专题02 数轴上的动点问题（五大类型）-【常考压轴题】2024-2025学年六年级数学上册压轴题攻略（沪教版2024）

专题02数轴上的动点问题 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 2 类型一、运动的时间问题 2 类型二、定值问题 4 类型三、找点的位置问题 6 类型四、最值问题 8 类型五、规律探究问题 10 压轴能力测评（12道） 12 1．数轴： （1）概念：在数学中,可以用一条直线上的点表示数,它规定了原点、正方向和单位长度,这条直线叫做数轴； （2）三要素： ①原点：在直线上任取一个点表示数0,这个点叫做原点； ②正方向：通常规定直线上从原点向右（或向上）为正方向,从原点向左（或向下）为负方向； ③单位长度：直线上从原点向右,每隔一个单位长度取一个点,依次表示1,2,3……；从原点向左,用类似的方法,依次表示 2．数轴上的点与有理数的关系 （1）所有的有理数都可以用数轴上的点来表示,正有理数可用原点右边的点表示,负有理数可用原点左边的点表示,0用原点表示。 （2）所有的有理数都可以用数轴上的点表示出来,但数轴上的点不都表示有理数,也就是说,有理数与数轴上的点不是一一对应关系。（如,数轴上的点π不是有理数） 3．利用数轴表示两数大小 ①在数轴上数的大小比较,右边的数总比左边的数大； ②正数都大于0,负数都小于0,正数大于负数； ③两个负数比较,距离原点远的数比距离原点近的数小。 4．可以表示什么数 （1）,表示是正数；反之,是正数,则； （2）,表示是负数；反之,是负数,则 （3）,表示是0；反之,是0,则 类型一、运动的时间问题 【例1】如图，已知数轴上的点A对应的数为6，B是数轴上的一点，且AB=10，动点P从点A出发，以每秒6个单位长度的速度沿着数轴向左匀速运动，设运动时间为t秒(t>0). (1)数轴上点B对应的数是________，点P对应的数是_________(用t的式了表示)； (2)动点Q从点B与点P同时发，以每秒4个单位长度的速度沿着数轴向左匀速运动，试问：运动多少时间点P可以追上点Q? 【例2】阅读：如图，已知数轴上有、、三个点，它们表示的数分别是，，．到的距离可以用表示，计算方法：，或．根据阅读完成下列问题：    (1)填空： ， ． (2)若点以每秒个单位长度的速度向左运动，同时，点和点分别以每秒个单位长度和个单位长度的速度向右运动，试探索：到的距离与到的距离的差（即）的值是否随着时间的变化而改变？请说明理由． (3)现有动点、都从点出发，点以每秒个单位长度的速度向右移动，当点移动秒时，点才从点出发，并以每秒个单位长度的速度向右移动．设点移动的时间为秒（），直接写出、两点间的距离（用含的代数式表示）． 【变式1-1】如下图，数轴上，点A表示的数为，点B表示的数为，点C表示的数为9，点D表示的数为13，在点B和点C处各折一下，得到一条“折线数轴”，我们称点A和点D在数轴上相距20个长度单位，动点P从点A出发，沿着“折线数轴”的正方向运动，同时，动点Q从点D出发，沿着“折线数轴”的负方向运动，它们在“水平路线”射线BA和射线CD上的运动速度相同均为2个单位/秒，“上坡路段”从B到C速度变为“水平路线”速度的一半，“下坡路段”从C到B速度变为“水平路线”速度的2倍．设运动的时间为t秒，问： (1)动点Q从点C运动到点B需要的时间为______秒； (2)动点P从点A运动至D点需要的时间为多少秒？ (3)当P、O两点在数轴上相距的长度与Q、O两点在数轴上相距的长度相等时，求出动点P在数轴上所对应的数． 【变式1-2】已知：且、、分别是点、、在数轴上对应的数. （1）求点与点的距离； （2）若甲、乙两个动点分别从、两点同时出发，沿数轴正方向运动，它们的速度分别是2和1（单位长度/秒），求甲追上乙时所用的时间； （3）在（2）的条件下，甲动点向数轴正方向运动，乙动点向数轴负方向运动.当甲动点开始运动时，丙动点以4个单位长度/秒的速度和甲动点同时从点向数轴正方向运动，当丙动点遇到乙动点时立即返回向数轴负方向运动，当遇到甲动点时也马上返回，如此往复直到甲乙两动点相遇则停止运动，设甲乙两动点在点处相遇，求从开始到停止运动，丙动点走的总路程以及点对应的数字. 【变式1-3】A，B两个动点在数轴上同时做匀速运动，运动方向不变，它们的运动时间和在数轴上的位置所对应的数记录如表． (1)根据题意，填写下列表格： 时间（秒） 0 5 7 A点在数轴上的位置 0 _____空（1）______ B点在数轴上的位置 _______空（2）____ (2)A、B两点在___________秒时相遇，相遇点对应的数是___________； (3)在A、B两点上分别安装一个感应器，感应距离小于或等于6时会一直发出震动提示．则A、B两点开始运动后，经过几秒感应器开始发出提示？提示持续多长时间？ 类型二、定值问题 【例3】如下表，从左边第一个格子开始向右数，在每个小格子中各填入一个整数，其中任意三个相邻格子中所填整数之和都相等，且a，b，c在数轴上所对应的点分别为A，B，C． 6 … (1)直接写出a，b，c的值：________，________，________； (2)如图，点为数轴上点右侧一点，对应的数为，两点分别从同时出发，相向而行，2秒后在途中相遇，相遇后，两点的速度都提高了1个单位长度/秒，当点到达点后立刻按原路向点返行，当点到达点后也立刻按原路向点返行，两点在第一次相遇后经过3秒又再次相遇，求的值； (3)点分别从数轴上的点同时出发，均沿数轴的正方向运动，速度分别为2个单位长度/秒、4个单位长度/秒、个单位长度/秒，在运动过程中，总是定值，求常数的值． 【例4】已知：是最小的正整数，且、、满足，请回答问题： (1)请直接写出、、的值，______，______，______． (2)、、所对应的点分别为、、，点为一动点，其对应的数为，点在0到2之间运动时（即时），请化简式子：（请写出化简过程）． (3)在（1）（2）的条件下，点、、开始在数轴上运动，若点以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点和点分别以每秒1个单位长度和3个单位长度的速度向右运动，假设秒钟过后，若点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为请问：的值是否随着时间的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值． 【变式2-1】已知一个点从数轴上的原点开始，先向左移动7个单位长度到达点，再从点向右移动12个单位长度到达点．点是线段的中点． (1)点表示的数是_____； (2)若动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动，同时动点分别从点出发，分别以每秒1个单位长度、4个单位长度的速度沿数轴向右运动．设运动时间为秒． ①当时，求的值； ②试探索：的值是否随着时间的变化而改变？请说明理由． 【变式2-2】初一年级开设了丰富多彩的选修课，佳佳同学在“数学实验与探究”课上借助两根木棒、研究数轴上的动点问题： 如图，数轴上有，，三个点，分别表示有理数，和12．佳佳把两根木棒放在数轴上，使点与点重合，点与点重合，点在点的左边，点在点的左边，且，．木棒从点开始一直向右以每秒1个单位的速度匀速运动；木棒同时从点开始向右以每秒3个单位的速度匀速运动，当点运动到时，木棒立即以每秒2个单位的速度返回（返回过程中，仍然保持点在点的左边），当点再次运动到点时，两根木棒立即同时停止运动，设运动时间为秒．    (1)当时，点表示的数为 ，点表示的数为 ； (2)在整个运动的过程中，当线段和线段的长度之和为12时，求出对应的的值； (3)点为木棒上一点，在整个运动过程中，是否存在某些时间段，使得点到点、、、的距离之和为一个定值？若存在，请求出这个定值和持续的总时长；若不存在，请说明理由． 【变式2-3】已知点A在数轴上表示的数为a，点B表示的数为b. (1)若a，b满足，求线段的长； (2)在（1）的条件下，若动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度向右匀速运动，同时动点Q从点B出发，以每秒1个单位长度的速度向左匀速运动，运动时间为t秒，当点P与点Q相距4个单位长度时，求t的值； (3)若动点P从点A出发，以每秒4个单位长度的速度向右匀速运动，同时动点Q从点B出发，以每秒b个单位长度的速度也向右匀速运动，设运动t秒后，点P表示的数为m，点Q表示的数为n.