2.1 圆（九大题型提分练）-【上好课】2024-2025学年九年级数学上册同步精品课堂（苏科版）

2.1圆（九大题型提分练） 题型一 圆的定义 1．（23-24九年级上·全国·课后作业）下列图形为圆的是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】B 【解析】解：A．图形没有定点，故不是圆，故该选项不符合题意； B．图形规定了定点和定长，故是圆，故该选项符合题意； C．图形不是圆，故该选项不符合题意； D．图形不是圆，故该选项不符合题意； 故选：B． 2．（2023九年级上·江苏·专题练习）能决定圆的位置的是（　　） A．圆心 B．半径 C．直径 D．周长 【答案】A 【解析】解：根据圆的定义可知，能决定圆的位置的是圆心. 故选A． 3．（23-24九年级上·全国·课后作业）下列条件中，能确定一个圆的是（    ） A．以点为圆心 B．以长为半径 C．以点为圆心，长为半径 D．经过点 【答案】C 【解析】解：∵圆心确定，半径确定后才可以确定圆， ∴C选项正确， 故选：C． 4．（2023·河北唐山·三模）在平面内与点的距离为1cm的点的个数为（    ） A．无数个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】A 【解析】解：∵在平面内与点的距离为1cm的点在以P为圆心，以1cm长为半径的圆上， ∴在平面内与点的距离为1cm的点的个数为无数个， 故选：A． 5．（23-24九年级上·江苏·周测）到O点距离为2的点的集合是 ． 【解析】解：到点O的距离等于2的点的集合是：以点O为圆心，以2为半径的圆． 故答案是：以点O为圆心，以2为半径的圆． 6．（23-24九年级上·吉林松原·期末）关于“圆的定义”，在我国古代就有记载，战国时期数学家墨子撰写的《墨经》一书中，就有“圆，一中同长也”的记载，这句话里的“中”字的意思可以理解为 ． 【解析】解：战国时期的《墨经》一书中记载：“圆，一中同长也”．表示圆心到圆上各点的距离都相等，即半径都相等； 故答案为：中心（圆心） 7．体育老师想利用一根长的绳子在操场上画一个半径为的圆，你能帮他想想办法吗？ 【解析】解：作法如下：将绳子的一端A固定，然后拉紧绳子的另一端B，并绕A在地上转一圈，B所经过的路径就是所要画的圆． 8．（23-24九年级上·福建厦门·期末）我国东汉初年的数学典籍《周髀算经》中总结了对几何工具“矩”（即直角形状的曲尺，如图1所示）的使用之道，其中就有“环矩以为圆”的方法．我国许多数学家对该方法作了如下更具体的描述：如图2所示，在平面内固定两个钉子A，B，保持“矩”的两边始终紧靠两钉子的内侧，转动“矩”，则“矩”的顶点C的运动路线将会是一个圆．依此描述，请用你学过的一个数学概念或定理解释“环矩以为圆”这种方法的道理． 【解析】解：如图，连接， ∵， ∴点C到的等于， ∴“矩”的顶点C的运动路线是以线段的中点为圆心，的长为半径的圆， ∴“环矩以为圆”这种方法的道理：圆是所有到定点的距离等于定长的点的集合． 题型二 根据圆的集合定义作图 1．已知点P、Q，且PQ＝4cm， （1）画出下列图形：到点P的距离等于2cm的点的集合；到点Q的距离等于3cm的点的集合． （2）在所画图中，到点P的距离等于2cm，且到点Q的距离等于3cm的点有几个？请在图中将它们表示出来． 【解析】解：（1）到点P的距离等于2cm的点的集合图中⊙P；到点Q的距离等于3cm的点的集合图中⊙Q． （2）到点P的距离等于2cm，且到点Q的距离等于3cm的点有2个，图中C、D． 2．画出由所有到已知点O的距离大于或等于．并且小于或等于的点组成的图形． 【解析】解：如图所示的阴影部分． 3．设，画图说明：到点A的距离小于，且到点B的距离大于的所有点组成的图形． 【解析】解：如图所示，分别以A、B圆心，以2cm为半径画圆， 到点A的距离小于2cm的点在圆A的内部，到点B的距离大于2cm的点在圆B的外部， 即到点A的距离小于2cm，且到点B的距离大于2cm的所有点组成的图形为图中的阴影部分（不包括阴影的边界）． 4．已知：线段AB = 4 cm，画图说明：和点A、B的距离都不大于3 cm的所有点组成的图形. 【解析】如图所示，以点A，B为圆心，3cm为半径画圆，两个圆相交的部分为阴影部分，图中阴影部分就是到点A和点B的距离都不大于3 cm的所有点组成的图形. 5．如图，已知点P、Q，且．请在下列方格纸上画出图形，并用阴影部分将图形表示出来．（注：方格纸中每格长度代表，不要求写作法．） 画图要求如下：到点P的距离小于或等于，且到点Q的距离小于或等于的点的集合． 【解析】解：如图所示：（阴影部分含边界）， 题型三 根据圆的定义证明几个点在同一个圆上 1．（23-24九年级上·全国·课后作业）如图，四边形是矩形．求证：，，，四点在同一个圆上． 【解析】证明：连接，，交于点， ∵四边形是矩形 ∴， ∴，，，四点在以为圆心，以长为半径的同一个圆上． 2．（2024九年级下·全国·专题练习）如图所示，，是的高，求证：，，，四点在同一个圆上． 