1.3.2 正方形的性质与判定（第2课时）（培优教学课件）数学北师大版九年级上册

3.2 正方形的性质与判定 第一章 特殊平行四边形 北师大版九年级数学上册 学习&目标 1．探索并证明正方形的判定，了解平行四边形、矩形、菱形之间的联系和区别； 2．会运用正方形的判定条件进行有关的论证和计算 . 3.探索并证明正方形的判定，并了解平行四边形、 矩形、菱形之间的联系和区别.（重点） 4.会运用正方形的判定条件进行有关的论证和计算.（难点） 情境&导入 正方形的定义 有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。 平行四边形 一组邻边相等 一个角是直角 正方形 正方形的对角线相等并且互相垂直平分. 正方形的四个角都是直角，四条边相等. 正方形的性质 PPT模板：/moban/ PPT素材：/sucai/ PPT背景：/beijing/ PPT图表：/tubiao/ PPT下载：/xiazai/ PPT教程： /powerpoint/ Word模板：/word/ Excel模板：/excel/ 试卷下载：/shiti/ 教案下载：/jiaoan/ 个人简历：/jianli/ PPT课件：/kejian/ 语文课件：/kejian/yuwen/ 数学课件：/kejian/shuxue/ 英语课件：/kejian/yingyu/ 美术课件：/kejian/meishu/ 科学课件：/kejian/kexue/ 物理课件：/kejian/wuli/ 化学课件：/kejian/huaxue/ 生物课件：/kejian/shengwu/ 地理课件：/kejian/dili/ 历史课件：/kejian/lishi/ 3 情境&导入 问题：你是如何判断是矩形、菱形？ 平行四边形 矩形 菱形 四边形 三个角是直角 四条边相等 定义 三个判定定理 定义 对角线相等 定义 对角线垂直 PPT模板：/moban/ PPT素材：/sucai/ PPT背景：/beijing/ PPT图表：/tubiao/ PPT下载：/xiazai/ PPT教程： /powerpoint/ Word模板：/word/ Excel模板：/excel/ 试卷下载：/shiti/ 教案下载：/jiaoan/ 个人简历：/jianli/ PPT课件：/kejian/ 语文课件：/kejian/yuwen/ 数学课件：/kejian/shuxue/ 英语课件：/kejian/yingyu/ 美术课件：/kejian/meishu/ 科学课件：/kejian/kexue/ 物理课件：/kejian/wuli/ 化学课件：/kejian/huaxue/ 生物课件：/kejian/shengwu/ 地理课件：/kejian/dili/ 历史课件：/kejian/lishi/ 4 探索&交流 正方形的性质与判定 1— 探究一 准备一张矩形的纸片，按照下图折叠,然后展开，折叠部分得到一个正方形，可量一量验证验证. 正方形 猜想 满足怎样条件的矩形是正方形？ 矩形 一组邻边相等 对角线互相垂直 正方形 探索&交流 定理：有一组邻边相等的矩形是正方形. 已知：ABCD是矩形，且AB=BC，试证明，ABCD是正方形. 证明：∵ABCD 是矩形， ∴∠A = 90°， 又∵AB = BC， ∴ABCD 是正方形（正方形的定义）. 探索&交流 已知：ABCD是矩形，AC⊥BD，试证明，ABCD是正方形. 证明：∵ABCD 是矩形， ∴∠A=90°，OA=OB=OC=OD 又∵AC⊥BD， ∴△AOB≌△AOD（SAS） ∴AB=AD ∴ABCD 是正方形（正方形的定义）. 定理：对角线互相垂直的矩形是正方形. 探索&交流 探究二 把可以活动的菱形框架的一个角变为直角，观察这时菱形框架的形状.量量看是不是正方形. 正方形 猜想 满足怎样条件的菱形是正方形？ 菱形 一个角是直角 对角线相等 正方形 探索&交流 定理：有一个角是直角的菱形是正方形. 已知：ABCD是菱形，∠A=90°，试证明，ABCD是正方形. 证明：∵ABCD 是菱形， ∴ AB = BC = CD = DA， 又∵∠A = 90° ， ∴ABCD 是正方形（正方形的定义）. 探索&交流 定理：对角线相等的菱形是正方形. 已知：ABCD是菱形，AC=BD，试证明，ABCD是正方形. 证明：∵ABCD 是菱形， ∴ AB = BC = CD = DA，OA = OC = OB = OD ∴AC⊥BD（菱形对角线互相垂直） 又∵AC = BD ， ∴△AOB、△AOD、△BOC、△COD都是等腰直角三角形. ∴∠ABC = 90°. ∴ABCD 是正方形（正方形的定义）. 例题&解析 例题欣赏 ☞ 例1.