第06讲 同底数幂的乘法 幂的乘方（三类知识点+七大题型+强化训练）-【帮课堂】2024-2025学年七年级数学上册同步学与练（沪教版2024）

第06讲 同底数幂的乘法 幂的乘方（七大题型） 学习目标 1、掌握同底数幂相乘、幂的乘方； 2、学会同底数幂相乘、幂的乘方的逆用； 3、掌握同底数幂相乘、幂的乘方的逆用的应用。 一、知识引入 我们知道 a·a·a 可以写成 a³ (读作 “a 的三次方”或 “a 的立方”). (读作 “a 的n次方). 其中a表示底数，正整数n表示指数，a的n次乘方的结果叫做a 的n次幂. 二、同底数幂的乘法性质 (其中都是正整数).即同底数幂相乘，底数不变，指数相加. 【方法规律】（1）同底数幂是指底数相同的幂，底数可以是任意的实数，也可以是单项式、多项式. （2）三个或三个以上同底数幂相乘时，也具有这一性质， 即（都是正整数）. （3） 逆用公式：把一个幂分解成两个或多个同底数幂的积，其中它们的底数与原来的底数相同，它们的指数之和等于原来的幂的指数。即（都是正整数）. 三、幂的乘方法则 (其中都是正整数).即幂的乘方，底数不变，指数相乘. 【方法规律】（1）公式的推广： (，均为正整数) （2）逆用公式： ，根据题目的需要常常逆用幂的乘方运算能将某些幂变形，从而解决问题. 【即学即练1】计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 【即学即练2】计算： (1)； (2)； (3)． 【即学即练3】计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【即学即练4】计算： ． 【即学即练5】已知求的值． 题型1：同底数幂相乘 【典例1】．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【典例2】．计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 【典例3】．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 题型2：同底数幂乘法的逆用 【典例4】．已知，，则（   ） A．10 B．-2 C．24 D． 【典例5】．（1）已知，，求的值． （2）已知，求． 【典例6】．已知，，则的值是（    ） A． B． C． D． 题型3：幂的乘方 【典例7】．计算： (1)； (2)； (3)． 【典例8】．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【典例9】．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 题型4：幂的乘方的逆用 【典例10】．已知，求的值． 【典例11】．已知 ，求的值． 【典例12】．已知 ，，求下列各式的值． (1) (2) 【典例13】．若，，则等于（    ） A． B． C． D．1 【典例14】．若且，、是正整数），则．利用上面结论解决下面的问题： (1)如果，求x的值； (2)如果，求x的值； (3)若，，用含x的代数式表示y． 题型5：利用幂的乘方比较大小 【典例15】．把这4个数按照从小到大的顺序排列，正确的是（　　） A． B． C． D． 【典例16】．已知，，，则、、的大小关系是（     ） A． B． C． D． 【典例17】．探究题： (1)计算下列算式的结果：______，______； 发现，小浦猜想会有如下规律：______（用，，表示）； (2)利用上述规律，你能帮助小浦解决下列问题吗？ ①若，求的值； ②比较，，的大小，并用“”号连接． 题型6：其他应用 【典例18】．（    ） A． B． C．4 D．8 【典例19】．计算的结果是 ． 【典例20】．计算，结果用幂的形式表示：． 【典例21】．已知，，则的值是（　　） A．19 B．18 C．9 D．7 【典例22】．若，则的结果是 ． 【典例23】．中国天宫空间站以米/秒的速度绕地球飞行，每天能绕地球飞行约16圈，每圈约需秒，则天宫空间站绕地球飞行一圈的路程约为 米（结果用科学记数法表示）． 【典例24】．已知：，求的值． 【典例25】．甲、乙两名同学在解方程组时，甲同学因看错了，从而求得解为，乙同学因看错了，从而求得解为，计算，并用幂的形式表示结果． 【典例26】．已知，，，现给出3个数，，之间的三个关系式： ①； ②； ③． 其中正确的关系式是 （填序号）． 【典例27】．已知，，均为正整数，且满足，则的取值不可能是（   ） A． B． C． D． 题型7：新定义题 【典例28】．如果，则，例如，则．根据上述规定，若，则 ； 【典例29】．类比同底数幂的乘法法则：（其中为正整数），我们规定一种新运算：，其中为任意正整数．若，那么 （用含n和P的代数式表示，其中n为正整数）． 【典例30】．新定义：（均为正整数），例如：．若，，则的值为（　　） A．18 B．24 C．36 D．63 【典例31】．如果，那么我们规定．例如：因为，所以． (1)______ ；若，则______ ； (2)已知，，，若，求的值； (3)若，，令． ①求的值； ②求的值． 一、单选题 1．的值是（    ） A． B． C． D． 2．的值是（    ） A． B． C． D． 