【解析】证明：如图所示，取的中点，连接，． ，是的高， 和都是直角三角形． ，分别为和斜边上的中线， ． ，，，四点在以点为圆心，为半径的圆上． 3．（23-24九年级·江苏·假期作业）如图，在中，，，的中点为O．求证：A，B，C，D四点在以O为圆心的圆上．    【解析】证明：连接，，    ∵，AB的中点为O， ∴， ∴A，B，C，D四点在以O为圆心，长为半径的圆上． 4. 菱形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，E、F、G、H分别为各边的中点，求证：点E，F，G，H在以点O为圆心的同一个圆上． 【解析】证明：设菱形ABCD的两条对角线相交于点O，连接OE，OF，OG，OH. ∵四边形ABCD为菱形， ∴AB＝BC＝CD＝DA，AC⊥BD. 在Rt△AOB中，OE为斜边AB上的中线， ∴OE＝AB. 同理，OF＝BC，OG＝CD，OH＝DA. ∴OE＝OF＝OG＝OH. ∴点E，F，G，H在以点O为圆心的同一个圆上． 题型四 根据d与r的数量关系判断点与圆的位置关系 1．（2024·江苏扬州·模拟预测）已知的半径是6，点是平面内一点且，则点与的位置关系是（    ） A．圆内 B．圆外 C．圆上 D．无法确定 【答案】B 【解析】∵的半径为6，， ∴点A到圆心的距离大于圆的半径， ∴点A在外． 故选：B． 2．（2023·江苏盐城·模拟预测）已知的直径为，点P到圆心O的距离为，则点P和圆的位置关系（ ） A．点在圆内 B．点在圆外 C．点在圆上 D．无法判断 【答案】B 【解析】解：∵的直径为， ∴的半径为， ∵点P到圆心O的距离为大于半径， ∴点P在圆外， 故选：B． 3．（2023·上海普陀·二模）已知矩形，，，以点为圆心，为半径画圆，那么点的位置是在 ． 【答案】外 【解析】解：四边形是矩形， ， ，， ， 的半径为，且， 点到圆心的距离大于的半径， 点在外， 故答案为：外． 4．（22-23九年级上·北京·单元测试）在直角坐标平面内， 的半径是5，圆心 的坐标为，试判断点与 的位置关系． 【解析】解：， 因为半径为5， 所以点在 上． 题型五 根据点与圆的位置关系判断d与r的数量关系 1．（23-24九年级上·吉林长春·期末）已知点是外一点，且的半径为，则的长可能为(    ) A． B． C． D． 【答案】D 【解析】解：点是外一点， ， 的长可能为， 故选：D． 2．（2023·福建南平·模拟预测）已知的直径为，点P在上，则的长为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解：由题意得 （）； 故选：B． 3．（2022·吉林·中考真题）如图，在中，，，．以点为圆心，为半径作圆，当点在内且点在外时，的值可能是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【解析】解：在中，，，， ， 点在内且点在外， ，即， 观察四个选项可知，只有选项C符合， 故选：C． 4．（2023·上海宝山·一模）已知圆O的半径为1，A是圆O内一点，如果将线段的长记为d，那么d的取值范围是 ． 【答案】 【解析】解：点在圆内， ∴， 故答案为：． 5．（23-24九年级上·江苏南通·期末）已知的半径为5，线段的长为d，若点A在外，则d的取值范围为 ． 【答案】 【解析】解：若点A在外， ． 故答案为：． 6．（24-25九年级上·全国·假期作业）如图，已知矩形的边，． (1)以点A为圆心，为半径作，则点B，C，D与的位置关系如何？ (2)若以点A为圆心作，使B，C，D三点中至少有一点在圆内且至少有一点在圆外，则的半径r的取值范围是什么？ 【解析】（1）解：连接， ∵在矩形中，，， ∴，，， ∴， ∵， ∴点在内， ∵， ∴点在上， ∵， ∴点在外； （2）解：∵以点A为圆心作，使，，三点中至少有一个点在圆内，且至少有一点在圆外， ∴的半径的取值范围是：． 题型六 与点与圆的位置关系有关的分类讨论 1．（2023·辽宁抚顺·一模）在同一平面内，点P到圆上的最大距离为5，最小距离为1，则此圆的半径为（    ） A．3 B．4或6 C．2或3 D．6 【答案】C 【解析】解：分为两种情况： ①当点在圆内时，如图1， 点到圆上的最小距离，最大距离， 直径, 半径 ②当点在圆外时，如图2， 点到圆上的最小距离，最大距离， 直径, 半径 故选：C 2．（2023九年级上·江苏·专题练习）已知点P是半径为4的上一点，平面上一点Q到点P的距离为2，则线段的长度a的范围为 ． 【答案】 【解析】解：如图， 当点在圆外且，，三点共线时，线段的长度的最大，最大值为； 当点在圆内且，，三点共线时，线段的长度的最小，最小值为， 所以，线段的长度的范围为． 故答案为：． 3．（2024·广东江门·一模）在同一平面内，点不在上，若点到上的点的最大距离是，最小距离是5，试求的半径长． 【解析】解：由题意知，分点在内，点在外两种情况求解； 当点在内，如图1， ∴， ∴， ∴半径为8； 当点在外，如图2， ∴， ∴， ∴半径为3； 综上所述，的半径是3或8； 题型七 与圆有关的概念 1．