1.2.3 简单复合函数的求导课件-2024-2025学年高二下学期数学湘教版（2019）选择性必修第二册

1.2.3　简单复合函数的求导 第1章　导数及其应用 湘教版 数学 选择性必修第二册 课标要求 1.了解复合函数的概念. 2.理解复合函数的求导法则,并能求简单的复合函数的导数. 基础落实·必备知识全过关 重难探究·能力素养全提升 成果验收·课堂达标检测 目录索引 基础落实·必备知识全过关 知识点 复合函数的求导 1.复合函数:一般地,设y=f(u)是关于u的函数,u=g(x)是关于x的函数,则y=f(g(x))是关于x的函数,称为函数y=f(u)和u=g(x)的　　　　.  2.复合函数的求导:复合函数y=f(g(x))的导数和函数y=f(u),u=g(x)的导数间的关系为yx'=　　　　　,即y对x的导数等于　　 　 　　　.  复合函数 yu'·ux'　 y对u的导数与u对x的导数的乘积 名师点睛 1.复合函数是由两个或两个以上的函数用所谓“中间传递”的方法生成的新函数. 2.复合函数求导法则的三个关注点: (1)分析复合函数的复合关系是由哪些基本初等函数复合而成,适当选定中间变量; (2)分步计算中的每一步都要明确是对哪个变量求导,而其中特别要注意的是中间变量; (3)根据基本函数的求导公式及导数的运算法则,求出各函数的导数,并把中间变量转换成自变量的函数. 过关自诊 1.判断正误.(正确的画“√”,错误的画“×”) (2)函数y=sin 2x的导数为y'=cos 2x.(　　) √ × 2.[北师大版教材习题]写出下列函数的中间变量,并利用复合函数的求导法则分别求出函数的导数: (2)y=sin(-x+1); 解 函数的中间变量为u=-x+1,则函数y=sin(-x+1)是由函数y=sin u与u= -x+1复合而成的.由复合函数的求导法则,可得y'=cos u×(-1)=-cos(-x+1). (3)y=e-2x+1; (4)y=cos(x+3). 解 函数的中间变量为u=-2x+1,则函数y=e-2x+1是由函数y=eu与u=-2x+1复合而成的. 由复合函数的求导法则,可得y'=eu×(-2)=-2e-2x+1. 解 函数的中间变量为u=x+3,则函数y=cos(x+3)是由函数y=cos u与u=x+3复合而成的. 由复合函数的求导法则,可得y'=-sin u×1=-sin(x+3). 重难探究·能力素养全提升 探究点一　求复合函数的导数 【例1】 求下列函数的导数: (1)y=(-2x+1)2; 解 设y=u2,u=-2x+1, 则yx'=yu'·ux'=2u·(-2)=-4(-2x+1)=8x-4. (3)y=23x+2; 解 设y=2u,u=3x+2,则yx'=yu'·ux'=2uln 2·3=3ln 2·23x+2. 规律方法　复合函数求导的步骤 变式训练1求下列函数的导数: 探究点二　复合函数的导数与函数的求导法则的综合 【例2】 求下列函数的导数: 规律方法　复合函数的导数与函数的求导法则的综合问题的解法:(1)分析函数的结构特征,结合求导法则及求导公式求解;(2)对于涉及的复合函数的导数,可以不必再写出函数的复合过程,直接运用公式,从外层开始由外及内逐层求导. 变式训练2求下列函数的导数: (1)y=(x2+2x-1)e2-x; (2)y=2xsin(2x+5). 解 y'=(x2+2x-1)'e2-x+(x2+2x-1)(e2-x)'=(2x+2)e2-x+(x2+2x-1)(-e2-x)= (-x2+3)e2-x. 解 y'=(2x)'sin(2x+5)+2x[sin(2x+5)]'=2sin(2x+5)+4xcos(2x+5). 本节要点归纳 1.知识清单: 复合函数的求导. 2.方法归纳:换元法. 3.常见误区:不能正确地将函数分解为内、外层函数,不能分清是对哪个变量求导,逐层求导结束后忘记对结果进行化简整理. 成果验收·课堂达标检测 A 级 必备知识基础练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1.函数y=sin 2x的导数是(　　) A.2sin x B.2sin2x C.2cos x D.sin 2x D 解析 ∵y=sin 2x,令u=sin x,则y=u2,从而yx'=yu'×ux'=2ucos x=2sin xcos x =sin 2x.故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 D 解析 ∵f(x)=cos 2x,∴f'(x)=-2sin 2x, 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3.已知f(x)=x2ln 2x,若f'(x0)=x0,则x0等于(　　) A 解析 因为f(x)=x2ln 2x,所以f'(x)=2xln 2x+x, 又f'(x0)=x0,所以2x0ln 2x0=0,因为x0>0,所以ln 2x0=0,所以x0= .故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4.