3．下列运算正确的是（    ）． A． B． C． D． 4．若2n+2n+2n+2n＝26，则n＝（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 5．，，则等于（    ） A．2ab B．a+b C． D．100ab 6．若(7×106)(5×105)(2×10)＝a×10n，则a，n的值分别为(　　) A．a＝7，n＝11 B．a＝5，n＝12 C．a＝7，n＝13 D．a＝2，n＝13 7．当m为偶数时，与的关系是(    ) A．相等 B．互为相反数 C．不相等 D．以上说法都不对 8．如果，那么、的值等于（    ） A．， B．， C．， D．， 9．计算的结果是（    ） A． B． C．0.75 D．-0.75 10．如果，，，那么，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 11．（1） ；（2） ； （3） ；（4） ； （5） ；（6） ； （7） ；（8） ； （9） ；（10） ． 12．(103)6＝ ；(－a2)5＝ ；(－mn)4＝ ；(a3)2·(a2)4＝ ． 13．计算 （1） ； （2） . 14．若2n+2n+2n+2n=28，则n= ． 15．若4x=a，4y=b，则4x+y= ． 16．已知，，若用含x的代数式表示y，则 ． 17．已知2x+3y-5=0，则9x•27y的值为 ． 18．已知xn=2，yn=3，则(x2y)2n= . 若(9m+1)2=316，则正整数m的值为 . 三、解答题 19．化简下列各题： （1）  ；    （2）； （3）； （4）．    （5） 20．计算： （1）（a-b）2（a-b）3（b-a）5            （2）（a-b+c）3（b-a-c）5（a-b+c）6 （3）（b-a）m·（b-a）n-5·（a-b）5          （4）x·xm-1+x2·xm-2-3x3·xm-3 21．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 22．计算：（1）； （2）； （3）． 23．计算： （1） （2） 24．已知，=2，求： (1)+的值； (2)的值． 25．若是正整数，且，求 的值． 26．（1）已知，求的值． （2）已知：，求的值． （3）已知，求的值． （4）已知，求m的值． 27．若（且，、是正整数），则． 利用上面结论解决下面的问题： (1)如果，则___________； (2)如果，求的值． (3)如果，求的值． 28．阅读材料：下面是底数大于1的数比较大小的两种方法： ①比较，的大小：当时，，所以当同底数时，指数越大，值越大； ②比较和的大小：因为，，所以． 可以将其先化为同指数，再比较大小，所以同指数时，底数越大，值越大． 根据上述材料，解答下列问题： (1)比较大小：__________（填“”或“”） (2)已知，，，试比较，，的大小． 29．阅读材料：我们已经学过幂的相关运算，其中幂的乘方是重要的性质之一，用式子表示为： （、为正整数），由此，幂的乘方运算反过来也是成立的，用式子表示为：（、为正整数），逆用幂的乘方的方法是：幂的底数不变，将幂的指数分解成两个因数的乘积，再转化成幂的乘方的形式．如，至于选择哪一个变形结果，要具体问题具体分析．例如，判断的末尾数字，我们可以采用如下的方法： 解析：的末尾数字等于的末尾数字 ∵，又（为正整数）的末尾数字均为， ∴的末尾数字是的末尾数字，即为． ∴的末尾数字为 根据以上阅读材料，回答下列问题： (1)逆用幂的乘方，写出的末尾数字 (2)试判断的末尾数字 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！第 1 页 共 9 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第06讲 同底数幂的乘法 幂的乘方（七大题型） 学习目标 1、掌握同底数幂相乘、幂的乘方； 2、学会同底数幂相乘、幂的乘方的逆用； 3、掌握同底数幂相乘、幂的乘方的逆用的应用。 一、知识引入 我们知道 a·a·a 可以写成 a³ (读作 “a 的三次方”或 “a 的立方”). (读作 “a 的n次方). 其中a表示底数，正整数n表示指数，a的n次乘方的结果叫做a 的n次幂. 二、同底数幂的乘法性质 (其中都是正整数).即同底数幂相乘，底数不变，指数相加. 【方法规律】（1）同底数幂是指底数相同的幂，底数可以是任意的实数，也可以是单项式、多项式. （2）三个或三个以上同底数幂相乘时，也具有这一性质， 即（都是正整数）. （3） 逆用公式：把一个幂分解成两个或多个同底数幂的积，其中它们的底数与原来的底数相同，它们的指数之和等于原来的幂的指数。即（都是正整数）. 三、幂的乘方法则 (其中都是正整数).即幂的乘方，底数不变，指数相乘. 【方法规律】（1）公式的推广： (，均为正整数) （2）逆用公式： ，根据题目的需要常常逆用幂的乘方运算能将某些幂变形，从而解决问题. 【即学即练1】计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）． 【分析】根据同底数幂相乘底数不变指数相加即可得出答案． 