（2024·江苏连云港·中考真题）如图，将一根木棒的一端固定在O点，另一端绑一重物．将此重物拉到A点后放开，让此重物由A点摆动到B点．则此重物移动路径的形状为（    ）    A．倾斜直线 B．抛物线 C．圆弧 D．水平直线 【答案】C 【解析】解：在移动的过程中木棒的长度始终不变，故点的运动轨迹是以为圆心，为半径的一段圆弧， 故选：C． 2．（2023九年级上·全国·专题练习）等于圆周的弧叫做（   ） A．劣弧 B．半圆 C．优弧 D．圆 【答案】C 【解析】根据直径所对的两条弧是半圆，大于半圆的弧是优弧，则等于圆周的弧是优弧， 故选． 3．（23-24九年级上·全国·课后作业）图中是圆心角的是（　　） A．   B．   C．   D．   【答案】B 【解析】解：A为圆周角，不符合题意； B是圆心角，符合题意； C不是圆心角，不符合题意； D不是圆心角，不符合题意； 故选：B 4．（2023九年级上·江苏·专题练习）下列命题中，正确的个数是（　 ） （1）直径是弦，但弦不一定是直径； （2）半圆是弧，但弧不一定是半圆； （3）半径相等且圆心不同的两个圆是等圆； （4）一条弦把圆分成的两段弧中，至少有一段是优弧． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【解析】解：连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫做直径，直径是圆中最长的弦， 直径是弦，但弦不一定是直径，故（1）说法正确，符合题意； 圆上任意两点间的部分叫做弧， 半圆是弧，但弧不一定是半圆，故（2）说法正确，符合题意； 半径决定圆的大小，半径相等的两个圆是等圆， 半径相等且圆心不同的两个圆是等圆，故（3）说法正确，符合题意； 弧可以分为劣弧、优弧、半圆三种，一条直径把圆分成两个半圆，小于半圆的弧叫做劣弧，大于半径的弧叫做优弧， 直径把圆分成两段弧，既不是优弧也不是劣弧，故（4）说法正确，不符合题意； 综上所述，正确的个数3个， 故选：C． 5．（23-24九年级上·全国·课后作业）如图，在中，点A、O、D和点B、O、C分别在一条直线上，图中共有 条弦，它们分别是 ． 【答案】 三/3 ，， 【解析】解：图中的弦有，，共三条． 故答案为：三；，，． 6．（23-24九年级上·全国·课后作业）如图，圆中以为一个端点的劣弧有 条．    【答案】3 【解析】解：由图形可得，以为一个端点的劣弧有、、，有3条 故答案为：3 题型八 直径和弦的关系 1．（23-24九年级上·广东惠州·期中）下列说法错误的是（　　） A．圆有无数条直径 B．连接圆上任意两点之间的线段叫做弦 C．过圆心的线段是直径 D．同圆中，直径是最长的弦，为半径的两倍 【答案】C 【解析】解：A、圆有无数条直径，正确，不符合题意； B、连接圆上任意两点之间的线段叫做弦，正确，不符合题意； C、经过圆心的弦叫直径，故原说法错误，符合题意； D、同圆中，直径是最长的弦，为半径的两倍，正确，不符合题意； 故选：C． 2．（2023九年级·北京·专题练习）如图，圆的弦中最长的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】解：由图可知，弦AB经过圆心O，故圆的弦中最长的是． 故选：． 3．（23-24九年级上·全国·课后作业）过圆上一点可以作出圆的最长的弦有（   ）条． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【解析】解：圆的最长的弦是直径，直径经过圆心，过圆上一点和圆心可以确定一条直线，所以过圆上一点可以作出圆的最长弦的条数为一条． 故选：A． 4．（23-24九年级上·吉林长春·期中）已知的半径是，则中最长的弦长是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】解：∵的半径是， ∴中最长的弦长直径是． 故选：D 5．（23-24九年级上·全国·课后作业）已知⊙O中最长的弦为8cm，则⊙O的半径为(　　)cm． A．2 B．4 C．8 D．16 【答案】B 【解析】解：∵⊙O中最长的弦为8cm，即直径为8cm， ∴⊙O的半径为4cm． 故选：B. 6．（23-24九年级上·浙江杭州·期末）已知是半径为2的圆的一条弦，则的长可能是（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】A 【解析】∵圆的半径为2， ∴圆的直径为4， ∵是半径为2的圆的一条弦， ∴， 故选：A． 7．（23-24九年级上·全国·课后作业）若的半径为3，则的弦的长度的取值范围是 ． 【答案】 【解析】解： 的半径为3， 的弦的长度的取值范围为：， 故答案为：． 8．（22-23九年级上·四川南充·期中）已知：如图，在中，是直径，为不是直径的弦，求证：是中最长的弦． 【解析】证明：如图，连接，， 、、、是圆的半径， ． 是圆的直径， ． 、、是三角形的三边， ． 即． 