第四章 图形的相似（单元重点综合测试）-2024-2025学年九年级数学上册单元速记·巧练（北师大版）

第四章 图形的相似（单元重点综合测试） 班级___________ 姓名___________ 学号____________ 分数____________ 考试范围：全章的内容； 考试时间：120分钟； 总分：120分 一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．若，则等于（　　） A． B． C． D． 2．如果两个相似三角形的面积之比为，那么这两个三角形的周长之比为（    ） A． B． C． D． 3．已知，点P是线段的黄金分割点（），若线段，则线段的长是（　　） A．cm B．（）cm C．（）cm D．（）cm 4．如图，直线，直线和被，，所截，，，，则的长为（　　） A． B． C．5 D．9 5．如图，下列条件不能判定的是（    ）    A． B． C． D． 6．如图，在中，E是的中点，交于点F，那么与的比是（    ） A． B． C． D． 7．如图，为驾驶员的盲区，驾驶员的眼睛点P处与地面的距离为1.6米，车头近似看成一个矩形，且满足，若盲区的长度是6米，则车宽的长度为（　　）米． A． B． C． D．2 8．如图，在平面直角坐标中，已知，与位似，原点是位似中心．若，则长为（   ）    A．4. 5 B．6 C．7.5 D．9 9．如图，是等边三角形，点、分别在、上，且，，，则的长等于（    ）    A．1 B． C． D．2 10．如图，在正方形的对角线上取一点．使得，连接并延长到，使，与相交于点，若，有下列结论：①；②；③；④．则其中正确的结论有（    ） A．①②③ B．①②③④ C．①②④ D．①③④ 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 11．如图，四边形四边形，则的度数是 ． 12．如图，在中，，分别与相交于点D、E，若，，则的值为 ． 13．如图，在中，点为上一点，连接.若再添加一个条件，使，则需添加的一个条件是 . 14．如图，小明同学用自制的直角三角形纸板测量树的高度，他调整自己的位置，设法使斜边保持水平，并且边与点B在同一直线上，已知纸板的两条直角边米，米，测得边离地面的高度米，米，则树高为 米．    15．如图，已知和是以点为位似中心，位似比为的位似图形，若点的对应点的横坐标为，则点的横坐标为 ． 16．如图，是的中线，E是的中点，的延长线交于点F，那么 ． 17．如图，菱形的边长为5，对角线、相交于点O，E为边的中点，连接交于点F．若，则的长为 ． 18．如图，在矩形中，，，点E是的中点，点M是的动点．将沿翻折至．再将沿翻折至，使点M，P，Q在同一直线上，折痕交射线于点F．则： （1） °； （2）当点M是的中点时，的长为 ．    三、解答题（本大题共9小题，共66分） 19．（1）若，且，求的值； （2）若，则______． 20．如图，已知直线，，分别截直线于点，，，截直线于点，，，且．若，，，求的长． 21．如图，在中，点D，E在上，点G在上，连接，．求证： 22．如图，线段、是的两条高．      (1)求证：； (2)若，，，求的长． 23．小琛周末去检查视力，发现该店老板利用平面镜来解决房间小的问题．已知正常情况下，人与视力表之间的距离应为米，而测得该店两面墙的距离为米，如图，根据平面镜成像原理作出光路图，视力表的上下边沿，上发出的光线经平面镜的上下边反射后射入人眼处．已知视力表的全长为米，要使墙面上的镜子能呈现完整的视力表，请计算出镜长至少为多少米？ 24．图①、图②、图③均是的正方形网格，其顶点称为格点，的顶点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按下列要求作图，并保留作图痕迹． (1)在图①中，在的边上找一点D，连结，使； (2)在图②中，在的边上找一点P，在边上找一点Q，连结，使，且相似比为； (3)在图③中，在的边上找一点E，连结，使． 25．在正方形网格中，的顶点分别为，，．    (1)以点为位似中心，以位似比在位似中心的异侧将放大为，放大后点B，C两点的对应点分别为，，请画出； (2)在（1）中，若点为线段上任一点，直接写出变化后点M的对应点的坐标．（用含a，b的代数式表示） 26．已知四边形的一组对边的延长线相交于点E． (1)如图1，若，求证：； (2)如图2．若，的面积为6，求四边形的面积． 27．如图1，在等腰直角三角形中，以为边在右侧作正方形． (1)问题提出：图I中线段与线段的数量关系为 　 　（直接写出答案）； (2)深入探究：如图2，将正方形绕点D在平面内旋转，连接．判断线段与线段的数量关系并说明理由； (3)拓展延伸：若，正方形绕点D在平面内旋转的过程中，当点A，E，请直接写出线段的长． 28．如图，在菱形中，，点E为边上一点，将沿翻折得到，连接并延长交于点F，交于点G． (1)设，探究的大小是否为定值，请说明理由； (2)在上截取，连接，求证：； (3)若，，求菱形的边长． