1.4.1 充分条件与必要条件（教学设计）-【上好课】高一数学必修第一册同步高效课堂（人教A版2019）

第一章集合与常用逻辑用语 1.4.1 充分条件与必要条件 教学设计 1、 教学目标 课堂教学目标解析 1．理解充分条件、必要条件与充要条件的意义．　 2．结合具体命题掌握判断充分条件、必要条件、充要条件的方法．　 3．能够利用命题之间的关系判定充要关系或进行充要性的证明． 学科素养 1.数学抽象：充分条件、必要条件与充要条件含义的理解； 2.逻辑推理：通过命题的判定得出充分条件、必要条件的含义，通过定义或集合关系进行充分条件、必要条件、充要条件的判断； 3.数学运算：利用充分、必要条件求参数的范围，常见包含一元二次方程及其不等式和不等式组； 4.数据分析：充要条件的探求与证明：将原命题进行等价变形或转换，直至获得其成立的充要条件，探求的过程同时也是证明的过程； 5.数学建模：通过对充分条件、必要条件的概念的理解和运用，培养学生分析、判断和归纳的逻辑思维能力。 2、 重点难点 1. 教学重点： 充分条件与必要条件概念的概念的理解； 2. 教学难点： 必要条件的理解;充分条件、必要条件的判断方法 3、 学情分析&教材分析 本节内容比较抽象，首先从命题出发，分清命题的条件和结论，看条件能否推出结论，从而判断命题的真假；然后从命题出发结合实例引出充分条件、必要条件、充要条件这三个概念，再详细讲述概念，最后再应用概念进行论证. 4、 学习目标 1.理解充分条件、必要条件的概念．(重点) 2.了解充分条件与判定定理，必要条件与性质定理的关系. 3.能通过充分性、必要性解决简单的问题．(难点) 5、 导入新知 从前有一个牧民，养了几十只羊，白天放牧，晚上赶进一个用柴草和木桩等物围起来的羊圈内。 　　一天早晨，这个牧民去放羊，发现羊少了一只。原来羊圈破了个窟窿，夜间有狼从窟窿里钻了进来，把一只羊叼走了。 　　邻居劝告他说：“赶快把羊圈修一修，堵上那个窟窿吧。” 　　他说：“羊已经丢了，还去修羊圈干什么呢?”没有接受邻居的好心劝告。 　　第二天早上，他去放羊，发现又少了一只羊。原来狼又从窟窿里钻进羊圈，又叼走了一只羊。 　　这位牧民很后悔没有认直接受邻居的劝告，去及时采取补救措施。于是，他赶紧堵上那个窟窿，又从整体进行加固，把羊圈修得十分牢固的。 从此，这个牧民的羊就再也没有被野狼叼走过了。 从这个小故事咱们发现一问题，在有狼的情况下，要想不丢羊，修理好羊圈是必要条件。 一般地，我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．判断为真的语句是真命题，判断为假的语句是假命题．中学数学中的许多命题可以写成“若p，则q”“如果p，那么q”等形式．其中p称为命题的条件，q称为命题的结论．下面我们将进一步探究“若p，则q”形式的命题中p和q的关系． 【师生活动】 学生通过故事，从这个小故事咱们发现一问题，在有狼的情况下，要想不丢羊，修理好羊圈是必要条件。 【设计意图】通过设计故事，引入本节课主题，激发学生学习兴趣。 6、 学习新知 知识点1　充分条件与必要条件 思考：下列“若,则”形式的命题中,哪些是真命题?哪些是假命题? (1)若平行四边形的对角线互相垂直,则这个平行四边形是菱形; (2)若两个三角形的周长相等,则这两个三角形全等; (3)若,则; (4)若平面内两条直线和均垂直于直线,则. 在命题(1)(4)中,由条件通过推理可以得出结论,所以它们是真命题.在命题(2)(3)中,由条件不能得出结论,所以它们是假命题. 一般地,“若,则”为真命题,是指由通过推理可以得出.这时,我们就说,由可以推出,记作并且说,是的充分条件(sufficientcondition),是的必要条件(necessarycondition). 如果“若,则”为假命题,那么由条件不能推出结论,记作.此时,我们就说不是的充分条件,不是的必要条件. 上述命题(1)(4)中的是的充分条件,是的必要条件,而命题(2)(3)中的不是的充分条件,不是的必要条件. 知识点2　充分条件与必要条件 “若p，则q”为真命题 “若p，则q”为假命题 推出关系 p⇒q p⇏q 条件关系 p是q的充分条件 q是p的必要条件 p不是q的充分条件 q不是p的必要条件 定理关系 判定定理给出了相应数学结论成立的充分条件 性质定理给出了相应数学结论成立的必要条件 7、 应用新知 例1下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中的p是q的充分条件？ （1）若四边形的两组对角分别相等，则这个四边形是平行四边形； （2）若两个三角形的三边成比例，则这两个三角形相似； （3）若四边形为菱形，则这个四边形对角线互相垂直； （4）若，则； （5）若，则； （6）若x，y为无理数，则为无理数. 【解析】 （1）这是一条平行四边形的判定定理，，所以p是q的充分条件. （2）这是一条相似三角形的判定定理，，所以p是q的充分条件. （3）这是一条菱形的性质定理，，所以p是q的充分条件. （4）由于，但，，所以p不是q的充分条件. （5）由等式的性质知，，所以p是q的充分条件 （6）为无理数，但为有理数，，所以p不是q的充分条件. 变式1：下列命题中，p是q的充分条件的是________． ①p：(x－2)(x－3)＝0，q：x－2＝0； ②p：两个三角形面积相等，q：两个三角形全等； ③p：m<－2，q：方程x2－x－m＝0无实根． 【解析】 ①∵(x－2)(x－3)＝0， ∴x＝2或x＝3，不能推出x－2＝0. ∴p不是q的充分条件． ②∵两个三角形面积相等，不能推出两个三角形全等，∴p不是q的充分条件． ③∵m<－2，∴12＋4m<0，∴方程x2－x－m＝0无实根，∴p是q的充分条件． 反思感悟　充分条件的判断方法 (1)判定p是q的充分条件要先分清什么是p，什么是q，即转化成p⇒q问题． (2)除了用定义判断充分条件还可以利用集合间的关系判断，若p构成的集合为A，q构成的集合为B，A⊆B，则p是q的充分条件． 思考 例1中命题(1)给出了“四边形是平行四边形”的一个充分条件,即“四边形的两组对角分别相等”.这样的充分条件唯一吗?如果不唯一,那么你能再给出几个不同的充分条件吗? 我们说是的充分条件,是指由条件可以推出结论,但这并不意味着只能由这个条件才能推出结论.一般来说,对给定结论,使得成立的条件是不唯一的.例如,我们知道,下列命题均为真命题: (1)若四边形的两组对边分别相等,则这个四边形是平行四边形; (2)若四边形的一组对边平行且相等,则这个四边形是平行四边形; (3)若四边形的两条对角线互相平分,则这个四边形是平行四边形.所以,“四边形的两组对边分别相等”“四边形的一组对边平行且相等”“四边形的两条对角线互相平分”都是“四边形是平行四边形”的充分条件. 事实上,例1中命题(1)及上述命题(1)(2)(3)均是平行四边形的判定定理.所以,平行四边形的每一条判定定理都给出了“四边形是平行四边形”的一个充分条件,即这个条件能充分保证四边形是平行四边形.类似地,平行线的每一条判定定理都给出了“两直线平行”的一个充分条件,例如“内错角相等”这个条件就充分保证了“两条直线平行”.一般地,数学中的每一条判定定理都给出了相应数学结论成立的一个充分条件. 例2下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中的q是p的必要条件？ （1）若四边形为平行四边形，则这个四边形的两组对角分别相等； （2）若两个三角形相似，则这两个三角形的三边成比例； （3）若四边形的对角线互相垂直，则这个四边形是菱形； （4）若，则； （5）若，则； （6）若为无理数，则x，y为无理数. 【解析】 （1）这是平行四边形的一条性质定理，，所以，q是p的必要条件. （2）这是三角形相似的一条性质定理，，所以，q是p的必要条件. （3）如图1.4-1，四边形的对角线互相垂直，但它不是菱形，，所以，q不是p的必要条件. （4）显然，，所以，q是p必要条件. （5）由于，但，，所以，q不是p的必要条件. （6）由于为无理数，但1，不全是无理数，，所以，q不是p的必要条件. 一般地,要判断“若,则”形式的命题中是否为的必要条件,只需判断是否有“”,即“若,则”是否为真命题. 变式2：指出下列哪些命题中q是p的必要条件？ ①p：一个四边形是矩形，q：四边形的对角线相等； ②p：A⊆B，q：A∩B＝A； ③p：a>b，q：ac>bc. 【解析】 ①因为矩形的对角线相等，所以q是p的必要条件． ②因为p⇒q，所以q是p的必要条件． ③因为p⇏q，所以q不是p的必要条件． 思考 例2中命题(1)给出了“四边形是平行四边形”的一个必要条件,即“这个四边形的两组对角分别相等”.这样的必要条件是唯一的吗?如果不唯一,你能给出“四边形是平行四边形”的几个其他必要条件吗? 我们说是的必要条件,是指以为条件可以推出结论,但这并不意味着由条件只能推出结论.一般来说,给定条件,由可以推出的结论是不唯一的.