已知：如图，在矩形 ABCD 中，BE 平分∠ABC，CE 平分∠DCB，BF∥CE，CF∥BE， 求证：四边形 BECF 是正方形. 45° 45° 例题&解析 证明: ∵ BF∥CE,CF∥BE， ∴四边形BECF是平行四边形. ∵四边形ABCD是矩形, ∴ ∠ABC = 90°, ∠DCB = 90°, ∵BE平分∠ABC, CE平分∠ DCB, ∴∠EBC = 45°, ∠ECB = 45°, ∴ ∠ EBC =∠ ECB . ∴ EB=EC,∴□ BECF是菱形 . 在△EBC中 ∵ ∠EBC = 45°,∠ECB = 45°, ∴∠BEC = 90°, ∴菱形BECF是正方形. 探索&交流 做一做 如图，任意画一个四边形，以四边的中点为顶点组成一个新四边形，这个新四边形的形状有什么特征？正方形的中点四边形会是什么形状？ 任意四边形的中点四边形是平行四边形. 三角形的中位线平行于第三边并且等于它的一半． 探索&交流 已知：如图，点 E，F，G，H 分别是正方形ABCD 各边的中点.求证：四边形 EFGH为正方形. 证明：连接 AC，BD， ∵ E，F 分别是 AB 和 BC 边中点， ∴ EF∥AC 且EF = AC， 同理可证 HG∥AC 且HG = AC， EH∥BD且 EH = BD，FG∥BD且FG = BD. ∴四边形 PFQO 为平行四边形. 探索&交流 菱形的中点四边形会是什么形状？矩形的中点四边形会是什么形状？ 菱形的中点四边形是矩形. 你能试着证明吗？ 矩形的中点四边形是菱形. 探索&交流 已知：如图，点 E，F，G，H 分别是菱形 ABCD 各边的中点. 求证：四边形 EFGH 为矩形. 证明：连接 AC，BD， ∵ E，F分别是 AB 和 BC 边中点， ∴ EF∥AC，同理可证 HG∥AC，EH∥BD，FG∥BD. ∴EF∥HG，EH∥FG， ∴四边形 EFGH ，PFQO 为平行四边形. 又∵四边形 ABCD 是菱形 ∴AC⊥BD（菱形的对角线互相垂直）， ∴∠1=90°，∠2=90°. ∴四边形 EFGH 是矩形（矩形的定义） 探索&交流 已知：如图，点 E，F，G，H 分别是矩形 ABCD 各边的中点. 求证：四边形 EFGH 为菱形. 证明：连接 AC，BD， ∵ E，F 分别是 AB 和 BC 边中点， ∴EF∥AC 且 EF = AC， 同理可证 HG∥AC且HG = AC， EH∥BD且EH= BD，FG∥BD且FG= BD. ∴四边形 EFGH 为平行四边形. 又∵四边形 ABCD是矩形 ∴AC=BD（矩形的对角线相等），∴EF=EH ∴四边形 EFGH 是菱形（菱形的定义） 例题&解析 例题欣赏 ☞ 例2.如图，在四边形ABCD中, AB=BC ,对角线BD平分ABC , P是BD上一点,过点P作PMAD , PNCD ,垂足分别为M、N. (1) 求证：ADB=CDB; (2) 若ADC=90,求证：四边形MPND是正方形. C A B D P M N 证明：（1）∵AB = BC,BD平分∠ABC. ∴∠1=∠2. ∴△ABD≌△CBD (AAS). ∴∠ADB=∠CDB. 1 2 例题&解析 C A B D P M N （2）∵∠ADC=90°; 又∵PM⊥AD,PN⊥CD; ∴∠PMD=∠PND=90°. ∴四边形NPMD是矩形. ∵∠ADB=∠CDB; ∴∠ADB=∠CDB=45°.∴∠MPD=∠NPD=45°. ∴DM=PM,DN=PN. ∴四边形NPMD是正方形. 练习&巩固 1．四个内角都相等的四边形一定是（ ） A.正方形 B.菱形 C.矩形 D.平行四边形 C 练习&巩固 2.已知四边形ABCD是平行四边形，再从①AB=BC，②∠ABC=90°，③AC=BD，④AC⊥BD四个条件中，选两个作为补充条件后，使得四边形ABCD是正方形，其中错误的是___________（只填写序号）． ②③或①④ 练习&巩固 3.在正方形ABCD中，点E、F、M、N分别在各边上，且AE=BF=CM=DN． 四边形EFMN是正方形吗?为什么? 练习&巩固 ∴△AEN≌△BFE≌△CMF≌△DNM, ∴EN=FE=MF=NM，∠ANE=∠BEF, ∴四边形EFMN是菱形， ∠NEF=180°－（∠AEN+∠BEF） =180°－（∠AEN+∠ANE） =180°－90°=90°. ∴四边形EFMN是正方形 . 证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴AB=BC=CD=DA，∠A=∠B=∠C=∠D=90°. ∵AE=BF=CM=DN， ∴AN=BE=CF=DM. 在△AEN、△BFE、△CMF、△DNM中， AE=BF=CM=DN,∠A=∠B=∠C=∠D, AN=BE=CF=DM, 小结&反思 正 方 形 对角线相等 性质 判定 正方形的面积公式 特殊的矩形 一组邻边相等 对角线互相垂直 特殊的菱形 一个角是直角 $$