【解析】解：（1） （2） （3） （4） 【点睛】本题考查了同底数幂相乘，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【即学即练2】计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）（2）直接根据幂的乘方法则计算； （3）先根据幂的乘方和同底数幂的乘方法则计算，再合并同类项． 【解析】（1）原式； （2）原式； （3）原式． 【点睛】本题考查了幂的乘方，同底数幂的乘法，合并同类项，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 【即学即练3】计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）先运算幂的乘方，然后利用同底数幂的乘法计算解题； （2）先运算幂的乘方、同底数幂的乘法，然后合并同类项解题； （3）先运算幂的乘方、同底数幂的乘法，然后合并同类项解题； （4）先运算幂的乘方，然后利用同底数幂的乘法计算解题； 【解析】（1）原式； （2）原式； （3）原式； （4）原式． 【点睛】本题考查幂的运算，掌握运算法则和运算顺序是解题的关键． 【即学即练4】计算： ． 【答案】 【分析】根据同底数幂的乘法将变成，根据提公因式将原式变形为，由此即可求解． 【解析】解： ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查整式乘法，含有乘方的有理数的运算，掌握其运算法则是解题的关键． 【即学即练5】已知求的值． 【答案】108 【分析】根据同底数幂的乘法法则及幂的乘方法则逆应用代入求解即可得到答案． 【解析】 ． 【点睛】本题考查幂的运算，掌握同底数幂相乘底数不变指数相加；幂的乘方：底数不变，指数相乘是解题关键． 题型1：同底数幂相乘 【典例1】．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3)256 (4) 【分析】本题考查了同底数幂相乘，熟练掌握运算法则是解题的关键．根据同底数幂乘法运算法则计算即可． （1）根据同底数幂相乘运算法则求解即可； （2）根据同底数幂相乘运算法则求解即可； （3）根据同底数幂相乘运算法则求解即可； （4）根据同底数幂相乘运算法则求解即可． 【解析】（1）解： （2）解： （3）解： （4）解： 【典例2】．计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) 【分析】本题考查了同底数幂的乘法运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加进行计算即可； （2）根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加进行计算即可； （3）根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加进行计算即可； （4）根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加进行计算即可； （5）根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加进行计算即可． 【解析】（1） ． （2） ． （3） ． （4） （5） ． 【典例3】．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）由同底数幂的乘法法则计算即可； （2）由同底数幂的乘法法则计算即可； （3）由同底数幂的乘法法则计算即可； （4）参照同底数幂的乘法法则计算即可． 【解析】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：． 【点睛】本题考查了同底数幂的乘法法则，熟练掌握法则是解题的关键． 题型2：同底数幂乘法的逆用 【典例4】．已知，，则（   ） A．10 B．-2 C．24 D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了同底数幂的乘法的逆用．根据同底数幂乘法的逆用可得，即可进行解答． 【解析】解：∵，， ∴． 故选：C． 【典例5】．（1）已知，，求的值． （2）已知，求． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加进行计算即可； （2）根据同底数幂的乘法运算的逆用求解即可． 【解析】（1）因为，， ． （2）因为， 所以， 所以， 解得． 【点睛】本题考查了同底数幂的乘法运算及其逆运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 【典例6】．已知，，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了同底数幂的乘法的逆用，根据同底数幂的乘法法则进行变形即可求解，解题的关键是熟练掌握同底数幂的乘法法则． 【解析】解：由， 故选：． 题型3：幂的乘方 【典例7】．