是否存在有理数a和b，使得无论t为何值，代数式为定值3，若存在，求a，b的值，若不存在，请说明理由. 类型三、找点的位置问题 【例5】若数轴上点，所表示的数分别是，，则，两点之间的距离可表示为两点所表示的数的差的绝对值，即或．已知点，在数轴上，点在数轴上对应的数为，点对应的数为，且，满足． (1)求点，两点之间的距离； (2)如果点，分别同时从点，出发，沿数轴相向运动，点每秒走1个单位长度，点每秒走个单位长度，经过几秒，两点相遇？此时点，对应的数是多少？ 【例6】如图，已知数轴上两点A、B对应的数分别为a、b，点B位于点A左侧，且．动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t秒． (1)写出数轴上点A表示的数为______，点B表示的数为______，点P表示的数为______（用含t的式子表示）； (2)若P，Q两点同时出发，动点Q从点B出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动． ①当t为何值时，点P、Q两点到点A的距离相等？ ②当点Q到达点A后立即原速返回，其中一点运动到点B时，两点停止运动．求在这个运动过程中，P，Q两点相遇时t的值． 【变式3-1】如图，在数轴上点对应的数为，点对应的数为8，点对应的数为为原点． (1)线段的长是 ，线段的中点所对应的数是 (2)若点从点出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴负方向运动，同时，点从点出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴正方向运动．设运动时间为秒． ①用含的式子表示点点表示的有理数； ②当点到达点时，求线段的长； ③若线段的长为5，直接写出的值． 【变式3-2】已知数轴上有，两点，分别代表−，，甲，乙两人分别从，两点同时出发，甲沿线段以个单位长度/秒的速度向右运动，甲到达点处时运动停止，乙沿方向以个单位长度/秒的速度向左运动． (1)，两点间的距离为 个单位长度；乙到达点时共运动了 秒． (2)甲，乙在数轴上的哪个点相遇？ (3)多少秒时，甲、乙相距个单位长度？ (4)若乙到达点后立刻掉头并保持速度不变，则甲到达点前，甲，乙还能在数轴上相遇吗？若能，求出相遇点所对应的数；若不能，请说明理由． 【变式3-3】已知数轴上，两点对应的数分别为，，且，满足，点对应的数为，点对应的数为． (1)求，的值； (2)点，沿数轴同时出发相向匀速运动，点的速度为个单位秒，点的速度为个单位秒，若秒时点到原点的距离和点到原点的距离相等，求的值； (3)在（2）的条件下，点，从起始位置同时出发．当点运动到点时，迅速以原来的速度返回，到达出发点后，又折返向点运动．点运动至点后停止运动，当停止运动时点也停止运动．求在此过程中，，两点同时到达的点在数轴上对应的数． 类型四、最值问题 【例7】如图，数轴上三点、、表示的数分别为、5、15，点为数轴上一动点，其对应的数为． (1)点到点的距离为______； (2)数轴上是否存在点（点在点的右侧），使得点到点、的距离之和为25个单位长度？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由； (3)设点到、、三点的距离之和为S，在动点从点开始沿数轴的正方向运动到达点这一运动过程中，请直接写出S的最大值与最小值． 【例8】已知数轴上点、点表示的数分别为、，则、两点之间的距离为，线段的中点表示的数为． 若点、、在数轴上对应的数为、、0，且关于的多项式是二次三项式，点、分别从点、出发，同时向右匀速运动，的速度为2个单位长度/秒，的速度为1个单位长度/秒，设运动的时间为秒． (1)直接写出 ． (2)①用含的代数式表示：秒后，点表示的数为_________，点表示的数为_______． ②当，求的值； (3)若点为线段的中点，为线段的中点，、在运动的过程中，的值会随着的改变而改变，请求出当满足什么条件时，有最大值，最大值是多少？ 【变式4-1】点在数轴上表示的数分别为，且满足，多项式是五次四项式． (1)的值为_________，的值为_________，的值为_________． (2)若数轴上有三个动点，分别从点开始同时出发在数轴上运动，速度分别为每秒1个单位长度、7个单位长度、3个单位长度． 其中点向左运动，点向右运动，点先向左运动，遇到点后回头再向右运动，遇到点后又回头再向左运动，…，这样直到点遇到点时三点都停止运动，求点所走的路程； (3)已知点为数轴上一点，它表示的数为，求的最小值，并写出此时的取值． 【变式4-2】已知数轴上两点A，B对应的数分别是6，，M，N为数轴上两个动点，点M从A点出发，速度为每秒2个单位，点N从点B出发，速度为点M的3倍．    (1) A，B的两点之间的距离是______； (2)若点M向右运动，同时点N向左运动，经过______秒时，点M与点N相距46个单位？ (3)若点P是数轴上另一个动点，点P从原点出发，速度为每秒1个单位．点M、N、P同时都向右运动，求经过多长时间点P到点M、N的距离相等？ (4)已知a是数轴上一点表示的数，请直接写出当______时，的值最小，最小值是______． 【变式4-3】（1）若数轴上M，N两点分别表示数m与数n，则M，N两点之间的距离是，例如：表示2和在数轴上对应的两点之间的距离．数轴上x和的两点之间的距离可表示为______． （2）如图，数轴上的点A表示的是，点B表示的是4，P是数轴上任意一点，且点P表示的是x，求的最小值．    （3）古城某条街上有3家新开的自习室A，B，C．小浩是大学生，小浩参与了大学生创业计划，在政府的支持下，小浩想在自习室附近开设一家复印店，为来自习室学习的学生提供方便，复印店记为点P．如图，小浩家在O处，自习室A在小浩家西边60米处，B在小浩家东边180米处，C在小浩家东边240米处．请问：小浩把复印店开设在什么地方，复印店到三个自习室和家的距离之和最小，即的值最小？最小值是多少？    类型五、规律探究问题 【例7】如图，数轴上三点、、表示的数分别为、5、15，点为数轴上一动点，其对应的数为． (1)点到点的距离为______； (2)数轴上是否存在点（点在点的右侧），使得点到点、的距离之和为25个单位长度？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由； (3)设点到、、三点的距离之和为S，在动点从点开始沿数轴的正方向运动到达点这一运动过程中，请直接写出S的最大值与最小值． 【例8】已知数轴上点、点表示的数分别为、，则、两点之间的距离为，线段的中点表示的数为． 若点、、在数轴上对应的数为、、0，且关于的多项式是二次三项式，点、分别从点、出发，同时向右匀速运动，的速度为2个单位长度/秒，的速度为1个单位长度/秒，设运动的时间为秒． (1)直接写出 ． (2)①用含的代数式表示：秒后，点表示的数为_________，点表示的数为_______． ②当，求的值； (3)若点为线段的中点，为线段的中点，、在运动的过程中，的值会随着的改变而改变，请求出当满足什么条件时，有最大值，最大值是多少？ 【变式4-1】点在数轴上表示的数分别为，且满足，多项式是五次四项式． (1)的值为_________，的值为_________，的值为_________． (2)若数轴上有三个动点，分别从点开始同时出发在数轴上运动，速度分别为每秒1个单位长度、7个单位长度、3个单位长度． 其中点向左运动，点向右运动，点先向左运动，遇到点后回头再向右运动，遇到点后又回头再向左运动，…，这样直到点遇到点时三点都停止运动，求点所走的路程； (3)已知点为数轴上一点，它表示的数为，求的最小值，并写出此时的取值． 【变式4-2】已知数轴上两点A，B对应的数分别是6，，M，N为数轴上两个动点，点M从A点出发，速度为每秒2个单位，点N从点B出发，速度为点M的3倍．    (1) A，B的两点之间的距离是______； (2)若点M向右运动，同时点N向左运动，经过______秒时，点M与点N相距46个单位？ (3)若点P是数轴上另一个动点，点P从原点出发，速度为每秒1个单位．点M、N、P同时都向右运动，求经过多长时间点P到点M、N的距离相等？ (4)已知a是数轴上一点表示的数，请直接写出当______时，的值最小，最小值是______． 【变式4-3】（1）若数轴上M，N两点分别表示数m与数n，则M，N两点之间的距离是，例如：表示2和在数轴上对应的两点之间的距离．数轴上x和的两点之间的距离可表示为______． （2）如图，数轴上的点A表示的是，点B表示的是4，P是数轴上任意一点，且点P表示的是x，求的最小值．    （3）古城某条街上有3家新开的自习室A，B，C．小浩是大学生，小浩参与了大学生创业计划，在政府的支持下，小浩想在自习室附近开设一家复印店，为来自习室学习的学生提供方便，复印店记为点P．如图，小浩家在O处，自习室A在小浩家西边60米处，B在小浩家东边180米处，C在小浩家东边240米处．请问：小浩把复印店开设在什么地方，复印店到三个自习室和家的距离之和最小，即的值最小？最小值是多少？    一、单选题 1．如图，圆的周长为4个单位长度，在该圆的4等分点处分别标上数字0、1、2、3，先让圆周上表示数字0的点与数轴上表示数的点重合，再将数轴按逆时针方向环绕在该圆上，则数轴上表示数的点与圆周上表示数字（    ）的点重合．    A．0 B．1 C．2 D．3 2．在数轴上，点、点分别表示数，，则线段的长表示为||，例如：在数轴上点表示，点表示，则线段的长表示为||，数轴上的任意一点表示的数是，且||||的最小值为，若，则的值为（） A．或 B．或 C．或 D．或 3．如图，已知 A，B（B在A的左侧）是数轴上的两点，点A对应的数为8，且，动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动，在点P的运动过程中，M，N始终为 ，的中点，设运动时间为t（）秒，则下列结论中正确的有（    ） ①点B对应的数是4；②点P到达点B时，；③时，；④在点P的运动过程中，线段的长度不变 A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 二、填空题 4．如图，在数轴上，点A表示1，现将点A沿x轴做如下移动，第一次点A向左移动3个单位长度到达点，第二次将点向右移动6个单位长度到达点，第三次将点向左移动9个单位长度到达点，按照这种移动规律移动下去，第n次移动到点，若点与原点的距离是3035，则 ． 5．如图，在数轴上，点表示的数是，点表示的数为，点是数轴上的动点．点沿数轴的负方向运动，在运动过程中，当点到点的距离与点到点的距离比是时，点表示的数是 ．    6．如图所示，在数轴上放置了两个完全相同的长方形ABCD、EFGH．现长方形ABCD、EFGH分别以每秒1个单位、3个单位的速度沿数轴正方向运动．则在运动过程中，两个长方形的重叠部分面积的最大值为 ，且它的持续时间为 秒． 三、解答题 7．如图，A，B两点在数轴上，点A表示的数为，，点M以每秒2个单位长度的速度从点A开始向左运动，点N以每秒3个单位长度的速度从点B开始向左运动（点M和点N同时出发） (1)数轴上点B对应的数是 ，线段的长是 ． (2)经过几秒，点M，点N到原点的距离相等？ (3)当M运动到什么位置时，点M与点N相距20个单位长度？ 8．在数轴上点A，，所表示的数分别是，6，． (1)求的长； (2)若点是的中点，用含的代数式表示的长； (3)若点以每秒5个单位的速度向左运动，同时，点以每秒20个单位的速度向右运动，点从原点开始以每秒1个单位的速度向右运动，记的中点为，的中点为，试通过计算说明的结果是定值． 9．如图，已知数轴上，两点表示的数分别为，3，点为数轴上一动点，其表示的数为． (1)若点为的中点，则的值为　　； (2)若点到点，的距离之和为8，则的值为　　； (3)某时刻点，分别以每秒2个单位长度和每秒个单位长度的速度同时沿数轴向右运动，同时点以每秒6个单位长度的速度从表示数1的点向左运动．求当点，之间的距离为3个单位长度时，点表示的数． 10．如图，是数轴的原点，、是数轴上的两个点，点对应的数是，点对应的数是8，是线段上一点，满足． (1)求点对应的数； (2)动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，当点到达点后停留2秒钟，然后继续按原速沿数轴向右匀速运动到点后停止．在点从点出发的同时，动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴匀速向左运动，一直运动到点后停止．设点的运动时间为秒．问当时，求的值； 11．【背景知识】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合．研究数轴我们发现了许多重要的规律：若数轴上点，点表示的数分别为，则两点之间的距离，线段的中点表示的数为． 【问题情境】数轴上点表示的数为，点表示的数为6，点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向终点匀速运动，同时点从点出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动，到达点后，再立即以同样的速度返回点，当点到达终点后，两点都停止运动，设运动时间为秒． 【综合运用】 (1)填空：两点间的距离________，线段的中点表示的数为________； (2)当为何值时，两点间距离为3； (3)若点为的中点，点为的中点，当点到达点之前，在运动过程中，探索线段和的数量关系，并说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02数轴上的动点问题 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 2 类型一、运动的时间问题 2 类型二、定值问题 7 类型三、找点的位置问题 13 类型四、最值问题 18 类型五、规律探究问题 23 压轴能力测评 28 1．数轴： （1）概念：在数学中,可以用一条直线上的点表示数,它规定了原点、正方向和单位长度,这条直线叫做数轴； （2）三要素： ①原点：在直线上任取一个点表示数0,这个点叫做原点； ②正方向：通常规定直线上从原点向右（或向上）为正方向,从原点向左（或向下）为负方向； ③单位长度：直线上从原点向右,每隔一个单位长度取一个点,依次表示1,2,3……；从原点向左,用类似的方法,依次表示 2．数轴上的点与有理数的关系 （1）所有的有理数都可以用数轴上的点来表示,正有理数可用原点右边的点表示,负有理数可用原点左边的点表示,0用原点表示。 （2）所有的有理数都可以用数轴上的点表示出来,但数轴上的点不都表示有理数,也就是说,有理数与数轴上的点不是一一对应关系。（如,数轴上的点π不是有理数） 3．利用数轴表示两数大小 ①在数轴上数的大小比较,右边的数总比左边的数大； ②正数都大于0,负数都小于0,正数大于负数； ③两个负数比较,距离原点远的数比距离原点近的数小。 4．可以表示什么数 （1）,表示是正数；反之,是正数,则； （2）,表示是负数；反之,是负数,则 （3）,表示是0；反之,是0,则 类型一、运动的时间问题 【例1】如图，已知数轴上的点A对应的数为6，B是数轴上的一点，且AB=10，动点P从点A出发，以每秒6个单位长度的速度沿着数轴向左匀速运动，设运动时间为t秒(t>0). (1)数轴上点B对应的数是________，点P对应的数是_________(用t的式了表示)； (2)动点Q从点B与点P同时发，以每秒4个单位长度的速度沿着数轴向左匀速运动，试问：运动多少时间点P可以追上点Q? 【答案】（1）-4；6-6t;（2）5秒. 【详解】（1）有题意可得： B点表示的数为：6-10=-4； 点P表示的数为：6-6t； 故答案为-4,6-6t; （2）设点P运动x秒时，在点C处追上点Q（如下图） 则AC=6x,BC=4x, 由AC-BC=AB可得： 解得： 所以点P运动5秒时，在点C处追上点Q. 【点睛】利用数轴可以直观地求出两点之间的距离或解决与距离有关的问题，体现了数形结合的思想方法. 【例2】阅读：如图，已知数轴上有、、三个点，它们表示的数分别是，，．到的距离可以用表示，计算方法：，或．