若函数f(x)=eax+ln(x+1),f'(0)=4,则a=(　　) A.0 B.1 C.2 D.3 D 解析 由f(x)=eax+ln(x+1),得f'(x)=aeax+ , 又f'(0)=4,所以f'(0)=a+1=4,则a=3.故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 5.(多选题)下列求导正确的是(　　) BC 若y=sin x2,则y'=2xcos x2,故B正确; 若y=cos 5x,则y'=-5sin 5x,故C正确; 故选BC. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 6.(多选题)以下函数求导正确的是(　　) AC 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 7.已知函数f(x)=ex+ln(2x+1),e是自然对数的底数,设函数f(x)的导函数为f'(x),则f'(0)=　　　　　,曲线y=f(x)在点(0,1)处的切线方程为　　　　　　　.  3 y=3x+1 解析 因为f(x)=ex+ln(2x+1),则f'(x)=ex+ ,所以f'(0)=3. 因此曲线y=f(x)在点(0,1)处的切线方程为y-1=3x,即y=3x+1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 8.求下列函数的导数: (1)y=ln(ex+x2); (2)y=102x+3; (4)y=sin 2xcos 3x. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解 (1)令u=ex+x2,则y=ln u. (2)令u=2x+3,则y=10u,∴yx'=yu'·ux'=10u·ln 10·(2x+3)'=2ln 10·102x+3. (4)∵y=sin 2xcos 3x,∴y'=(sin 2x)'cos 3x+sin 2x(cos 3x)' =2cos 2xcos 3x-3sin 2xsin 3x. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 B 级 关键能力提升练 9.已知函数f(x)在R上可导,函数F(x)=f(x2-4)+f(4-x2),则F'(2)等于(　　) A.-1 B.0 C.1 D.2 B 解析 ∵F(x)=f(x2-4)+f(4-x2), ∴F'(x)=2xf'(x2-4)-2xf'(4-x2), ∴F'(2)=4f'(0)-4f'(0)=0.故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10.曲线y=ln(2x-1)上的点到直线2x-y+3=0的最短距离是(　　) A 解析 设曲线y=ln(2x-1)在点(x0,y0)处的切线与直线2x-y+3=0平行. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 11.随着科学技术的发展,放射性同位素技术已经广泛应用于医学、航天等众多领域,并取得了显著经济效益.假设某放射性同位素的衰变过程中,其含量P(单位:贝克)与时间t(单位:天)满足函数关系 ,其中P0为初始时刻该放射性同位素的含量.已知t=15时,该放射性同位素的瞬时变化率为 ,则该放射性同位素含量为4.5贝克时衰变所需时间为(　　) A.20天 B.30天 C.45天 D.60天 D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 AD 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 13.设函数f(x)=g(2x-1)+x2,曲线y=g(x)在点(1,g(1))处的切线方程为y=2x+1,则曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程是　　　　　　　　.  6x-y-2=0 解析 把x=1代入y=2x+1,解得y=3,即g(1)=3,由y=2x+1的斜率为2,得到g'(1)=2. ∵f'(x)=2g'(2x-1)+2x, ∴f'(1)=2g'(1)+2=6,即所求切线的斜率为6. 又f(1)=g(1)+1=4,即切点坐标为(1,4),则所求切线的方程为y-4=6(x-1), 即6x-y-2=0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (1)求该函数的导数; (2)求该函数的图象在x=-2处的切线的倾斜角. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 15.已知函数f(x)=asin 3x+bx3+3(a∈R,b∈R),f'(x)为f(x)的导函数,则 f(2 022)+f(-2 022)+f'(2 023)-f'(-2 023)=(　　) A.0 B.2 022 C.2 023 D.6 C 级 学科素养创新练 D 解析 依题意,f(x)的定义域为R,令g(x)=asin 3x+bx3,则g(-x)=asin 3(-x)+ b(-x)3=-g(x),即g(x)是奇函数,有g(2 022)+g(-2 022)=0,则f(2 022)+f(-2 022) =g(2 022)+3+g(-2 022)+3=6.