计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）（2）直接根据幂的乘方法则计算； （3）先根据幂的乘方和同底数幂的乘方法则计算，再合并同类项． 【解析】（1）原式； （2）原式； （3）原式． 【点睛】本题考查了幂的乘方，同底数幂的乘法，合并同类项，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 【典例8】．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）先运算幂的乘方，然后利用同底数幂的乘法计算解题； （2）先运算幂的乘方、同底数幂的乘法，然后合并同类项解题； （3）先运算幂的乘方、同底数幂的乘法，然后合并同类项解题； （4）先运算幂的乘方，然后利用同底数幂的乘法计算解题； 【解析】（1）原式； （2）原式； （3）原式； （4）原式． 【点睛】本题考查幂的运算，掌握运算法则和运算顺序是解题的关键． 【典例9】．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)． 【分析】（1）根据幂的乘方运算法则进行计算即可求解； （2）根据幂的乘方运算法则进行计算，然后合并同类项即可求解； （3）根据幂的乘方运算法则进行计算即可求解； （4）根据幂的乘方运算法则进行计算，然后合并同类项即可求解． 【解析】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 【点睛】本题考查了幂的乘方运算以及合并同类项，熟练掌握幂的乘方运算法则是解题的关键． 题型4：幂的乘方的逆用 【典例10】．已知，求的值． 【答案】16 【分析】本题考查幂的乘方，同底数幂的乘法，先得出，再得出即可得出答案． 【解析】解：∵， ∴， ∴． 【典例11】．已知 ，求的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了幂的乘方．熟练掌握积的乘方的法则，是解决问题的关键． 根据幂的乘方的性质将原式化成已知条件的形式，代入计算即得． 【解析】解：， 将代入上式得， 原式． 【典例12】．已知 ，，求下列各式的值． (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据逆用同底数幂的乘法进行计算即可求解； （2）逆用同底数幂的乘法及逆用幂的乘方即可完成计算． 【解析】（1）解：，， ； （2），， ． 【点睛】本题考查了同底数幂的乘法及幂的乘方法则，正确运用相关法则是解题的关键． 【典例13】．若，，则等于（    ） A． B． C． D．1 【答案】B 【分析】根据幂的运算进行计算，即可得出答案． 【解析】解：∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查了幂的运算，掌握幂的运算是解题的关键． 【典例14】．若且，、是正整数），则．利用上面结论解决下面的问题： (1)如果，求x的值； (2)如果，求x的值； (3)若，，用含x的代数式表示y． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据幂的乘方运算法则把化为底数为2的幂，解答即可； （2）根据同底数幂的乘法法则把变形为即可解答； （3）由可得，再根据幂的乘方运算法则解答即可． 【解析】（1）解： ， ， 解得； （2）解：， ， ， ； （3）解：， ， ， ． 【点睛】本题考查了同底数幂的乘法以及幂的乘方，掌握利用同底数幂的乘法、幂的乘方及其逆运算对式子进行变形是关键． 题型5：利用幂的乘方比较大小 【典例15】．把这4个数按照从小到大的顺序排列，正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】先根据幂的乘方法则，把4个数化成指数相同的数，再根据底数的大小比较即可．，，，，且，． 【易错点分析】与幂有关的计算，需要用到如下策略：把不同底数的幂化为同底数的幂；把不同指数的幂化为同指数的幂；把已知幂化为特殊底数的幂． 【典例16】．已知，，，则、、的大小关系是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了幂的乘方，变形为同底数幂的形式，再比较大小，可使计算简便． 先把81，27，9转化为底数为3的幂，再根据幂的乘方，底数不变，指数相乘化简．然后根据指数的大小即可比较大小． 【解析】解：∵； ； ． 则． 故选：A． 【典例17】．探究题： (1)计算下列算式的结果：______，______； 发现，小浦猜想会有如下规律：______（用，，表示）； (2)利用上述规律，你能帮助小浦解决下列问题吗？ ①若，求的值； ②比较，，的大小，并用“”号连接． 【答案】(1)64；64； (2)①；② 【分析】（1）根据乘方运算法则求解，，从而得到猜想； （2）由（1）中猜想，直接运算以及化成同指数幂的形式比较大小即可得到答案． 【解析】（1）解：，， ， 小浦猜想会有如下规律：（用，，表示）； 故答案为：64；64；； （2）解：①∵， ∴； ②∵，，， ， ， ∴． 【点睛】本题考查幂的乘方运算的归纳及应用，读懂题意，理解幂的乘方运算法则的应用是解决问题的关键． 题型6：其他应用 【典例18】．（    ） A． B． C．4 D．