根据阅读完成下列问题：    (1)填空： ， ． (2)若点以每秒个单位长度的速度向左运动，同时，点和点分别以每秒个单位长度和个单位长度的速度向右运动，试探索：到的距离与到的距离的差（即）的值是否随着时间的变化而改变？请说明理由． (3)现有动点、都从点出发，点以每秒个单位长度的速度向右移动，当点移动秒时，点才从点出发，并以每秒个单位长度的速度向右移动．设点移动的时间为秒（），直接写出、两点间的距离（用含的代数式表示）． 【答案】(1)，； (2)不变，理由见解析； (3)或或． 【详解】（1），， 故答案为：，； （2）不变，理由： 因为：经过秒后，，，三点所对应的数分别是，，， 所以：，， ∵， ∴，， ∴，， 所以：， 所以的值不会随着时间的变化而改变； （3）经过秒后，，两点所对应的数分别是，， 当点追上点时，， 解得：， 当时，点在还点处， 所以：， 当时，点在点的右边， 所以：， 当时，点在点的右边， 所以：， 综上所述，、两点间的距离为或或． 【变式1-1】如下图，数轴上，点A表示的数为，点B表示的数为，点C表示的数为9，点D表示的数为13，在点B和点C处各折一下，得到一条“折线数轴”，我们称点A和点D在数轴上相距20个长度单位，动点P从点A出发，沿着“折线数轴”的正方向运动，同时，动点Q从点D出发，沿着“折线数轴”的负方向运动，它们在“水平路线”射线BA和射线CD上的运动速度相同均为2个单位/秒，“上坡路段”从B到C速度变为“水平路线”速度的一半，“下坡路段”从C到B速度变为“水平路线”速度的2倍．设运动的时间为t秒，问： (1)动点Q从点C运动到点B需要的时间为______秒； (2)动点P从点A运动至D点需要的时间为多少秒？ (3)当P、O两点在数轴上相距的长度与Q、O两点在数轴上相距的长度相等时，求出动点P在数轴上所对应的数． 【答案】(1)2.5 (2)15 (3) 【详解】（1）∵点B表示的数为-1，点C表示的数为9， ∴BC=1-(-9)=10(个单位)， ∵“下坡路段”从C到B速度变为“水平路线”速度的2倍，“水平路线”速度是2个单位/秒， ∴“下坡路段”速度是4个单位/秒， ∴动点Q从点C运动到点B需要的时间为10÷4=2.5(秒)； （2）根据题意知：AB=|-7-(-1)|=6(个单位)，BC=1-(-9)=10(个单位)，CD=13-9=4(个单位)， ∴“水平路线”速度是2个单位/秒，从B到C速度变为“水平路线”速度的一半， ∴动点P从点A运动至D点需要的时间为 6÷2+10÷+4÷2=3+10+2=15(秒)； （3）设运动时间为t秒， ①当0≤t≤2，即P在AB上，Q在CD上，显然P、O两点在数轴上相距的长度与Q、O两点在数轴上相距的长度不会相等； ②当2＜t≤3，即P在AB上，Q在CB上时，P表示的数是-7+2t，Q表示的数是9-4(t-2)， ∴0-(-7+2t)=9-4(t-2)-0， 解得t=5， 此时P已不在AB上，不符合题意，这种情况不存在； ③当3<t<4.5，即P在BC上，Q在CB上时，P表示的数是-1+(t-3)=t-4，Q表示的数是9-4(t-2)=17-4t， ∴|t-4|=|17-4t|， 解得t=或t=， ∴P表示的数是或； ④当4.5＜t≤7.5，即P在BC上，Q在AB上时，P表示的数是t-4，Q表示的数是-1-2(t-4.5)=8-2t， ∴t-4-0=0-(8-2t)， 解得t=4(不合题意，舍去)， 综上所述，当P、O两点在数轴上相距的长度与Q、O两点在数轴上相距的长度相等时，动点P在数轴上所对应的数是或． 【点睛】本题考查数轴上的动点问题，解题的关键是用含t的代数式表示动点表示的数，根据运动过程分类讨论． 【变式1-2】已知：且、、分别是点、、在数轴上对应的数. （1）求点与点的距离； （2）若甲、乙两个动点分别从、两点同时出发，沿数轴正方向运动，它们的速度分别是2和1（单位长度/秒），求甲追上乙时所用的时间； （3）在（2）的条件下，甲动点向数轴正方向运动，乙动点向数轴负方向运动.当甲动点开始运动时，丙动点以4个单位长度/秒的速度和甲动点同时从点向数轴正方向运动，当丙动点遇到乙动点时立即返回向数轴负方向运动，当遇到甲动点时也马上返回，如此往复直到甲乙两动点相遇则停止运动，设甲乙两动点在点处相遇，求从开始到停止运动，丙动点走的总路程以及点对应的数字. 【答案】（1）1；（2）甲追上乙时所用的时间为6秒；（3）丙动点运动的总路程为8个单位长度，点D对应的数是3. 【详解】解：（1）∵|a+1|≥0，（5﹣b）2≥0，|c+2|≥0， |a+1|+（5﹣b）2+|c+2|＝0， ∴a+1＝0，5﹣b＝0，c+2＝0， ∴a＝﹣1，b＝5，c＝﹣2． ∴AC=（-1）-（-2）=1 （2）由题意，AB=5-（-1）=6 ∴6÷（2-1）=6 答：甲追上乙时所用的时间为6秒. （3）根据题意，甲与乙相遇时所需要的时间为 6÷（2+1）=2 ∴丙动点运动的总路程为2×4＝8个单位长度， ∵点A的速度为2 ∴点A走的路程为2×2=4 ∴点D对应的数是（-1）+4=3 答：丙动点运动的总路程为8个单位长度，点D对应的数是3. 【点睛】本题考查数轴以及绝对值的非负性，有理数的混合运算，点的运动，根据点的运动特点，灵活运用时间=路程÷速度进行求解是解决问题的关键． 【变式1-3】A，B两个动点在数轴上同时做匀速运动，运动方向不变，它们的运动时间和在数轴上的位置所对应的数记录如表． (1)根据题意，填写下列表格： 时间（秒） 0 5 7 A点在数轴上的位置 0 _____空（1）______ B点在数轴上的位置 _______空（2）____ (2)A、B两点在___________秒时相遇，相遇点对应的数是___________； (3)在A、B两点上分别安装一个感应器，感应距离小于或等于6时会一直发出震动提示．则A、B两点开始运动后，经过几秒感应器开始发出提示？提示持续多长时间？ 【答案】(1)，； (2)3，4； (3)经过2感应器开始发出提示，提示持2秒 【详解】（1）解：由题意可得， A的速度为：， ∴， ， 故答空1为：， B的速速为：， ∴， ∴， 故答空2答案为：； （2）解：由（1）得， 两点相距：， ， ∴A、B两点在3秒时相遇， 此时数字为：， 相对应的数字是4； （3）解：当相遇前相距6时， 时间：（秒）， 当相遇后相距6时， 时间：（秒）， （秒）， ∴经过2感应器开始发出提示，提示持2秒． 【点睛】本题考查数轴上动点问题，解题的关键是注意分类讨论相距问题． 类型二、定值问题 【例3】如下表，从左边第一个格子开始向右数，在每个小格子中各填入一个整数，其中任意三个相邻格子中所填整数之和都相等，且a，b，c在数轴上所对应的点分别为A，B，C． 6 … (1)直接写出a，b，c的值：________，________，________； (2)如图，点为数轴上点右侧一点，对应的数为，两点分别从同时出发，相向而行，2秒后在途中相遇，相遇后，两点的速度都提高了1个单位长度/秒，当点到达点后立刻按原路向点返行，当点到达点后也立刻按原路向点返行，两点在第一次相遇后经过3秒又再次相遇，求的值； (3)点分别从数轴上的点同时出发，均沿数轴的正方向运动，速度分别为2个单位长度/秒、4个单位长度/秒、个单位长度/秒，在运动过程中，总是定值，求常数的值． 【答案】(1)，，； (2) (3) 【详解】（1）解：∵任意三个相邻格子中所填整数之和都相等， ∴第4个数为，，第7个数为， ∴，， 如下表： 6 6 6 … （2）设的速度为每秒个单位长度，Q的速度为每秒个单位长度， 由题意可得：， 可得：， 、两点的距离， ∴M对应的数为：； （3）由题意可得运动中P，Q，R分别对应的数为：，，，， ∴， ， ∴ ； ∵在运动过程中，总是定值， ∴， 解得：． 【例4】已知：是最小的正整数，且、、满足，请回答问题： (1)请直接写出、、的值，______，______，______． (2)、、所对应的点分别为、、，点为一动点，其对应的数为，点在0到2之间运动时（即时），请化简式子：（请写出化简过程）． (3)在（1）（2）的条件下，点、、开始在数轴上运动，若点以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点和点分别以每秒1个单位长度和3个单位长度的速度向右运动，假设秒钟过后，若点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为请问：的值是否随着时间的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值． 