是中最长的弦． 题型九 利用半径相等计算或证明 1．（2024九年级下·全国·专题练习）如图，在中，，，若以点为圆心，的长为半径的圆恰好经过的中点，则的长等于（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】解：连接，如图所示： ∵点是的中点，，， ∴， ∵， ∴， 故选：A． 2．（22-23九年级上·安徽淮南·阶段练习）如图，点 和C、D分别在以点O为圆心的两个同心圆上，若，，则（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解：， ， ， 在和中， ， ， ， 故选：B． 3．（23-24九年级上·江苏连云港·阶段练习）直径为的中，弦，则弦所对的圆心角是 ． 【答案】/60度 【解析】解：如图，连接、，    直径为， ， 而， ， 为等边三角形， ， 即弦所对的圆心角是． 故答案为：． 4．（2024九年级下·全国·专题练习）如图，A，，是上三点，，，则的大小为 ． 【答案】/140度 【解析】如图，连接， ， ， ， ， ． 故答案为． 5．（2023·广东揭阳·模拟预测）已知：如图，、、是的三条半径，，、分别为、的中点．求证：． 【解析】证明：∵、为的半径， ∴， ∵M是中点，N是中点， ∴， ∵，， ∴， ∴． 6．（22-23九年级上·江苏盐城·阶段练习）已知：如图，为的半径，C、D分别为的中点．求证：．    【解析】证明：∵为的半径，C、D分别为的中点，   ∴，． 在与 中， ∵ ， ∴． ∴． 7．（23-24九年级上·吉林长春·阶段练习）如图，在中，，以点C为圆心，为半径的圆交于点D，交于点E，若，求的度数； 【解析】解：∵∠ACB=90°，∠A=25°， ∴∠B=90°-25°=65°， ∵CB=CD， ∴∠B=∠CDB=65°， ∴∠BCD=180°-65°-65°=50°， ∴∠DCE=90°-50°=40°． 8．（23-24九年级上·云南文山·阶段练习）如图，是的直径，，交于点 B ，且，求的度数． 【解析】解：设， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 1．（23-24九年级下·全国·课后作业）如图，在中，弦的条数是（    ） A．2 B．3 C．4 D．以上均不正确 【答案】C 【解析】在中，有弦、弦、弦、弦， 共有4条弦． 故选：C． 2．（24-25九年级上·全国·假期作业）如图所示的圆中，下列各角是圆心角的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解：根据圆心角的概念，、、的顶点分别是B、A、C，都不是圆心O，因此都不是圆心角．只有B中的的顶点在圆心，是圆心角． 故选：B． 3．（22-23九年级上·辽宁盘锦·期末）已知是半径为6的圆的一条弦，则的长不可能是（    ） A．6 B．8 C．10 D．14 【答案】D 【解析】解：∵是半径为6的圆的一条弦， ∴， ∴四个选项中，只有D选项符合题意， 故选D． 4．（23-24九年级下·吉林松原·阶段练习）如图，在中，是直径，是弦，点P是劣弧上任意一点．若，则的长不可能是（    ）    A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【解析】解：是直径， ∴是中最长的弦， ∴， ∵ ∴ ∴只有选项D符合题意， 故选：D． 5．（23-24九年级上·新疆乌鲁木齐·期中）下列说法：①面积相等的圆是等圆；②过圆心的线段是直径；③长度相等的弧是等弧；④半径是弦，其中正确的是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】A 【解析】解：①面积相等的圆的半径相等，由等圆的定义可知，半径相等的两个圆也周长相等，所以为等圆，故此选项正确，符合题意； ②过圆心的线段是直径，根据圆的直径的含义可知：通过圆心的线段，因为两端不一定在圆上，所以不一定是这个圆的直径，故此选项错误，不符合题意； ③长度相等的弧是等弧，因为等弧就是能够重合的两个弧，而长度相等的弧不一定是等弧，所以等弧一定是同圆或等圆中的弧，故此选项错误，不符合题意； ④圆上任意两点的连线段是弦，半径只有一个端点在圆上，所以半径不是弦，此项错误，不符合题意； 故选：A． 6．（2024·黑龙江大庆·二模）已知的半径是4，点到圆心的距离为方程的一个根，则点在（    ） A．的外部 B．的内部 C．上 D．无法判断 【答案】B 【解析】解：解方程得， ∴， ∴点在的内部， 故选：B． 7．（2023·江苏徐州·模拟预测）在平面直角坐标系中，若的半径是10，圆心O的坐标是，点M的坐标是，则点 M 与的位置关系是（      ） A．点M 在内 B．点M在上 C．点M在外 D．无法确定 【答案】B 【解析】解：∵， ∴点M在上， 故选B 8．（22-23九年级上·江苏南通·期中）在数轴上，点A所表示的实数为4，点B所表示的实数为b，的半径为2，要使点B在内时，实数b的取值范围是（　　） A． B． C．