8 【答案】B 【分析】本题考查了逆用幂的乘方，同底数幂的乘法，熟练应用幂的乘方的逆应用是解题的关键． 【解析】， 故选B．(注：可看成100组1/8×8，再×一个1/8) 【典例19】．计算的结果是 ． 【答案】 【分析】本题考查了同底数幂的乘法的逆用，逆用同底数幂的乘法法则计算即可． 【解析】解： 故答案为：．(注：可看成2003组4×(-0.25)，先定符号，再×一个4) 【典例20】．计算，结果用幂的形式表示：． 【答案】 【分析】先把每个因式都化为底数为3的幂的形式，再利用同底数幂的乘法运算法则进行计算即可． 【解析】解： ． 【点睛】本题考查的是幂的乘方运算，同底数幂的乘法运算，掌握幂的运算法则是解本题的关键． 【典例21】．已知，，则的值是（　　） A．19 B．18 C．9 D．7 【答案】C 【分析】本题考查幂的乘方，同底数幂的乘方，根据幂的乘方和同底数幂的乘法法则，求出的值，进而求出的值即可． 【解析】解：∵ ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ 故答案为：C． 【典例22】．若，则的结果是 ． 【答案】16 【分析】本题考查了同底数幂乘法的逆用，根据题意得是解题关键． 【解析】解：∵， 又∵， ∴， ， 故答案为：16． 【典例23】．中国天宫空间站以米/秒的速度绕地球飞行，每天能绕地球飞行约16圈，每圈约需秒，则天宫空间站绕地球飞行一圈的路程约为 米（结果用科学记数法表示）． 【答案】 【分析】本题考查科学记数法，同底数幂的乘法，科学记数法的表示形式为 的形式，其中 ，为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．根据路程速度时间计算，把结果写成科学记数法的形式． 【解析】解：天宫空间站绕地球飞行一圈的路程约为米， 故答案为：． 【典例24】．已知：，求的值． 【答案】16 【分析】本题考查了幂的乘方，同底数幂的乘法，熟练掌握它们的运算法则是解题的关键． 根据幂的乘方，同底数幂的乘法法则，进行计算即可解答． 【解析】解：∵， ∴， ∴ ， ． 【典例25】．甲、乙两名同学在解方程组时，甲同学因看错了，从而求得解为，乙同学因看错了，从而求得解为，计算，并用幂的形式表示结果． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，同底数幂的乘法及幂的乘方，解题关键是由二元一次方程组的解，求出，的值．根据题意，甲同学看错了，可将甲的解代入得，乙同学看错了，将乙的解代入得，求解即可得出，的值，再代入式子计算即可． 【解析】解：由题意得 ，解得， ，解得， ． 【典例26】．已知，，，现给出3个数，，之间的三个关系式： ①； ②； ③． 其中正确的关系式是 （填序号）． 【答案】①③ 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，根据同底数幂的乘法法则计算即可得出答案，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【解析】解：，， ，， ，，， 故其中正确的关系式是①③， 故答案为：①③． 【典例27】．已知，，均为正整数，且满足，则的取值不可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将原方程化为，得到，，再根据，，均为正整数，求出，的值，进而求出答案． 【解析】解：， ， ，， ，，均为正整数， 当时，，此时， 当时，，此时， 当时，，此时， 不可能为． 故选：D． 【点睛】本题考查了幂的乘方，同底数幂的乘法，根据，，均为正整数求出，的值是解题的关键． 题型7：新定义题 【典例28】．如果，则，例如，则．根据上述规定，若，则 ； 【答案】3 【分析】本题考查乘方及同底数幂乘法逆运算， 根据新定义列式，再根据乘方的逆运算即可得答案，正确理解新定义，熟练掌握运算法则是解题关键． 【解析】解：如果，则，， ， ， 故答案为：3. 【典例29】．类比同底数幂的乘法法则：（其中为正整数），我们规定一种新运算：，其中为任意正整数．若，那么 （用含n和P的代数式表示，其中n为正整数）． 【答案】 【分析】本题考查同底数幂乘法、新定义，解答本题的关键是明确题意，利用新运算求出所求式子的值，根据题中的新定义化简，计算即可求出值． 【解析】解：由，， ． 故答案为：．． 【典例30】．新定义：（均为正整数），例如：．若，，则的值为（　　） A．18 B．24 C．36 D．63 【答案】D 【分析】本题主要考查新定义运算，幂的乘方和积的乘方逆运算，根据新运算法则求出，再把变形为，再代入计算即可 【解析】解：∵（均为正整数）， ∴ ∴ ∴， 故选：D 【典例31】．如果，那么我们规定．例如：因为，所以． (1)______ ；若，则______ ； (2)已知，，，若，求的值； (3)若，，令． ①求的值； ②求的值． 【答案】(1)4，64 (2) (3)①；② 【分析】（1）由，可直接得出；由，可得出； （2）由题意可得出，，．根据，得出，即，进而即可求出； （3）①由题意可得出，，再根据，，即可求出；②根据，即得出，结合题意可得出．由①知，即得出，进而得出，即说明，代入中求值即可． 【解析】（1）解：， ； ，且， ． 