又f'(x)=3acos 3x+3bx2,且有f'(-x)=3acos 3(-x) +3b(-x)2=f'(x),即f'(x)是偶函数,f'(2 023)-f'(-2 023)=0,所以f(2 022)+f(-2 022) +f'(2 023)-f'(-2 023)=6.故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 f(x)=a·b,是否存在实数x∈[0,π],使f(x)+f'(x)=0(其中f'(x)是f(x)的导函数)?若存在,求出x的值;若不存在,请说明理由. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (1)函数f(x)=可以看作是由f(x)= 和u=x-1复合而成的.(　　) (1)y=; 解 函数的中间变量为u=2x-1,则函数y=是由函数y=与u=2x-1复合而成的. 由复合函数的求导法则,可得y'=()'×(2x-1)'=(u-2)'×2=-2u-3×2=. (2)y=sin(2x+); 解 设y=sin u,u=2x+, 则yx'=yu'·ux'=cos u·2=2cos(2x+). (4)y=. 解 设y=,u=5x+4, 则yx'=yu'·ux'=·5=. (1)y=; (2)y=cos(3x-); 解 设y=,u=1-3x,则yx'=yu'·ux'=-3(-4u-5)=12u-5=. 解 设y=cos u,u=3x-, 则yx'=yu'·ux'=-3sin u=-3sin(3x-). (3)y=ln(1-2x); (4)y=. 解 设y=ln u,u=1-2x,则yx'=yu'·ux'=(1-2x)'=. 解 设y=eu,u=x2+x,则yx'=yu'·ux'=eu(2x+1)=(2x+1). (1)y=; 解 ∵(ln 3x)'=×(3x)'=, ∴y'=. (2)y=x. 解 y'=(x)'=x'+x()'=. 2.已知函数f(x)=cos 2x,那么f'()的值为(　　) A.- B. C. D.- ∴f'()=-2sin=-.故选D. A. B.e C.ln 2 D.1 A.若y=cos,则y'=-sin B.若y=sin x2,则y'=2xcos x2 C.若y=cos 5x,则y'=-5sin 5x D.若y=xsin 2x,则y'=xcos 2x 解析 若y=cos,则y'=sin,故A错误; 若y=xsin 2x,则y'=sin 2x+xcos 2x,故D错误. A.若f(x)=,则f'(x)= B.若f(x)=e2x,则f'(x)=e2x C.若f(x)=,则f'(x)= D.若f(x)=cos(2x-),则f'(x)=-sin(2x-) 解析 对于A,f'(x)=,故A正确; 对于B,f'(x)=e2x·2=2e2x,故B错误; 对于C,f'(x)=[(2x-1]'=·(2x-1·2=(2x-1,故C正确; 对于D,f'(x)=(-sin(2x-))·2=-2sin(2x-),故D错误. 故选AC. (3)y=; ∴yx'=yu'·ux'=·(ex+x2)'=·(ex+2x)=. (3)设y=,u=1-x2,则yx'=yu'·ux'=()'(1-x2)'=-·(-2x)=x(1-x2. A. B.2 C.3 D.0 ∵y'=, ∴切线的斜率k==2,解得x0=1, ∴y0=ln(2-1)=0,即切点坐标为(1,0).∴切点(1,0)到直线2x-y+3=0的距离为d=,即曲线y=ln(2x-1)上的点到直线2x-y+3=0的最短距离是. P(t)=P0 - 12.(多选题)已知函数f(x)在x=1处的导数为-,则f(x)的解析式可能为(　　) A.f(x)=-x2+ln x B.f(x)=xex C.f(x)=sin(2x+) D.f(x)= 解析 对于A,f'(x)=-x+,f'(1)=-1+=-,故A满足题意; 对于B,f'(x)=ex+xex,f'(1)=2e,故B不满足题意; 对于C,f'(x)=2cos(2x+),f'(1)≠-,故C不满足题意; 对于D,f'(x)=-,f'(1)=-1+=-,故D满足题意.故选AD. 14.已知函数y=e2x+4-ln(2x+5). 解 (1)∵y=e2x+4-ln(2x+5), ∴y'=e2x+4×(2x+4)'-×(2x+5)'=e2x+4×2-×2=e2x+4-. (2)由(1),知y'=e2x+4-, 所以当x=-2时,y'=e-2×2+4-=1-2=-1. 设该函数的图象在x=-2处的切线的倾斜角为α, 则tan α=-1.又α∈[0,π),所以α=,所以该函数的图象在x=-2处的切线的倾斜角为. 16.已知向量a=,b=,令 解 存在.f(x)=a·b=2cossin+tantan =2cossincos)+=2sincos+2cos2-1=sin x+cos x. 令f(x)+f'(x)=0,即f(x)+f'(x)=sin x+cos x+cos x-sin x=2cos x=0. 可得x=+kπ(k为整数). 因为x∈[0,π],所以x=, 即存在实数x=∈[0,π],使得f(x)+f'(x)=0. $$