或 D． 【答案】D 【解析】解：要使点B在内，则，即 解得， 故选：D 9．（2023·吉林四平·模拟预测）如图，在的正方形网格中（小正方形的边长为1），有5个点，M，N，O，P，Q，以O为圆心，为半径作圆，则在外的点是（　　） A．M B．N C．P D．Q 【答案】C 【解析】解：∵，，，， ∴在外的点是P， 故选：C． 10．（2024·云南昭通·二模）在同一平面内，点P在⊙O外，已知点P到⊙O上的点的最大距离为a，最小距离为b，则⊙O的半径为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解：由题意得，P到⊙O上的点的最大距离为a，最小距离为b， ∴圆的直径是，因而半径是， 故选：B． 11．（23-24八年级上·上海静安·期末）经过点D，且半径等于的圆的圆心的轨迹是 ． 【答案】以点D为圆心，长为半径的圆． 【解析】解：根据题意，圆心的轨迹是到定点的距离等于定长的所有点的集合， 根据圆的定义，即：以点D为圆心，长为半径的圆． 故答案为：以点D为圆心，长为半径的圆． 12．（2023·四川成都·二模）已知是内一点（点不与圆心重合），点到圆上各点的距离中，最小距离与最大距离是关于的一元二次方程的两个实数根，则的直径为 ． 【答案】12 【解析】解：∵是内一点， ∴的直径为最小距离与最大距离的和， ∵最小距离与最大距离是关于的一元二次方程的两个实数根， ∴的直径为， 故答案为：12． 13．（2023·安徽安庆·一模）在中，圆心O在坐标原点上，半径为5，点P的坐标为，则点P在 （填“圆内”，“圆外”或“圆上”） 【答案】圆上 【解析】解：∵点P的坐标为， ∴， ∵半径为5， ∴点P在上． 故答案为：圆上． 14．（22-23九年级上·浙江·单元测试）下列说法中正确的有 （填序号）． （1）直径是圆中最大的弦；（2）长度相等的两条弧一定是等弧；（3）半径相等的两个圆是等圆；（4）面积相等的两个圆是等圆；（5）同一条弦所对的两条弧一定是等弧． 【答案】（1）（3）（4） 【解析】解：（1）直径是圆中最大的弦，说法正确； （2）长度相等的两条弧一定是等弧，说法错误，在同圆或等圆中，能够完全重合的两段弧为等弧，不但长度相等，弯曲程度也要相同； （3）半径相等的两个圆是等圆，说法正确； （4）面积相等的两个圆是等圆，说法正确； （5）同一条弦所对的两条弧一定是等弧，说法错误，同一条弦所对的两条弧不一定是等弧，除非这条弦是直径． 故答案为：（1）（3）（4）． 15．（23-24九年级下·全国·课后作业）的半径为，A为上一定点，点P在上沿圆周运动（不与点A重合），则使弦的长度为整数的点P共有 个． 【答案】7 【解析】如图，∵的半径为， ∴直径， ∴弦长的整数值有或或或，共4种可能， 当或或时,各有2条, 当时有1条, ∴这样的弦共有7条． ∴这样的点P共有7个． 故答案为：7． 16．（2022九年级上·全国·专题练习）如图，图中的直径有 ，非直径的弦有 ；图中以为端点的弧中，优弧有 ，劣弧有 ． 【答案】 、 ，，，， ，，， 【解析】解：图中的直径有，非直径的弦有、；图中以A为端点的弧中，优弧有，，，，；劣弧有，，，． 故答案为：；、；，，，，；，，，． 17．（2024·江苏盐城·二模）如图，点A，B，C在上．若，则的度数为 【答案】 【解析】解：∵， ， ， ， ， ， 故答案为：． 18．（22-23九年级上·福建福州·阶段练习）如图，将大小不同的两块量角器的零度线对齐，且小量角器的中心O2，恰好在大量角器的圆周上，设图中两圆周的交点为P，且点P在小量角器对应的刻度为63°，那么点P在大量角器上对应的刻度为 ．（只考虑小于的角） 【答案】 【解析】连接，如图所示： 点P在小量角器对应的刻度为， ， ， ， ， 点P在大量角器上对应的刻度为（只考虑小于的角）． 故答案为：． 19．（22-23九年级上·江苏·期中）已知，有一量角器如图摆放，中心O在边上，为刻度线，为刻度线，角的另一边与量角器半圆交于C，D两点，点C，D对应的刻度分别为，，则= ．    【答案】 【解析】解：如图，连接，，    根据题意得，，， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 20．（2023·山东烟台·中考真题）如图，将一个量角器与一把无刻度直尺水平摆放，直尺的长边与量角器的外弧分别交于点A，B，C，D，连接，则的度数为 ．    【答案】 【解析】方法一∶ 解：如图：连接， 由题意可得：，，， ∴，， ∴． 故答案为．    方法二∶解∶ 连接， 由题意可得：， 根据圆周角定理，知． 故答案为．   21．（2023·江苏宿迁·中考真题）在同一平面内，已知的半径为2，圆心O到直线l的距离为3，点P为圆上的一个动点，则点P到直线l的最大距离是_______. 【答案】5 【解析】解：如图，过点作于点，连接， ，， 当点为的延长线与的交点时，点到直线的距离最大，最大距离为， 故答案为：5． 22．