例如,下列命题都是真命题: (1)若四边形是平行四边形,则这个四边形的两组对边分别相等; (2)若四边形是平行四边形,则这个四边形的一组对边平行且相等;(3)若四边形是平行四边形,则这个四边形的两条对角线互相平分. 这表明,“四边形的两组对边分别相等”“四边形的一组对边平行且相等”“四边形的两条对角线互相平分”都是“四边形是平行四边形”的必要条件. 我们知道,例2中命题(1)及上述命题(1)(2)(3)均为平行四边形的性质定理.所以,平行四边形的每条性质定理都给出了“四边形是平行四边形”的一个必要条件.类似地,平行线的每条性质定理都给出了“两直线平行”的一个必要条件,例如“同位角相等”是“两直线平行”的必要条件,也就是说,如果同位角不相等,那么就不可能有“两直线平行”. 一般地,数学中的每一条性质定理都给出了相应数学结论成立的一个必要条件. 反思感悟　(1)判断p是q的什么条件，主要判断若p成立时，能否推出q成立，反过来，若q成立时，能否推出p成立；若p⇒q为真，则p是q的充分条件，若q⇒p为真，则p是q的必要条件． (2)也可利用集合的关系判断，如条件甲“x∈A”，条件乙“x∈B”，若A⊇B，则甲是乙的必要条件． 反思感悟　充分条件与必要条件的应用技巧 (1)应用：可利用充分性与必要性进行相关问题的求解，特别是求参数的值或取值范围问题． (2)求解步骤：先把p，q等价转化，利用充分条件、必要条件与集合间的包含关系，建立关于参数的不等式(组)进行求解． 8、 能力提升 题型一：充分条件的判断与探求 【练习1】 指出下列哪些命题中p是q的充分条件？ ①在△ABC中，p：∠B>∠C，q：AC>AB； ②已知x，y∈R，p：x＝1，q：(x－1)(x－2)＝0； ③已知x∈R，p：x>1，q：x>2. 【解析】 　①在△ABC中，由大角对大边知，∠B>∠C⇒AC>AB，所以p是q的充分条件． ②由x＝1⇒(x－1)(x－2)＝0，故p是q的充分条件． ③方法一　由x>1⇏x>2，所以p不是q的充分条件． 方法二　设集合A＝{x|x>1}，B＝{x|x>2}， 所以B⊆A，所以p不是q的充分条件． 反思感悟：定义法判断充分条件的步骤： (1)分清“条件”与“结论”. (2)判断条件能否推出结论. (3)下结论：若“条件结论”，则是的充分条件；若“条件结论”，则不是的充分条件. 充分、必要条件的判断方法 (1)判断p是q的什么条件，主要判断若p成立时，能否推出q成立，反过来，若q成立时，能否推出p成立． (2)也可利用集合的关系判断，如果条件甲“x∈A”，条件乙“x∈B”．若A⊇B，则甲是乙的必要条件． 解题技巧：（充分条件与必要条件的判断方法） (1)定义法 若p⇒q，qp，则p是q的充分不必要条件；若pq，q⇒p，则p是q的必要不充分条件； 若p⇒q，q⇒p，则p是q的充要条件；若pq，qp，则p是q的既不充分也不必要条件． (2)集合法 对于集合A＝{x|x满足条件p}，B＝{x|x满足条件q}，具体情况如下： 若A⊆B，则p是q的充分条件；若A⊇B，则p是q的必要条件； 若A＝B，则p是q的充要条件；若A⫋B，则p是q的充分不必要条件； 若B⫋A，则p是q的必要不充分条件．　 (3)等价法 等价转化法就是在判断含有与“否”有关命题条件之间的充要关系时，根据原命题与其逆否命题的等价性转化为形式较为简单的两个条件之间的关系进行判断． 题型二：必要条件的判断与探求 【练习2】已知集合P＝{x|－2<x<4}，Q＝{x|3m－2≤x≤5m＋2，m∈R}．若P的充分条件为Q，求实数m的取值范围． 【解析】 由已知，P的充分条件为Q，则Q是P的子集． 当3m－2>5m＋2，即m<－2时，Q＝∅，满足题意， 当3m－2≤5m＋2，即m≥－2时，由题意得解得0<m<， 综上，m的取值范围是. 延伸探究　已知集合P＝{x|－2<x<1}，Q＝{x|3m－2≤x≤5m＋2，m∈R}．若P的必要条件为Q，求实数m的取值范围． 【解析】 由题意得，P是Q的子集， 则解得－≤m≤0. 反思感悟　充分条件与必要条件的应用技巧 (1)应用：可利用充分性与必要性进行相关问题的求解，特别是求参数的值或取值范围问题． (2)求解步骤：先把p，q等价转化，利用充分条件、必要条件与集合间的包含关系，建立关于参数的不等式(组)进行求解． 题型三：利用充分条件与必要条件求参数范围 【练习3】已知p：x2－8x－20≤0，q：x2－2x＋1－m2≤0(m>0)，且p是q的充分不必要条件，则实数m的取值范围为____ 【答案】{m|m≥9}(或[9，＋∞)) 【解析】　由x2－8x－20≤0，得－2≤x≤10，由x2－2x＋1－m2≤0(m>0)， 得1－m≤x≤1＋m(m>0)． 