故答案为：，； （2）解：，，，若， ，，． ， ，即， ； （3）解：①，， ，， ，， ； ②， ， ． 由①知：， ， ， ， ． 【点睛】本题考查有理数的乘方，积的乘方与其逆用，幂的乘方与其逆用．熟练掌握各运算法则是解题关键． 一、单选题 1．的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据同底数幂的乘法法则运算即可． 【解析】解：． 故选择C． 【点睛】本题考查同底数幂的乘法，掌握同底数幂的乘法是解题关键． 2．的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】同底数幂相乘底数不变，把指数3、5相加进行计算. 【解析】， 故选：D. 【点睛】本题考查同底数幂的乘法，熟练掌握计算法则即可. 3．下列运算正确的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分别根据同底数幂的乘法法则，幂的乘方运算法则，积的乘方运算法则计算逐一判断即可． 【解析】解：A，该选项不符合题意； B、，该选项不符合题意； C、，该选项不符合题意； D、，正确，，该选项符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了同底数幂的乘法以及幂的乘方与积的乘方，熟记幂的运算法则是解题的关键． 4．若2n+2n+2n+2n＝26，则n＝（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】根据题意运用同底数幂的乘法对2n+2n+2n+2n进行变形得到22+n，进而即可求出n的值． 【解析】解：∵2n+2n+2n+2n ＝4×2n ＝22×2n ＝22+n ＝26， ∴2+n＝6， 解得n＝4． 故选：C． 【点睛】本题考查幂的运算，熟练掌握同底数幂的乘法运算法则是解答此题的关键． 5．，，则等于（    ） A．2ab B．a+b C． D．100ab 【答案】D 【分析】根据同底数幂的乘法，可得结果． 【解析】解：， 故选D． 【点睛】本题考查了同底数幂的乘法，掌握底数不变，指数相加是解题的关键． 6．若(7×106)(5×105)(2×10)＝a×10n，则a，n的值分别为(　　) A．a＝7，n＝11 B．a＝5，n＝12 C．a＝7，n＝13 D．a＝2，n＝13 【答案】C 【分析】根据科学记数法表示的数的计算方法，乘号前面的数相乘，乘号后面的数相乘，再根据同底数幂相乘，底数不变指数相加进行计算，最后再化成科学记数法即可得解． 【解析】解：(7×106)(5×105)(2×10) ＝(7×5×2)×(106×105×10) ＝7×1013 所以，a＝7，n＝13． 故选：C． 【点睛】本题考查了同底数幂的乘法，熟练掌握运算法则与科学记数法表示的数的计算方法是解题的关键． 7．当m为偶数时，与的关系是(    ) A．相等 B．互为相反数 C．不相等 D．以上说法都不对 【答案】D 【分析】根据同底数幂的乘法法则，同底数幂相乘，底数不变，指数相加，求解即可． 【解析】解：当n为偶数时，， 所以 当n为奇数时，， 所以 故选：D． 【点睛】本题主要考查同底数幂的乘法，熟练掌握互为相反数的两数的偶数次方相等是解本题的关键． 8．如果，那么、的值等于（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】先根据同底数幂的乘法和积的乘方计算法则计算出，由此进行求解即可得到答案． 【解析】解：∵ ∴3n=9，3m+3=15， 解得：n=3，m=4， 故选C． 【点睛】本题主要考查了同底数幂的乘法，积的乘方，解题的关键在于能够熟练掌握相关计算法则． 9．计算的结果是（    ） A． B． C．0.75 D．-0.75 【答案】D 【分析】先将化为，再用幂的乘方的逆运算计算，再计算乘法即可得到答案． 【解析】 = = = =, 故选：D． 【点睛】此题考查有理数数的乘法运算，掌握幂的乘方的逆运算是解题的关键． 10．如果，，，那么，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据幂的乘方得出指数都是11的幂，再根据底数的大小比较即可． 【解析】解：a=355=（35）11=24311， b=444=（44）11=25611， c=533=（53）11=12511， ∵256＞243＞125， ∴b＞a＞c． 故选：C． 【点睛】本题考查了幂的乘方，关键是掌握amn=（an）m． 二、填空题 11．（1） ；（2） ； （3） ；（4） ； （5） ；（6） ； （7） ；（8） ； （9） ；（10） ． 【答案】 【分析】（1）根据同底数幂的乘法法则计算即可； （2）根据同底数幂的乘法法则计算即可； （3）根据同底数幂的乘法法则运算，再利用负数的乘方化底数为正计算即可； （4）根据同底数幂的乘法法则计算即可； （5）根据同底数幂的乘法法则计算即可； （6）根据同底数幂的乘法法则计算即可； （7）根据同底数幂的乘法法则计算结果为也可即可； （8）先利用负数的乘方化为同底数，根据同底数幂的乘法法则计算即可； （9）先利用负数的乘方化为同底数，根据同底数幂的乘法法则计算结果或即可； （10）先利用负数的乘方化为同底数，根据同底数幂的乘法法则计算结果或即可． 