【答案】(1)，， (2)当时，；当时， (3)不变，2 【详解】（1）解：由于是最小的正整数， ， ， ， ， 故答案为：，，； （2）因为点在到之间运动时，且点所对应的数为，所以， 当时，，，， 所以 ； 当时，，，， 所以 ； （3）不变，由题意，得 秒钟过后点表示的数为：，点表示的数为：，点表示的数为：， 所以，， 所以． 所以的值是不随着时间的变化而改变的，其值为2． 解：（1）因为是最小的正整数，所以， 因为，所以，， 所以，，所以的值为，的值为1，的值为5， 故答案为：，，； 【点睛】本题为数轴上的动点问题，考查整式加减的应用，非负数的性质、理解数轴上点所对应数的表示，应用数形结合思想解题是关键． 【变式2-1】已知一个点从数轴上的原点开始，先向左移动7个单位长度到达点，再从点向右移动12个单位长度到达点．点是线段的中点． (1)点表示的数是_____； (2)若动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动，同时动点分别从点出发，分别以每秒1个单位长度、4个单位长度的速度沿数轴向右运动．设运动时间为秒． ①当时，求的值； ②试探索：的值是否随着时间的变化而改变？请说明理由． 【答案】(1) (2)①的值为0；②的值不随着时间的变化而改变．理由见解析 【详解】（1）解：由题意可得，A点表示的数为：，B点表示的数为：，, 由， 故点表示的数为：． 故答案为：； （2） 解：①由题意可得，点移动秒时表示的数为，点P移动t秒时表示的数为，点M移动t秒时表示的数为， 当时， ； ②的值不随着时间的变化而改变， ， 的值不随着时间的变化而改变，的值为0． 【变式2-2】初一年级开设了丰富多彩的选修课，佳佳同学在“数学实验与探究”课上借助两根木棒、研究数轴上的动点问题： 如图，数轴上有，，三个点，分别表示有理数，和12．佳佳把两根木棒放在数轴上，使点与点重合，点与点重合，点在点的左边，点在点的左边，且，．木棒从点开始一直向右以每秒1个单位的速度匀速运动；木棒同时从点开始向右以每秒3个单位的速度匀速运动，当点运动到时，木棒立即以每秒2个单位的速度返回（返回过程中，仍然保持点在点的左边），当点再次运动到点时，两根木棒立即同时停止运动，设运动时间为秒．    (1)当时，点表示的数为 ，点表示的数为 ； (2)在整个运动的过程中，当线段和线段的长度之和为12时，求出对应的的值； (3)点为木棒上一点，在整个运动过程中，是否存在某些时间段，使得点到点、、、的距离之和为一个定值？若存在，请求出这个定值和持续的总时长；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)6；2 (2)对应的值为3秒、9秒、14秒或18秒 (3)存在，定值为8；持续总时长为秒 【详解】（1）点表示的数为6；点表示的数为2； （2）况1： 当时，，，，， ，即    况2： 当时， ，，， ，    综上所述，对应的值为3秒、9秒、14秒或18秒； （3）定值为8；持续总时长为秒，求解过程如下： 况1：当时， 1°     2°     ∴持续时长2秒 况2：当时， 1°  ， ， 2°  ， ，    ∴持续时长为（秒）， ， ∴持续的总时长为秒． 【点睛】本题主要考查了用数轴上的点表示有理数，数轴上两点之间的距离，数轴上的动点问题以及一元一次方程的应用，解题的关键是数形结合，注意进行分类讨论． 【变式2-3】已知点A在数轴上表示的数为a，点B表示的数为b. (1)若a，b满足，求线段的长； (2)在（1）的条件下，若动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度向右匀速运动，同时动点Q从点B出发，以每秒1个单位长度的速度向左匀速运动，运动时间为t秒，当点P与点Q相距4个单位长度时，求t的值； (3)若动点P从点A出发，以每秒4个单位长度的速度向右匀速运动，同时动点Q从点B出发，以每秒b个单位长度的速度也向右匀速运动，设运动t秒后，点P表示的数为m，点Q表示的数为n.是否存在有理数a和b，使得无论t为何值，代数式为定值3，若存在，求a，b的值，若不存在，请说明理由. 【答案】(1)７ (2)或 (3)存在，， 【详解】（1）∵， ∴，， ∴，， ∴线段的长为个单位长度； （2）点P表示，点Q表示， 当P在Q左侧且相距4个单位长度时，则，解得：； 当P在Q右侧且相距4个单位长度时，则，解得：. 综上所述：当点P与点Q相距4个单位长度时，t的值为或； （3）依题意得：，， ∵无论t为何值，，即， 整理得：， ∴，， 解得：，， ∴存在，时，无论t为何值，代数式为定值3 【点睛】本题考查了数轴上的动点问题，数轴上表示有理数，绝对值的非负性，一元一次方程的应用等知识点，读懂题意，根据题意表示出移动后P，Q表示的有理数是解本题的关键． 类型三、找点的位置问题 【例5】若数轴上点，所表示的数分别是，，则，两点之间的距离可表示为两点所表示的数的差的绝对值，即或．已知点，在数轴上，点在数轴上对应的数为，点对应的数为，且，满足． (1)求点，两点之间的距离； (2)如果点，分别同时从点，出发，沿数轴相向运动，点每秒走1个单位长度，点每秒走个单位长度，经过几秒，两点相遇？此时点，对应的数是多少？ 【答案】(1) (2)经过秒，两点相遇，对应数是 【详解】（1）解：， ，， 解得：，， ； （2）设经过秒，的两点相遇， 根据题意得：， 解得：， 点，对应的数：， 答：经过秒，两点相遇，对应数是． 【例6】如图，已知数轴上两点A、B对应的数分别为a、b，点B位于点A左侧，且．动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t秒． (1)写出数轴上点A表示的数为______，点B表示的数为______，点P表示的数为______（用含t的式子表示）； (2)若P，Q两点同时出发，动点Q从点B出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动． ①当t为何值时，点P、Q两点到点A的距离相等？ ②当点Q到达点A后立即原速返回，其中一点运动到点B时，两点停止运动．求在这个运动过程中，P，Q两点相遇时t的值． 【答案】(1)， (2)①当t为5或时，点P、Q两点到点A的距离相等；②在这个运动过程中，P，Q两点相遇时t的值为5或 【详解】（1）∵， ∴， ∴， ∴点A、B表示的数分别是， ∴点P表示的数为 故答案为：，； （2）①点P、Q到点A的距离相等，有两种情况， 当点P与点Q在点A两侧时，即， 解得：， 当点P与点Q重合时，即， ， 解得：， ∴当t为5或时，点P、Q两点到点A的距离相等； ②分两种情况： 当点Q出发到点A的过程中与点P相遇时， 则， 当点Q到达点A返回时与点P相遇时， 则， ∴在这个运动过程中，P，Q两点相遇时t的值为5或． 【变式3-1】如图，在数轴上点对应的数为，点对应的数为8，点对应的数为为原点． (1)线段的长是 ，线段的中点所对应的数是 (2)若点从点出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴负方向运动，同时，点从点出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴正方向运动．设运动时间为秒． ①用含的式子表示点点表示的有理数； ②当点到达点时，求线段的长； ③若线段的长为5，直接写出的值． 【答案】(1)28；3 (2)①点表示，点表示；②12；③或 【详解】（1）∵点对应的数为，点对应的数为8，点对应的数为 ∴线段的长是， 线段的中点所对应的数是； （2）①根据题意得，点P表示的数为，点Q表示的数为； ②当点到达点时， 解得 ∴此时点Q表示的数为 ∴线段的长为； ③∵线段的长为5 ∴ 整理得， ∴或 解得或． 【变式3-2】已知数轴上有，两点，分别代表−，，甲，乙两人分别从，两点同时出发，甲沿线段以个单位长度/秒的速度向右运动，甲到达点处时运动停止，乙沿方向以个单位长度/秒的速度向左运动． (1)，两点间的距离为 个单位长度；乙到达点时共运动了 秒． (2)甲，乙在数轴上的哪个点相遇？ (3)多少秒时，甲、乙相距个单位长度？ (4)若乙到达点后立刻掉头并保持速度不变，则甲到达点前，甲，乙还能在数轴上相遇吗？若能，求出相遇点所对应的数；若不能，请说明理由． 【答案】(1)80，； (2)甲，乙在数轴上的点相遇； (3)秒或秒时，甲、乙相距个单位长度； (4)甲，乙能在数轴上相遇，相遇点表示的数是． 【详解】（1）解：、两点的距离为，乙到达点时共运动了秒； 故答案为：，； （2）设甲，乙经过秒会相遇，根据题意得： ， 解得， ． 答：甲，乙在数轴上的点相遇； （3）解：两种情况，相遇前， 设秒时，甲、乙相距个单位长度， 根据题意得，， 解得； 相遇后， 设秒时，甲、乙相距个单位长度，根据题意得， ， 解得：， 答：秒或秒时，甲、乙相距个单位长度； （4）解：乙到达点需要秒，甲位于， 乙追上甲需要秒， 此时相遇点的数是， 故甲，乙能在数轴上相遇，相遇点表示的数是． 【变式3-3】已知数轴上，两点对应的数分别为，，且，满足，点对应的数为，点对应的数为． (1)求，的值； (2)点，沿数轴同时出发相向匀速运动，点的速度为个单位秒，点的速度为个单位秒，若秒时点到原点的距离和点到原点的距离相等，求的值； (3)在（2）的条件下，点，从起始位置同时出发．当点运动到点时，迅速以原来的速度返回，到达出发点后，又折返向点运动．点运动至点后停止运动，当停止运动时点也停止运动．求在此过程中，，两点同时到达的点在数轴上对应的数． 【答案】(1)， (2)或 (3)， 【详解】（1）解：由题意，得， ，， 解得：，； （2）点对应的数为，对应的数是， ，，． 当、在原点的异侧时， 若点到原点的距离和点到原点的距离相等， 则， 解得：． 当、在原点的右侧相遇时，点到原点的距离和点到原点的距离相等， 则， 解得， ，两点到原点的距离相等时，的值为或 （3）点运动至点所需的时间为， 故， 由（2）得，当时，，两点同时到达的点表示的数是； 由题意，得当点从点返回出发点时，若与相遇， 则， 解得：， 此时，两点同时到达的点表示的数是． 当点从出发点返回点时，若与点相遇， 则， 解得不合题意； 综上所述，，两点同时到达的点在数轴上表示的数为：，． 类型四、最值问题 【例7】如图，数轴上三点、、表示的数分别为、5、15，点为数轴上一动点，其对应的数为． (1)点到点的距离为______； (2)数轴上是否存在点（点在点的右侧），使得点到点、的距离之和为25个单位长度？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由； (3)设点到、、三点的距离之和为S，在动点从点开始沿数轴的正方向运动到达点这一运动过程中，请直接写出S的最大值与最小值． 【答案】(1)25 (2)存在，的值为或10 (3)的最大值为40，最小值为25 【详解】（1）解：点A到点C的距离为：， 故答案为：25； （2）存在； 当点在点的左侧（含点）时： 由题意得：， 解得：， 当点在点和点之间（含点）时： 由题意得：，不符合题意； 当点在点的右侧时： 由题意得：， 解得：， 数轴上存在点，使得点到点、点的距离之和为25个单位长度，的值为或10； （3）由题意得：， 点在点、之间， ， ∵当点与点重合时，最大，此时， 的最大值为， ∵当点与点重合时，最小，此时， 的最小值为25， 综上，的最大值为40，最小值为25． 【例8】已知数轴上点、点表示的数分别为、，则、两点之间的距离为，线段的中点表示的数为． 若点、、在数轴上对应的数为、、0，且关于的多项式是二次三项式，点、分别从点、出发，同时向右匀速运动，的速度为2个单位长度/秒，的速度为1个单位长度/秒，设运动的时间为秒． (1)直接写出 ． (2)①用含的代数式表示：秒后，点表示的数为_________，点表示的数为_______． ②当，求的值； (3)若点为线段的中点，为线段的中点，、在运动的过程中，的值会随着的改变而改变，请求出当满足什么条件时，有最大值，最大值是多少？ 【答案】(1)； (2)①，；② (3)时，取最大值，最大值为10 【详解】（1）解：∵关于的多项式是二次三项式， ∴， 解得：； （2）①点从出发，向右运动，所以点表示的数为． 从出发，向右出发，所以点表示的数为． 故答案为：，． ②，， 当时，， 即或， 当，方程无解， 当， 解得． （3）点为线段的中点，为线段的中点， 点表示的数为，表示的数为，                     ，，                     ，                             当时，． 当时，． ∴ 当时，， ∴当时，取最大值，最大值为．                                 综上所述，时，取最大值，最大值为10． 【变式4-1】点在数轴上表示的数分别为，且满足，多项式是五次四项式． (1)的值为_________，的值为_________，的值为_________． (2)若数轴上有三个动点，分别从点开始同时出发在数轴上运动，速度分别为每秒1个单位长度、7个单位长度、3个单位长度． 其中点向左运动，点向右运动，点先向左运动，遇到点后回头再向右运动，遇到点后又回头再向左运动，…，这样直到点遇到点时三点都停止运动，求点所走的路程； (3)已知点为数轴上一点，它表示的数为，求的最小值，并写出此时的取值． 【答案】(1) (2)52.5 (3)78，． 【详解】（1）解：， ， ∵多项式是五次四项式， 故答案为：； （2）点P，M相遇时间， 点所走路程：（单位长度）． 故点所走的路程为52.5单位长度． （3）将代入， 可得 当时，原式， 当时，原式， 当时，原式， 当时，原式， ∴当时，的最小值为78． 【变式4-2】已知数轴上两点A，B对应的数分别是6，，M，N为数轴上两个动点，点M从A点出发，速度为每秒2个单位，点N从点B出发，速度为点M的3倍．    (1) A，B的两点之间的距离是______； (2)若点M向右运动，同时点N向左运动，经过______秒时，点M与点N相距46个单位？ (3)若点P是数轴上另一个动点，点P从原点出发，速度为每秒1个单位．点M、N、P同时都向右运动，求经过多长时间点P到点M、N的距离相等？ (4)已知a是数轴上一点表示的数，请直接写出当______时，的值最小，最小值是______． 【答案】(1)14 (2)4 (3)经过或秒时点P到点M，N的距离相等 (4)0；14 【详解】（1）解：由题意知，A，B的两点之间的距离是， 故答案为：14； （2）解：设运动时间为，则点M对应的数为，点N对应的数为， 由题意知，， 解得，， ∴经过4秒时，点M与点N相距46个单位， 故答案为：4； （3）解：设运动时间为，则点M对应的数为，点N对应的数为，点P对应的数为， ∴，， 由题意知，，即， 当时，解得； 当时，解得； ∴经过或秒时点P到点M，N的距离相等． （4）解：由绝对值的意义可知，为对应数为的点距离对应数为的点之间的距离和， ∵，当，的值最小， ∴当时，的值最小，值为， 故答案为：0；14． 【点睛】本题考查了在数轴上表示有理数，数轴上两点之间的距离，数轴上动点问题，绝对值的意义，绝对值方程等知识．熟练掌握数轴上两点之间的距离是解题的关键． 【变式4-3】（1）若数轴上M，N两点分别表示数m与数n，则M，N两点之间的距离是，例如：表示2和在数轴上对应的两点之间的距离．数轴上x和的两点之间的距离可表示为______． （2）如图，数轴上的点A表示的是，点B表示的是4，P是数轴上任意一点，且点P表示的是x，求的最小值．    （3）古城某条街上有3家新开的自习室A，B，C．小浩是大学生，小浩参与了大学生创业计划，在政府的支持下，小浩想在自习室附近开设一家复印店，为来自习室学习的学生提供方便，复印店记为点P．如图，小浩家在O处，自习室A在小浩家西边60米处，B在小浩家东边180米处，C在小浩家东边240米处．请问：小浩把复印店开设在什么地方，复印店到三个自习室和家的距离之和最小，即的值最小？最小值是多少？    【答案】（1） （2）的最小值是6 （3）把复印店开设在之间（含端点O，B）处，复印店到三个自习室和家的距离之和最小，最小值是480米． 【详解】解：（1）． （2）PA的值为，的值为， 则． 如图，当点P在点A左侧时，．    如图，当点P在点B右侧时，．    如图，当点P在点A，B之间时（包括端点A，B），．    