（23-24九年级上·安徽亳州·期末）如图，直角的斜边为的一条弦，直角边经过圆心O，已知，，则的长为______________.    【答案】. 【解析】如图所示，连接    设的半径 ∵， ∴ ∵， ∴在中， ∴ 解得， ∴． 故答案为：． 23．（23-24九年级上·全国·课后作业）如图，在中，，于点为的中点．    (1)以点为圆心，6为半径作圆，试判断点与的位置关系； (2)当的半径为多少时，点在上？ 【解析】（1）如图，在中，，，， ， 在上， ， ， ， ， 在内， ， 在外； （2）在中，， 为的中点， ， 当的半径为5时，点在上； 24．（2023·福建三明·一模）如图，在中，，两点在弦上，且，求证：． 【解析】证明：∵是的弦， ∴点在上， ∴， ∴，即， 又∵， ∴， ∴． 25.（2024·河北石家庄·一模）如图，的直径的延长线与弦的延长线交于点，若，，求的度数．    【解析】解：如图所示，连接， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 26． （2024·四川凉山·模拟预测）在中，，，，D为的中点．以A为圆心，r为半径作⊙A，若B、C、D三点中只有一点在内，求的半径r的取值范围. 【解析】∵在中，，， ∴， ∵D为的中点， ∴．    由上图可知，当的半径时，点D在上， 当的半径时，点C在上，点D在圆内， 当的半径时，点B在上，点C、D在圆内， 当的半径满足时，点D在内， 当的半径满足时，点C、D在内， 当的半径满足时，点B、C、D在内， ∴若B、C、D三点中只有一点在内，则的半径r的取值范围是． ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2.1圆（九大题型提分练） 题型一 圆的定义 1．（23-24九年级上·全国·课后作业）下列图形为圆的是（    ） A．   B．   C．   D．   2．（2023九年级上·江苏·专题练习）能决定圆的位置的是（　　） A．圆心 B．半径 C．直径 D．周长 3．（23-24九年级上·全国·课后作业）下列条件中，能确定一个圆的是（    ） A．以点为圆心 B．以长为半径 C．以点为圆心，长为半径 D．经过点 4．（2023·河北唐山·三模）在平面内与点的距离为1cm的点的个数为（    ） A．无数个 B．3个 C．2个 D．1个 5．（23-24九年级上·江苏·周测）到O点距离为2的点的集合是 ． 6．（23-24九年级上·吉林松原·期末）关于“圆的定义”，在我国古代就有记载，战国时期数学家墨子撰写的《墨经》一书中，就有“圆，一中同长也”的记载，这句话里的“中”字的意思可以理解为 ． 7．体育老师想利用一根长的绳子在操场上画一个半径为的圆，你能帮他想想办法吗？ 8．（23-24九年级上·福建厦门·期末）我国东汉初年的数学典籍《周髀算经》中总结了对几何工具“矩”（即直角形状的曲尺，如图1所示）的使用之道，其中就有“环矩以为圆”的方法．我国许多数学家对该方法作了如下更具体的描述：如图2所示，在平面内固定两个钉子A，B，保持“矩”的两边始终紧靠两钉子的内侧，转动“矩”，则“矩”的顶点C的运动路线将会是一个圆．依此描述，请用你学过的一个数学概念或定理解释“环矩以为圆”这种方法的道理． 题型二 根据圆的集合定义作图 1．已知点P、Q，且PQ＝4cm， （1）画出下列图形：到点P的距离等于2cm的点的集合；到点Q的距离等于3cm的点的集合． （2）在所画图中，到点P的距离等于2cm，且到点Q的距离等于3cm的点有几个？请在图中将它们表示出来． 2．画出由所有到已知点O的距离大于或等于．并且小于或等于的点组成的图形． 3．设，画图说明：到点A的距离小于，且到点B的距离大于的所有点组成的图形． 4．已知：线段AB = 4 cm，画图说明：和点A、B的距离都不大于3 cm的所有点组成的图形. 5．如图，已知点P、Q，且．请在下列方格纸上画出图形，并用阴影部分将图形表示出来．（注：方格纸中每格长度代表，不要求写作法．） 画图要求如下：到点P的距离小于或等于，且到点Q的距离小于或等于的点的集合． 题型三 根据圆的定义证明几个点在同一个圆上 1．（23-24九年级上·全国·课后作业）如图，四边形是矩形．求证：，，，四点在同一个圆上． 2．（2024九年级下·全国·专题练习）如图所示，，是的高，求证：，，，四点在同一个圆上． 3．（23-24九年级·江苏·假期作业）如图，在中，，，的中点为O．求证：A，B，C，D四点在以O为圆心的圆上．    4. 菱形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，E、F、G、H分别为各边的中点，求证：点E，F，G，H在以点O为圆心的同一个圆上． 题型四 根据d与r的数量关系判断点与圆的位置关系 1．（2024·江苏扬州·模拟预测）已知的半径是6，点是平面内一点且，则点与的位置关系是（    ） A．圆内 B．圆外 C．圆上 D．无法确定 2．（2023·江苏盐城·模拟预测）已知的直径为，点P到圆心O的距离为，则点P和圆的位置关系（ ） A．点在圆内 B．