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第四章 图形的相似（单元重点综合测试） 班级___________ 姓名___________ 学号____________ 分数____________ 考试范围：全章的内容； 考试时间：120分钟； 总分：120分 一、单选题 1．若，则等于（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据两内项之积等于两外项之积用b表示出a，然后代入比例式进行计算即可得解． 【解析】∵， ∴， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查了比例的性质，熟记“两内项之积等于两外项之积”，并用b表示出a是解题的关键． 2．如果两个相似三角形的面积之比为，那么这两个三角形的周长之比为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了相似三角形的性质，直接根据相似三角形的性质即可得出答案，熟练掌握相似三角形的面积的比等于相似比的平方是解此题的关键． 【解析】解：∵两个相似三角形的面积之比为， ∴两个相似三角形的相似比为， ∵相似三角形的周长比等于相似比， ∴这两个三角形的周长之比为， 故选：D． 3．已知，点P是线段的黄金分割点（），若线段，则线段的长是（　　） A．cm B．（）cm C．（）cm D．（）cm 【答案】B 【分析】根据黄金分割点的定义，知AP是较长线段，则，代入数据即可得出的长度． 【解析】解：由于P为线段的黄金分割点，且是较长线段， 则． 故选：B 【点睛】本题考查了黄金分割的概念：把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，他们的比值叫做黄金比．熟记黄金分割的公式：较短的线段＝原线段的，较长的线段＝原线段的是解题的关键． 4．如图，直线，直线和被，，所截，，，，则的长为（　　） A． B． C．5 D．9 【答案】A 【分析】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．根据平行线分线段成比例定理列出比例式，计算即可． 【解析】解：， ， ，，， ， ， 解得：， 故选：A． 5．如图，下列条件不能判定的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据有两个角对应相等的三角形相似，以及根据两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，分别判断得出即可． 【解析】解：A、∵，， ∴，故此选项不合题意； B、∵，， ∴，故此选项不合题意； C、∵， ∴， 又∵， ∴，故此选项不合题意； D、不能判定，故此选项符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定，熟悉相似三角形的判定定理是解题的关键. 6．如图，在中，E是的中点，交于点F，那么与的比是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的性质及相似三角形的判定与性质是解答本题的关键．根据平行四边形的性质得到，进而推得，再证明，根据相似三角形的性质，即得答案． 【解析】四边形是平行四边形， ，， E是的中点， ， ， ， ， ． 故选C． 7．如图，为驾驶员的盲区，驾驶员的眼睛点P处与地面的距离为1.6米，车头近似看成一个矩形，且满足，若盲区的长度是6米，则车宽的长度为（　　）米． A． B． C． D．2 【答案】B 【分析】本题考查视点、视角、盲区的意义，此类问题可以转化为相似三角形的知识进行解答． 通过作高，利用相似三角形的对应高的比等于相似比，列方程求解即可． 【解析】解：如图，过点P作，垂足为M，交于点N， 则， 设米，由得，， ∵四边形是矩形， ， ， ， 即， ， ， ， 解得，， 故选：B． 8．如图，在平面直角坐标中，已知，与位似，原点是位似中心．若，则长为（   ）    A．4. 5 B．6 C．7.5 D．9 【答案】A 【分析】由得出，由位似图形的性质可得，即可求出长． 【解析】解：， 与位似，原点是位似中心， ， ， ， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了位似图形的性质以及坐标与图形的性质，根据题意得出是解此题的关键． 9．如图，是等边三角形，点、分别在、上，且，，，则的长等于（    ）    A．1 B． C． D．2 【答案】B 【分析】根据等边三角形的性质，外角的性质，推出，列出比例式进行求解即可． 【解析】解：∵是等边三角形，， ∴， ∴， ∵，且， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即：， ∴； 故选B． 