因为，所以， 所以的最小值是6，即的最小值是6． （3）如图，以小浩家O为原点，向东（右）为正方向，所在直线为轴，建立数轴，则A表示，B表示180，C表示240．    当点P在之间时，， 当点P在之间时，， 当点P在点之间（含端点O，B）时，， 此时，的值最小，最小值是． 所以，小浩把复印店开设在OB之间（含端点O，B）处，复印店到三个自习室和家的距离之和最小，最小值是480米． 类型五、规律探究问题 【例7】如图，数轴上三点、、表示的数分别为、5、15，点为数轴上一动点，其对应的数为． (1)点到点的距离为______； (2)数轴上是否存在点（点在点的右侧），使得点到点、的距离之和为25个单位长度？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由； (3)设点到、、三点的距离之和为S，在动点从点开始沿数轴的正方向运动到达点这一运动过程中，请直接写出S的最大值与最小值． 【答案】(1)25 (2)存在，的值为或10 (3)的最大值为40，最小值为25 【详解】（1）解：点A到点C的距离为：， 故答案为：25； （2）存在； 当点在点的左侧（含点）时： 由题意得：， 解得：， 当点在点和点之间（含点）时： 由题意得：，不符合题意； 当点在点的右侧时： 由题意得：， 解得：， 数轴上存在点，使得点到点、点的距离之和为25个单位长度，的值为或10； （3）由题意得：， 点在点、之间， ， ∵当点与点重合时，最大，此时， 的最大值为， ∵当点与点重合时，最小，此时， 的最小值为25， 综上，的最大值为40，最小值为25． 【例8】已知数轴上点、点表示的数分别为、，则、两点之间的距离为，线段的中点表示的数为． 若点、、在数轴上对应的数为、、0，且关于的多项式是二次三项式，点、分别从点、出发，同时向右匀速运动，的速度为2个单位长度/秒，的速度为1个单位长度/秒，设运动的时间为秒． (1)直接写出 ． (2)①用含的代数式表示：秒后，点表示的数为_________，点表示的数为_______． ②当，求的值； (3)若点为线段的中点，为线段的中点，、在运动的过程中，的值会随着的改变而改变，请求出当满足什么条件时，有最大值，最大值是多少？ 【答案】(1)； (2)①，；② (3)时，取最大值，最大值为10 【详解】（1）解：∵关于的多项式是二次三项式， ∴， 解得：； （2）①点从出发，向右运动，所以点表示的数为． 从出发，向右出发，所以点表示的数为． 故答案为：，． ②，， 当时，， 即或， 当，方程无解， 当， 解得． （3）点为线段的中点，为线段的中点， 点表示的数为，表示的数为，                     ，，                     ，                             当时，． 当时，． ∴ 当时，， ∴当时，取最大值，最大值为．                                 综上所述，时，取最大值，最大值为10． 【变式4-1】点在数轴上表示的数分别为，且满足，多项式是五次四项式． (1)的值为_________，的值为_________，的值为_________． (2)若数轴上有三个动点，分别从点开始同时出发在数轴上运动，速度分别为每秒1个单位长度、7个单位长度、3个单位长度． 其中点向左运动，点向右运动，点先向左运动，遇到点后回头再向右运动，遇到点后又回头再向左运动，…，这样直到点遇到点时三点都停止运动，求点所走的路程； (3)已知点为数轴上一点，它表示的数为，求的最小值，并写出此时的取值． 【答案】(1) (2)52.5 (3)78，． 【详解】（1）解：， ， ∵多项式是五次四项式， 故答案为：； （2）点P，M相遇时间， 点所走路程：（单位长度）． 故点所走的路程为52.5单位长度． （3）将代入， 可得 当时，原式， 当时，原式， 当时，原式， 当时，原式， ∴当时，的最小值为78． 【变式4-2】已知数轴上两点A，B对应的数分别是6，，M，N为数轴上两个动点，点M从A点出发，速度为每秒2个单位，点N从点B出发，速度为点M的3倍．    (1) A，B的两点之间的距离是______； (2)若点M向右运动，同时点N向左运动，经过______秒时，点M与点N相距46个单位？ (3)若点P是数轴上另一个动点，点P从原点出发，速度为每秒1个单位．点M、N、P同时都向右运动，求经过多长时间点P到点M、N的距离相等？ (4)已知a是数轴上一点表示的数，请直接写出当______时，的值最小，最小值是______． 【答案】(1)14 (2)4 (3)经过或秒时点P到点M，N的距离相等 (4)0；14 【详解】（1）解：由题意知，A，B的两点之间的距离是， 故答案为：14； （2）解：设运动时间为，则点M对应的数为，点N对应的数为， 由题意知，， 解得，， ∴经过4秒时，点M与点N相距46个单位， 故答案为：4； （3）解：设运动时间为，则点M对应的数为，点N对应的数为，点P对应的数为， ∴，， 由题意知，，即， 当时，解得； 当时，解得； ∴经过或秒时点P到点M，N的距离相等． （4）解：由绝对值的意义可知，为对应数为的点距离对应数为的点之间的距离和， ∵，当，的值最小， ∴当时，的值最小，值为， 故答案为：0；14． 【点睛】本题考查了在数轴上表示有理数，数轴上两点之间的距离，数轴上动点问题，绝对值的意义，绝对值方程等知识．熟练掌握数轴上两点之间的距离是解题的关键． 【变式4-3】（1）若数轴上M，N两点分别表示数m与数n，则M，N两点之间的距离是，例如：表示2和在数轴上对应的两点之间的距离．数轴上x和的两点之间的距离可表示为______． （2）如图，数轴上的点A表示的是，点B表示的是4，P是数轴上任意一点，且点P表示的是x，求的最小值．    （3）古城某条街上有3家新开的自习室A，B，C．小浩是大学生，小浩参与了大学生创业计划，在政府的支持下，小浩想在自习室附近开设一家复印店，为来自习室学习的学生提供方便，复印店记为点P．如图，小浩家在O处，自习室A在小浩家西边60米处，B在小浩家东边180米处，C在小浩家东边240米处．请问：小浩把复印店开设在什么地方，复印店到三个自习室和家的距离之和最小，即的值最小？最小值是多少？    【答案】（1） （2）的最小值是6 （3）把复印店开设在之间（含端点O，B）处，复印店到三个自习室和家的距离之和最小，最小值是480米． 【详解】解：（1）． （2）PA的值为，的值为， 则． 如图，当点P在点A左侧时，．    如图，当点P在点B右侧时，．    如图，当点P在点A，B之间时（包括端点A，B），．    因为，所以， 所以的最小值是6，即的最小值是6． （3）如图，以小浩家O为原点，向东（右）为正方向，所在直线为轴，建立数轴，则A表示，B表示180，C表示240．    当点P在之间时，， 当点P在之间时，， 当点P在点之间（含端点O，B）时，， 此时，的值最小，最小值是． 所以，小浩把复印店开设在OB之间（含端点O，B）处，复印店到三个自习室和家的距离之和最小，最小值是480米． 一、单选题 1．如图，圆的周长为4个单位长度，在该圆的4等分点处分别标上数字0、1、2、3，先让圆周上表示数字0的点与数轴上表示数的点重合，再将数轴按逆时针方向环绕在该圆上，则数轴上表示数的点与圆周上表示数字（    ）的点重合．    A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【详解】解：依题意，次为一个周期，依次为， ， 故数轴上表示数的点与圆周上表示数字1的点重合． 故选B． 2．在数轴上，点、点分别表示数，，则线段的长表示为||，例如：在数轴上点表示，点表示，则线段的长表示为||，数轴上的任意一点表示的数是，且||||的最小值为，若，则的值为（） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】C 【详解】解：由线段上的点到线段两端点的距离的和最小， ①当点在的右侧时， 得在点与点的线段上，的值最小为， 最小， 解得：； ②当点在的左侧时， 得在点与点的线段上，的值最小为， 最小， 解得：； 故选C. 3．