点在圆外 C．点在圆上 D．无法判断 3．（2023·上海普陀·二模）已知矩形，，，以点为圆心，为半径画圆，那么点的位置是在 ． 4．（22-23九年级上·北京·单元测试）在直角坐标平面内， 的半径是5，圆心 的坐标为，试判断点与 的位置关系． 题型五 根据点与圆的位置关系判断d与r的数量关系 1．（23-24九年级上·吉林长春·期末）已知点是外一点，且的半径为，则的长可能为(    ) A． B． C． D． 2．（2023·福建南平·模拟预测）已知的直径为，点P在上，则的长为（　　） A． B． C． D． 3．（2022·吉林·中考真题）如图，在中，，，．以点为圆心，为半径作圆，当点在内且点在外时，的值可能是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 4．（2023·上海宝山·一模）已知圆O的半径为1，A是圆O内一点，如果将线段的长记为d，那么d的取值范围是 ． 5．（23-24九年级上·江苏南通·期末）已知的半径为5，线段的长为d，若点A在外，则d的取值范围为 ． 6．（24-25九年级上·全国·假期作业）如图，已知矩形的边，． (1)以点A为圆心，为半径作，则点B，C，D与的位置关系如何？ (2)若以点A为圆心作，使B，C，D三点中至少有一点在圆内且至少有一点在圆外，则的半径r的取值范围是什么？ 题型六 与点与圆的位置关系有关的分类讨论 1．（2023·辽宁抚顺·一模）在同一平面内，点P到圆上的最大距离为5，最小距离为1，则此圆的半径为（    ） A．3 B．4或6 C．2或3 D．6 2．（2023九年级上·江苏·专题练习）已知点P是半径为4的上一点，平面上一点Q到点P的距离为2，则线段的长度a的范围为 ． 3．（2024·广东江门·一模）在同一平面内，点不在上，若点到上的点的最大距离是，最小距离是5，试求的半径长． 题型七 与圆有关的概念 1．（2024·江苏连云港·中考真题）如图，将一根木棒的一端固定在O点，另一端绑一重物．将此重物拉到A点后放开，让此重物由A点摆动到B点．则此重物移动路径的形状为（    ）    A．倾斜直线 B．抛物线 C．圆弧 D．水平直线 2．（2023九年级上·全国·专题练习）等于圆周的弧叫做（   ） A．劣弧 B．半圆 C．优弧 D．圆 3．（23-24九年级上·全国·课后作业）图中是圆心角的是（　　） A．   B．   C．   D．   4．（2023九年级上·江苏·专题练习）下列命题中，正确的个数是（　 ） （1）直径是弦，但弦不一定是直径； （2）半圆是弧，但弧不一定是半圆； （3）半径相等且圆心不同的两个圆是等圆；（4）一条弦把圆分成的两段弧中，至少有一段是优弧． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．（23-24九年级上·全国·课后作业）如图，在中，点A、O、D和点B、O、C分别在一条直线上，图中共有 条弦，它们分别是 ． 6．（23-24九年级上·全国·课后作业）如图，圆中以为一个端点的劣弧有 条．    题型八 直径和弦的关系 1．（23-24九年级上·广东惠州·期中）下列说法错误的是（　　） A．圆有无数条直径 B．连接圆上任意两点之间的线段叫做弦 C．过圆心的线段是直径 D．同圆中，直径是最长的弦，为半径的两倍 2．（2023九年级·北京·专题练习）如图，圆的弦中最长的是（   ） A． B． C． D． 3．（23-24九年级上·全国·课后作业）过圆上一点可以作出圆的最长的弦有（   ）条． A．1 B．2 C．3 D．4 4．（23-24九年级上·吉林长春·期中）已知的半径是，则中最长的弦长是（    ） A． B． C． D． 5．（23-24九年级上·全国·课后作业）已知⊙O中最长的弦为8cm，则⊙O的半径为(　　)cm． A．2 B．4 C．8 D．16 6．（23-24九年级上·浙江杭州·期末）已知是半径为2的圆的一条弦，则的长可能是（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 7．（23-24九年级上·全国·课后作业）若的半径为3，则的弦的长度的取值范围是 ． 8．（22-23九年级上·四川南充·期中）已知：如图，在中，是直径，为不是直径的弦，求证：是中最长的弦． 题型九 利用半径相等计算或证明 1．（2024九年级下·全国·专题练习）如图，在中，，，若以点为圆心，的长为半径的圆恰好经过的中点，则的长等于（ ） A． B． C． D． 2．（22-23九年级上·安徽淮南·阶段练习）如图，点 和C、D分别在以点O为圆心的两个同心圆上，若，，则（　　） A． B． C． D． 3．（23-24九年级上·江苏连云港·阶段练习）直径为的中，弦，则弦所对的圆心角是 ． 4．（2024九年级下·全国·专题练习）如图，A，，是上三点，，，则的大小为 ． 5．（2023·广东揭阳·模拟预测）已知：如图，、、是的三条半径，，、分别为、的中点．求证：． 6．（22-23九年级上·江苏盐城·阶段练习）已知：如图，为的半径，C、D分别为的中点．