本定理是平面向量 基本定理的推广，两者除基向量个数、基向量的维数不同外，在概念、证明过程、几何意义、表述形式等方面 具有一致性. (2)对于空间向量基本定理的证明，我们先从“作正投影”开始，先在特殊情景(空间直角坐标系)下给 予证明，然后再推广到“一般情形”(任意基底),最后再回归到单位正交基底，是一种“特殊→一般→特殊” 的思维过程.在这一过程中运用了数形结合、转化与化归、类比等数学思想方法.另外，在高中数学中，基本量方法是一种重要的方法，而空间向量基底的应用，为学生展示了一个具有“基本量法”的重要数学模型. (3)空间向量基本定理，之所以称为“基本”,是基于该定理在向量理论中的重要作用：给定空间内三 个不共面的向量，通过线性运算，可以构造出该空间中的所有向量，从而空间的任意问题都可以转化为基 底中三个向量之间的问题，化“任意”为“确定”,化未知为已知.选定基底后，空间的任意向量与有序实数对一一对应，为通过数的运算处理形的问题搭起了桥梁，实现了数与形的统一. (4)本节课利用空间向量基本定理判断空间两直线的平行、垂直位置关系，并拓展到判断线面垂直位置关系，利用空间向量基本定理计算两点间距离(向量模长),以及空间中两直线所成角的大小. (5)用向量方法解决立体几何问题时，首先应根据条件恰当选择空间中三个不共面的向量作为基底， 再利用这个基底表示其他向量，然后利用空间向量运算法则进行运算，最后把运算结果“翻译”成相应的几何结论.这与利用平面向量解决平面几何问题的“三步曲”是一脉相承的. (6)利用空间向量基本定理及其运算，还可以解决直线与平面，平面与平面间的平行、垂直等位置关系的判断；还可以解决空间的距离问题，以及空间中直线、平面所成角等角度大小的计算. 【设计意图】：通过小结，引导学生回顾本节所学内容，及过程中的数学思想与方法，体会用向量方法解决立体几何问题的基本类型和基本步骤，明确“三步曲”. 环节六：布置作业，应用迁移 巩固作业：教科书第15页习题第4、5、6、7、8题 巩固作业答案： 4．如图，在空间平移到，连接对应顶点．设，是的中点，是的中点，用基底表示向量，． 4．解析： ． ． 5．如图，在长方体中，是与的交点．若，，求的长． 5．解析：设，，， 则 ，的长为． 6．如图，平行六面体的底面是菱形，且， ，求证：平面． 6．证明：∵四边形为菱形，．又，设． 又．设，，，则， 又， ， ，．又， ，．又，平面． 拓广探索 7．如图，在棱长为1的正方体中，分别为，的中点，点在上，且． (1)求证：； (2)求与所成角的余弦值． 7．(1)证明：设，则 ， ． ， ，． (2)解析：由(1)知．． 又，， ．与所成角的余弦值为． 8．已知四面体中三组相对棱的中点间的距离都相等，求证：这个四面体相对的棱两两垂直． 8．如图，设，，， 则，，． 由，得 ． 展开得，所以．又因为，， 所以．同理可证，． 环节七 板书设计1.2空间向量基本定理 1.空间向量基本定理 例1. 存在性证明： 唯一性证明： 例2. 2. 空间向量基本定理的应用 （1）基底的判断 （2）空间向量的表示 例3. （3）空间向量求解角度，距离，垂直问题. 学科网（北京）股份有限公司 ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$