如图，已知 A，B（B在A的左侧）是数轴上的两点，点A对应的数为8，且，动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动，在点P的运动过程中，M，N始终为 ，的中点，设运动时间为t（）秒，则下列结论中正确的有（    ） ①点B对应的数是4；②点P到达点B时，；③时，；④在点P的运动过程中，线段的长度不变 A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】C 【详解】解：设点对应的数是， 点A对应的数为，且， ， ， 点对应的数是，故①错误； 由题意得：（秒）， 点到达点时，，故②正确； 当点在点右边时， ，， ， （秒）， 当点在点左边时， ，， ， （秒）， 综上，时，或；故③错误； ，始终为，的中点， ，， 当点在点右边时， ， 当点在点左边时， ， 在点的运动过程中，线段的长度不变，故④正确； 所以，上列结论中正确的有2个， 故选：C． 二、填空题 4．如图，在数轴上，点A表示1，现将点A沿x轴做如下移动，第一次点A向左移动3个单位长度到达点，第二次将点向右移动6个单位长度到达点，第三次将点向左移动9个单位长度到达点，按照这种移动规律移动下去，第n次移动到点，若点与原点的距离是3035，则 ． 【答案】2023 【详解】解：根据题意可得：， ， ， ， …… 当n为奇数时，，， 当n为偶数时，， 当，解得：， 当，解得：（舍去）， 故答案为：2023． 5．如图，在数轴上，点表示的数是，点表示的数为，点是数轴上的动点．点沿数轴的负方向运动，在运动过程中，当点到点的距离与点到点的距离比是时，点表示的数是 ．    【答案】或/或 【详解】解：∵在点运动过程中，点到点的距离与点到点的距离比是， ∴， 当点运动到点右侧时，， ∴此时点表示的数是； 当点运动到点左侧时，， ∴此时点表示的数是， 综上所述，点表示的数是或， 故答案为：或． 6．如图所示，在数轴上放置了两个完全相同的长方形ABCD、EFGH．现长方形ABCD、EFGH分别以每秒1个单位、3个单位的速度沿数轴正方向运动．则在运动过程中，两个长方形的重叠部分面积的最大值为 ，且它的持续时间为 秒． 【答案】 9 /0.5 【详解】解：当长方形EFGH的边EF在AB上时，S最大， S的最大值为：3×3=9； 当点E与点A重合时，经过的时间为t， -5+3t=1+t， 解得t=3； 当点F与点B重合时，经过的时间为t1， -2+3t1=5+t1， 解得：t1=3.5； ∴3.5-3=0.5， ∴整个运动过程中，S的最大值是9，持续时间是0.5秒； 故答案为：①9；②0.5． 【点睛】题目主要考查图形的运动及一元一次方程的应用，理解题意，找准临界点，列出方程是解题关键． 三、解答题 7．如图，A，B两点在数轴上，点A表示的数为，，点M以每秒2个单位长度的速度从点A开始向左运动，点N以每秒3个单位长度的速度从点B开始向左运动（点M和点N同时出发） (1)数轴上点B对应的数是 ，线段的长是 ． (2)经过几秒，点M，点N到原点的距离相等？ (3)当M运动到什么位置时，点M与点N相距20个单位长度？ 【答案】(1)30；40 (2)4秒或40秒 (3)或 【详解】（1）解：（1）∵点A表示的数为， ， ， ， ． ∴数轴上点B对应的数是30，线段的长是40； 故答案为：30，40； （2）解：设经过x秒，点M、点N分别到原点O的距离相等， ①点M、点N在点O两侧， 则， 解得：； ②点M、点N重合， 则， 解得：； 所以经过4秒或40秒，点M、点N分别到原点O的距离相等； （3）解：设经过t秒，点M与点N相距20个单位长度， ①点M在N点左侧； 有，解得．此时M点在处， ②点M在N点右侧； 有，解得．此时M点在处， ∴当M运动到或的位置时，点M与点N相距20个单位长度． 8．在数轴上点A，，所表示的数分别是，6，． (1)求的长； (2)若点是的中点，用含的代数式表示的长； (3)若点以每秒5个单位的速度向左运动，同时，点以每秒20个单位的速度向右运动，点从原点开始以每秒1个单位的速度向右运动，记的中点为，的中点为，试通过计算说明的结果是定值． 【答案】(1)8 (2)当时，；当时，． (3)是定值，理由见解析 【详解】（1）解：因为点，所表示的数分别是，6， 所以． （2）解：因为点是的中点， 所以， 则点表示的数是2． 当时， ． 当时， ． （3）解：设运动的时间为， 则点运动后对应点所表示的数为，点运动后对应点所表示的数为，点运动后对应点所表示的数为， 因为的中点为， 所以点所表示的数为． 因为中点为， 所以点所表示的数为， 所以，，， 所以． 9．如图，已知数轴上，两点表示的数分别为，3，点为数轴上一动点，其表示的数为． (1)若点为的中点，则的值为　　； (2)若点到点，的距离之和为8，则的值为　　； (3)某时刻点，分别以每秒2个单位长度和每秒个单位长度的速度同时沿数轴向右运动，同时点以每秒6个单位长度的速度从表示数1的点向左运动．求当点，之间的距离为3个单位长度时，点表示的数． 【答案】(1)1 (2)或5 (3)或 【详解】（1）解：数轴上，两点表示的数分别为，3，点为的中点， ， 故答案为：1； （2）解：数轴上，两点表示的数分别为，3， ， ①若点在点左侧，则， ， ②若点在点右侧，则， ， 综上，的值为或5， 故答案为：或5； （3）解：设运动时间为秒，则运动后点表示，点表示，点表示， 点，之间的距离为3个单位长度， ∴， 解得，或， 或， 点表示的数是或． 10．如图，是数轴的原点，、是数轴上的两个点，点对应的数是，点对应的数是8，是线段上一点，满足． (1)求点对应的数； (2)动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，当点到达点后停留2秒钟，然后继续按原速沿数轴向右匀速运动到点后停止．在点从点出发的同时，动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴匀速向左运动，一直运动到点后停止．设点的运动时间为秒．问当时，求的值； 【答案】(1)4 (2)或； 【详解】（1）解： A点对应的数是，B点对应的数是8， ， ， ，， C点对应的数是， 答：C点对应的数是4； （2）解：当M运动到点时，（秒），此时N表示的数是，此时，M停留秒后，此时N表示的数是，此时， ， 停留期间， 运动t秒时，， ①当M、N未相遇，则M在上运动，M表示的数是，N在上运动，N表示的数是， ， 解得， ②当M、N相遇后，M在上运动，M表示的数是，N在上运动，N表示的数是， ， 解得， 综上所述，t的值为或． 11．【背景知识】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合．研究数轴我们发现了许多重要的规律：若数轴上点，点表示的数分别为，则两点之间的距离，线段的中点表示的数为． 【问题情境】数轴上点表示的数为，点表示的数为6，点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向终点匀速运动，同时点从点出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动，到达点后，再立即以同样的速度返回点，当点到达终点后，两点都停止运动，设运动时间为秒． 【综合运用】 (1)填空：两点间的距离________，线段的中点表示的数为________； (2)当为何值时，两点间距离为3； (3)若点为的中点，点为的中点，当点到达点之前，在运动过程中，探索线段和的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)10，1 (2)当或或时，P，Q两点间距离为3 (3)，理由见详解 【详解】（1）解：∵点表示的数为，点表示的数为6， ∴， 线段的中点表示的数为∶， 故答案为：10，1 （2）当点P与点B重合时，； 当点Q与点A重合时，； 当点Q返回到点B时，， 当时，点P表示的数是，点Q表示的数是， ∵， ∴或， 解得：或， 当时，点P表示的数是，点Q表示的数是， ∵， ∴或， 解得或 (不符合题意，舍去)， 综上所述，当或或时，P，Q两点间距离为3． （3），理由如下： ∵点为的中点，点为的中点， ∴，， 当点到达点之前，即当时， 点M表示的数是， 点N表示的数是， ∵， ∴， ∴． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$