【解析】解：（1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）； （7）； （8）； （9）； （10）． 故答案为： ；；；；；；；；；． 【点睛】本题考查负数的乘方，同底数幂的乘法，掌握利用负数的乘方化同底数的方法，同底数幂的乘法法则是解题关键． 12．(103)6＝ ；(－a2)5＝ ；(－mn)4＝ ；(a3)2·(a2)4＝ ． 【答案】 1018 －a10 m4n a14 【分析】依次使用幂的乘方公式及同底数幂的乘法公式即可. 【解析】(103)6＝103×6=1018； (－a2)5＝－a2×5=－a10； (－mn)4＝(mn)4= m4n； (a3)2·(a2)4＝a6·a8= a14． 【点睛】此题主要考查幂的乘方公式，再结合同底数幂的乘法公式进行计算. 13．计算 （1） ； （2） . 【答案】 【分析】根据幂的乘方的定义，将底数看作整体计算即可. 【解析】（1）； （2）. 【点睛】本题考查幂的乘方的计算，计算时需注意幂的乘方的符号，偶次幂为正，奇次幂为负. 14．若2n+2n+2n+2n=28，则n= ． 【答案】6 【分析】根据同底数幂的乘法法则计算即可，同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加．am•an=am+n（m，n是正整数）． 【解析】解：∵2n+2n+2n+2n=4×2n=22×2n=28， ∴2+n=8， 解得n=6． 故答案为：6． 【点睛】本题主要考查了同底数幂的乘法，熟记幂的运算法则是解答本题的关键． 15．若4x=a，4y=b，则4x+y= ． 【答案】. 【分析】根据同底数的幂的乘法法则，代入求值即可. 【解析】由题意，， . 故答案为. 【点睛】本题考查的是同底数幂的乘法运算，底数不变，指数相加. 16．已知，，若用含x的代数式表示y，则 ． 【答案】2x+1/1+2x 【分析】由，，即可得，，进而有，则问题得解． 【解析】∵，， ∴，， ∴， 即， 故答案为：． 【点睛】本题考查了同底数幂的乘法的逆用，掌握同底数幂的乘法是解答本题的关键． 17．已知2x+3y-5=0，则9x•27y的值为 ． 【答案】243 【分析】先将9x•27y变形为32x+3y，然后再结合同底数幂的乘法的概念和运算法则进行求解即可． 【解析】∵2x+3y−5=0， ∴2x+3y=5， ∴9x27y=32x33y=32x+3y=35=243. 故答案为243. 【点睛】本题考查了同底数幂的乘法，解题的关键是熟练的掌握同底数幂乘法的概念和运算法则. 18．已知xn=2，yn=3，则(x2y)2n= . 若(9m+1)2=316，则正整数m的值为 . 【答案】 144 3 【分析】（1）利用积的乘方公式与幂的乘方公式把(x2y)2n化成与已知条件相关联的式子，再进行计算；（2）利用幂的乘方逆运算把等式都化成底数为3，再进行计算. 【解析】∵xn=2，yn=3， ∴(x2y)2n= x4n y2n=( xn)4·( yn)2=24×32=144； ∵(9m+1)2=[]2==316 ∴4m+4=16 解得m=3 【点睛】此题主要考查积的乘方公式，解题的关键是灵活运用幂的乘方公式逆运算进行化简解答. 三、解答题 19．化简下列各题： （1）  ；    （2）； （3）； （4）．    （5） 【答案】(1) ；（2） ；（3）；（4） ；（5）. 【分析】根据同底数幂的乘法公式，但是要注意公式的适用范围，同底与相乘. 【解析】（1）  =； （2）=； （3）==； （4）= =；   （5）= 【点睛】此题主要考查同底数幂相乘，熟练掌握运算法则是解题的关键. 20．计算： （1）（a-b）2（a-b）3（b-a）5            （2）（a-b+c）3（b-a-c）5（a-b+c）6 （3）（b-a）m·（b-a）n-5·（a-b）5          （4）x·xm-1+x2·xm-2-3x3·xm-3 【答案】（1） ；（2） ；（3）；（4）. 【分析】（1）、（2）与（3），首先将其变形为同底数幂相乘的形式，接下来利用同底数幂的乘法法则进行解答即可； （4），首先利用同底数幂的乘法法则对其进行变形，接下来合并同类项即可. 【解析】（1）（a-b）2（a-b）3（b-a）5   =, =; （2）（a-b+c）3（b-a-c）5（a-b+c）6 , ; （3）（b-a）m·（b-a）n-5·（a-b）5 , ; （4）x·xm-1+x2·xm-2-3x3·xm-3 , , . 故答案为：（1） ；（2） ；（3）；（4）. 【点睛】本题考查同底数幂的乘法. ，解体的关键是掌握同底数幂的乘法法则. 21．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)0 (2) (3) (4)0 【分析】本题考查幂的乘方，同底数幂的乘法，正确计算是解题的关键： （1）根据同底数幂的乘法计算即可； （2）根据同底数幂的乘法及幂的乘方计算即可； （3）根据同底数幂的乘法及幂的乘方计算即可； （4）根据同底数幂的乘法及幂的乘方计算即可． 【解析】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 22．计算：（1）； （2）； （3）． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（1）根据同底数幂的乘法法则进行计算即可； （2）先根据同底数幂的乘法法则计算出各数，再合并同类项即可； （3）根据同底数幂的乘法法则进行计算即可． 【解析】（1）原式； （2）原式； （3）原式． 【点睛】本题考查的是同底数幂的乘法，熟知同底数幂相乘，底数不变，指数相加是解答此题的关键． 23．计算： （1） （2） 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）先计算积的乘方，幂的乘方，再合并同类项即可； （2）计算同底数幂乘法，幂的乘方，积的乘方，合并同类项即可． 【解析】解：（1）， =， =， =； （2）， ， ． 【点睛】本题考查幂的混合运算，掌握幂的运算法则是解题关键． 24．已知，=2，求： (1)+的值； (2)的值． 【答案】(1)33 (2)2000 【分析】本题主要考查同底数幂乘法、幂的乘方运算能力，恰当地选择运算法则是解题关键，属中档题． （1）根据幂的乘方变形，代入计算即可； （2）先根据同底数幂乘法变形，再根据幂的乘方变形，最后代入计算可得． 【解析】（1）解：当，时， ； （2）解： ． 25．若是正整数，且，求 的值． 【答案】． 【分析】由得，再根据积的乘方和幂的乘方法则把原式变为，然后代入计算即可. 【解析】解：∵ ， ∴ ， ∴原式 ． 【点睛】本题考查了幂的乘方计算及求代数式的值，熟练掌握积幂的乘方运算法则是解答本题的关键. 26．（1）已知，求的值． （2）已知：，求的值． （3）已知，求的值． （4）已知，求m的值． 【答案】（1）；（2）；（3）16；（4） 【分析】（1）根据幂的除法运算法则再逆用幂的乘方即可求解； （2）利用幂的运算法则都化成底数为x2n的形式，即可求解； （3）把8x化成底数为2的幂的形式，再利用同底数幂的乘法法则计算即可； （4）都化成底数为3的幂的形式，再利用同底数幂的乘法法则计算得到关于m的一元一次方程，再解即可． 【解析】解：（1）（1）∵， ∴； （2）∵x2n=3， ∴ = = =． （3）∵， ∴； （4）∵， ∴，即， ∴，解得． 【点睛】本题考查了同底数幂的乘法、幂的乘方的计算方法，根据式子的特点，灵活变形解决问题． 27．若（且，、是正整数），则． 利用上面结论解决下面的问题： (1)如果，则___________； (2)如果，求的值． (3)如果，求的值． 【答案】(1)4 (2) (3) 【分析】本题主要考查了同底数幂的乘法逆用以及幂的乘方与积的乘方，解题的关键是熟练利用幂的乘方对式子进行变形． （）根据（且，是正整数），则即可求解； （）根据幂的乘方法则计算即可； （）根据同底数幂的乘法逆用以及幂的乘方法则计算即可； 【解析】（1）解：∵， ∴， 故答案为：4 （2）∵， ∴， ∴， ∴， 解得：； （3） ∵， ∴， ， ∴， ∴， 解得：． 28．阅读材料：下面是底数大于1的数比较大小的两种方法： ①比较，的大小：当时，，所以当同底数时，指数越大，值越大； ②比较和的大小：因为，，所以． 可以将其先化为同指数，再比较大小，所以同指数时，底数越大，值越大． 根据上述材料，解答下列问题： (1)比较大小：__________（填“”或“”） (2)已知，，，试比较，，的大小． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了幂的乘方的逆运算及有理数的乘方运算，熟练掌握幂的乘方的逆运算是解题关键． （1）根据幂的乘方的逆运算进行化简比较即可； （2）根据题目中的方法，变化成指数相同时，比较底数即可． 【解析】（1）因为，， 所以． 故答案为：； （2）因为， ， ， 且， 所以， 所以． 29．阅读材料：我们已经学过幂的相关运算，其中幂的乘方是重要的性质之一，用式子表示为： （、为正整数），由此，幂的乘方运算反过来也是成立的，用式子表示为：（、为正整数），逆用幂的乘方的方法是：幂的底数不变，将幂的指数分解成两个因数的乘积，再转化成幂的乘方的形式．如，至于选择哪一个变形结果，要具体问题具体分析．例如，判断的末尾数字，我们可以采用如下的方法： 解析：的末尾数字等于的末尾数字 ∵，又（为正整数）的末尾数字均为， ∴的末尾数字是的末尾数字，即为． ∴的末尾数字为 根据以上阅读材料，回答下列问题： (1)逆用幂的乘方，写出的末尾数字 (2)试判断的末尾数字 【答案】(1)9 (2)1 【分析】（1）根据阅读材料中的结论可知（n为正整数）的末尾数字均为1，根据阅读材料中提供的方法，可得，于是得解； （2）根据阅读材料中提供的方法可得的末尾数字等于的末尾数字，又，从而得出结论． 【解析】（1）解∵，又（n为正整数）的末尾数字均为1， ∴的末尾数字是1×9的末尾数字，即为9． （2）∵，则的末尾数字等于的末尾数字． ∵，又（n为正整数）的末尾数字均为1， ∴的末尾数字为1． ∵的末尾数字为0， ∴的末尾数字为 【点睛】本题考查了幂的运算，根据所给的题目总结规律，熟练掌握同底数幂的乘法，幂的乘方积的乘方是解答本题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！第 32 页 共 32 页 学科网（北京）股份有限公司 $$