【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，解题的关键是证明． 10．如图，在正方形的对角线上取一点．使得，连接并延长到，使，与相交于点，若，有下列结论：①；②；③；④．则其中正确的结论有（    ） A．①②③ B．①②③④ C．①②④ D．①③④ 【答案】A 【分析】①由正方形的性质可以得出，，通过证明，就可以得出． ②在EF上取一点G，使，连接，再通过条件证明就可以得出． ③过作交于，根据勾股定理求出，根据三角形的面积公式即可求出高，根据三角形的面积公式即可求得． ④解直角三角形求得，根据等边三角形性质得到，然后通过证得，求得． 【解析】证明：①四边形是正方形， ，，． 在和中， ， ， ，故①正确； ②在EF上取一点G，使，连接CG， ， ． ， ， ， ． ， ， ． ， 是等边三角形． ，， ， ． ，， ． 在和中， ， ， ． ， ，故②正确； ③过D作交于M， 在中，根据勾股定理求出， 由面积公式得：， ， ， ， 中，中， 在中，， 中，， ，． ． ，故③正确； ④在中，， 是等边三角形， ， ，， ∴． ，故④错误； 综上，正确的结论有①②③． 故答案选：A． 【点睛】本题主要考查对正方形的性质，全等三角形的性质和判定，三角形的面积，勾股定理，含角的直角三角形的性质以及三角形相似性质等知识点的理解和掌握，综合运用这些性质进行证明是解此题的关键． 二、填空题 11．如图，四边形四边形，则的度数是 ． 【答案】/100度 【分析】利用相似多边形对应角相等、对应边成比例即可求解． 【解析】解：四边形四边形， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了相似多边形的性质，解题的关键是知道相似多边形的对应边的比相等，对应角相等． 12．如图，在中，，分别与相交于点D、E，若，，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，熟练掌握该定理是解题的关键，根据，由平行线分线段成比例定理可得，将已知条件代入即可求解． 【解析】解：∵，，， ∴． 故答案为． 13．如图，在中，点为上一点，连接.若再添加一个条件，使，则需添加的一个条件是 . 【答案】∠ACP=∠B或∠APC=∠ACB或AP：AC=AC：AB 【分析】利用相似三角形的判定可求解． 【解析】解：①当∠ACP=∠B，∠A=∠A，可得△APC∽△ACB，故可添加∠ACP=∠B； ②当∠APC=∠ACB，∠A=∠A，可得△APC∽△ACB，故可添加∠APC=∠ACB； ③当AP：AC=AC：AB，∠A=∠A，可得△APC∽△ACB，故可添加AP：AC=AC：AB； 故答案为∠ACP=∠B或∠APC=∠ACB或AP：AC=AC：AB． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定方法，相似三角形的判定方法有：①对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形；②平行于三角形一边的直线和其他两边或两边延长线相交，所构成的三角形与原三角形相似；③两角相等的两个三角形相似；④两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似判定即可；⑤三边对应成比例的两个三角形相似. 14．如图，小明同学用自制的直角三角形纸板测量树的高度，他调整自己的位置，设法使斜边保持水平，并且边与点B在同一直线上，已知纸板的两条直角边米，米，测得边离地面的高度米，米，则树高为 米．    【答案】 【分析】先判定和相似，然后根据相似三角形对应边成比例列式求出的长，再加上即可得解． 【解析】解：在和中， ， ， ，即， 解得：， ， ， 即树高． 故答案为：． 【点睛】本题考查了相似三角形的应用，主要利用了相似三角形对应边成比例的性质，比较简单，判定出和相似是解题的关键． 15．如图，已知和是以点为位似中心，位似比为的位似图形，若点的对应点的横坐标为，则点的横坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了位似变换的性质、相似三角形的性质，根据相似三角形的性质求出是解题的关键． 设点横坐标为，过作轴于点，过作轴于点N，根据平行线分线段成比例定理得到，根据相似三角形的性质求出，计算即可． 【解析】设点横坐标为，如图，过作轴于点，过作轴于点N ， ， ， ∵和是位似比为的位似图形， 即， 解得， 点横坐标为． 16．如图，是的中线，E是的中点，的延长线交于点F，那么 ． 【答案】 【分析】根据题意先过D作的平行线，交边于G，得出，再根据D为中点可得出，；同理求得，从而得出，即可得出的值． 【解析】解：过D作的平行线，交边于G，如图所示： ∵D为中点，， ∴，即：， 又E为的中点，的延长线交于F，， ∴，即：， ∴， ∴. 故答案为：． 【点睛】本题考查平行线分线段成比例，正确引出辅助线解决问题是解题的关键． 17．如图，菱形的边长为5，对角线、相交于点O，E为边的中点，连接交于点F．