因为p是q的充分不必要条件，所以p⇒q且qp. 即{x|－2≤x≤10}是{x|1－m≤x≤1＋m，m>0}的真子集， 所以或解得{m|m≥9}(或[9，＋∞)) 利用充分条件与必要条件求参数的取值范围问题，用集合法求解，步骤 (1)化简集合和； (2)根据与的关系(充分条件、必要条件等)，得出集合与之间的包含关系； (3)列出相关不等式(组)(也可借助数轴)； (4)化简，求出参数的取值范围. 解题技巧：（利用充分、必要、充分必要条件的关系求参数范围） (1)化简p、q两命题， (2)根据p与q的关系(充分、必要、充要条件)转化为集合间的关系， (3)利用集合间的关系建立不等关系， (4)求解参数范围． 解题技巧：(探求充要条件一般有两种方法) (1)探求A成立的充要条件时，先将A视为条件，并由A推导结论(设为B)，再证明B是A的充分条件，这样就能说明A成立的充要条件是B，即从充分性和必要性两方面说明． (2)将原命题进行等价变形或转换，直至获得其成立的充要条件，探求的过程同时也是证明的过程，因为探求过程每一步都是等价的，所以不需要将充分性和必要性分开来说明． 9、 课堂总结 1．知识清单： (1)充分条件、必要条件的概念． (2)充分条件与判定定理，必要条件与性质定理的关系． (3)充分条件、必要条件的判断． (4)充分条件与必要条件的应用． 2．方法归纳：等价转化． 3．常见误区：充分条件、必要条件不唯一；求参数范围时能否取到端点值． 1.定义法判断充分条件的步骤： 1.(1)分清“条件”与“结论”. (2)判断条件能否推出结论. (3)下结论：若“条件结论”，则是的充分条件； （4）若“条件结论”，则不是的充分条件. 2.集合法判断充分条件 2.已知满足条件,满足条件.若，则是的充分条件. 3.定义法判断必要条件的步骤： 3.(1)分清“条件”与“结论”. (2)判断条件能否推出结论. (3)下结论：若“结论条件”，则是的必要条件； （4）若“结论条件”，则不是的必要条件. 4.集合法判断充分条件 4.已知满足条件,满足条件.若，则是的必要条件 5. 利用充分条件与必要条件求参数的取值范围问题，用集合法求解，步骤 5.(1)化简集合和； (2)根据与的关系(充分条件、必要条件等)，得出集合与之间的包含关系； (3)列出相关不等式(组)(也可借助数轴)； (4)化简，求出参数的取值范围. 【设计意图】帮助学生梳理本节课的知识并给出思考题。 10、 作业设计 (1)整理本节课的题型； (2)课本P20的练习1~3题； (3)课本P22的习题1.4的1、2 练习 1. 下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中的p是q的充分条件？ （1）若平面内点P在线段的垂直平分线上，则； （2）若两个三角形的两边及一边所对的角分别相等，则这两个三角形全等； （3）若两个三角形相似，则这两个三角形的面积比等于周长比的平方. 【解析】（1）线段垂直平分线的性质，，p是q的充分条件； （2）三角形的两边及一边所对的角分别相等的两个三角形不一定全等，，p不是q的充分条件； （3）相似三角形的性质，，p是q的充分条件. 【点睛】本题考查判断是否为充分条件，属于简单题. 2. 下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中的q是p的必要条件？ （1）若直线l与有且仅有一个交点，则l为的一条切线； （2）若x是无理数，则也是无理数. 【解析】（1）这是圆的切线定义，，所以q是p的必要条件； （2）由于是无理数，但不是无理数，， 所以q不是p的必要条件. 【点睛】本题考查判断是否为必要条件，属于简单题. 3. 如图，直线a与b被直线1所截，分别得到了，，和.请根据这些信息，写出几个“”的充分条件和必要条件. 【解析】因为内错角相等，同位角相等，同旁内角互补，得到， 所以 “”的充分条件：，，； 因为可以得到内错角相等，同位角相等，同旁内角互补， 所以“”的必要条件：，，. 【点睛】本题考查充分条件和必要条件，属于简单题. 11、 板书设计 1、充分条件和必要条件； 2、判别步骤： 3、判别技巧． 例1 例2 希沃白板 PPT展示区 学科网（北京）股份有限公司 ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$