求证：．    7．（23-24九年级上·吉林长春·阶段练习）如图，在中，，以点C为圆心，为半径的圆交于点D，交于点E，若，求的度数； 8．（23-24九年级上·云南文山·阶段练习）如图，是的直径，，交于点 B ，且，求的度数． 1．（23-24九年级下·全国·课后作业）如图，在中，弦的条数是（    ） A．2 B．3 C．4 D．以上均不正确 2．（24-25九年级上·全国·假期作业）如图所示的圆中，下列各角是圆心角的是（　　） A． B． C． D． 3．（22-23九年级上·辽宁盘锦·期末）已知是半径为6的圆的一条弦，则的长不可能是（    ） A．6 B．8 C．10 D．14 4．（23-24九年级下·吉林松原·阶段练习）如图，在中，是直径，是弦，点P是劣弧上任意一点．若，则的长不可能是（    ）    A．2 B．3 C．4 D．5 5．（23-24九年级上·新疆乌鲁木齐·期中）下列说法：①面积相等的圆是等圆；②过圆心的线段是直径；③长度相等的弧是等弧；④半径是弦，其中正确的是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 6．（2024·黑龙江大庆·二模）已知的半径是4，点到圆心的距离为方程的一个根，则点在（    ） A．的外部 B．的内部 C．上 D．无法判断 7．（2023·江苏徐州·模拟预测）在平面直角坐标系中，若的半径是10，圆心O的坐标是，点M的坐标是，则点 M 与的位置关系是（      ） A．点M 在内 B．点M在上 C．点M在外 D．无法确定 8．（22-23九年级上·江苏南通·期中）在数轴上，点A所表示的实数为4，点B所表示的实数为b，的半径为2，要使点B在内时，实数b的取值范围是（　　） A． B． C．或 D． 9．（2023·吉林四平·模拟预测）如图，在的正方形网格中（小正方形的边长为1），有5个点，M，N，O，P，Q，以O为圆心，为半径作圆，则在外的点是（　　） A．M B．N C．P D．Q 10．（2024·云南昭通·二模）在同一平面内，点P在⊙O外，已知点P到⊙O上的点的最大距离为a，最小距离为b，则⊙O的半径为（　　） A． B． C． D． 11．（23-24八年级上·上海静安·期末）经过点D，且半径等于的圆的圆心的轨迹是 ． 12．（2023·四川成都·二模）已知是内一点（点不与圆心重合），点到圆上各点的距离中，最小距离与最大距离是关于的一元二次方程的两个实数根，则的直径为 ． 13．（2023·安徽安庆·一模）在中，圆心O在坐标原点上，半径为5，点P的坐标为，则点P在 （填“圆内”，“圆外”或“圆上”） 14．（22-23九年级上·浙江·单元测试）下列说法中正确的有 （填序号）． （1）直径是圆中最大的弦；（2）长度相等的两条弧一定是等弧；（3）半径相等的两个圆是等圆；（4）面积相等的两个圆是等圆；（5）同一条弦所对的两条弧一定是等弧． 15．（23-24九年级下·全国·课后作业）的半径为，A为上一定点，点P在上沿圆周运动（不与点A重合），则使弦的长度为整数的点P共有 个． 16．（2022九年级上·全国·专题练习）如图，图中的直径有 ，非直径的弦有 ；图中以为端点的弧中，优弧有 ，劣弧有 ． 17．（2024·江苏盐城·二模）如图，点A，B，C在上．若，则的度数为 18．（22-23九年级上·福建福州·阶段练习）如图，将大小不同的两块量角器的零度线对齐，且小量角器的中心O2，恰好在大量角器的圆周上，设图中两圆周的交点为P，且点P在小量角器对应的刻度为63°，那么点P在大量角器上对应的刻度为 ．（只考虑小于的角） 19．（22-23九年级上·江苏·期中）已知，有一量角器如图摆放，中心O在边上，为刻度线，为刻度线，角的另一边与量角器半圆交于C，D两点，点C，D对应的刻度分别为，，则= ．    20．（2023·山东烟台·中考真题）如图，将一个量角器与一把无刻度直尺水平摆放，直尺的长边与量角器的外弧分别交于点A，B，C，D，连接，则的度数为 ．    21．（2023·江苏宿迁·中考真题）在同一平面内，已知的半径为2，圆心O到直线l的距离为3，点P为圆上的一个动点，则点P到直线l的最大距离是_______. 22．（23-24九年级上·安徽亳州·期末）如图，直角的斜边为的一条弦，直角边经过圆心O，已知，，则的长为______________.    23．（23-24九年级上·全国·课后作业）如图，在中，，于点为的中点．    (1)以点为圆心，6为半径作圆，试判断点与的位置关系； (2)当的半径为多少时，点在上？ 24．（2023·福建三明·一模）如图，在中，，两点在弦上，且，求证：． 25.（2024·河北石家庄·一模）如图，的直径的延长线与弦的延长线交于点，若，，求的度数．    26.（2024·四川凉山·模拟预测）在中，，，，D为的中点．以A为圆心，r为半径作⊙A，若B、C、D三点中只有一点在内，求的半径r的取值范围. 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