若，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了菱形的性质，勾股定理，相似三角形的性质与判定，根据菱形的性质，勾股定理求得，进而证明得出，在中，勾股定理求得，进而即可求解． 【解析】解：∵菱形的边长为，， ∴，，， ∴， ∵为边的中点， ∴， ∵， ∴ ∴ ∴，则， 在中，， ∴ 故答案为：． 18．如图，在矩形中，，，点E是的中点，点M是的动点．将沿翻折至．再将沿翻折至，使点M，P，Q在同一直线上，折痕交射线于点F．则： （1） °； （2）当点M是的中点时，的长为 ．    【答案】 /90度 / 【分析】（1）由折叠知，.根据图中角的位置，求得； （2）如图， ,由折叠可得两点重合．中，，勾股定理得，可证，得，求得，于是，所以． 【解析】解：（1）如图，由折叠知，. ∴． ∴．    （2）如图，点M是的中点时，, 由折叠知， ∴,即两点重合． 中，， ∴． ∵，   ∴． ∴． ∴． ∴． ∴． ∴．    【点睛】本题考查矩形的性质，折叠的性质，相似三角形的判定和性质；由折叠得到角相等，线段相等是解题的关键． 三、解答题 19．（1）若，且，求的值； （2）若，则______． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查比例的性质， （1）设，然后用含的代数式表示出、、，再代入求出的值，即可得解； （2）由，得，，再代入，即可得解； 解题的关键是掌握比例的性质：比例的内项之积与外项之积相等． 【解析】解：（1）设， ∴，，， ∴， 解得：， ∴，，， ∴， ∴的值为； （2）∵， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：． 20．如图，已知直线，，分别截直线于点，，，截直线于点，，，且．若，，，求的长． 【答案】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例； 根据平行线分线段成比例列式求出，再根据计算即可． 【解析】解：∵， ∴，即， ∴， ∴． 21．如图，在中，点D，E在上，点G在上，连接，．求证： 【答案】证明见解析 【分析】根据平行线分线段成比例可得和，即得 【解析】证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查比例线段，解题的关键是掌握平行线分线段成比例． 22．如图，线段、是的两条高．      (1)求证：； (2)若，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据高线的定义，得到，再根据，即可得证； （2）证明，列出比例式进行求解即可． 【解析】（1）解：∵线段、是的两条高， ∴， ∵， ∴； （2）∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即：， ∴． 【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质．熟练掌握相似三角形的判定方法，证明三角形相似，是解题的关键． 23．小琛周末去检查视力，发现该店老板利用平面镜来解决房间小的问题．已知正常情况下，人与视力表之间的距离应为米，而测得该店两面墙的距离为米，如图，根据平面镜成像原理作出光路图，视力表的上下边沿，上发出的光线经平面镜的上下边反射后射入人眼处．已知视力表的全长为米，要使墙面上的镜子能呈现完整的视力表，请计算出镜长至少为多少米？ 【答案】镜长至少为米． 【分析】本题考查的是相似三角形的应用； 首先作，垂足为，并延长交于，根据平行线的性质可知；接下来由相似三角形的判定定理可得，再根据相似三角形的对应边成比例即可得出结论． 【解析】解：作，垂足为，并延长交于，如图： ∵， ，， ， ，，， ， （米）， 答：镜长至少为米． 24．图①、图②、图③均是的正方形网格，其顶点称为格点，的顶点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按下列要求作图，并保留作图痕迹． (1)在图①中，在的边上找一点D，连结，使； (2)在图②中，在的边上找一点P，在边上找一点Q，连结，使，且相似比为； (3)在图③中，在的边上找一点E，连结，使． 【答案】(1)详见解析 (2)详见解析 (3)详见解析 【分析】（1）在上取一点D，使得即可； （2）取的中点P，取格点T，连接交于点Q，线段即为所求； （3）取格点P，Q，连接交于点E，连接即可， 本题考查作图，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型． 【解析】（1）解：如图①中，线段即为所求； （2）解：如图2中，线段即为所求； （3）解：如图③中，点E即为所求． 25．在正方形网格中，的顶点分别为，，．    (1)以点为位似中心，以位似比在位似中心的异侧将放大为，放大后点B，C两点的对应点分别为，，请画出； (2)在（1）中，若点为线段上任一点，直接写出变化后点M的对应点的坐标．（用含a，b的代数式表示） 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】（1）利用位似变换的性质，，，再结合，，，即可分别作出B，C的对应点，，再连接即可作答； （2）探究坐标变化规律，可得结论． 【解析】（1）解：如图，即为所求：    （2）解：因为，，且由（1）的图可知，， 所以变化后点的对应点的坐标为． 【点睛】本题考查作图−位似变换，解题的关键是掌握位似变换的性质，属于中考常考题型． 26．已知四边形的一组对边的延长线相交于点E． (1)如图1，若，求证：； (2)如图2．若，的面积为6，求四边形的面积． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，含30度角的直角三角形以及勾股定理等知识点，熟记相关定理内容是解题关键． （1）证即可； （2）过C作于F，于G．可求出；证得，即可求解； 【解析】（1）证明：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴； （2）解：如图2中，过C作于F，于G． 在中，， ∴°， ∵， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴， 在中， ∴ ∵ ∴， ∵ ∴， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ 27．如图1，在等腰直角三角形中，以为边在右侧作正方形． (1)问题提出：图I中线段与线段的数量关系为 　 　（直接写出答案）； (2)深入探究：如图2，将正方形绕点D在平面内旋转，连接．判断线段与线段的数量关系并说明理由； (3)拓展延伸：若，正方形绕点D在平面内旋转的过程中，当点A，E，请直接写出线段的长． 【答案】(1) (2)，理由见解答过程 (3)或 【分析】（1）根据是等腰直角三角形，得，再由正方形的性质即可解答； （2）连接，根据和都是等腰直角三角形，可证明，然后根据线段比例即可解答； （3）分当点F在线段上或点F在线段的延长线两种情形，分别画出图形，利用勾股定理求得，再由（2）得出的长度即可． 【解析】（1）解：∵是等腰直角三角形， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴． 故答案为：． （2）解：，理由如下： 如图2，连接， 在中，， ∴， 在正方形中，， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴，即． （3）解：线段BE的长为  或， 如图，当点F在线段上时， 由（1）知，， 在中，， ∴， ∴， 由（2）知，， ∴， 如图：当点F在线段的延长线时， 由（1）知，， 在中，， ∴， ∴， 由（2）知，， ∴， ∴当正方形旋转到A、E、F三点共线时或． 【点睛】本题主要考查四边形的综合题，主要考查了相似三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质、正方形的性质等知识点，灵活运用相关判定和性质定理是解题的关键． 28．如图，在菱形中，，点E为边上一点，将沿翻折得到，连接并延长交于点F，交于点G． (1)设，探究的大小是否为定值，请说明理由； (2)在上截取，连接，求证：； (3)若，，求菱形的边长． 【答案】(1)的大小为定值，理由见解析 (2)见解析 (3)15 【分析】（1）根据菱形的性质得出，，根据折叠得出，，根据等腰三角形的性质得出，求出，，最后根据三角形内角和定理求出结果即可； （2）连接，，证明为等边三角形，得出，，证明为等边三角形，得出，，证明，得出，证明，得出，即可证明结论； （3）由可设，则，，证明，则，解得，则，，由，可得，则，可证明，则，则，故可得，则，则可求菱形边长为15． 【解析】（1）解：的大小为定值，理由如下： ∵四边形为菱形， ∴，， 根据折叠可知：，， ∴， ∴， ∴ ， ∵， ∴， ∴ ； （2）证明：连接，，如图所示： ∵，， ∴为等边三角形， ∴，， ∵，， ∴为等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴； （3）解：如图： 由，可设， 则，， ∵为等边三角形， ∴， ∴ 由（2）， 得， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：或（舍） ∴， ∴， ∵四边形是菱形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即菱形边长为15． 【点睛】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握知识点，正确添加辅助线是解决本题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$